Теория автоматического управления. Раздел : линейные системы

УДК 681.5 

С16 

АННОТАЦИЯ 

В результате выполнения лабораторных работ, включенных в 
лабораторный практикум, студенты должны получить практические 
навыки: 
построения 
частотных 
характеристик 
систем 
автоматического управления, оценки устойчивости с применением 
различных критериев, использования методики анализа качества 
системы, а также умение анализировать полученные результат. 

Лабораторный практикум предназначен для студентов, 
обучающихся по специальности 2102. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС) 2001 

САЛИХОВ Зуфар Гарифулович 
ГОЛУБЕВ Василий Иванович 
ШАПКАРИНА Галина Григорьевна 

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Раздел: Линейные системы 

Лабораторный практикум 
для студентов специальности 2102 

Рецензент доц., к.т.н. Лапшин И.В. 

Редактор Фролова С. В. 

Объем 32 стр.  
Тираж  80 экз. 

Заказ 
Цена “С” 
Регистрационный   № 351 

Московский государственный институт стали и сплавов, 
117936 Москва, Ленинский пр-т, 4 
Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС, ул. Орджоникидзе, 8/9 

CОДЕРЖАНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ ………………………………………………….. 4 
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ ……………………... 4 
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1. Исследование частотных 
характеристик элементов САУ ………………………. 5 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2. Исследование устойчивости  
САУ по критерию Михайлова ………………………. 9 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3. Исследование устойчивости  
САУ по критерию Найквиста ……………………….. 12 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Построение границы  
устойчивости САУ …………………………………… 15 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5. Исследование динамических  
свойств объекта и регулятора ……………………….. 20 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6. Исследование качества САУ … 25 
ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………….. 29 
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ………………………….. 31 

 
3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Лабораторные работы выполняются на ПК, каждому студенту 
в зависимости от уровня подготовки выдается преподавателем задание. Студент вводит исходные данные в машину, исследует свою 
разновидность структурной схемы САУ, получает ее количественные 
характеристики и делает выводы. 

Защита работ проводится индивидуально. 
Продолжительность каждой лабораторной работы составляет 
2 часа. 

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ 

При работе на ПК необходимо соблюдать следующие правила техники безопасности. 
1. ПК и подключенные к нему устройства перед эксплуатацией 
должны быть заземлены. 

2. Запрещается эксплуатировать ПК при отсутствии или неисправности сетевой вилки и шнура питания. 

3. Включение в сеть и отключение от сети ПЭВМ производится 
только при отключенном сетевом выключателе. 

4. Включение и выключение ПЭВМ производится только обслуживающим персоналом. 

Отчет по каждой лабораторной работе должен 
содержать 

1. Название. 
2. Цель работы. 
3. Рабочие формулы. 
4. Результаты расчета в виде таблиц, построенные кривые. Таблицы 
и кривые должны иметь номер и название. 

5. Выводы.

 4 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1  

Исследование частотных 
характеристик элементов САУ 

1.1. Цель работы 

Овладеть 
методикой 
построения 
амплитудно-частотных 
(АЧХ) и амплитудно-фазовых (АФХ) характеристик элементов систем автоматического управления (САУ). 

1.2. Теоретическое введение 

Частотные характеристики широко применяются при анализе 
и синтезе систем автоматического регулирования (САР) 

Частотную характеристику замкнутой или разомкнутой системы (или отдельного звена) получают при подаче на вход системы 
гармонического воздействия при изменении его частоты от нуля до 
бесконечности и сохранения постоянной амплитуды входного сигнала во всем диапазоне изменения частот. 

При подаче на вход системы гармонического сигнала установившееся колебание на выходе 
)
(
вых
ω
j
X
 определяется произведением изображения Фурье входной функции на комплексную частотную 
функцию 
: 
)
( ω
j
W

)
(
)
(
)
(
вх
вых
ω
⋅
ω
=
ω
j
W
j
X
j
X
. 

Вектор 
)
( ω
j
W
  при изменении своего значения от 0 до +∞ 
описывает на плоскости комплексной переменной кривую, представляющую собой амплитудно-фазовую характеристику системы (АФХ) 
и вычисляемую по формуле: 

 
, 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
=
ω
+
ω
=
ω
jf
e
A
Q
P
j
W

где P(ω) – вещественная частотная характеристика системы; 

Q(ω) – мнимая частотная характеристика системы; 
A(ω) – амплитудно-частотная характеристика системы; 
f(ω) – фазо-частотная характеристика системы. 

 
5 

Соотношения между этими характеристиками определяются 
выражениями: 

)
(
)
(
)
(
2
2
ω
+
ω
=
ω
Q
P
A
;   
)
(
)
(
arctg
)
(
ω
ω
=
ω
P
Q
f
; 

 
P(ω) = A(ω) cos f (ω);   Q(ω) = A(ω) sin f (ω). 

Подобные характеристики могут быть получены как для 
замкнутой системы, так и для разомкнутой, а также для отдельных 
звеньев системы либо экспериментально, либо аналитически путем 
замены в передаточной функции W(p) звена или системы оператора p 
на jω. 

Преимущества частотных характеристик по сравнению с 
дифференциальными уравнениями заключаются в том, что они позволяют косвенно, т. е. без решения дифференциального уравнения 
системы, судить о поведении последней в отношении устойчивости и 
показателей качества, а также рассчитать средства коррекции системы для получения заданных показателей. 

1.3. Исходные данные 

1. Дана передаточная функция Wo(p) реактора по каналу управления 
«расход топлива – температура в реакторе». 

)1
)(
1
(
)
(
о
о

о
о
о
+
′′
+
′
′′
′
=
p
T
p
T
K
K
p
W
, 
(1.1) 

где 
 – коэффициенты передачи реактора; 
о
о и K
K
′′
′

о
о и T
T
′′
′
 –постоянные времени реактора. 

Подставив p = jω и введя обозначения 

W
T
T
K
K
T
T
K
K
=
ω
=
′′
=
′′
=
′
=
′
;2
;2
;1
;1
о
о
о
о
, 

получим вещественную P(ω) и мнимую Q(ω) составляющие, необходимые для построения АФХ: 

⎭
⎬
⎫
1))
+
2
∗
2
2
(
∗
1)
+
2
∗
2
1
)/((
∗
2
+
∗
1
2(
∗
1
 =
ω
(
1 + 2
∗
2
2
(
∗
1)
 + 2
∗
2
1
2)/((
 ∗ 2
 ∗ 1
 − 
2(1
∗
1
 =
 
ω
.
^
^
^
^
)
));
^
^
^
^
^
)
(
W
Τ
W
Τ
W
Τ
W
Τ
Κ
Κ
Q
W
Τ
W
Τ
W
Τ
Τ
Κ
Κ
P
(1.2) 

Программа на языке “БЭЙСИК” для построения АФХ имеет 
вид: 
6 
 

REM “ АФХ ОБЪЕКТА” 
PRINT “ВВЕДИТЕ К1, К2,Т1, Т2” 
INPUT “К1,К2,Т1,Т2” 
40    W=0.0002 
50    P= 
60    Q= 
70     A=SQR (P^2+Q^2) 
80     PRINT  W,  P,Q,A 
90     USING “P=#.#  Q=#.#  A=#.#  W=#.#“ P Q A W 
100    W=W*50 
       IF    W-1000000<0    THEN  50 
      END 

2. Дана передаточная  функция ПИД-регулятора, который используют при управлении объектами цветной металлургии с часто 
меняющимися параметрами входных сигналов: 

р
T
p
T
K
p
W
⋅
+
+
=
д
и
р
1
)
(
, 
(1.3) 

где Kp – коэффициент передачи регулятора; 

Ти и Тд – постоянные времени регулятора. 

Подставив p = jw и введя обозначения 

3
р
K
K =
; 
3
и
Т
Т =
;  
, 
4
д
Т
Т
=

получим составляющие P(W) и Q(W), необходимые для построения 
АФХ регулятора: 

 
. 
(1.4) 

⎭
⎬
⎫
+
−
=
=
*W
 T
*W 
/T
 
Q 
,
 K
P 
4
3
1
3

1.4. Порядок выполнения работы 

1. Ввести программу в машину. 

При вводе операторов 50 и 60 использовать соответствующие части формулы (1.2) и (1.4). 
Начальное значение W = 0,0002 в операторе 40 и коэффициент 50 в операторе 100 указаны приближенно и подбираются экспериментально, чтобы получить характеристику во всех квадрантах плоскости. 

 
7 

2. По значениям коэффициентов K1, K2, K3, T1, T2, Т3 и Т4, 
приведенным в табл. П.1, получить АФХ и ФЧХ системы. 

3. Определить влияние коэффициентов на положение АФХ и 
АЧХ. Для этого ввести в программу следующие значения коэффициентов: 

2
5
и
1
5,0
;2
5,0
;1
5,0
T
T
K
K
. 

1.5. Обработка результатов эксперимента 

1. Полученные на экране дисплея данные представить в отчете в виде таблиц. 

2. Построить АФХ и АЧХ. 
3. Сделать выводы о направлении перемещения образующей 
кривую точки. 

1.6. Контрольные вопросы 

1. Для чего применяют частотные характеристики? 
2. Как получают частотные характеристики? 
3. В какой плоскости строят частотную характеристику? 
4. Что показывает АФХ? 
5. Как взаимосвязаны АЧХ и АФХ? 

8 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 

Исследование устойчивости САУ по 
критерию Михайлова 

2.1. Цель работы 

Овладеть методикой определения устойчивости САУ по критерию Михайлова. 

2.2. Теоретическое введение 

Одним из главных требований, которое предъявляют к САУ, 
является требование устойчивости системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность 
действительных частей всех корней ее характеристического уравнения V(p), т. е. все корни должны располагаться в левой полуплоскости комплексной переменной. 

Правила, позволяющие определить знаки действительных 
частей корней характеристического уравнения системы, или расположение корней относительно мнимой оси, называются критериями 
устойчивости. 

Последние делятся на алгебраические и частотные. Частотными критериями являются критерии Михайлова и Найквиста. 

Критерий Михайлова основан на построении графика функции V(jω), получаемого при изменении ω от 0 до ∞ и называемого 
годографом. Функцию V(jω) получают подстановкой p = jω в характеристическое уравнение системы V(p). 

КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА 

Для устойчивости системы необходимо и достаточно: 
– чтобы при возрастании ω от 0 до ∞, вектор V(jω) повер
нулся на угол 
2
π
n
, где n – степень характеристического 

уравнения V(p) = 0; 

или,  

 
9 

– если характеристический годограф V(jω) при изменении ω 
от 0 до ∞, начиная с положительной части действительной 
оси, обходит последовательно против часовой стрелки n 
квадрантов.  

2.3. Исходные данные 

1. Дано характеристическое уравнение 2-го порядка системы, 
состоящей из инерционного объекта регулирования 1-го порядка с 
ПИ-регулятором: 

 
. 
 (2.1) 
0
)
(
о
и
о
о
и
2
u
о
=
′
+
′
+
+
′
K
p
Т
K
K
Т
p
Т
Т

После замены p = jω, 
3
и
3
,1
,1
и
р
о
о
T
T
K
K
T
T
K
K
=
=
=
′
=
′
 по
лучаем выражение для вычисления координат X и Y точек, по которым строят годограф Михайлова: 

 
X= –T1*T3*W^2 + K1; Y = W(T3 + K1*K3*T3). 
(2.2) 

2. Дано характеристическое уравнение 3-го порядка системы, 
состоящей из инерционного объекта регулирования 2-го порядка с 
ПИ-регулятором: 

 
. (2.3) 
0
)
(
)
(
о
о
р
p
о
о
р
2
р
о
р
о
3
о
р
=
′′
′
+
′′
′
+
+
′′
+
′
+
′
K
K
p
Т
K
K
K
Т
p
Т
Т
Т
Т
p
Т
Т

После подстановок получим: 

 
. 
(2.4) 

⎭
⎬
⎫
+
+
−
=
+
+
−
=
*W
*T
*K
*K
K
T
*W^
*T
*T
T
Y
, 
*K
K
*W^
*T
T
*T
T
X
)
3
3
2
1
3
(
3
2
1
3
2
1
2
)3
2
3
1
(

3. Дано характеристическое уравнение 4-го порядка системы: 

+
′
+
′
+
′′
′
+
′′
⋅′
⋅
3
и
о
и
о
о
о
4
о
о
и
)
(
p
T
T
T
T
T
T
p
T
T
T

 
 
(2.5) 
.0
)
(
p
2
и
о
о
=
+
+
+
′′
+
′
+
K
p
p
T
T
T

После подстановок получим: 

 
. 
(2.6) 

⎭
⎬
⎫
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
W 
)*W^
*T
T
*T
T
*T
(T
 
W
Y
K
)*W^
T
T
(T
*W^
*T
*T
T
W
X
3
2
1
3
2
3
1
)
(
3
2
3
2
1
4
3
2
1
)
(

10 
 

2.4. Порядок проведения работы 

1. Составить программу для построения годографа Михайлова, используя уравнениям (2.2), (2.4), (2.6). Задать ряд значений ω в 

диапазоне от 0,0002 до 10
. Множитель при w выбрать от 1,5 до 50 
в зависимости от вида кривой во всех квадрантах, через которые 
проходит годограф. 

10

2. Для расчета по уравнениям (2.2) и (2.4) взять данные из 
табл. П.1. Определить устойчивость САУ. 

3. Для системы, представленной уравнением (2.6), аналитически установлено, что она находится на границе устойчивости, т. е. 
годограф проходит через начало координат при следующих условиях: 

02
,0
3
;1,0
2
;5,0
1
,
10
3
=
=
=
=
T
T
T
K
. 

3.1. Получить годограф Михайлова для этих значений коэффициента и проверить правильность аналитического расчета.  

3.2. Получить годограф Михайлова для системы, описанной 
уравнением (2.6), при: 

а) 
02
,0
3
;1,0
2
;5,0
1
;5
3
=
=
=
=
T
T
T
K
; 

б) 
02
,0
3
;1,0
2
;5,0
1
;
20
3
=
=
=
=
T
T
T
K
. 

3.3. Определить устойчивость этих систем. 

2.5. Обработка результатов эксперимента 

1. Полученные на экране дисплея данные представить в виде 
таблиц. Выбрать нужное количество точек для обеспечения требуемой точности.  

2. Для каждого варианта САУ построить годограф Михайлова 
и указать значение частоты, соответствующее данной точки. 

3. Сделать вывод об устойчивости исследованных систем. 

2.6. Контрольные вопросы 

1. Чем определяется устойчивость системы? 
2. Где расположены действительные корни неустойчивой системы? 
3. Что называется критерием устойчивости? 
4. Какие бывают критерии устойчивости? 
5. Как получить годограф Михайлова? 
6. Как формулируется критерий Михайлова? 

 
11