Сопротивление материалов. Расчет напряжений в трубах и тонкостенных оболочках

№ 1237

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Êàôåäðà òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè è ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ

Â.Í. Øèíêèí
Þ.À. Ïîëÿêîâ

Ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ

Ðàñ÷åò íàïðÿæåíèé â òðóáàõ
è òîíêîñòåííûõ îáîëî÷êàõ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ïîä ðåäàêöèåé ïðîôåññîðà Â.Í. Øèíêèíà

Äîïóùåíî ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì
ïî îáðàçîâàíèþ â îáëàñòè ìåòàëëóðãèè â êà÷åñòâå
ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ
çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ Ìåòàëëóðãèÿ

Ìîñêâà   Èçäàòåëüñêèé Äîì ÌÈÑèÑ
2009

УДК 539.3/.8 
 
Ш83 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин В.Н., Поляков Ю.А. 
Ш83  
Сопротивление материалов. Расчет напряжений в трубах и тонкостенных оболочках: Учеб. пособие / Под ред. В.Н. Шинкина. – 
М.: Изд. Дом МИСиС, 2009. – 96 с. 

В металлургическом производстве находят широкое применение различные резервуары, сосуды, газгольдеры и другие емкости, а также трубопроводы. В связи с необходимостью формирования у студентов металлургических 
специальностей уже на этапе изучения курса «Сопротивление материалов» 
навыков в выполнении расчетов на прочность и проектирования элементов 
указанных выше конструкций в учебном пособии рассмотрены теоретические и практические вопросы, связанные с определением напряжений в трубах, а также тонкостенных сосудах, резервуарах и газгольдерах. 
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению 150100 – Металлургия. 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Толстостенный цилиндр под внутренним и внешним 
давлением (задача Ламе)..........................................................................5 
1.1. Уравнения равновесия...................................................................5 
1.2. Решение в напряжениях................................................................9 
1.3. Цилиндр, нагруженный только внутренним давлением..........11 
1.4. Цилиндр, нагруженный только внешним давлением...............11 
1.5. Решение в перемещениях............................................................12 
1.6. Пластическое состояние толстостенной трубы ........................13 
1.7. Упруго-пластическое состояние толстостенной трубы...........14 
1.8. Примеры расчета толстостенных цилиндров............................15 
Вопросы для самоконтроля по расчету толстостенных 
цилиндров под внешним и внутренним давлением ........................29 
2. Тонкостенные осесимметричные оболочки.....................................30 
2.1. Уравнение Лапласа......................................................................30 
2.2. Осевая равнодействующая внешних сил ..................................32 
2.3. Примеры расчета цилиндрических тонкостенных 
сосудов.................................................................................................34 
2.4. Примеры расчета конических тонкостенных сосудов .............49 
2.5. Примеры расчета сферических тонкостенных сосудов...........64 
2.6. Примеры расчета тонкостенных сосудов, имеющих 
комбинированную геометрическую конфигурацию.......................71 
Вопросы для самоконтроля по расчету тонкостенных 
осесимметричных оболочек ..............................................................88 
3. Домашние задания..............................................................................90 
3.1. Расчет толстостенных цилиндров под внутренним и 
внешним давлением ...........................................................................90 
3.2. Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек ..................91 
Библиографический список...............................................................95 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В металлургическом производстве в составе технологического 
оборудования широко используются различные резервуары, сосуды, 
газгольдеры и другие емкости, а также трубопроводы. В связи с этим 
уже на этапе общеинженерной подготовки, в процессе изучения курса «Сопротивление материалов», следует уделять должное внимание 
формированию у студентов металлургических специальностей навыков в вопросах конструирования и расчета на прочность элементов 
указанных выше конструкций. В учебном пособии рассматриваются 
основные теоретические и практические вопросы расчета напряжений в толстостенных и тонкостенных оболочках. 
В первом разделе приводится решение задачи Ламе для толстостенного цилиндра, находящегося под внутренним и внешним давлением. 
Полученные формулы позволяют выполнять расчет труб, стенки которых находятся под действием давления жидкости. Немаловажно отметить, что грамотное применение результатов, полученных при решении 
задачи Ламе, дает возможность осуществлять расчеты посадок гладких 
цилиндрических деталей. В частности, речь идет об обеспечении необходимого натяга при посадке шестерни и толстостенной втулки на вал, 
а также об определении усилия запрессовки стержня в плиту. 
Расчет ряда тонкостенных резервуаров базируется на использовании уравнения Лапласа, применяемого при определении напряжений 
в тонкостенных осесимметричных оболочках на основе безмоментной теории. Рассмотрению этого вопроса посвящен второй раздел 
учебного пособия. Зная характер распределения меридиональных и 
окружных напряжений вдоль стенки резервуара, можно определить 
минимально допустимую толщину стенки, а также допустимый уровень заполнения емкости жидкостью. 
Следует отметить, что помимо строго обоснованного вывода теоретических зависимостей, авторы уделяли особое внимание особенностям их практического применения. Ведь использование формул без 
понимания их физического смысла неизбежно приводит к формальному усвоению учебного материала, что влечет за собой ряд ошибок 
при расчетах. Поэтому все примеры задач, приведенные в данном 
учебном пособии, снабжены подробными комментариями их решения. 
В третьем разделе учебного пособия представлены варианты домашних заданий, успешное выполнение которых, несомненно, будет 
способствовать более качественному усвоению рассматриваемого 
раздела курса «Сопротивление материалов». 

1. ТОЛСТОСТЕННЫЙ ЦИЛИНДР 
ПОД ВНУТРЕННИМ И ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ 
(ЗАДАЧА ЛАМЕ) 

1.1. Уравнения равновесия 

Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр (трубу), нагруженный 
внутренним и внешним давлением (рис. 1.1). Пусть h = b – a – толщина цилиндра, a и b – соответственно его внутренний и внешний 
радиусы, pa и pb – соответственно внутреннее и внешнее постоянное 
давление. 

 

Рис. 1.1 

Введем цилиндрическую систему координат (r, θ, z), выбирая ось 
z вдоль оси симметрии цилиндра (рис. 1.2, а). 
Цилиндр (труба) называется толстостенным, если h/a ≥ 1/20 = 0,05. 
В 
противном 
случае 
цилиндр 
называется 
тонкостенным 
(h/a < 1/20). 
Выделим в цилиндре элементарный бесконечно малый элемент 
(рис. 1.2, б, в). Запишем условие равновесия этого элемента в радиальном направлении: 

(
) (
)
[
]
(
)
d
d
d
d d
d d
2
d d
sin
0,
2
r
r
r
r
r
z
r
z
r z
θ
θ
⎛
⎞
σ + σ
+
θ
− σ
θ
− σ
=
⎡
⎤
⎜
⎟
⎣
⎦
⎝
⎠
 

 
(
) (
)
[
]
(
) d
d
d
d d
d d
2
d d
0,
2
r
r
r
r
r
z
r
z
r z
θ
θ
σ + σ
+
θ
− σ
θ
− σ
=
⎡
⎤
⎣
⎦
 

 
d
d d
d
d
d
d d
d
d d
0,
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
θ
σ
θ + σ
θ + σ
θ + σ
θ − σ
θ − σ
θ =
 

 
d
0,
d

r
r
r
r
θ
σ + σ − σ =
 (
)
d
0.
d

r
r
r
θ
σ
− σ =
 

 

Рис. 1.2 

Отметим, что при выводе уравнения слагаемым d
d d
r r
σ
θ  мы пренебрегли в силу его бесконечной малости по сравнению с другими 
слагаемыми. 

Рассмотрим радиальное перемещение радиально направленного 
элементарного отрезка AB = dr (рис. 1.3, а) до и после нагружения 
цилиндра. Точка А после нагружения получит перемещение u  и 
займет новое положение А*, а точка В – перемещение u
du
+
 и займет 
новое положение B*. 

 

Рис. 1.3 

Тогда относительная радиальная деформация будет вычисляться 
следующим образом: 

 
(
)
d
d
d
*
*
d ,
d
d

r
r
u
r
A B
AB
u

AB
r
r

+
−
−
ε =
=
=
 
d .
d

r

u
r
ε =
 

Относительная окружная деформация бесконечно малого элемента длины дуги равна (рис. 1.3, б) 

 
(
)d
d
,
,
d
r
u
r
u
u
r
r
r
θ
θ
+
θ −
θ
ε =
=
= ε
θ
 
.
u
r

θε =
 

Тогда получаем 

 
d
d(
)
d
d
d
,
d
d
d
d
d
r
u
r
r
r
r
r
r
r
r
r

θ
θ
θ
θ
θ
ε
ε
ε
ε =
=
=
+ ε
=
+ ε
 

 
d
0,
d
r
r
r

θ
θ
ε + ε − ε =
d(
)
0.
d
r
r
r

θε
− ε =
 

Из обобщенного закона Гука следует, что 

 
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
,
,
r
r
z
r
z
E
E
θ
θ
θ
ε =
σ −μ σ + σ
ε =
σ −μ σ + σ
 

 
(
)
(
)
1
,
z
z
r
E
θ
ε =
σ −μ σ + σ
 
(
) (
)
1
.
r
r
E
θ
θ
+ μ
ε − ε =
σ − σ
 

Для бесконечно длинного цилиндра (длинный цилиндр без «донышек») σz = 0 (рис. 1.4, а). Для длинного цилиндра с «донышками» 
(длина l >> b) (рис. 1.4, б) 

 

2
2
2
2

2
2
2
2
const.
a
b
a
b
z
p
a
p
b
p a
p b
b
a
b
a
π
−
π
−
σ =
=
=
π
− π
−
 

 

Рис. 1.4 

Поэтому в обоих случаях d
0
d

z
r
σ =
. Следовательно, 

 
(
)
(
)
1
,
r
z
E
θ
θ
ε =
σ −μ σ + σ
 

 
d
1
d
d
d
1
d
d
.
d
d
d
d
d
d

r
z
r

r
E
r
r
r
E
r
r

θ
θ
θ
ε
σ
σ
σ
σ
σ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
−μ
+
=
−μ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
 

(
)(
)
1
d
d
d
0
d
d
d

r
r
r
r
r
r
E
r
r
E

θ
θ
θ
θ
+ μ
ε
σ
σ
⎛
⎞
=
+ ε − ε =
−μ
+
σ − σ
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

 
(
)
(
)
d
d
d
d

r
r
r
r
r
E
r
E
r
E
E

θ
θ
θ
σ − σ
σ
μ
σ
μ
=
−
+
+
σ − σ
=  

(
)
(
)
(
)
(
)
d
d
,
d
d

r
r
r
r
r
r
E
r
E
E
E
E
r
E

θ
θ
θ
θ
θ
θ
σ − σ
σ − σ
σ
μ
μ
σ
=
−
σ − σ
+
+
σ − σ
=
+
 

 
(
)
0,
r
d
r dr

θ
θ
σ + σ − σ
=
 
(
)
0.
r
d r
dr

θ
σ
− σ =
 

1.2. Решение в напряжениях 

Складывая уравнения равновесия в окружном и радиальном направлениях, получаем 

 

d
0

d
0

r

r
r

r dr

r dr

θ
θ

θ

σ
⎧
+ σ − σ =
⎪⎪
+ ⎨
σ
⎪
+ σ − σ =
⎪⎩

 

 
(
)
d
0,
d

r
r
r

θ
σ + σ
=
 

 
2
const.
r
A
θ
σ + σ =
=
 

Вычитая уравнения равновесия в радиальном и окружном направлениях, получаем 

 

d
0
d
d
0
d

r

r
r

r
r

r
r

θ
θ

θ

σ
⎧
+ σ − σ =
⎪⎪
−⎨
σ
⎪
+ σ − σ =
⎪⎩

 

 
(
)
(
)
d
2
0,
d

r
r
r
r

θ
θ
σ − σ
+
σ − σ
=
 

 
(
)
(
)

d
d
2
,
r

r

r
r

θ

θ

σ − σ
= −
σ − σ
 

 
(
)
(
)

2
2
2
ln
ln 2
ln
ln
,
r

B
B
r
r
θ
⎛
⎞
σ − σ
=
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

2

2
.
r

B
r

θ
σ − σ =
 

Складывая и вычитая почленно уравнения 
2
const
r
A
θ
σ + σ =
=
 и 

2

2
,
r

B
r

θ
σ − σ =
 получаем 

 
2
2
,
.
r

B
B
A
A
r
r

θ
σ =
−
σ =
+
 

В силу симметрии цилиндра, его начальных и граничных условий 
напряжения и перемещения в точках цилиндра являются функциями 
только радиуса r, причем точки цилиндра перемещаются только в 
радиальном направлении: 

( ),
( ),
const,
( ),
0,
0.
r
r
z
r
r
z
r
r
u
u
u r
u
u
θ
θ
θ
σ = σ
σ = σ
σ =
=
=
=
=
 

Граничные условия задачи имеют вид (см. рис. 1.1) 

 
( )
,
( )
.
r
a
r
b
a
p
b
p
σ
= −
σ
= −
 

Знак «минус» в граничных условиях стоит потому, что давление 
на поверхности направлено внутрь цилиндра, а внешняя нормаль к 
поверхности – в противоположную сторону, т.е. наружу. 
Из граничных условий получаем 

 
2
2
( )
,
( )
;
a
r
b
r

B
B
p
a
A
p
b
A
a
b
−
= σ
=
−
−
= σ
=
−
 

 

2
2

2
2
2
2
,
b
a
B
B
a
b
p
p
B
b
a
a b

−
−
=
−
=
 
(
)

2
2

2
2
,
a
b
p
p
a b
B
b
a

−
=
−
 

 
(
)
2
2
2
2 ,
a
b
p a
p b
A a
b
−
+
=
−
 

2
2

2
2
.
a
b
p a
p b
A
b
a

−
=
−
 

Поэтому 

 

(
)

(
)

2
2
2
2

2
2
2
2
2

2
2
2
2

2
2
2
2
2

1 ,

1 ,

a
b
a
b
r

a
b
a
b

p
p
a b
p a
p b

b
a
b
a
r
p
p
a b
p a
p b

b
a
b
a
r

θ

−
−
σ =
−
−
−
−
−
σ =
+
−
−

 
.
b
r
a
≤
≤
 

Рассмотрим частные случаи нагрузки цилиндра давлением. 

1.3. Цилиндр, нагруженный 
только внутренним давлением 

В этом случае pa ≠ 0, pb = 0 , а решение задачи имеет вид (рис. 1.5) 

 

2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
1
,
1
;
a
a
r
p a
b
p a
b
b
a
r
b
a
r
θ
⎛
⎞
⎛
⎞
σ =
−
σ =
+
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
 

 

2
2

2
2
2
( )
1
,
( )
0;
a
r
a
r
p a
b
a
p
b
b
a
a
⎛
⎞
σ
=
−
= −
σ
=
⎜
⎟
−
⎝
⎠
 

 
(
)

2
2
2
2

2
2
2
2
2
( )
1
a
a
p
a
b
p a
b
a
b
a
a
b
a
θ
+
⎛
⎞
σ
=
+
=
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
 

 

2
2
2

2
2
2
2
2

2
( )
1
.
a
a
p a
b
p a
b
b
a
b
b
a

θ
⎛
⎞
σ
=
+
=
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
 

 

Рис. 1.5 

1.4. Цилиндр, нагруженный 
только внешним давлением 

В этом случае pa = 0, pb ≠ 0, а решение задачи имеет вид (рис. 1.6) 

 

2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
1
,
1
;
b
b
r
p b
a
p b
a
b
a
r
b
a
r
θ
⎛
⎞
⎛
⎞
σ = −
−
σ = −
+
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠