Электронная теория металлов : сборник задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2299 

Кафедра теоретической физики и квантовых технологий
 

Электронная теория металлов

Сборник задач 

Под редакцией профессора С.И. Мухина 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2013 

УДК 539.1 
 
Э45 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, Е.К. Наими 
 

Авторы: 
Ю.Х. Векилов, И.А. Иванов, Ю.Л. Матвеева, 
Ю.М. Кузьмин, Б.Б. Хейфец, М.А. Черников, 
Е.В. Шамров, С.И. Мухин 

 
 
Электронная теория металлов : сб. задач / Ю.Х. Векилов, 
Э45 И.А. Иванов, Ю.Л. Матвеева [и др.] ; под ред. С.И. Мухина. –  
 
М. : Изд. Дом МИСиС, 2013. – 77 с. 
ISBN 978-5-87623-703-3 

В сборнике содержатся задачи с решениями по разделам: электрон в металле, теория Ферми-жидкости Ландау, гальваномагнитные и термоэлектрические явления, металл в высокочастотном поле, сверхпроводящие свойства 
металлов, микроскопическая теория сверхпроводимости. 
Сборник задач предназначен для студентов старших курсов, обучающихся по направлению 651700 по специальности 150702 «Физика металлов», и 
аспирантов. 

УДК 539.1 

ISBN 978-5-87623-703-3 
© Коллектив авторов, 2013 

Содержание

Список задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Список иллюстраций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Раздел
Стр.

I.
Электрон в пространственно-периодическом поле. Теорема Блоха. Энергетический спектр. Концепция фермижидкости Ландау. Поверхность Ферми в металле . . . . . . . .
8

II. Общий вид кинетического уравнения. Решение кинетического уравнения для изотропного металла в приближении
упругих столкновений. Электро- и теплопроводность . . . . .
34

III. Процессы рассеяния электронов. Основные механизмы рассеяния электронов в металлах: температурные зависимости
времен релаксации и кинетических коэффициентов. . . . . .
36

IV. Гальваномагнитные и термоэлектрические явления. Кинетическое уравнение в магнитном поле. Предельные случаи сильного и слабого магнитного поля. Влияние топологии поверхности Ферми на гальваномагнитные явления в
металлах. Металл в высокочастотном поле. Нормальный и
аномальный скин-эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

V. Сверхпроводящие свойства металлов. Основные свойства
сверхпроводящего состояния. Термодинамика сверхпроводников. Промежуточное состояние. Теория Лондонов. . . .
55

VI. Основные идеи микроскопической теории сверхпроводимости. Критерий сверхтекучести. Фононное притяжение.
Куперовское спаривание. Теория Гинзбурга – Ландау. Туннельный контакт. Эффект Джозефсона . . . . . . . . . . . . . . .
70

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

3

Список задач

Задача
Стр.

I.1.
Число электронов в одной элементарной ячейке . . . . . .
8

I.2.
Кристаллическая структура иттрий-бариевого купрата
.
9

I.3.
Метод Харрисона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

I.4.
Дираковская гребенка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

I.5.
Перекрытие энергетических зон . . . . . . . . . . . . . . . .
17

I.6.
Поверхность Ферми двумерной квадратной решётки . . .
17

I.7.
Вырождение волновых функций на границе зоны Бриллюэна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

I.8.
Зонная структура алюминия
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
20

I.9.
Первая зона Бриллюэна графена . . . . . . . . . . . . . . . .
21

I.10.
Зонная структура графена в приближении сильной связи 22

I.11.
Таммовские состояния в приближении слабой связи . . .
26

I.12.
Таммовские состояния в приближении сильной связи . .
29

I.13.
Формула Ричардсона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

II.1.
Кинетическое уравнение электронов в металле в приближении времени релаксации
. . . . . . . . . . . . . . . .
34

III.1.
Сверхпроводящий тепловой ключ . . . . . . . . . . . . . . .
36

III.2.
Сопротивление меди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

III.3.
Средняя длина свободного пробега . . . . . . . . . . . . . .
39

III.4.
Константа Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

III.5.
Блоховские осцилляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

IV.1.
Решить 𝐄 = 𝐀 + 𝑎[𝐇, 𝐀] относительно 𝐀 . . . . . . . . . . . .
44

4

IV.2.
Выражения для магнетосопротивления в общем виде . .
45

IV.3.
Осцилляции магнитного момента . . . . . . . . . . . . . . .
47

IV.4.
Термопара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

IV.5.
Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

IV.6.
Термоэлектрические коэффициенты . . . . . . . . . . . . .
50

IV.7.
Термоэлектрические явления в металле . . . . . . . . . . .
52

IV.8.
Глубина скин-слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

V.1.
Кривые индукции и намагничивания сверхпроводящего цилиндра в продольном поле . . . . . . . . . . . . . . . .
55

V.2.
Кривые индукции и намагничивания сверхпроводящего шара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

V.3.
Равновесная энергия сверхпроводящего состояния . . . .
57

V.4.
Глубина проникновения магнитного поля . . . . . . . . . .
58

V.5.
Проникновение магнитного поля в сверхпроводящую пластину . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

V.6.
Критический ток оловянной проволоки . . . . . . . . . . .
61

V.7.
Критическое поле пленки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

V.8.
Второе критическое магнитное поле сверхпроводника
второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

V.9.
Намагниченность сверхпроводника второго рода . . . . .
65

V.10.
Время электронной релаксации
. . . . . . . . . . . . . . . .
67

VI.1.
Радиус куперовской пары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

VI.2.
Критическое магнитное поле для сверхпроводящего шарика малого радиуса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

VI.3.
Эффективный заряд сверхпроводника . . . . . . . . . . . .
73

VI.4.
Эффект Джозефсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

5

Список иллюстраций

Рис.
Стр.

I.1
Определение количества электронов на элементарную
ячейку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

I.2
Первые семь зон Бриллюэна двумерной квадратной решётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

I.3
Элементарная ячейка иттрий-бариевого купрата . . . . . .
10

I.4
Построение контура Ферми в третьей зоне Бриллюэна
двумерной квадратной решётки . . . . . . . . . . . . . . . .
12

I.5
Графическое определение зонной структуры для барьеров различной проницаемости . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

I.6
Спектр в периодическом δ-потенциале: схема привидённых зон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

I.7
Спектр в периодическом δ-потенциале: расширенная
схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

I.8
Контуры Ферми двумерной квадратной решетки . . . . . .
18

I.9
Кристаллическая структура графена . . . . . . . . . . . . . .
21

I.10
Основные векторы решётки и элементарная ячейка графена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

I.11
Обратная решётка графена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

I.12
Первая зона Бриллюэна графена . . . . . . . . . . . . . . . .
23

I.13
Кристаллическая структура графена . . . . . . . . . . . . . .
24

I.14
Дисперсионная поверхность графена в приближении
сильной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

I.15
Потенциал вблизи поверхности кристалла . . . . . . . . . .
28

I.16
Работа выхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

III.1
Блоховские осцилляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

6

IV.1
Правила векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . .
44
IV.2
Выражение для магнетосопротивления . . . . . . . . . . . .
46
IV.3
Поверхность Ферми золота, рассчитанная в приближении сильной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
IV.4
Цепь, образованная проводниками из двух разных металлов в градиенте температуры . . . . . . . . . . . . . . . .
48

V.1
Кривые намагничивания бесконечно длинного сверхпроводящего цилиндра в продольном магнитном поле
.
56
V.2
Искажение однородного магнитного поля сверхпроводящим шаром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
V.3
Кривые намагничивания сверхпроводящего шара . . . . .
58
V.4
Сверхпроводник в однородном внешнем магнитном поле, приложенном параллельно поверхности . . . . . . . . .
59
V.5
Сверхпроводящая пластина в продольном внешнем
магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
V.6
Кривая намагничивания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
V.7
Коллективизрованные электроны в модели Зоммерфельда 68

Раздел I

Электрон в пространственно-периодическом поле. Теорема
Блоха. Энергетический спектр. Концепция ферми-жидкости
Ландау. Поверхность Ферми в металле

Задача I.1. Определить числа электронов, приходящихся на одну элементарную ячейку двумерной квадратной решётки, необходимых для
заполнения первых трех и первых семи зон Бриллюэна.

Реш е ни е. Построим первые семь зон Бриллюэна (рис. I.1).

2π/𝑎

1

2

3

4

5

6

7

Z = 16

O

B

A

Рис. I.1. Определение чисел
электронов на элементарную ячейку, которые необходимы для заполнения первых трех зон и первых семи зон двумерной квадратной решётки

В случае двумерной квадратной решётки радиус окружности Ферми, которая отделяет заполненные электронные состояния от свободных, равен

𝑘􏹗 = √2πZ

𝑎
,
(I.1)

где Z — число электронов, которое приходится на одну элементарную ячейку; 𝑎 – период решётки. Радиус окружности Ферми удобно

8

Электрон в пространственно-периодическом поле
9

выразить в единицах, равных периоду обратной решётки:

𝑘􏹗 =
􏽰

Z
2π
2π
𝑎 .

Максимально удаленная от начала координат точка третьей зоны
(точка А) находится от него на расстоянии 𝑟􏹠􏹒 = π√5/𝑎 (рис. I.2).

1
2

3

4

5

6

7

Z = 8
Z = 16

O

B

A

Рис. I.2. Первые семь зон Бриллюэна
двумерной квадратной решётки. Полностью показана только 1/4 изображения в правом квадранте, остальные 3/4 достраиваются с учетом симметрии

Число электронов на элементарную ячейку, которое необходимо
для заполнения первых трёх зон, определяется из условия

𝑘􏹗(Z − 1) < 𝑟􏹠􏹒 < 𝑘􏹗(Z) ,

которое приводит к Z = 8. Аналогично из условия

𝑘􏹗(Z − 1) < 𝑟􏹠􏹓 < 𝑘􏹗(Z) ,

где 𝑟􏹠􏹓 = π√10/𝑎, получаем, что для заполнения первых семи зон
необходимо 16 электронов на элементарную ячейку.

Задача I.2. В 1987 г. Ву с соавторами открыли состоящее из иттрия,
бария, меди и кислорода соединение с рекордной для того времени тем

Раздел I

пературой перехода в сверхпроводящее состояние 93 К¹. Элементарная
ячейка этого соединения, показанная на рис. I.3, представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами 𝑎 = 3,8231 Å, 𝑏 = 3,8864 Å и
𝑐 = 11,6807 Å. Определить решётку Браве и число атомов каждого элемента в базисе. Как изменится решётка Браве и химическая формула,
если убрать атомы кислорода, расположенные в позициях 1 (см. рис. I.3)
на серединах рёбер верхнего и нижнего оснований элементарной ячейки?

Cu
O

𝑎

𝑏

𝑐

1

1

1

1

Рис. I.3. Элементарная ячейка иттрий-бариевого купрата

Ре ше ни е. Углы между кристаллографическими осями равны 90􏸎, а
все постоянные решётки разные, поэтому пространственная решётка рассматриваемого соединения относится к ромбической системе.
Элементарная ячейка является примитивной, поэтому решётка Бра
¹ Superconductivity at 93 K in a new mixed-phase Y−Ba−Cu−O compound system at ambient
pressure / M. K. Wu, J. R. Ashburn, C. J. Torng [и др.] // Physical Review Leers. 1987. Март.
Т. 58, № 9. С. 908—910.

Электрон в пространственно-периодическом поле
11

ве — примитивная орторомбическая. Базис содержит 1 атом иттрия,
2 атома бария, 3 атома меди и 7 атомов кислорода соответственно,
поэтому химическая формула — YBa2Cu3O7. Удаление расположенных в позициях 1 атомов кислорода приводит к элементарной ячейке с α = β = γ = 90􏸎, 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐, что соответствует примитивной тетрагональной решётке Браве. Химическая формула тетрагональной
фазы — YBa2Cu3O6. Интересно отметить, что эта фаза является изолятором.

Задача I.3. Построить поверхность Ферми в третьей зоне Бриллюэна
двумерной квадратной решётки для четырехвалентного металла методом Харрисона.

Ре ше н и е. Метод построения поверхности Ферми металлов в приближении почти свободных электронов с использованием схемы повторяющихся зон был предложен Харрисоном¹,². Предположим, что
возмущающий потенциал в схеме почти свободных электронов мал.
Тогда вS трехмерном случае поверхности постоянной энергии должны быть сферами, а в двумерном случае контуры постоянной энергии должны быть окружностями. В случае двумерной квадратной
решётки радиус окружности Ферми равен

𝑘􏹗 = √2πZ

𝑎
,

где Z – число электронов; 𝑎 – период решётки.
Площадь окружности свободных электронов равна площади зоны Бриллюэна, умноженной на Z/2.
Построим такие окружности с центрами в каждом узле обратной
решётки. Каждая точка обратного пространства, которая лежит внутри по крайней мере одной из окружностей, соответствует занятому
состоянию в первой зоне Бриллюэна. Точки, лежащие по крайней
мере в 𝑛 окружностях, соответствуют занятым состояниям в 𝑛-й зоне

¹ Harrison W. A. Fermi Surface in Aluminum // Physical Review. 1959. Нояб. Т. 116, № 3.
С. 555—561.

² Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. М.: Мир, 1968.