Строительная механика : расчет перемещений в статически определимых рамах при тепловом воздействии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 3033 

Кафедра инжиниринга технологического оборудования

В.Е. Кондратенко 
В.В. Девятьярова 
А.А. Герасимова 

Строительная механика

Расчет перемещений в статически 
определимых рамах при тепловом воздействии

Методические указания  

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2016 

УДК 539.3/8 
 
К64 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. А.Н. Панкратенко 

Кондратенко В.Е. 
К64  
Строительная механика : Расчет перемещений в статически 
определимых рамах при тепловом воздействии : метод. указ. / 
В.Е. Кондратенко, В.В. Девятьярова, А.А. Герасимова. – М. : 
Изд. Дом МИСиС, 2016. – 20 с. 
 

Приведены расчетно-графические задания для самостоятельной работы 
студентов по дисциплине «Строительная механика». Рассмотрен пример решения расчетно-графических заданий и даны методические указания для их 
выполнения. 

УДК 539.3/8 

 
 В.Е. Кондратенко, 
В.В. Девятьярова, 
А.А. Герасимова, 2016 
 
 НИТУ «МИСиС», 2016 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Расчет статически определимых стержневых систем 
при тепловом воздействии ....................................................................... 4 
2. Задание................................................................................................. 11 
Приложение ............................................................................................. 12 
 

1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ 
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ТЕПЛОВОМ 
ВОЗДЕЙСТВИИ 

Под тепловым воздействием понимают изменение температуры 
крайних волокон стержня. Обычно принимают изменение температуры по высоте поперечного сечения стержня линейным. 
В статически определимых системах тепловое воздействие вызывает удлинение (укорочение) стержней и их искривление. При этом 
внешняя нагрузка и реакции равны нулю. Следовательно, внутренние силовые факторы в стержнях системы отсутствуют. Расчет систем сводится к определению перемещений. 
Для вывода формулы, определяющей перемещения сечений 
стержней, можно использовать принцип возможных перемещений. 
Пусть в заданной системе (з.с.) изменилась температура наружных волокон на t1, внутренних на t2 < t1 (рис. 1.1, а). Волокна, в которых изменилась температура, отмечают пунктирной линией. 
Для определения линейного перемещения сечения K Δkt приложим 
в т. K единичную силу 
k
F  = 1 (для определения углового перемещения сечения следует приложить единичный момент) (рис. 1.1, б). 
В стержнях системы возникнут внутренние усилия 
k
M
 и 
k
N . 
Приняв за возможные перемещения системы перемещения от теплового воздействия, запишем сумму работ внешних и внутренних сил: 

 
1·
kt
  – Σ∫ 
k
M d
t  – Σ∫ 
k
N d λt  = 0, 
(1.1) 

где dφt и dλt – деформации соответственно искривления и удлинения 
элемента, вызванные температурным воздействием. 
Рассмотрим деформацию элемента стержня длиной dx (рис. 1.2). 
Верхнее волокно элемента удлинится на величину (αt1dx), нижнее – 
на (αt2dx), где α – коэффициент линейного расширения материала 
стержня. 
Считая сечение высотой h симметричным, получаем значение 
продольной деформации оси стержня 

 
dλt = αt0dx, 
(1.2) 

где 
1
2
0
 
2
t
t
t


. 

Рис. 1.1 

 
  

Рис. 1.2 

Деформация искривления или угол поворота сечения 

 
dφt 
1
2
 t dx
t dx
h


 

 = 
t dx
h
 
, 
(1.3) 

где t' = t1 – t2. 
Подставив (1.2) и (1.3) в (1.1), получим 

 
kt
 = Σ
t
h
 

k
M dx

 + Σαt0∫
.
k
N dx

 
(1.4) 

Интегралы в выражении (1.4) представляют собой площади эпюр 
изгибающих моментов 
k
M  и продольных сил 
k
N . 
Для практического использования формулу (1.4) можно представить в следующем виде: 

 
 
kt

 = 

k
M
t
h
  

 + Σα 0
,
k
N
t 
 
(1.5) 

где t' = |t1 – t2| – разность температур крайних волокон стержня по 
модулю; 
t1, t2 – изменения температур крайних волокон стержня; 

1
2
0
 
 
2
t
t
t


 
– температура нейтральной оси стержня; 

Ω
k
M  – площадь единичной эпюры 
k
M ; 

Ω
k
N
 – площадь единичной эпюры 
k
N . 

Эпюры 
k
M  и 
k
N  строятся от действия единичной силы (или единичного момента), приложенной в точке искомого перемещения K в 
направлении этого перемещения. 
Площадь эпюры Ω
k
M  в формуле (1.5) берется со знаком плюс, 

если эпюра 
k
M  расположена на более нагретых волокнах стержня 
(температура и момент искривляют стержень в одну сторону). 
Произведение t0Ω
k
N  имеет знак плюс, если t0 и 
k
N  имеют одинаковые знаки. 
Знак суммы в формуле (1.5) распространяется только на стержни, 
температура которых изменяется (стержни отмечаются пунктирной 
линией). 
Пример 1. Определить перемещения опор рамы и угол поворота 
сечения в т. А при тепловом воздействии на раму (рис. 1.3). Высота 
сечения h = 0,25 м. 

1. Определяем значения 
1
2
0
  
2
t
t
t


и t' = |t1 – t2| для каждого 

стержня рамы (см. рис. 1.3). 
2. Точка А может перемещаться только горизонтально. Прикладываем в т. А единичную силу 
A
F  = 1 и строим единичные эпюры 
A
M
 и 

A
N
 (рис. 1.4). 

Рис. 1.3 

 

Рис. 1.4 

3. Для каждого стержня рамы подставляем соответствующие значения в формулу (1.5), учитывая при этом правило знаков (табл. 1.1): 

 




20
1
10
3 4
0
4 4
15 1 4
0,25
2
0,25
A

ED
AE

x







 



 









 

 
4
20
1
0
5
4
4 4
0.
3
0,25
2

EB
DC








 


 











 

Таблица 1.1 

Участок 
Первое слагаемое 
Второе слагаемое 

АЕ 
Эпюра M  на горячем 
волокне – «плюс» 
t° = 0 
0 

ED 
Эпюра M  на холодном 
волокне – «минус» 
t° = +15 
N  = –1 
Знак «минус» 

ЕВ 
Ω M  = 0 
t° = +5 
N  = -4/3 
Знак «минус» 

DC 
Эпюра M  на холодном 
волокне – «минус» 

N  = 0 
0 

Результат вычислений (α = 12  10–6 град–1): 

 хА = –886,67  α = –886,67  12  10–6 = –1,06  10–2 (м) = –1,06 см. 

Знак минус означает, что перемещение т. А направлено в сторону, 
противоположную 
A
F . 

4. Перемещение опоры С. Прикладываем в т. С силу 
C
F  = 1 и 

строим эпюры 
C
M  и 
C
N
 (рис. 1.5). 

 

Рис. 1.5 

 
20
1
10
1
7
4 3
0
4 4
0
0
5
4
0,25
2
0,25
2
3
C

AE
ED
EB

y










 
 





  

















 



2
0
10 1 4
153
0,18 10
м.

DC



 


 
  


 

5. Перемещение опоры В. Прикладываем в т. В горизонтальную 
силу 
B
F  = 1 и строим эпюры 
B
M  и 
B
N  (рис. 1.6). 

 

Рис. 1.6 

 




20
30
1
4 4
15 1 4
4 4
0
0,25
0,25
2
B

ED
EB

x
 

 



 

  




 








 

 
2
20
1 4 4
0
2300
2,76 10
м.
0,25
2

DC


 



 

 
  






 

6. Для определения угла поворота сечения на опоре А прикладываем в сечении 
A
m  = 1 и строим эпюры 
A
M  и 
A
N  (рис. 1.7). 

3
20
1
1
1 3
0
0
5
4
126,67
1,57 10
рад.
0,25
2
3
A

AE
EB


 
 



  
 


   

 
  











 

Рис. 1.7 

2. ЗАДАНИЕ 

Определить линейные перемещения опор и угловое перемещение 
сечения А рамы от теплового воздействия. Данные для расчета взять 
из табл. 2.1. 

Таблица 2.1 

ФИО студента а, б, в, 
г 
д, е, ж, 
з 
и, й, к, 
л 
м, н, 
о, п 
р, с, 
т, у 
ф, х, 
ц, ч 
ш, щ, 
ъ, ы 
ь, э, 
ю, я 

№ схемы 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 

tверх или  
tлев, град 
–10 
–15 
–20 
–10 
–15 
–20 
–15 
–10 

tниж или tправ, 
град 
+15 
+20 
+25 
+30 
+25 
+20 
+25 
+15 

tнар, град 
+10 
15 
8 
6 
7 
12 
14 
9 

l, м 
1,5 
1,6 
1,8 
2,0 
1,9 
2,1 
2,2 
2,3 

h, м 
1,5 
1,6 
1,7 
1,8 
1,9 
2,0 
2,1 
2,2