Строительная механика : расчет статически определимых и неопределимых рам при кинематическом воздействии

Москва  2018

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА 
 
Кафедра инжиниринга технологического оборудования

В.Е. Кондратенко
В.В. Девятьярова
А.А. Герасимова

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ  
И НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ 
ВОЗДЕЙСТВИИ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3460

УДК 624.04:622 
 
К64

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук проф. А.Н. Панкратенко

Кондратенко В.Е.
К64  
Строительная механика: расчет статически определимых 
и неопределимых рам при кинематическом воздействии : учеб. 
пособие / В.Е. Кондратенко, В.В. Девятьярова, А.А. Герасимова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 27 с.
ISBN 978-5-907061-29-3

Рассмотрен расчет статически определимых и неопределимых рам при кинематическом воздействии. Приведены теоретические основы расчета рам при 
осадке опор и неточности изготовления элементов составных конструкций. 
Даны примеры расчета рам. Приведены задания для выполнения домашних 
расчетно-графических работ.
Пособие предназначено для студентов направления 21.05.04 «Горное 
дело», но может быть использовано также студентами других специальностей 
по интересующим их разделам изучаемого курса.

УДК 624.04:622

 В.Е Кондратенко,
В.В. Девятьярова,
А.А. Герасимова, 2018
ISBN 978-5-907061-29-3
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................................................................................................4
1. Расчет статически определимых рам при кинематическом 
воздействии................................................................................................7
2. Расчет статически неопределимых рам при кинематическом 
воздействии..............................................................................................12
3. Задание .................................................................................................19
Библиографический список ...................................................................26

ВВЕДЕНИЕ

Под кинематическим воздействием понимают смещение связей 
(осадки опор) или неточность изготовления элементов составных 
конструкций.
При расчетах сооружения реальная конструкция представляется в 
виде расчетной схемы. Расчетная схема отражает основные особенности поведения сооружения под нагрузками. Значительное число расчетных схем может быть представлено в виде плоских систем, состоящих 
из прямолинейных стержней. Они подразделяются на фермы и рамы. 
В данном учебном пособии рассматривается расчет рам. Рамы (в 
отличие от ферм) – это стержневые системы, которые теряют свою 
геометрическую неизменяемость при замене всех жестких узлов на 
шарниры.
Степенью свободы плоской стержневой системы называется количество независимых геометрических параметров, определяющих ее 
положение на плоскости.
Система называется геометрически неизменяемой, если изменение 
формы возможно только в результате деформации ее элементов. Если 
система может изменять форму без деформации её элементов, она называется геометрически изменяемой. Система называется мгновенно 
изменяемой, если она допускает бесконечно малые перемещения точек без деформации ее элементов.
Диск – элемент (стержень) или система элементов из абсолютно 
твердого материала, не изменяющая своей формы и размеров. Имеет 
в плоскости три степени свободы.
Кинематическая связь – устройство, отнимающее у диска одну 
степень свободы. Используются шарниры, стержни с шарнирами по 
концам.
Цилиндрический простой шарнир – устройство, соединяющее два 
диска и эквивалентное двум кинематическим связям.

 
а 
б

Рис. 1.1

Кратный (сложный шарнир) соединяет три или более дисков 
(рис. 1.1, б). Эквивалентен Ш простым шарнирам, где Ш = n – 1, n – 
число соединяемых стержней.
Степень свободы системы

W = 3D – 2Ш – Co – (3К),

где D – число дисков;
 
Ш – число простых шарниров;
 
Co – число опорных стержней;
 
K – число замкнутых контуров (при их наличии).
1. При W > 0 система геометрически изменяема (при W = 1 – механизм).
2. При W = 0 – при правильной расстановке связей система геометрически неизменяема и статически определима.
3. При W < 0 – система имеет избыточное число связей и при правильной расстановке последних геометрически неизменима и статически неопределима.
Условие W ≤ 0 является необходимым признаком геометрической 
неизменяемости.
Правила образования геометрически неизменяемых систем.
1. К диску присоединен узел с помощью двух стержней.
2. Два диска соединяются шарниром и стержнем, ось которого не 
проходит через шарнир (рис. 1.2, б) или тремя стержнями, оси не параллельны и не пересекаются в одной точке (рис. 1.2, в).

a
б
в

д
г

Рис. 1.2

При нарушении упомянутых правил система будет мгновенно изменяемой и не может быть сооружением.
3. Три диска могут быть соединены тремя простыми (или фиктивными) шарнирами, не лежащими на одной прямой.

Статически определимые и статически 
неопределимые системы

Статически определимыми называются системы, в которых реакции связей и внутренние силовые факторы могут быть определены с 
помощью только уравнений статического равновесия (W = 0).
В противном случае системы называются статически неопределимыми. Для решения таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения, учитывающие деформации стержней. Для таких 
систем W < 0.
Статически неопределимая система содержит избыточное число 
связей (лишние связи) сверх минимально необходимых, определяющих геометрическую неизменяемость системы. Из такой системы путем удаления лишних связей может быть образована статически определимая система (она называется основной системой).

1. РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ 
РАМ ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ 
ВОЗДЕЙСТВИИ

Рассмотрим первый вариант кинематического воздействия. При 
смещении связей в статически определимых системах внутренних силовых факторов не возникает. Действительно, при отсутствии внешней нагрузки реакции связей равны нулю и, следовательно, равны 
нулю внутренние силы.
Расчёт статически определимых рам сводится к определению перемещений (линейных или угловых) сечений стержней. Эта задача 
может быть решена чисто геометрически, однако методом строительной механики она решается значительно проще.
Воспользуемся принципом возможных перемещений. Приложим 
в точке искомого перемещения K в направлении перемещения обобщенную единичную силу (единичную силу 
1
k
F =  при определении 
линейного перемещения или единичный момент 
1
k
m =  при определении углового перемещения сечения). В связях рамы возникнут реакции 
i
R , а в стержнях – внутренние силовые факторы M , Q, N . Дадим системе возможные перемещения, выбрав в качестве последних 
заданное смещение i-х связей в направлении этих связей 
i
C .
Согласно принципу возможных перемещений сумма работ внешних сил А и внутренних сил W на возможных перемещениях системы 
равна нулю: 

A + W = 0.

Поскольку кинематическое воздействие – смещение связей на Сi 
не вызывает внутренних сил и, следовательно, деформаций в стержнях рамы, работа внутренних сил M , Q , N  равна нулю (W = 0).
Работа внешних сил A складывается из работы единичной обобщенной силы и работ реакций:

0
k
i
k
i
A
F
R C
=
⋅∆ +
=
∑
,

где ∆k – искомое перемещение, т.к. 
i
R  – реакция i-й связи от силы 

1
k
F = .

Учитывая, что 
1
k
F = ,

(
)
i
k
i
R C
∆ = −∑
.

В последнем выражении произведение (
)
i
i
R C
 имеет знак «плюс» 
если реакция 
i
R  и перемещение связи Сi направлены в одну сторону 
и знак «минус», если в разные стороны.
Пример: Для рамы, изображенной на рис. 1.3, определить перемещение опор А и С, горизонтальное перемещение и угол поворота 
сечения К, если опора В переместилась на С1 = 0,06 м, опора С на 
С2 = 0,05 м.

А

К

В
С

3
4

2

2

С1
С2

Рис. 1.3

Точка А может перемещаться только по горизонтали. Приложим в 
точке А единичную горизонтальную силу 
1
A
F
=  и определим реакции связей (рис. 1.4).

С

V¯B = 4/3

H¯C = 1

V¯A = 4/3

F¯A = 1

В

А

Рис. 1.4

0
X =
∑
, 
1
C
H
= ,

0
B
M
=
∑
 
4 / 3
A
V
=

0
Y =
∑
, 
4 / 3
B
V
=

Для равновесия рамы необходимо, чтобы момент пары сил 

(
,
)
A
C
F
H
, равный 4, уравновешивался моментом пары (
,
)
A
B
V
V
. Отсюда определяем направление и величину реакций 
A
V  и 
B
V .
Вычисляем перемещение точки А:

(
)
(
)

(
)

1
2

1
2
4 / 3
1
4 / 3 0,06
1 0,05
0,13 м.

i
C
B
A
A
i
X
R C
V
C
H
C

C
C

∆
=
= −
= −
⋅
−
⋅
=

= − −
− ⋅
=
⋅
+ ⋅
=

∑

Аналогично определяем вертикальное перемещение точки С, при
ложив в точке С 
1
C
F
=  (рис. 1.5).

H¯C = 0

F¯C = 1

V¯A = 4/3

V¯B = 7/3

В
C

A

Рис. 1.5

0
X =
∑
, 
0
C
H
=

0
B
M
=
∑
 
7 / 3
B
V
=

0
Y =
∑
, 
4 / 3
A
V
=

(
)
(
)
1
2
0
7 / 3 0,06
0,14
i
B
C
i
Y
R C
V
C
C
= −
= −
⋅
+
⋅
= −
⋅
= −
∑
 м.

Определяем горизонтальное перемещение точки К, приложив 
1
k
F =  
в точке К (рис. 1.6).

H¯C = 1

F¯К = 1
V¯A = 2/3

V¯B = 2/3

К

В
C

A

Рис. 1.6

После определения реакций имеем:

(
)
(
)
1
2
0

2 / 3 0,06
1 0,05
0,09 м.

i
C
A
k
i
B
X
R C
V
V
C
H
C
= −
= −
⋅
−
⋅
−
⋅
=

=
⋅
+ ⋅
=

∑

Для определения угла поворота сечения К приложим в точке К 

единичный момент 
1
k
m =  (рис. 1.7)

H¯C = 0

М¯К = 1
V¯A = 1/3

V¯B = 1/3

В

К

C

A

Рис. 1.7

0
X =
∑
, 
0
C
H
=

0
Y =
∑
, 
A
B
V
V
= −
. 

Момент пары (
,
)
A
B
V
V
 должен равняться 1. 

Отсюда 
A
V  и 
B
V  равны 1/3.

(
)
(
)
1
2
0
0
1/ 3 0,06
0,02
i
A
B
k
i
R C
V
V
C
C
ϕ = −
= −
⋅
−
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
 рад.