Теоретическая механика : cтатика и кинематика

№ 814

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра теоретической механики и сопротивления
материалов

В.Н. Шинкин

Теоретическая механика

Статика и кинематика

Курс лекций

Рекомендовано редакционноиздательским
советом университета

Москва  Издательство ´УЧЕБАª
2008

УДК 531 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин В.Н. 
Ш62  
Теоретическая механика. Статика и кинематика: Курс лекций. – М.: МИСиС, 2008. – 85 с. 

В курсе лекций рассмотрены основные теоретические и практические вопросы статики и кинематики точки и твердого тела при различных формах 
движения. 
Курс лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальности 150100 «Металлургия». 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2008 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................5 
Статика ......................................................................................................7 
1. Основные понятия статики..................................................................7 
1.1. Главный вектор системы сил........................................................7 
1.2. Момент силы относительно точки и оси.....................................8 
1.3. Теорема Пуансо. Условия равновесия системы сил.................11 
1.4. Аксиомы статики.........................................................................12 
1.5. Опоры и их реакции ....................................................................14 
2. Система сходящихся сил ...................................................................21 
3. Теория пар...........................................................................................23 
3.1. Сложение параллельных сил......................................................23 
3.2. Теорема Вариньона .....................................................................25 
3.3. Сложение пар сил, лежащих в параллельных плоскостях.......26 
3.4. Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся 
плоскостях...........................................................................................28 
4. Основная теорема статики (теорема Пуансо) ..................................30 
4.1. Теорема Пуансо ...........................................................................30 
4.2. Приведение к простейшему виду плоской системы сил..........31 
4.3. Приведение к простейшему виду пространственной 
системы сил.........................................................................................32 
5. Центр параллельных сил и центр тяжести.......................................35 
5.1. Центр параллельных сил.............................................................35 
5.2. Центр тяжести тела......................................................................36 
5.3. Центр тяжести оболочки (поверхности)....................................37 
5.4. Центр тяжести бруса (стержня)..................................................38 
5.5. Методы нахождения центра тяжести.........................................39 
5.6. Центры тяжести простейших фигур ..........................................39 
Вопросы для самоконтроля по статике ................................................44 
Кинематика..............................................................................................48 
6. Основные понятия кинематики.........................................................48 
6.1. 
Декартова 
прямолинейная 
система 
координат. 
Абсолютная скорость и ускорение точки.........................................48 
6.2. Цилиндрическая система координат .........................................49 
6.3. Полярная система координат......................................................50 
6.4. Сферическая система координат. Угловая скорость  
и ускорение твердого тела .................................................................50 
7. Сложное движение точки. Теорема Кориолиса...............................52 

7.1. Угловая скорость при вращательном движении тела ..............52 
7.2. Локальная производная вектора в подвижной системе 
координат ............................................................................................54 
7.3. Сложное движение точки ...........................................................56 
7.4. Теорема Кориолиса .....................................................................57 
8. Простейшие движения твердого тела...............................................62 
8.1. Поступательное движение твердого тела..................................62 
8.2. Вращательное движение твердого тела.....................................63 
8.3. Сферическое движение твердого тела.......................................64 
8.4. Плоскопараллельное движение твердого тела..........................66 
8.5. Мгновенные центры скоростей и ускорений при плоском 
движении твердого тела.....................................................................67 
Вопросы для самоконтроля по кинематике .........................................70 
9. Краткий курс статики и кинематики ................................................73 
9.1. Краткий курс статики..................................................................73 
9.2. Краткий курс кинематики...........................................................77 
9.3. Вопросы и ответы по статике и кинематике.............................81 
Библиографический список...................................................................84 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Механика является одной из древнейших наук, возникновение и 
развитие которой обусловлено потребностями практики. Так, начало 
развития механики было тесно связано с развитием земледелия (поднимание воды для орошения земельных участков в Египте), с ростом 
городов, возведением крупных построек, развитием ремесел и мореплаванием. Уже при постройке египетских пирамид применялись 
простейшие механические приспособления: рычаги, блоки и наклонная плоскость. Однако, хотя в древние времена человечество обладало некоторыми эмпирическими знаниями по механике, потребовался 
значительный многовековой период времени для того, чтобы установить основные законы механики и заложить фундамент этой науки. 
Основоположником механики как науки является знаменитый 
древнегреческий ученый Архимед (287−212 гг. до н.э.). Он дал точное решение задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу, создал 
учение о центре тяжести тел, открыл и сформулировал закон о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело (закон 
Архимеда). 
На первой стадии развития механики, от древнего мира до XIV в., 
в результате изучения простейших машин создается учение о силах. 
Но быстрое и успешное развитие механики начинается лишь с эпохи 
Возрождения, когда были созданы благоприятные условия для развития науки и техники и заложены основы для мировой торговли и 
перехода ремесла в мануфактуру, которая послужила исходным 
пунктом для современной крупной промышленности. В этот период 
для решения практических задач требуются исследования движения 
тел и на основе накопленного за четыре столетия опыта к концу XVII в. 
создаются основы механики материальных тел. 
Блестящим представителем эпохи Возрождения является гениальный итальянский художник, физик, механик и инженер Леонардо да 
Винчи (1451−1519). В области механики он изучил движение падающего тела, движение тела по наклонной плоскости, явление трения и ввел понятие момента силы. 
Зарождение небесной механики (науки о движении небесных тел) связано с великим открытием Николая Коперника (1473−1543) − создателя 
гелиоцентрической системы мира, сменившей геоцентрическую систему 
Птолемея. Это открытие произвело переворот в научном мировоззрении 
той эпохи и освободило естествознание от теологии. На основании учения Коперника и астрономических наблюдений Кеплер (1571−1630) 
сформулировал три закона движения планет. 

Создание основ динамики принадлежит великим ученым − итальянцу Галилео Галилею (1564−1842) и англичанину Исааку Ньютону (1643−1727), открывшему всемирный закон тяготения. В знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии» 
(1687 г.) Ньютон в систематическом виде изложил основные законы 
классической механики. 
XVIII в. характеризовался разработкой общих принципов классической механики и важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидродинамике и небесной механике. Наиболее крупными 
зарубежными учеными XVIII и XIX вв. в области механики являются 
Иван Бернулли (1667−1748), Даниил Бернулли (1700−1782), Д'Аламбер 
(1717−1783), Лагранж (1736−1813). В работах французских ученых 
Вариньона (1654−1722) и Пуансо (1777−1859) наряду с динамикой 
дальнейшее развитие получила и статика. Вариньон решил задачи 
сложения сил, приложенных в точке, и параллельных сил. Он получил условия равновесия этих сил, доказал теорему о моменте равнодействующей и предложил создание основ графостатики (построение 
силового многоугольника). 
Развитие науки в России связано с образованием по инициативе 
Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской академии наук. Большое 
влияние на развитие механики оказали труды гениального русского 
ученого, основателя Московского университета Михаила Васильевича Ломоносова (1711−1765) и знаменитого математика, астронома и физика Леонарда Эйлера (1707−1783). За 30 лет работы в Российской Академии наук Эйлер создал большое количество научных 
трудов по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. 
Огромное значение для развития механики имеют работы выдающихся российских ученых: М.В. Остроградского (1801−1861), 
П.Л. Чебышева (1821−1894), С.В. Ковалевской (1850−1891), 
А.М. Ляпунова (1857−1918), И.В. Мещерского (1859−1935), К.Э. Циолковского (1857−1935), А.Н. Крылова (1863−1945), Н.Е. Жуковского (1847−1921), С.А. Чаплыгина (1869−1942) и многих других ученых. Российскими механиками выполнены фундаментальные исследования по теории полета ракет, реактивных самолетов, искусственных спутников Земли и космических станций. 
Теоретическая механика является научной основой важнейших отраслей современной техники. Она также является необходимой основой 
для дальнейшего изучения ряда учебных курсов: «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Механика 
сплошных сред» и «Обработка металлов давлением». 

СТАТИКА 

Статика – раздел теоретической механики, в котором изучаются 
методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ 

1.1. Главный вектор системы сил 

Сила есть мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила есть векторная величина и характеризуется модулем, 
точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 1.1): 

 
Рис. 1.1 

 
(
)
[ ]
,
,
,
H (Ньютон),
x
y
x
x
y
z
F
F
F
F F F
=
+
+
=
=
F
i
j
k
F
 

 
,
силы
 
модуль
2
2
2
−
+
+
=
z
y
x
F
F
F
F
 

 
.1
,
орты
единичные
,
,
=
=
=
−
k
j
i
k
j
i
 

Главным вектором системы сил {
}
n
F
F ,...,
1
 называется их геометрическая сумма (рис. 1.2): 

y 
O 

Твердое тело 

F 
z 

j 

k
x

Линия 
действия 
силы 

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 

,

1∑
=
=

n

i
i
O
F
F
 

 
(
)
,
,
,
O
Ox
Oy
Oz
F
F
F
=
F
 
(
)
,
,
,
i
ix
iy
iz
F
F
F
=
F
 

 
∑
=
=

n

i
ix
Ox
F
F

1
,  
∑
=
=

n

i
iy
Oy
F
F

1
,  
∑
=
=

n

i
iz
Oz
F
F

1
. 

Главный вектор не зависит от выбора полюса (точки). 
 

 
Рис. 1.2 

1.2. Момент силы относительно точки и оси 

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы: 

 
( )
F
r
F
M
×
=
O
 =  

(
)
(
)
(
)=
−
+
−
+
−
=
=
x
y
z
x
y
z

z
y
x

yF
xF
xF
zF
zF
yF
F
F
F
z
y
x
k
j
i

k
j
i

 
=(
)
,
,
,
Ox
Oy
Oz
M
M
M
 

где 
(
)
, ,
x y z
=
−
r
 радиус-вектор точки приложения силы, 
(
)
,
,
x
y
z
F F F
=
−
F
 вектор силы, 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

FO 

F1 
F2 

Fn 

Твердое тело 
Силовой многоугольник 

−
−
=
−
=
−
=
x
y
Oz
z
x
Oy
y
z
Ox
yF
xF
M
xF
zF
M
zF
yF
M
,
,
 
моменты силы относительно осей x, y и z (рис. 1.3). 

 
Рис. 1.3 

Момент силы MO перпендикулярен радиус-вектору r и вектору 
силы F. 
Действительно, скалярные произведения 

 
(
)
cos
,
O
O
O
M r
•
=
=
M
r
M
r
 

 
(
)
(
)
(
)
0,
z
y
x
z
y
x
yF
zF
x
zF
xF
y
xF
yF
z
=
−
+
−
+
−
=
 

 
(
)
cos
,
O
O
O
M F
•
=
=
M
F
M
F
 

 
(
)
(
)
(
)
0.
z
y
x
x
z
y
y
x
z
yF
zF
F
zF
xF
F
xF
yF
F
=
−
+
−
+
−
=
 

Следовательно, 
(
)
,0
,
cos
=
r
M O
 
(
)
.0
,
cos
=
F
M O
 
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода часовой стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние 
от точки до линии действия силы. По абсолютной величине момент 
силы относительно точки равен произведению «силы на плечо»: 

 
(
)
(
)
(
)
.
,
sin
,
sin
Fh
r
F
rF
O
=
=
=
×
=
F
r
F
r
F
r
M
 

Для определения направления момента силы удобно пользоваться 
«правилом правой руки» (рис. 1.4). 

y 
O 

F – сила 
z 

j 

k

i 

h 

r – радиус-вектор 

x 

MO(F) 

Против хода часовой стрелки 

Момент силы 

h − плечо 

Рис. 1.4 

Направляем указательный палец правой руки вдоль радиусвектора r, а средний палец правой руки – вдоль вектора силы F. Тогда направление момента 
( )
F
r
F
M
×
=
O
 будет совпадать с направлением большого пальца правой руки. 
Плоскостью действия момента 
( )
F
r
F
M
×
=
O
 называется плоскость, образованная радиус-вектором r и вектором силы F. Момент 
силы перпендикулярен его плоскости действия. 
Главным моментом системы сил относительно выбранной точки называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этой точки: 

 
( )
.

1
1
∑
∑
=
=
×
=
=

n

i
i
i

n

i
i
O
O
F
r
F
M
M
 

Главный момент системы сил зависит от выбора полюса. 
Действительно, относительно произвольных точек А и В он равен 

 
(
)

1
1

n
n

B
Bi
i
Ai
i
i
i
=
=
=
×
=
+
×
=
∑
∑
M
r
F
BA
r
F
 

 

1
1

,

n
n

i
Ai
i
O
A
i
i
=
=
=
×
+
×
=
×
+
∑
∑
B
F
r
F
BA
F
M
A
 

 
.
A
O
B
M
F
BA
M
+
×
=
 

Откуда следует, что если главный вектор и главный момент системы сил одновременно равны нулю относительно одной точки, то 
они равны нулю относительно любой другой точки. 

MO(F) 

r 

F 

Правило правой руки 

1.3. Теорема Пуансо. Условия равновесия 
системы сил 

Парой сил (парой) называется совокупность двух сил {
}
, −
F
F , 
равных по модулю и противоположных по направлению (рис. 1.5). 
Главный вектор пары сил равен нулю, а момент пары сил не зависит 
от выбора полюса. 
Действительно, 

 
.
,0
A
A
O
B
O
M
M
F
BA
M
F
F
F
=
+
×
=
=
−
=
 

 
Рис. 1.5 

Плоскостью действия момента пары сил называется плоскость 
действия пары сил. 
Ниже будет доказана теорема Пуансо (рис. 1.6) о том, что «любую систему сил, действующую на абсолютно твердое тело, можно 
привести относительно произвольно выбранного полюса к эквивалентной системе, состоящей из главного вектора FO , выходящего 
из этого полюса, и пары сил с моментом, равным главному моменту 
этой системы сил MO относительно того же полюса». 
 

 
Рис. 1.6 

F 

F 

A 

B 

h – плечо пары сил 

F2 

Fn 
FO 

F1 

Твердое тело 

О 
О 

MO 

Из теоремы Пуансо следует, что «необходимым и достаточным 
условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента этой системы сил»: 

 
0,
0.
O
O
=
=
M
F
 

Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным равенствам: 

 
.0
,0
,0
,0
,0
,0
=
=
=
=
=
=
Oz
Oy
Ox
Oz
Oy
Ox
M
M
M
F
F
F
 

1.4. Аксиомы статики 

Материальное тело, размерами которого можно пренебречь, называют материальной точкой. Абсолютно твердым телом называется тело, в котором расстояние между любыми двумя его точками 
всегда неизменно по времени. Совокупность нескольких сил, действующих на твердое тело, называется системой сил. Если одну систему сил можно заменить другой системой сил, не нарушая состояния тела, то такие системы сил называются эквивалентными. Если 
система сил эквивалентна одной силе, то последняя называется равнодействующей. Если абсолютно твердое тело находится в состоянии покоя под действием системы сил, то эта система сил называется 
уравновешенной. 
1. Аксиома инерции (принцип инерции Галилея). Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) 
находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. 
2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к 
твердому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, 
когда их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.7). 

 
Рис. 1.7 

F1 

F2