Организация эксперимента : симплексное планирование
Покупка
Тематика:
Наука. Науковедение
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Год издания: 2010
Кол-во страниц: 46
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-87623-404-9
Артикул: 754611.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В учебном пособии рассмотрены различные варианты симплексного планирования, которые используют для изучения влияния состава смеси и для нахождения области экстремума. Соответствует программе курса «Организация эксперимента». Предназначено для обучения бакалавров и магистров по направлению 150400.
Тематика:
ББК:
УДК:
- 519: Комбинатор. анализ. Теория графов. Теория вер. и мат. стат. Вычисл. мат., числ. анализ. Мат. кибер..
- 62: Инженерное дело. Техника в целом. Транспорт
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 22.03.02: Металлургия
- ВО - Магистратура
- 22.04.02: Металлургия
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» № 1987 Кафедра порошковых материалов и функциональных покрытий В.Ю. Лопатин В.Н. Шуменко Организация эксперимента Симплексное планирование Учебное пособие Рекомендовано редакционно-издательским советом университета Москва 2010
УДК 519.2:621.762 Л77 Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф. В.А. Соколов Лопатин, В.Ю. Л77 Организация эксперимента : Симплексное планирование : учеб. пособие / В.Ю. Лопатин, В.Н. Шуменко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2010. – 46 с. ISBN 978-5-87623-404-9 В учебном пособии рассмотрены различные варианты симплексного планирования, которые используют для изучения влияния состава смеси и для нахождения области экстремума. Соответствует программе курса «Организация эксперимента». Предназначено для обучения бакалавров и магистров по направлению 150400. УДК 519.2:621.762 ISBN 978-5-87623-404-9 © Лопатин В.Ю., Шуменко В.Н., 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение....................................................................................................4 1. Симплексная система координат ........................................................4 2. Уравнения регрессии для симплексных планов ................................5 3. Симплекс-решетчатые планы..............................................................8 4. Симплекс-центроидные планы..........................................................18 5. D-оптимальные планы........................................................................19 6. Поиск экстремума на симплексе.......................................................21 Библиографический список...................................................................38 Приложение 1..........................................................................................39 Приложение 2..........................................................................................40 Приложение 3..........................................................................................41
ВВЕДЕНИЕ Возможность аналитического описания зависимостей свойств различных материалов от их состава имеет ряд преимуществ перед обычно принятыми геометрическими способами представления данных. Прежде всего, отпадает необходимость в пространственном представлении сложных поверхностей (особенно при большом количестве компонентов), так как необходимые свойства можно определять расчетным методом. Вместе с тем всегда существует возможность визуализации зависимостей по аналитическим выражениям, что обеспечивается современными пакетами программных средств. 1. СИМПЛЕКСНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В общем случае симплексом называют простейшую выпуклую геометрическую форму, образованную множеством q точек в (q – 1)мерном пространстве и обладающую минимальным количеством вершин. Симплекс считается правильным (регулярным), если расстояния между всеми его вершинами одинаковые. Таким образом, точка – это нульмерный симплекс, отрезок прямой – одномерный симплекс, равносторонний треугольник – правильный двумерный симплекс, любой другой треугольник – неправильный двумерный симплекс, тетраэдр – правильный трехмерный симплекс и т.д. Н.С. Курнаков в одной из своих работ показал [1], что (q – 1)мерный правильный симплекс задает состав системы, состоящей из q компонентов (q-мерной системы). Действительно, составы двухкомпонентных сплавов или других материалов определяют с помощью отрезка (одномерного симплекса), трехкомпонентных – с помощью треугольника (двумерного правильного симплекса, четырехкомпонентных – соответственно с помощью тетраэдра (трехмерного правильного симплекса). В вершинах симплекса обычно располагают чистые компоненты, при этом стороны треугольников и ребра тетраэдров задают составы двухкомпонентных подсистем, стороны тетраэдров – трехкомпонентных подсистем. Следует иметь в виду, что, начиная с пятикомпонентных систем, по очевидным причинам визуализация симплексов существенно затрудняется. Определение состава материала в любой точке симплекса можно проиллюстрировать на примере двумерного правильного симплекса (рис. 1). Линии, ограничивающие треугольник, представляют составы соответствующих двухкомпонентных систем. Так, от точки А до
точки В содержание компонента А последовательно уменьшается, а содержание компонента В увеличивается таким образом, что сумма этих двух величин составляет единицу или 100 %. В любой точке стороны АВ содержание компонента С равно нулю. Аналогичная ситуация для двух других сторон. B A C 20 40 60 80 C 20 40 60 80 B 20 40 60 80 A Рис. 1. Двухмерный правильный комплекс На линии, параллельной стороне АВ, содержание компонента С будет одинаковым и тем большим, чем дальше она находится от стороны АВ и ближе к точке , где содержание С максимально. Чтобы определить содержание компонента С в точке, отмеченной на рис. 1 звездочкой, нужно провести через нее прямую, параллельную стороне АВ. Эта прямая пересечет две другие стороны треугольника в точках с 80 % А, 20 % С и 80 % В, 20 % С соответственно. Отсюда ясно, что в рассматриваемой точке содержание компонента С будет 20 %. Аналогично можно найти содержание остальных компонентов. 2. УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ДЛЯ СИМПЛЕКСНЫХ ПЛАНОВ Как и в случае полных факторных экспериментов (ПФЭ), дробных факторных экспериментов (ДФЭ), планов второго и более высокого порядка, после проведения опытов строят регрессионные модели, которые обычно представляются как разложение неизвестных функции отклика ϕ(x1, x2,…xk) в ряд Тейлора, в тригонометрические ряды, в ряды по системам ортогональных полиномов и т.д. Если ис
пользуется разложение в ряд Тейлора, то получаются полиномиальные регрессионные модели, имеющие следующий вид: ( ) 2 1 0 1 1 1 ... ..., k k k k i i ij i j ii i i i i x x x x x x = = = η = ϕ = γ + γ + γ + γ + ∑ ∑ ∑ (1) где i ix ∂ϕ γ = ∂ ; ij j j x x ∂ϕ γ = ∂ ∂ ; 2 ii ix ∂ϕ γ = ∂ ; η – истинная величина функции отклика; k – число факторов. По результатам экспериментов можно получить оценки b0, bi, bij, bii истинных значений коэффициентов и построить регрессионное уравнение 2 0 1 1 1 . k k k i i ij i j ii i i i i Y b b x b x x b x = = = = + + + ∑ ∑ ∑ (2) Однако следует отметить, что при исследовании зависимостей свойств материалов от состава и построении так называемых диаграмм «состав–свойство» чаще всего выполняется правило нормировки, т.е. суммарное содержание всех компонентов составляет единицу или 100 %: 1 1. q i i x = = ∑ (3) В этом случае будут справедливы следующие соотношения (для трехкомпонентной смеси): b0 = b0x1 + b0x2 + b0x3; (4) x1 2 = x1 – x1x2 – x1x3 = x1(1 – x2 – x3); (5) x2 2 = x2 – x1x2 – x2x3 = x2(1 – x1 – x3); (6) x3 2 = x3 – x1x3 – x2x3 = x3(1 – x1 – x2). (7) Тогда выражение (2) может быть преобразовано следующим образом: Y = (b0 + b1 + b11)x1 + (b0 + b2 + b22)x2 + (b0 + b3 + b33)x3 + + (b12 – b11 – b22)x1x2 + (b13 – b11 – b33)x1x3 + (b23 – b22 – b33)x2x3. (8) Сделав замену коэффициентов βi = b0 + bi + bii; (9) βij = bij – bii – bij, получим каноническую форму Шеффе для трехкомпонентной системы:
Y = β1x1 + β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2x3. (10) Следует обратить внимание, что член с коэффициентом β0 отсутствует. В q-мерном случае приведение полинома первого порядка 0 1 q i i i Y b b x = = +∑ (11) к канонической форме 1 q i i i Y x = = β ∑ (12) осуществляется заменой свободного члена b0 на выражение 0 0 1 q i i b b x = =∑ (13) и последующими математическими преобразованиями. Для приведения полинома второго порядка (2) к каноническому виду 1 1 q q i i ij i j i i Y x x x = = = β + β ∑ ∑ (14) кроме упомянутой подстановки (13) выполняется еще одна подстановка: 2 1 . q i i i j i x x x x = = −∑ (15) В случае полинома третьего порядка 2 3 0 1 1 1 1 q q q q i i ij i j ii i iii i i i i i Y b b x b x x b x b x = = = = = + + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 1 1 1 q q q ijk i j k iij i j ijj i j i i i b x x x b x x b x x = = = + + + ∑ ∑ ∑ (16) процедура аналогичная, но более громоздкая в реализации. Для получения выражения ( ) 1 1 1 1 q q q q i i ij i j ij i j i j ijk i j k i i i i Y x x x x x x x b x x x = = = = = β + β + γ − + ∑ ∑ ∑ ∑ (17) нужно выполнить подстановки (13) и (15), а также следующие преобразования:
( ) 3 1 1 1 3 ; 2 q q i i i j i j i j i j k i i x x x x x x x x x x x = = ⎡ ⎤ = − + − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ (18) ( ) 2 1 1 . 2 q i j i j i j i j i j k i x x x x x x x x x x x = ⎡ ⎤ = + − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ (19) При q = 3 в выражениях (18) и (19) суммы 1 q i j k i x x x =∑ превращаются в простые произведения xixjxk. 3. СИМПЛЕКС-РЕШЕТЧАТЫЕ ПЛАНЫ В симплекс-решетчатых планах для построения модели степени n экспериментальные точки располагают симметрично, используя для каждого компонента xi n + 1 равноостоящих уровней в интервале от 0 до 1 (0; 1/n; 2/n; 3/n … n/n). Все возможные комбинации этих уровней представляют координаты узлов симплексной решетки. Для q = 3 (т.е. для трехкомпонентных систем) наиболее распространенными являются следующие симплекс-решетчатые планы: x1 x3 x2 План первого порядка с тремя экспериментальными точками для построения линейной модели Y = β1x1 + β2x2 + β3x3 x1 x3 x2 План второго порядка с шестью экспериментальными точками для построения квадратичной модели Y = β1x1 + β2x2 + + β3x3 + β12x1x2 + β23x2x3 + β13x1x3 x1 x3 x2 . План неполного третьего порядка с семью экспериментальными точками для построения модели вида Y = β1x1 + β2x2 + + β3x3 + β12x1x2 + β23x2x3 + β13x1x3 + β123x1x2x3
x1 x3 x2 План полного третьего порядка с десятью экспериментальными точками для построения кубической модели Y = β1x1 + + β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β23x2x3 + β13x1x3 + + β123x1x2x3 + γ12x1x2(x1 – x2) + γ23x2x3(x2 – – x3) + γ13x1x3(x1 – x3) x2 x3 x1 План четвертого порядка с пятнадцатью экспериментальными точками. Из-за громоздкости уравнения регрессии оно представляется в общем виде: ( ) 1 1 1 q q q i i ij i j ij i j i j i i i Y x x x x x x x = = = = β + β + γ − + ∑ ∑ ∑ ( ) 2 2 1 1 q q ij i j i j iijk i j k i i x x x x x x x = = + δ − + β + ∑ ∑ 2 2 1 1 . q q ijjk i j k iijk i j k i i x x x x x x = = + β + + β ∑ ∑ Приведенные планы являются полностью насыщенными, т.е. число опытов в них равно числу неизвестных коэффициентов модели. Кроме этого, симплекс-решетчатые планы обладают свойством композиционности, т.е. от плана первого порядка к плану второго порядка и далее к плану неполного третьего порядка можно перейти только добавлением экспериментальных точек. Так же можно перейти от плана второго порядка сразу к плану четвертого порядка. Переход от плана неполного третьего порядка к плану полного третьего порядка осуществляется удалением некоторых точек и добавлением новых. Прежде чем приступить к процедуре обработки экспериментальных данных и построению уравнений регрессии, следует обратить внимание на систему обозначения точек в симплексных решетках. 1. Для плана первого порядка экспериментальные точки располагаются по углам треугольника и содержат только чистые компоненты. В этом случае они обозначаются x1, x2, x3, а значения функции отклика в них соответственно Y1, Y2, Y3. 2. В план второго порядка на стороны треугольника добавляются три точки равных парных концентраций, т.е. точки, в которых содержания двух соответствующих компонентов одинаковые. Их принято обозначать x12, x23, x13, а значения функции отклика – Y12, Y23,
Y13. На равенство концентраций указывает одинаковое количество цифр, соответствующих номерам компонентов. 3. В плане неполного третьего порядка появляется экспериментальная точка, в которой концентрации всех трех элементов одинаковы (по 1/3). Эта точка обозначается x123, а значение функции отклика в ней – Y123. 4. В плане полного третьего порядка на сторонах треугольника вместо точек равных парных концентраций размещаются точки, в которых соотношение концентраций компонентов 1:2 или 2:1. Поэтому на стороне с компонентами 1 и 2 они обозначаются как x112 и x122, на стороне с компонентами 2 и 3 – x223 и x233, на стороне с компонентами 1 и 3 – x113 и x133. Соотношение количества двух разных цифр соответствует соотношению рассматриваемых компонентов. Соответствующие индексы имеют и величины функции отклика. Сказанное можно проиллюстрировать матрицей плана, представленной в табл. 1. Таблица 1 Матрица симплекс-решетчатого плана полного третьего порядка для q = 3 Содержание компонентов в экспериментальных точках № опыта x1 x2 x3 Обозначение точки Обозначение значения функции отклика 1 1 0 0 x1 Y1 2 0 1 0 x2 Y2 3 0 0 1 x3 Y3 4 1/3 2/3 0 x122 Y122 5 1/3 0 2/3 x133 Y133 6 0 1/3 2/3 x233 Y233 7 2/3 1/3 0 x112 Y122 8 2/3 0 1/3 x113 Y113 9 0 2/3 1/3 x223 Y223 10 1/3 1/3 1/3 x123 Y123 Для симплекс-решетчатых планов существуют понятия дублирования опытов в центре плана (или некоторой другой его точке), неравномерного и равномерного дублирования. Для проверки ряда дисперсий на однородность используется критерий Кохрена, рассмотренный в разделе курса, посвященном полным факторным экспериментам. Расчет величины дисперсии опытов Sy 2 ведут по формулам, приведенным в разд. 2. Если условие однородности ряда дисперсий выполняется, оценку коэффициентов регрессии модели можно вести по методу наименьших квадратов. Однако, поскольку симплекс-решетчатые, симплекс
центроидные и D-оптимальные планы являются насыщенными (число опытов всегда равно числу коэффициентов уравнения), расчетные формулы можно получить так называемым методом подстановки. В этом случае в полином последовательно подставляют координаты всех точек плана, а вместо откликов – соответствующие этим точкам экспериментальные значения. В качестве примера рассмотрим формулы для плана второго порядка (формулы для плана первого порядка являются их частью). При подстановке в уравнение (10) координат первой точки (x1 = 1; x2 = 0; x3 = 0) получаем Y1 = β1⋅1 + β2⋅0 + β3⋅0 + β12⋅1⋅0 + β23⋅0⋅0 + β13⋅1⋅0 = β1. (20) Аналогично получаем остальные формулы для βi: β2 = Y2; (21) β3 = Y3 (22) или βi =Yi. (23) При подстановке координат точек, лежащих в серединах сторон треугольника, получаем Y12 = β1⋅1/2 + β2⋅1/2 + β3⋅0 + β12⋅1/2⋅1/2 + β23⋅1/2⋅0 + β13⋅1/2⋅0 = = β1⋅1/2 + β2⋅1/2 + β12⋅1/4 (24) Но с учетом уравнения (22) β12 = 4Y12 – 2Y1 – 2Y2. (25) Аналогично β23 = 4Y23 – 2Y2 – 2Y3; (26) β13 = 4Y13 – 2Y1 – 2Y3 (27) или βij = 4Yij – 2Yi – 2Yj. (28) Учитывая отмеченный выше принцип композиционности и построение плана неполного третьего порядка только добавлением одной экспериментальной точки, набор формул для него получается добавлением к уже полученным формулам выражения для β123: β123 = 27Y123 – 12(Y12 + Y23 + Y13) + 3(Y1 + Y2 + Y3). (29)
Доступ онлайн
В корзину