Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Организация эксперимента : симплексное планирование

Покупка
Артикул: 754611.01.99
Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину
В учебном пособии рассмотрены различные варианты симплексного планирования, которые используют для изучения влияния состава смеси и для нахождения области экстремума. Соответствует программе курса «Организация эксперимента». Предназначено для обучения бакалавров и магистров по направлению 150400.
Лопатин, В. Ю. Организация эксперимента : симплексное планирование : учебное пособие / В. Ю. Лопатин, В. Н. Шуменко. - Москва : Изд. Дом МИСиС, 2010. - 46 с. - ISBN 978-5-87623-404-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1247139 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1987 

Кафедра порошковых материалов и функциональных покрытий

В.Ю. Лопатин 
В.Н. Шуменко 
 

Организация эксперимента

Симплексное планирование 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2010 

УДК 519.2:621.762 
 
Л77 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. В.А. Соколов 

Лопатин, В.Ю. 
Л77  
Организация эксперимента : Симплексное планирование : 
учеб. пособие / В.Ю. Лопатин, В.Н. Шуменко. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2010. – 46 с. 
ISBN 978-5-87623-404-9 

В учебном пособии рассмотрены различные варианты симплексного планирования, которые используют для изучения влияния состава смеси и для 
нахождения области экстремума. 
Соответствует программе курса «Организация эксперимента». 
Предназначено для обучения бакалавров и магистров по направлению 
150400. 
 

УДК 519.2:621.762 

ISBN 978-5-87623-404-9 
© Лопатин В.Ю., 
Шуменко В.Н., 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Симплексная система координат ........................................................4 
2. Уравнения регрессии для симплексных планов ................................5 
3. Симплекс-решетчатые планы..............................................................8 
4. Симплекс-центроидные планы..........................................................18 
5. D-оптимальные планы........................................................................19 
6. Поиск экстремума на симплексе.......................................................21 
Библиографический список...................................................................38 
Приложение 1..........................................................................................39 
Приложение 2..........................................................................................40 
Приложение 3..........................................................................................41 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Возможность аналитического описания зависимостей свойств 
различных материалов от их состава имеет ряд преимуществ перед 
обычно принятыми геометрическими способами представления данных. Прежде всего, отпадает необходимость в пространственном 
представлении сложных поверхностей (особенно при большом количестве компонентов), так как необходимые свойства можно определять расчетным методом. Вместе с тем всегда существует возможность визуализации зависимостей по аналитическим выражениям, 
что обеспечивается современными пакетами программных средств. 

1. СИМПЛЕКСНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 

В общем случае симплексом называют простейшую выпуклую 
геометрическую форму, образованную множеством q точек в (q – 1)мерном пространстве и обладающую минимальным количеством 
вершин. Симплекс считается правильным (регулярным), если расстояния между всеми его вершинами одинаковые. Таким образом, 
точка – это нульмерный симплекс, отрезок прямой – одномерный 
симплекс, равносторонний треугольник – правильный двумерный 
симплекс, любой другой треугольник – неправильный двумерный 
симплекс, тетраэдр – правильный трехмерный симплекс и т.д. 
Н.С. Курнаков в одной из своих работ показал [1], что (q – 1)мерный правильный симплекс задает состав системы, состоящей из 
q компонентов (q-мерной системы). Действительно, составы двухкомпонентных сплавов или других материалов определяют с помощью отрезка (одномерного симплекса), трехкомпонентных – с помощью треугольника (двумерного правильного симплекса, четырехкомпонентных – соответственно с помощью тетраэдра (трехмерного 
правильного симплекса). В вершинах симплекса обычно располагают 
чистые компоненты, при этом стороны треугольников и ребра тетраэдров задают составы двухкомпонентных подсистем, стороны тетраэдров – трехкомпонентных подсистем. Следует иметь в виду, что, 
начиная с пятикомпонентных систем, по очевидным причинам визуализация симплексов существенно затрудняется. 
Определение состава материала в любой точке симплекса можно 
проиллюстрировать на примере двумерного правильного симплекса 
(рис. 1). Линии, ограничивающие треугольник, представляют составы соответствующих двухкомпонентных систем. Так, от точки А до 

точки В содержание компонента А последовательно уменьшается, а 
содержание компонента В увеличивается таким образом, что сумма 
этих двух величин составляет единицу или 100 %. В любой точке 
стороны АВ содержание компонента С равно нулю. Аналогичная ситуация для двух других сторон. 

B

A
C
20
40
60
80

C

20

40

60

80

B

20

40

60

80

A

 

Рис. 1. Двухмерный правильный комплекс 

На линии, параллельной стороне АВ, содержание компонента С 
будет одинаковым и тем большим, чем дальше она находится от стороны АВ и ближе к точке , где содержание С максимально.  
Чтобы определить содержание компонента С в точке, отмеченной 
на рис. 1 звездочкой, нужно провести через нее прямую, параллельную стороне АВ. Эта прямая пересечет две другие стороны треугольника в точках с 80 % А, 20 % С и 80 % В, 20 % С соответственно. Отсюда ясно, что в рассматриваемой точке содержание компонента С 
будет 20 %. Аналогично можно найти содержание остальных компонентов. 

2. УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ 
ДЛЯ СИМПЛЕКСНЫХ ПЛАНОВ  

Как и в случае полных факторных экспериментов (ПФЭ), дробных факторных экспериментов (ДФЭ), планов второго и более высокого порядка, после проведения опытов строят регрессионные модели, которые обычно представляются как разложение неизвестных 
функции отклика ϕ(x1, x2,…xk) в ряд Тейлора, в тригонометрические 
ряды, в ряды по системам ортогональных полиномов и т.д. Если ис
пользуется разложение в ряд Тейлора, то получаются полиномиальные регрессионные модели, имеющие следующий вид: 

 
(
)
2
1
0
1
1
1

...
...,

k
k
k

k
i
i
ij
i
j
ii
i
i
i
i
x
x
x
x x
x

=
=
=
η = ϕ
= γ +
γ
+
γ
+
γ
+
∑
∑
∑
 
(1) 

где 
i

ix

∂ϕ
γ = ∂
; 
ij
j
j
x
x

∂ϕ
γ = ∂ ∂
; 
2
ii

ix

∂ϕ
γ =
∂
; η – истинная величина функции 

отклика; k – число факторов. 

По результатам экспериментов можно получить оценки b0, bi, bij, 
bii истинных значений коэффициентов и построить регрессионное 
уравнение 

 
2

0
1
1
1

.

k
k
k

i
i
ij
i
j
ii
i
i
i
i

Y
b
b x
b x x
b x

=
=
=
=
+
+
+
∑
∑
∑
 
(2) 

Однако следует отметить, что при исследовании зависимостей 
свойств материалов от состава и построении так называемых диаграмм «состав–свойство» чаще всего выполняется правило нормировки, т.е. суммарное содержание всех компонентов составляет единицу или 100 %: 

 

1

1.

q

i
i
x

=
=
∑
 
(3) 

В этом случае будут справедливы следующие соотношения (для 
трехкомпонентной смеси): 

 
b0 = b0x1 + b0x2 + b0x3; 
(4) 
 
x1
2 = x1 – x1x2 – x1x3 = x1(1 – x2 – x3); 
(5) 
 
x2
2 = x2 – x1x2 – x2x3 = x2(1 – x1 – x3); 
(6) 
 
x3
2 = x3 – x1x3 – x2x3 = x3(1 – x1 – x2). 
(7) 

Тогда выражение (2) может быть преобразовано следующим образом: 

 
Y = (b0 + b1 + b11)x1 + (b0 + b2 + b22)x2 + (b0 + b3 + b33)x3 +  
 
 + (b12 – b11 – b22)x1x2 + (b13 – b11 – b33)x1x3 + (b23 – b22 – b33)x2x3. 
(8) 

Сделав замену коэффициентов 

 
βi = b0 + bi + bii; 
(9) 
 
βij = bij – bii – bij, 

получим каноническую форму Шеффе для трехкомпонентной системы: 

Y = β1x1 + β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2x3. 
(10) 

Следует обратить внимание, что член с коэффициентом β0 отсутствует.  
В q-мерном случае приведение полинома первого порядка 

 
0
1

q

i
i

i

Y
b
b x

=
=
+∑
 
(11) 

к канонической форме  

 

1

q

i
i

i

Y
x

=
=
β
∑
 
(12) 

осуществляется заменой свободного члена b0 на выражение  

 
0
0

1

q

i

i

b
b x

=
=∑
 
(13) 

и последующими математическими преобразованиями.  
Для приведения полинома второго порядка (2) к каноническому виду  

 

1
1

q
q

i
i
ij
i
j

i
i

Y
x
x x

=
=
=
β
+
β
∑
∑
 
(14) 

кроме упомянутой подстановки (13) выполняется еще одна подстановка: 

 
2

1

.

q

i
i
i
j
i

x
x
x x

=
=
−∑
 
(15) 

В случае полинома третьего порядка 

 
2
3
0
1
1
1
1

q
q
q
q

i
i
ij
i
j
ii
i
iii
i
i
i
i
i

Y
b
b x
b x x
b x
b x

=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
∑
∑
∑
∑
 

 
2
2

1
1
1

q
q
q

ijk
i
j
k
iij
i
j
ijj
i
j

i
i
i

b x x x
b x x
b x x

=
=
=
+
+
+
∑
∑
∑
 
(16) 

процедура аналогичная, но более громоздкая в реализации.  
Для получения выражения 

 
(
)
1
1
1
1

q
q
q
q

i
i
ij
i
j
ij
i
j
i
j
ijk
i
j
k
i
i
i
i

Y
x
x x
x x
x
x
b x x x

=
=
=
=
=
β
+
β
+
γ
−
+
∑
∑
∑
∑
 
(17) 

нужно выполнить подстановки (13) и (15), а также следующие преобразования: 

(
)
3

1
1

1
3
;
2

q
q

i
i
i
j
i
j
i
j
i
j
k
i
i

x
x
x x
x x
x
x
x x x

=
=

⎡
⎤
=
−
+
−
−
⎢
⎥

⎣
⎦
∑
∑
 
(18) 

 
(
)
2

1

1
.
2

q

i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
k
i

x x
x x
x x
x
x
x x x

=

⎡
⎤
=
+
−
−
⎢
⎥

⎣
⎦
∑
 
(19) 

При q = 3 в выражениях (18) и (19) суммы 

1

q

i
j
k
i

x x x

=∑
превращаются 

в простые произведения xixjxk. 

3. СИМПЛЕКС-РЕШЕТЧАТЫЕ ПЛАНЫ 

В симплекс-решетчатых планах для построения модели степени n 
экспериментальные точки располагают симметрично, используя для 
каждого компонента xi n + 1 равноостоящих уровней в интервале от 0 
до 1 (0; 1/n; 2/n; 3/n … n/n). Все возможные комбинации этих уровней представляют координаты узлов симплексной решетки. Для q = 3 
(т.е. для трехкомпонентных систем) наиболее распространенными 
являются следующие симплекс-решетчатые планы: 

x1
x3

x2

 

 
План первого порядка с тремя экспериментальными точками для построения 
линейной модели Y = β1x1 + β2x2 + β3x3 

 

x1
x3

x2

 

 
План второго порядка с шестью экспериментальными точками для построения 
квадратичной модели Y = β1x1 + β2x2 + 
+ β3x3 + β12x1x2 + β23x2x3 + β13x1x3  

 

x1
x3

x2

.

 

 
План неполного третьего порядка с семью экспериментальными точками для 
построения модели вида Y = β1x1 + β2x2 + 
+ β3x3 + β12x1x2 + β23x2x3 + β13x1x3 + 
β123x1x2x3  

x1
x3

x2

 

План полного третьего порядка с десятью экспериментальными точками для 
построения кубической модели Y = β1x1 + 
+ β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β23x2x3 + β13x1x3 + 
+ β123x1x2x3 + γ12x1x2(x1 – x2) + γ23x2x3(x2 – 
– x3) + γ13x1x3(x1 – x3)  

x2

x3
x1

План четвертого порядка с пятнадцатью 
экспериментальными точками. Из-за громоздкости уравнения регрессии оно 
представляется в общем виде: 

(
)
1
1
1

q
q
q

i i
ij i
j
ij i
j
i
j
i
i
i
Y
x
x x
x x
x
x

=
=
=
=
β
+
β
+
γ
−
+
∑
∑
∑
 

(
)
2
2

1
1

q
q

ij i
j
i
j
iijk
i
j
k
i
i

x x
x
x
x x x

=
=
+
δ
−
+
β
+
∑
∑
  

2
2

1
1

.

q
q

ijjk
i
j
k
iijk
i
j
k
i
i

x x x
x x x

=
=
+
β
+ +
β
∑
∑
 

Приведенные планы являются полностью насыщенными, т.е. число опытов в них равно числу неизвестных коэффициентов модели. 
Кроме этого, симплекс-решетчатые планы обладают свойством композиционности, т.е. от плана первого порядка к плану второго порядка и далее к плану неполного третьего порядка можно перейти 
только добавлением экспериментальных точек. Так же можно перейти от плана второго порядка сразу к плану четвертого порядка. Переход 
от плана неполного третьего порядка к плану полного третьего порядка 
осуществляется удалением некоторых точек и добавлением новых.  
Прежде чем приступить к процедуре обработки экспериментальных данных и построению уравнений регрессии, следует обратить 
внимание на систему обозначения точек в симплексных решетках. 
1. Для плана первого порядка экспериментальные точки располагаются по углам треугольника и содержат только чистые компоненты. В этом случае они обозначаются x1, x2, x3, а значения функции 
отклика в них соответственно Y1, Y2, Y3. 
2. В план второго порядка на стороны треугольника добавляются 
три точки равных парных концентраций, т.е. точки, в которых содержания двух соответствующих компонентов одинаковые. Их принято обозначать x12, x23, x13, а значения функции отклика – Y12, Y23, 

Y13. На равенство концентраций указывает одинаковое количество 
цифр, соответствующих номерам компонентов. 
3. В плане неполного третьего порядка появляется экспериментальная точка, в которой концентрации всех трех элементов одинаковы (по 1/3). Эта точка обозначается x123, а значение функции отклика в ней – Y123. 
4. В плане полного третьего порядка на сторонах треугольника вместо точек равных парных концентраций размещаются точки, в которых 
соотношение концентраций компонентов 1:2 или 2:1. Поэтому на стороне с компонентами 1 и 2 они обозначаются как x112 и x122, на стороне с 
компонентами 2 и 3 – x223 и x233, на стороне с компонентами 1 и 3 – x113 и 
x133. Соотношение количества двух разных цифр соответствует соотношению рассматриваемых компонентов. Соответствующие индексы 
имеют и величины функции отклика. Сказанное можно проиллюстрировать матрицей плана, представленной в табл. 1. 

Таблица 1 

Матрица симплекс-решетчатого плана полного третьего порядка для q = 3 

Содержание компонентов 
в экспериментальных точках 
№ опыта 
x1 
x2 
x3 

Обозначение точки 
Обозначение значения функции отклика 

1 
1 
0 
0 
x1 
Y1 

2 
0 
1 
0 
x2 
Y2 

3 
0 
0 
1 
x3 
Y3 

4 
1/3 
2/3 
0 
x122 
Y122 

5 
1/3 
0 
2/3 
x133 
Y133 

6 
0 
1/3 
2/3 
x233 
Y233 

7 
2/3 
1/3 
0 
x112 
Y122 

8 
2/3 
0 
1/3 
x113 
Y113 

9 
0 
2/3 
1/3 
x223 
Y223 

10 
1/3 
1/3 
1/3 
x123 
Y123 

Для симплекс-решетчатых планов существуют понятия дублирования опытов в центре плана (или некоторой другой его точке), неравномерного и равномерного дублирования. Для проверки ряда 
дисперсий на однородность используется критерий Кохрена, рассмотренный в разделе курса, посвященном полным факторным экспериментам. Расчет величины дисперсии опытов Sy
2 ведут по формулам, приведенным в разд. 2. 
Если условие однородности ряда дисперсий выполняется, оценку 
коэффициентов регрессии модели можно вести по методу наименьших квадратов. Однако, поскольку симплекс-решетчатые, симплекс
центроидные и D-оптимальные планы являются насыщенными (число опытов всегда равно числу коэффициентов уравнения), расчетные 
формулы можно получить так называемым методом подстановки. В 
этом случае в полином последовательно подставляют координаты 
всех точек плана, а вместо откликов – соответствующие этим точкам 
экспериментальные значения. 
В качестве примера рассмотрим формулы для плана второго порядка 
(формулы для плана первого порядка являются их частью). При подстановке в уравнение (10) координат первой точки (x1 = 1; x2 = 0; x3 = 0) 
получаем 
 
Y1 = β1⋅1 + β2⋅0 + β3⋅0 + β12⋅1⋅0 + β23⋅0⋅0 + β13⋅1⋅0 = β1. 
(20) 

Аналогично получаем остальные формулы для βi: 

 
β2 = Y2; 
(21) 

 
β3 = Y3 
(22) 

или 

 
βi =Yi. 
(23) 

При подстановке координат точек, лежащих в серединах сторон треугольника, получаем 

 
Y12 = β1⋅1/2 + β2⋅1/2 + β3⋅0 + β12⋅1/2⋅1/2 + β23⋅1/2⋅0 + β13⋅1/2⋅0 =  
 
 = β1⋅1/2 + β2⋅1/2 + β12⋅1/4 
(24) 

Но с учетом уравнения (22) 
 
β12 = 4Y12 – 2Y1 – 2Y2. 
(25) 
Аналогично 

 
β23 = 4Y23 – 2Y2 – 2Y3; 
(26) 
 
β13 = 4Y13 – 2Y1 – 2Y3 
(27) 

или 
 
βij = 4Yij – 2Yi – 2Yj. 
(28) 

Учитывая отмеченный выше принцип композиционности и построение плана неполного третьего порядка только добавлением одной экспериментальной точки, набор формул для него получается 
добавлением к уже полученным формулам выражения для β123: 

 
β123 = 27Y123 – 12(Y12 + Y23 + Y13) + 3(Y1 + Y2 + Y3). 
(29) 

Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину