Теория автоматического управления : линейные системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2181 

Кафедра компьютерных информационных и управляющих 
систем автоматики 

З.Г. Салихов 
А.В. Сириченко 

Теория автоматического 
управления 

Линейные системы 

Учебное пособие 

Допущено учебно-методическим объединением по образованию 
в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению  
Металлургия 

Москва  2012 

УДК 621.77 
 
С16 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. В.А. Косарев 

Салихов, З.Г. 
С16  
Теория автоматического управления : линейные системы  : 
учеб. пособие / З.Г. Салихов, А.В. Сириченко. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2012. – 84 с. 
ISBN 978-5-87623-632-6 

Учебное пособие включает в себя разделы, содержащие теоретический 
материал и примеры решения типовых задач. В каждый раздел включены задачи для самостоятельной работы и контрольные вопросы. 
Цель пособия – ознакомить студентов с основными методами анализа 
и синтеза аналоговых линейных систем автоматического управления. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Металлургия» по специальности 220301. 

УДК 621.77 

ISBN 978-5-87623-632-6 
© Салихов З.Г., 
Сириченко А.В., 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных  
схем систем управления...........................................................................5 
2. Устойчивость линейных систем управления. Алгебраические  
критерии устойчивости..........................................................................28 
3. Устойчивость линейных систем управления. Частотные  
критерии устойчивости..........................................................................39 
4. Исследование устойчивости линейных систем при помощи  
метода D-разбиения................................................................................55 
5. Качество переходных процессов в линейных системах  
управления ..............................................................................................69 
Библиографический список...................................................................83 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данное пособие помогает овладеть современными методами анализа и синтеза линейных систем автоматического управления, включающими методы преобразования структурных схем, методы оценки 
устойчивости и расчёта показателей качества систем управления. 
Пособие предназначено как для использования при проведении 
практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов. 
Материал пособия подразделён на пять частей, в каждой из которых представлены соответствующие основные теоретические положения, приведены примеры решения типовых задач, а также содержатся задачи и вопросы для самостоятельной подготовки. 
 

1. СОЕДИНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ. 
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ  
СХЕМ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

Соединения звеньев бывают трех видов: последовательное, параллельное согласное и параллельное встречное. Рассмотрим каждый 
из видов соединения звеньев и особенности характеристик этих соединений. 

Последовательное соединение звеньев 

При последовательном соединении звеньев выходная величина 
одного звена является входной величиной другого. Если последовательно соединяются звенья i и k, то 

 
.
i
k
y
x
=
 

При последовательном соединении n звеньев (рис. 1.1) с передаточными функциями 
1
2
, 
, 
, 
n
W
W
W
…
 уравнения соединений имеют 
вид 

 
1
i
i
x
y
+ =
 

или 

 
( )
( )
1
.
i
i
X
p
Y
p
+
=
 

 

Рис. 1.1 

Так как для каждого звена 

 
( )
( )
( ),
i
i
i
Y
p
W
p X
p
=
 

то 

 
( )
( )
( )
1
.
i
i
i
X
p
W
p X
p
+
=
 

Составив такие уравнения для всех звеньев и исключив из них все 
промежуточные переменные, кроме входной величины 
( )
( )
1
X p
X
p
=
 

и выходной величины ( )
( )
n
Y p
Y
p
=
, можно получить 

 
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
 
 
.
n
Y p
W
p W
p
W
p X p
=
⋅…
  
(1.1) 

Таким образом, передаточная функция системы последовательно 
соединенных звеньев 

 
( )
( )
( )
( )

1

,

r

i
i

Y p
W p
W
p
X p
=
=
=∏
  
(1.2) 

т.е. равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. 
При этом модули комплексных коэффициентов перемножаются, а 
аргументы складываются. 
При последовательном соединении минимально-фазовых звеньев полученная система также будет минимально-фазовой, т.е. её передаточная 
функция не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости. 
Переходная и весовая функции последовательного соединения 
находятся по его передаточной функции и не могут быть получены 
простым суммированием характеристик отдельных звеньев. 
Пример 1.1. Последовательное соединение интегрирующего и 
инерционного звеньев (инерционно-интегрирующее звено). 
Если последовательно соединяются два звена с передаточными 

функциями 
( )
1

1
W
p
p
=
 и 
( )
2
1

k
W
p
pT
= +
, то передаточная функция 

соединения 

 
( )
( )
( )
(
)

1
2
.
1
k
W p
W
p W
p
p
pT
=
=
+
 

Этой системе соответствует двигатель постоянного тока с инерционной нагрузкой на валу, если входной величиной считать напряжение питания якоря, а выходной – угол поворота вала. 
Комплексный коэффициент усиления системы 

 
(
)
(
)
,
1
k
W
j
j
j T
ω = ω
+ ω
 

при 0 < ω < ∞  он описывает годограф, показанный на рис. 1.2, а. 

Рис. 1.2 

Построение этого годографа производится путем умножения соответствующих комплексных значений, найденных для каждой заданной 
частоты по годографам интегрирующего и инерционного звеньев. 
Преобразовав выражение для комплексного коэффициента усиления и выделив действительную и мнимую части, получим 

 
(
)
(
)
(
)

2
2 .

1
1

k
kT
W
j
j
T
T
ω
ω = −
−
+ ω
+ ω
 

Из этого выражения видно, что при 
0
ω →
 комплекс 
(
)
W
jω  уходит в бесконечность, перемещаясь по вертикальной прямой kT , проходящей через точку. Эта прямая является асимптотой для рассматриваемого годографа. 
Аналогично может быть построен и инверсный годограф (рис. 1.2, б). 
Переходная и весовая функции последовательного соединения 
находятся по его передаточной функции и не могут быть получены 
простым суммированием характеристик отдельных звеньев: 

 
( )
(
)
( )
1
0
1
1
1
;
1

t
T
k
h t
L
k t
T
e
t
p
pT
p

−
−
⎡
⎤
⎛
⎞
⎧
⎫
⎪
⎪
=
=
−
−
⎢
⎥
⎜
⎟
⎨
⎬
⎜
⎟
+
⎪
⎪
⎢
⎥
⎩
⎭
⎝
⎠
⎣
⎦
 

( )
( )
0
d
1
1
.
d

t
T
h
w t
k
e
t
t

−
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Эти характеристики показаны на рис. 1.2, в и г. Пунктиром показаны асимптоты 
( )
(
)
ah
t
k t
T
=
−
 и 
a
w
k
=
. 
При последовательном соединении дифференцирующего и инерционного звеньев получается инерционно-дифференцирующее звено, 
а соединение форсирующего и инерционного звеньев дает инерционно-форсирующее звено. 
Пример 1.2. Последовательное соединение двух инерционных звеньев. Передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев с 

передаточными функциями 
( )
1
1

1
1

k
W
p
pT
= +
 и 
( )
2
2

2
1
k
W
p
pT
= +
 имеет вид 

 
( )
( )
( )
(
)(
)

1 2
1
2
1
2

.
1
1
k k
W p
W
p W
p
pT
pT
=
=
+
+
 

Комплексный коэффициент усиления 

 
(
)
(
)(
)
1
2

,
1
1
k
W
j
j T
j T
ω =
+ ω
+ ω
 

где 
1 2
k
k k
=
. 
Полученные уравнения совпадают с уравнением колебательного 
звена для 
1
ζ ≥ . 
Частотные характеристики такого соединения звеньев показаны на 
рис. 1.3. Годограф комплексного коэффициента усиления (рис. 1.3, а) 
имеет такой же вид, как и для колебательного звена, однако точка пересечения его с мнимой осью лежит ближе к началу координат. 
Инверсный годограф (рис. 1.3, б) тоже имеет такой же вид, как и 
для колебательного звена. 
По передаточной функции находятся переходная и весовая функции 

 
( )
( )

1
2
1
2
0
1
2

1
1
;

t
t
T
T
T e
T e
h t
k
t
T
T

−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
=
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦

 

 
( )
( )
1
2
0
1
2

1
.

t
t
T
T
k
w t
e
e
t
T
T

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
 

Рис. 1.3 

При 
1
2
T
T
=
 или 
1
ζ =  решение получаем путём предельного уст
ремления 
2
1
T
T
→
 и раскрытия неопределённости типа 0

0 . В этом 

случае 

 
( )
( )
1
0
1
1
1
1

t
T
t
h t
k
e
t
T

−
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
=
−
+
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
 

и 

 
( )
( )
1
0
2
1

1
.

t
T
k
w t
te
t

T

−
=
 

Если 
2
0
T →
, то система вырождается в одно инерционное звено с 
постоянной времени 
1T . 
При 
2
1
0
T
T
<
<
 переходные и весовые функции лежат в промежуточной области между кривыми, полученными для 
2
0
T =
 и 
2
1
T
T
=
, 
(рис. 1.3, в, г). 

Параллельное согласное соединение звеньев 

При параллельном согласном соединении на входы всех звеньев 
подается одна и та же величина, а выходные величины суммируются 
(с соответствующими знаками). Если параллельно соединяются n 
звеньев, то входная величина 

 
1
2
 
 
,
n
x
x
x
x
=
=
= … =
  
(1.3) 

а выходная величина 

 

1

.

n

i

i

y
y

=
=∑
  
(1.4) 

Переходя к изображениям для передаточной функции параллельного согласного соединения звеньев получим 

 
( )
( )
( )

( )
( )
( )

1
1

.

n
n
i
i
i
i
i

Y p
Y
p
W p
W
p
X p
X
p
=
=
=
=
=
∑
∑
  
(1.5) 

Соответственно, переходная функция 

 
( )
( )

1

n

i
i

h t
h t

=
=∑
  
(1.6) 

и весовая функция 

 
( )
( )

1

.

n

i
i

w t
w t

=
=∑
  
(1.7) 

Схема параллельного согласного соединения n звеньев показана 
на рис. 1.4. 
Для комплексных коэффициентов усиления сложение комплексов 
требует представления их не в виде модуля и аргумента, а в виде вещественной и мнимой частей. Если 

 
(
)
( )
( ),
i
i
i
W
j
P
jQ
ω =
ω +
ω
  
(1.8) 

то, соответственно, 

 
(
)
(
)
( )
( )

1
1
1

.

n
n
n

i
i
i
i
i
i
W
j
W
j
P
j
Q

=
=
=
ω =
ω =
ω +
ω
∑
∑
∑
  
(1.9) 

Рис. 1.4 

При параллельном соединении устойчивых звеньев результирующее звено также оказывается устойчивым. Это вытекает из того, 
что общий знаменатель суммы дробей не может иметь иных корней, 
кроме корней слагаемых, и, следовательно, отсутствие полюсов слагаемых в правой полуплоскости исключает возможность появления 
таковых в сумме. 
Иначе обстоит дело с условием минимально-фазовости. Сумма 
минимально-фазовых передаточных функций может иметь нули в 
правой полуплоскости и, следовательно, параллельное согласное соединение ряда минимально-фазовых звеньев может дать неминимально-фазовую систему. Наоборот, при параллельном соединении 
неминимально-фазовых устойчивых звеньев может получиться минимально-фазовая устойчивая система. 
Примерами параллельного соединения более простых звеньев являются форсирующее звено, состоящее из пропорционального и дифференцирующего звеньев, и инерционно-форсирующее звено, которое 
можно получить, соединяя параллельно инерционное и инерционнодифференцирующее звенья или инерционное и пропорциональное. 
Пример 1.3. Определим частотную характеристику согласного 
параллельного соединения двух инерционных звеньев, включаемых с 
одинаковыми знаками (рис. 1.5, а) 

 
(
)
1
2

1
2

.
1
1
k
k
W
j
j T
j T
ω =
+
+ ω
+ ω