Сопротивление материалов : устойчивость и продольно-поперечный изгиб элементов металлоконструкций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1938 

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

В.Н. Шинкин 
Ю.А. Поляков 

Сопротивление материалов

Устойчивость и продольно-поперечный изгиб 
элементов металлоконструкций 

Учебное пособие 

Под редакцией профессора В.Н. Шинкина 

Допущено учебно-методическим объединением по образованию 
в области металлургии в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению 150100 – Металлургия 

Москва  2010 

УДК 620.1 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев  

Шинкин В.Н., Поляков Ю.А. 
Ш62  
Сопротивление материалов: Устойчивость и продольнопоперечный изгиб элементов металлоконструкций: Учеб. пособие 
/ Под ред. В.Н. Шинкина. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 169 с. 
ISBN 978-5-87623-350-9 

Рассмотрены основные вопросы расчета на устойчивость стержневых элементов металлоконструкций, изучение которых формирует у студентов базисные навыки, необходимые для выполнения расчетов деталей металлургических 
машин и оборудования. Приведенные в учебном пособии домашние задания рекомендуется выполнять с применением современных средств программного 
обеспечения, в частности, системы MathCAD. Кроме того, весьма эффективно 
использование возможностей специального проектно-вычислительного комплекса Structure CAD for Windows, предназначенного для численного исследования на ЭВМ прочности, жесткости и устойчивости конструкций. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 150100 «Металлургия». 

УДК 620.1 

ISBN 978-5-87523-350-9 
© Шинкин В.Н., 
Поляков Ю.А, 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................................................................... 5 
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ...... 6 
1.1. Общее понятие об устойчивости сжатых стержней................................................. 6 
1.2. Формула Эйлера.......................................................................................................... 7 
1.3. Влияние способа закрепления концов стержня на критическую силу................... 9 
1.4. Условие применимости формулы Эйлера .............................................................. 10 
1.5. Формула Ясинского и условие ее применимости .................................................. 11 
1.6. Методика расчетов сжатых стержней на устойчивость......................................... 14 
1.7. Вопросы для самоконтроля по расчетам сжатых стержней на устойчивость...... 17 
2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ................... 19

2.1. Проверочные расчеты сжатых стержней 
2.2. Определение допускаемой нагрузки ....................................................................... 20 
2.3. Проектные расчеты сжатых стержней .................................................................... 26 
2.4. Влияние нагрева на устойчивость стержня ............................................................ 31 
2.5. Расчет на устойчивость стержней с участками разной жесткости ....................... 33 
2.6. Расчет на устойчивость стержня, нагруженного продольной силой, 
приложенной посередине................................................................................................ 36 
2.7. Расчет на устойчивость стержня, нагруженного продольной силой через 
абсолютно жесткий шатун .............................................................................................. 38 
2.8. Влияние малой начальной кривизны на прогиб сжатого стержня ....................... 41 
2.9. Расчет стержня под действием эксцентрично приложенной силы....................... 44 
3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ СТЕРЖНЕВЫХ 
СИСТЕМ ............................................................................................................................... 47 
3.1. Устойчивость стержней на основе расчета систем сходящихся сил.................... 47 
3.2. Устойчивость стержневых элементов статически определимых плоских ферм ........ 61 
3.3. Устойчивость стержней на основе расчета произвольной пространственной 
системы сил...................................................................................................................... 81 
3.4. Учет монтажных напряжений при расчете стержневых систем 
на устойчивость ............................................................................................................... 87 
3.5. Влияние нагрева на устойчивость элементов стержневой системы..................... 90 
4. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ.......................................................................... 94 
4.1. Понятие о продольно-поперечном изгибе .............................................................. 94 
4.2. Дифференциальные уравнения при продольно-поперечном изгибе .................... 95 
4.3. Расчеты сжатого стержня под действием одной поперечной силы...................... 98 
4.4. Расчеты сжатого стержня под действием системы поперечных сил.................. 106 
4.5. Расчеты сжатого стержня под действием поперечной равномерно 
распределенной нагрузки.............................................................................................. 109 
4.6. Приближенные расчеты при продольно-поперечном изгибе.............................. 111 
4.7. Расчеты на прочность при продольно-поперечном изгибе ................................. 116 
5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ.................... 122 
5.1. Полная энергия упругой системы.......................................................................... 122 
5.2. Критерий устойчивости в энергетическом методе............................................... 124 
5.3. Метод Ритца для приближенного определения критической силы.................... 124 
5.4. Частные случаи применения метода Ритца .......................................................... 125 
5.5. Примеры определения критической силы с помощью метода Ритца................. 129

6. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОМЕРНО СЖАТЫХ КРУГОВОГО КОЛЬЦА И АРКИ...132 
6.1. Устойчивость равномерно сжатого кругового кольца .........................................132 
6.2. Устойчивость равномерно сжатой круговой арки, шарнирно закрепленной 
по концам........................................................................................................................137 
7. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ...............................................................................................141 
7.1. Проектные расчеты на устойчивость сжатых стержней ......................................141 
7.2. Определение критической силы сжатого стержня при расчетах 
на устойчивость..............................................................................................................144 
7.3. Расчеты на устойчивость стержневых элементов статически 
неопределимых систем ..................................................................................................147 
7.4. Расчеты на устойчивость стержневых элементов статически определимых 
плоских ферм..................................................................................................................151 
7.5. Задачи на продольно-поперечный изгиб...............................................................158 
7.6. Задачи на устойчивость, решаемые энергетическим методом ............................161 
7.7. Задачи на устойчивость круговых арок.................................................................164 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................................165 
ПРИЛОЖЕНИЯ...................................................................................................................166 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В современном металлургическом производстве широко применяются различные механизмы, оборудование, металлоконструкции. Для 
целого ряда их конструктивных элементов обычных расчетов на прочность недостаточно для обеспечения надежной и безопасной работы в 
условиях эксплуатации, так как может произойти потеря устойчивости 
при внешних воздействиях. 
В связи с этим уже на этапе общеинженерной подготовки, в процессе изучения раздела «Устойчивость стержневых металлоконструкций» 
дисциплины «Сопротивление материалов», следует уделять должное 
внимание формированию у студентов металлургических специальностей навыков в проведении расчетов элементов металлоконструкций, 
металлургических машин и оборудования, связанных с анализом их 
устойчивости. Это будет способствовать более качественному усвоению таких дисциплин, как «Детали машин и основы конструирования», 
«Теория механизмов и машин», «Теория упругости», «Теория обработки металлов давлением». 
Разбор многочисленных примеров, приведенных в данном пособии, 
ориентирует будущего инженера на выполнение конструктивных мероприятий с целью предупреждения потери устойчивости и помогает 
понять специфику задач упругой устойчивости стержневых металлоконструкций. Успешное усвоение пройденного материала возможно 
лишь при своевременном выполнении домашних заданий, варианты 
которых содержатся в конце данного пособия. 
Приведенные в учебном пособии домашние задания рекомендуется 
выполнять с применением современных средств программного обеспечения, в частности, системы MathCAD. Кроме того, весьма эффективно 
использование возможностей специального проектно-вычислительного 
комплекса Structure CAD for Windows, предназначенного для численного исследования на ЭВМ прочности, жесткости и устойчивости конструкций. 

1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ 
УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ 

1.1. Общее понятие об устойчивости сжатых стержней 

Устойчивость – способность элементов конструкций сопротивляться усилиям, стремящимся вывести их из состояния равновесия. 
Продольный изгиб стержня – изгиб, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы его равновесия. 
Критическая сила – наибольшая по модулю центрально приложенная сжимающая стержень сила F, при которой прямолинейная форма 
равновесия стержня остается устойчивой. 
Рассмотрим прямолинейный стержень, жестко защемленный одним 
концом, к свободному концу которого приложена сжимающая сила F, 
направленная вдоль оси стержня (рис. 1.1). 

 

Рис. 1.1 

При F < Fкр происходит только центральное сжатие стержня. При  
F > Fкр стержень работает на совместное действие сжатия и изгиба. 
Даже при небольшом превышении сжимающей нагрузкой критического значения прогибы стержня и возникающие в нем напряжения недопустимо велики. Это приводит к выходу из строя не только конкретного стержневого элемента, но и всей конструкции в целом. 
Потеря устойчивости стержня наступает до момента достижения 
предельного продольного напряжения σпред стержня от сжатия, которое 
равно пределу текучести или условному пределу текучести для пластичных материалов (σпред = σт или σпред = σ0,2, где σ0,2 – условный предел текучести, если диаграмма сжатия не имеет выраженной площадки 
текучести) и пределу прочности при испытании на сжатие для хрупких 
материалов (σпред = σв.с). 

F<Fкр
F>Fкр

1.2. Формула Эйлера 

Допущения при выводе формулы Эйлера: 
1) продольная ось ненагруженного стержня идеально прямая; 
2) внешняя сила до потери устойчивости действует строго вдоль 
продольной оси стержня; 
3) изгиб стержня при потере устойчивости описывается обычной 
линейной теорией изгиба балок, основанной на гипотезе плоских сечений; 
4) прогибы считаются малыми, поэтому вместо точного уравнения для 

кривизны 
балки 

2

2

3
2
2

d
( )
1
d

d
( )
1
d

v z
z

v z
z

=
ρ
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
+ ⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦

 
пользуемся 
уравнением 

2

2
1
d
( )
( )
d

v z
M z
z
=
=
ρ
, пренебрегая величиной 

2
d
( )
d
v z
z
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 в знаменателе; 

5) поперечное сечение стержня постоянное; 
6) изменением всех геометрических размеров стержня в процессе 
нагружения полностью пренебрегают, т. е. длину, площадь и момент 
инерции поперечного сечения стержня считают неизменными; 
7) весом стержня пренебрегают, считая его малым по сравнению с 
внешней нагрузкой.  
Дифференциальное уравнение упругой линии стержня длиной l, один 
конец которого прикреплен к шарнирно-неподвижной опоре, а второй – 
к шарнирно-подвижной опоре, которая может перемещаться вдоль оси 
z (рис. 1.2), имеет вид 

2

2
d
( )
( )
( ),
d

v z
EI
M z
Fv z
z
=
= −
 

2
2
2
2
d
( )
( )
0,
,
d

v z
F
k v z
k
EI
z
+
=
=
 

где v(z) – прогиб стержня. 

Общее решение этого уравнения имеет вид 

1
2
1
2
( )
sin(
)
cos(
),
,
const.
v z
C
kz
C
kz
C
C
=
+
=
 

Рис. 1.2 

Граничные условия, т. е. условия закрепления стержня, имеют вид  

при z = 0 прогиб v(0) = 0 при z = l прогиб v(l) = 0. 

Подставив их в общее решение, получаем 

1
2
2

1
2

0
sin(0)
cos(0)
,

0
sin(
)
cos(
);

C
C
C

C
kl
C
kl

=
+
=
⎧
⎨ =
+
⎩
 

2
1
0,
0, sin(
)
0,
C
C
kl
=
≠
=
 
,
1, 2, 3, ...;
n
k
n
l
π
=
=
 
1
( )
sin
.
n
v z
C
z
l
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Значение С1 = 0 соответствует равновесию прямолинейной формы 
стержня: 

2
2
2
2
2
,
.
n
F
n EI
k
F
l
EI
l

π
π
⎛
⎞
=
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Различным целым значениям n соответствуют различные формы 
равновесия стержня. При n = 1 получаем формулу Эйлера для критической силы Fкр: 

2
кр
2

min
,
F
k
l
EI
π
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

2
min
кр
2
,
EI
F
l

π
=
 

где Imin – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня. 

Продольный изгиб стержня при потере устойчивости происходит в 
плоскости минимальной жесткости, поэтому EImin – наименьшая жесткость поперечного сечения при изгибе. 

l 

z 

F 

v(z) 
z 

y 

Поскольку устойчивость стержня определяется значением Imin, то 
рациональны сечения, у которых главные моменты инерции равны между собой. Стержень, имеющий такое сечение, обладает равноустойчивостью в соответствующих направлениях. Если ось z совпадает с продольной осью стержня, то условие равноустойчивости имеет вид 

 Ix = Iy   . 

Из сечений, удовлетворяющих этому условию, следует выбирать такие, которые обладают наибольшим моментом инерции при наименьшей площади сечения, а следовательно, наименьшей материалоемкостью. Например, с этой точки зрения следует предпочесть кольцевое 
сечение сплошному круговому. 
Высшие формы равновесия (n = 2, 3, 4, …) сжатого стержня неустойчивы, в чистом виде не реализуются, а поэтому не имеют практического значения (рис. 1.3). Но если стержень снабдить промежуточными 
опорами, равноотстоящими одна от другой (рис. 1.4), то соответственно 
числу пролетов n можно определить и критическую силу. 

 

Рис. 1.3 

 

Рис. 1.4 

μ = 0,
а 
б 
в 

F
F
F

μ = 1/3 
μ = 1/4 

l/2
l/2

l/3
l/3
l/3

l/4 
l/4
l/4 
l/4 

l

n = 1 
n = 2 
n = 3 
n = 4 

F 
F
F 
F

l

1.3. Влияние способа закрепления концов 
стержня на критическую силу 

Значение критической силы зависит от способа закрепления концов 
стержня. Для учета этого эффекта используют коэффициент приведения длины стержня μ, и формула Эйлера приобретает вид 

2
min
кр
2
,
(
)

EI
F
l

π
=
μ

 

где 
l
μ  – приведенная длина стержня. 

Коэффициент приведения длины стержня μ – это число, показывающее, во сколько раз следует изменить длину l шарнирно опертого 
стержня (рис. 1.5, а), чтобы критическая сила для него соответствовала 
критической силе стержня длиной l при рассматриваемых условиях закрепления (рис. 1.5, б – е). Коэффициент μ обратно пропорционален m 
– числу полуволн упругой линии (синусоиды): µ = 1/m. 

 

Рис. 1.5 

1.4. Условие применимости формулы Эйлера 

Минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня 

min
min
I
i
A
=
 – квадратный корень из отношения минимального момен
F 

μ = 1 

F 

μ = 0,7 

F 

μ = 2 

F 

μ = 0,5 

а 
б 
в 
г 

l

F 
F 

μ = 2 
μ = 1 

д 
е 

та инерции поперечного сечения стержня Imin к площади этого сечения 
A. 

Гибкость стержня 

min

l
i
μ
λ =
 (безразмерная величина) – отношение 

приведенной длины стержня μl к минимальному радиусу инерции imin 
поперечного сечения. 
Формула Эйлера применима до момента достижения продольным 
напряжением критического значения, равного пределу пропорциональности σпц: 

2
2
2
2
2
кр
min
min
кр
2
2
2
2

min

,
(
)
(
)

F
EI
Ei
E
E
А
l
А
l
l
i

π
π
π
π
σ
=
=
=
=
=
μ
μ
λ
⎛
⎞
μ
⎜
⎟
⎝
⎠

 

2

кр
пц
2
E
π
σ
=
≤ σ

λ
. 

Условие применимости формулы Эйлера имеет вид 

пред
пц

E
λ ≥ λ
= π σ
, 

где λпред – предельная гибкость стержня (безразмерная величина). 

Стержни большой гибкости – стержни, для которых справедлива 
формула Эйлера. 

1.5. Формула Ясинского и условие ее применимости 

В случае неприменимости формулы Эйлера, при условии, что 
λ0 < λ < λпред, критические напряжения стержней из пластичных материалов (например, из малоуглеродистых сталей, из дюралюминия) определяют по эмпирической линейной зависимости Ф.С. Ясинского: 

σкр = а – b λ,  

где a, b = const – экспериментальные коэффициенты, МПа; λ0 – значение гибкости, при котором σкр = σт или σкр = σ0,2 (σ0,2 – условный 
предел текучести, если диаграмма сжатия не имеет выраженной 
площадки текучести). При этом должно выполняться неравенство: 
σпц < σкр = а – b λ  < σт.  

Для чугунных стержней формула Ясинского применяется при условии, что λ0 < λ < λпред (λ0 – значение гибкости, при котором критическое 

напряжение равно пределу прочности при сжатии, т.е. σкр = σв.с), и приобретает вид параболической зависимости: 

σкр = а – b λ + c λ2,  

где a, b, с = const – экспериментальные коэффициенты, МПа. 

Стержни средней гибкости – стержни, для которых справедлива 
формула Ясинского. Значения a, b, с, λ0, λпред для некоторых материалов 
приведены в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Значения 
,
0
пред
a, b, c, λ
λ
 для некоторых материалов 

Экспериментальные коэффициенты, МПа 
Гибкость стержней 
Материал 
а 
b 
c 
λ0 
λпред 

Стали 10, Ст2 
264 
0,70 
0 
62 
105 

Стали 15, Ст3 
310 
1,14 
0 
61 
100 

Стали 25, Ст5 
350 
1,15 
0 
57 
92 

Стали 10Г2СД, 
15ГС, 15ХСНД 
429 
1,52 
0 
50 
83 

Дюралюминий Д16Т 
406 
2,83 
0 
30 
53 

Чугун СЧ15-32 
776 
12 
0,053 
10 
80 

 
Стержни малой гибкости – стержни, для которых не применяется 
ни формула Эйлера, ни формула Ясинского. Их рассчитывают на прочность при центральном сжатии без опасности потери устойчивости. 
Для стержней малой гибкости из пластичных материалов (например, 

из малоуглеродистых сталей, из дюралюминия) при 
т
0
0
a
b
− σ
< λ < λ =
 

критические напряжения равны пределу текучести: σкр = σт (или 
σкр = σ0,2, если диаграмма сжатия не имеет выраженной площадки текучести). 
Для стержней малой гибкости из хрупких материалов (например, из 
чугуна) при 0 < λ < λ0 критические напряжения равны пределу прочности при испытании на сжатие: σкр = σв.с. 
Таким образом, стержни большой гибкости рассчитывают на устойчивость по формуле Эйлера, стержни средней гибкости – на устойчивость по формуле Ясинского. Стержни малой гибкости рассчитывают не на устойчивость, а на прочность при центральном сжатии.