Теория автоматического управления : линейные системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2182 

Кафедра компьютерных информационных 
и управляющих систем автоматики 

З.Г. Салихов 
И.Т. Кимяев 
 

Теория автоматического 
управления 

Линейные системы 

Лабораторный практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2012 

УДК 621.77 
 
C16 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. В.А. Косарев 

Салихов, З.Г. 
С16  
Теория 
автоматического 
управления : линейные 
системы : лаб. практикум / З.Г. Салихов, И.Т. Кимяев. – М. : Изд. 
Дом МИСиС, 2012. – 48 с. 
 

Лабораторный практикум выполняется в лабораторных условиях (компьютерном классе) с применением программно-технических средств моделирования законов управления. 
Предназначен для подготовки специалистов, бакалавров и магистров по 
направлениям 220700, 1500102 и 150400, а также полезен для специалистов, 
проходящих переподготовку в целях повышения квалификации в области автоматизации технологических процессов и производств. 

 

 
© З.Г. Салихов,  
И.Т. Кимяев, 2012 

СОДЕРЖАНИЕ 

Принятые сокращения..............................................................................4 
Лабораторная работа 1. Структурные схемы системы 
автоматического управления. Построение и преобразование..............5 
Лабораторная работа 2. Построение частотных характеристик 
активных и пассивных корректирующих звеньев...............................17 
Лабораторная работа 3. Исследование динамических свойств 
элементарных звеньев САУ...................................................................23 
Лабораторная работа 4. Оценка устойчивости САУ скоростью 
электродвигателя по критерию Михайлова .........................................29 
Лабораторная работа 5. Оценка качества САУ ...................................37 
Библиографический список...................................................................45
Приложение.............................................................................................46 
 

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ 

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика 
ДПТ НВ – двигатель постоянного тока с независимым возбуждением 
ДУ – дифференциальное уравнение 
КЧХ – комплексная частотная характеристика 
ООС – отрицательная ОС 
ОС – обратная связь 
ОУ – операционные усилители 
ПФ – передаточная функция 
САУ – система автоматического управления 
ТАУ – теория автоматического управления 
ФЧХ – фазово-частотная характеристика 

Лабораторная работа 1 

СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМЫ 
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. 
ПОСТРОЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 

1.1. Цель работы 

Получить навыки построения структурной схемы по дифференциальному уравнению; освоить правила и методики преобразования 
структурных схем с помощью эквивалентных схем. 

1.2. Теоретическое введение 

Способы математического описания САУ 

Целью расчета систем автоматического управления (САУ) может 
быть решение одной из трех задач: 
задачи анализа, в которых по заданному входному воздействию и 
оператору САУ нужно исследовать закон изменения выходного сигнала; 
задачи синтеза, в которых по желаемому выходу требуется найти 
входной сигнал и оператор САУ (неопределенные параметры оператора); 
задачи идентификации, в которых по входному и выходному сигналам надо определить оператор САУ. 
В частности, для успешного решения двух первых задач необходимо иметь математическое описание САУ (совокупность математических моделей, объединенных в единую систему). Для этого требуется установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими ее поведение, а также исследовать установившиеся и переходные режимы. 
Математическое описание САУ начинается с разбиения ее на звенья и их математического (например, аналитического или графического) описания. Динамические свойства САУ в общем случае описываются системой дифференциальных уравнений (ДУ), для составления 
которой необходимо записать уравнение каждого звена в отдельности. 
Основная задача, которую необходимо решить при выводе уравнений звеньев системы, – установить допустимую степень идеализации при упрощении звеньев. Основной прием, к которому прибегают 
при упрощении и к которому следует стремиться при выводе уравнений звеньев, – линеаризация, т.е. описание линейными дифференциальными уравнениями. 

Дифференциальные уравнения (с соответствующими начальными 
условиями), в свою очередь, отражают изменение выходных сигналов 
при заданных законах изменения входных. Соответственно, если известен входной сигнал, выходной сигнал определяется в результате решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. 
В общем виде одномерная линейная нестационарная система 
управления описывается уравнением 

 
0
0
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

n
m

n
m
n
m
d y t
d x t
a t
a t y t
b
t
b t x t

dt
dt
+
+
=
+
+
…
…
 
(1.1) 

с начальными условиями 

 
(
1)
(
1)

0
0
0
0
0
0
( )
,
( )
,
,
n
n
y t
x
y t
y
y
t
y
−
−
=
=
=
…
, 
(1.2) 

где x(t) – входной сигнал; 
y(t) – выходной сигнал; 
t – время; 
an(t), …, a0(t), bm(t), b0(t) – коэффициенты левой и правой частей 
уравнения; 
n и m – порядки старших производных выходного и входного 
сигналов соответственно; 
t0 – момент начала функционирования системы. 

Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется 
линейной стационарной: 

 
0
0
d
( )
d
( )
( )
( )

d

n
m

n
m
n
m
y t
x t
a
a y t
b
b x t

t
dt
+
+
=
+
+
…
…
 
(1.3) 

или 

 

0
0

d
( )
d
( )

d
d

n
m
i
j

i
j
i
j
i
j

y t
x t
a
b

t
t
=
=
=
∑
∑
. 
(1.4) 

Описывающие поведение САУ дифференциальные уравнения, содержащие существенное количество входных и выходных переменных и записанные в виде (1.3), сложны для восприятия и решения. В 
этой связи линейные уравнения с постоянными коэффициентами 
принято записывать в символической (операторной) форме, для это
го вводится оператор дифференцирования 
d
d
p
t
≡
, при этом уравне
ние (1.3) принимает вид 

( ) ( )
( ) ( )
D p y t
M p x t
=
, 
(1.5) 

где D(p), M(p) – дифференциальные операторы левой и правой частей уравнения, которые являются соответственно собственным и 
входным оператором системы. 
Отношение входного оператора к выходному есть передаточная 
функция (ПФ) звена или системы W(p). 
Для наглядного представления сложной САУ как совокупности 
элементов и связей между ними используются структурные схемы. 
Структурной схемой САУ называется схема, изображенная в виде 
соединения ПФ составляющих ее звеньев. 
Структурная схема отображает строение САУ, наличие внешних 
воздействий и точек их приложения, пути распространения внешних 
воздействий и их выходную величину. Динамическое или статическое звено изображается в виде прямоугольника, в котором указывается W(p) звена или ее математическое выражение. Воздействия на 
систему и влияние звеньев друг на друга (сигналы) изображаются 
стрелками. В каждом звене воздействие передается только от входа 
звена к его выходу. 
Структурная схема может быть составлена по уравнению САУ в 
пространстве состояний или по ее дифференциальным уравнениям. 
При составлении структурной схемы удобно начинать с изображения 
задающего воздействия и располагать звенья, составляющие прямую 
цепь системы, слева направо до регулируемой величины, тогда основная обратная связь и местные обратные связи будут направлены 
справа налево. 
Различные способы преобразования структурных схем облегчают 
определение передаточной функции сложных САУ и дают возможность 
привести многоконтурную схему к эквивалентной ей одноконтурной. 

Построение эквивалентной структурной схемы 

Преобразование структурной схемы должно выполняться по правилам, основные из которых приведены в табл. 1.1. При выполнении 
преобразований следует каждое имеющееся в схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном. Затем следует выполнить 
перенос точек разветвления и сумматоров, чтобы в преобразованной 
схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять следует заменить эквивалентными звеньям, затем вновь 
может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров и т.д. 

Таблица 1.1 

Правила преобразования структурных и линейных систем 

Операция 
Исходная схема 
Эквивалентная схема 

Перестановка сумматоров  
или элементов сравнения 

Перестановка звеньев 

Перенос узла с выхода на вход сумматора 

Перенос узла со входа на выход сумматора 

Продолжение табл. 1.1 

Операция 
Исходная схема 
Эквивалентная схема 

Перенос узла с выхода на вход звена 

Перенос узла с входа на выход звена 

Перенос сумматора с выхода на вход звена 

Перенос сумматора с входа на выход звена 

Окончание табл. 1.1 

Операция 
Исходная схема 
Эквивалентная схема 

Замена звеньев прямой и обратной цепей 

Переход к единичной обратной связи 

Построение структурной схемы по ДУ 

Построение структурной схемы САУ по ее ДУ надо выполнять в 
следующем порядке: 
1. Выразить член со старшей производной из дифференциального 
уравнения и представить полученное соотношение с помощью сумматора, дифференцирующих и усилительных звеньев. 
2. Все низшие производные получить как сигналы на соответствующих выходах последовательно соединенных интегрирующих 
звеньев. 
3. Начальные условия представить как постоянные во времени 
воздействия, приложенные на выходах интегрирующих звеньев. 
Пример. Построить структурную схему системы, описываемой 
дифференциальным уравнением 

 
4
3
2
y
y
y
x
−
+
=
с начальными условиями 
0
0
(0)
, (0)
y
y
y
y
=
=
. 
Выразим из уравнения член со старшей производной: 

 
4
3
2
y
y
y
x
=
−
+
. 

Изобразим схему получения сигнала 4y(рис. 1.1). С помощью 
усилительного звена с коэффициентом усиления ¼ получим сигнал y. Построим теперь прямую цепь схемы, последовательно преобразовывая сигнал yинтегрирующими звеньями. Добавляя на выходах интегрирующих звеньев соответствующие начальные условия, 
получаем часть прямой цепи схемы, в которой присутствуют выходной сигнал y и его производные yи y. Изображаем сумматор, выходным сигналом которого служит 4y. На этом сумматоре можно 
реализовать равенство 

 
4
3
2
y
y
y
x
=
−
+
. 

Для этого добавляем к прямой цепи соединение дифференцирующего и усилительного звеньев, которые из выходного сигнала 2x позволяют получить нужный сигнал 2xна входе сумматора. Сигналы 3yи y 
подаем на сумматор с соответствующим знаком, используя обратные 
связи. Таким образом, получаем структурную схему (см. рис. 1.1), соответствующую заданному дифференциальному уравнению.