Введение в динамику и энергетику атмосферы

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ  
И ЭНЕРГЕТИКУ АТМОСФЕРЫ

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г. М. Швед

Учебное пособие

УДК 551.5
ББК 26.233
 
Ш34

Реценз ен ты:  д-р физ.-мат. наук, проф. А. И. Погорельцев  
 
(Рос. гос. гидрометеорологический ун-т);  
 
д-р физ.-мат. наук, проф. Н. М. Гаврилов (С.-Петерб. гос. ун-т)

Рекомендовано к публикации  
Учебно-методической комиссией физического факультета  
Санкт-Петербургского государственного университета

Ш34
Швед Г. М.
Введение в динамику и энергетику атмосферы: учеб. пособие. — 
СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2020. — 396 с. 
ISBN 978-5-288-06029-8

В книге излагаются основные сведения о движениях атмосферы всех типов и на 
всех высотных уровнях, в том числе о турбулентности, разномасштабных конвективных 
движениях, макровихрях, планетарных струях, тропических колебаниях, мезомасштабных и глобальных волнах и системах циркуляции, ими формируемых. Рассматриваются 
преобразование энергии и перенос момента импульса атмосферы, следствия этих процессов, а также тепловой баланс атмосферы. Процессы в земной атмосфере сопоставляются 
с процессами в атмосферах других планет.
Предназначено студентам и аспирантам, специализирующимся в области метеорологии, физики и химии атмосферы и других наук, которые связаны с изучением окружающей среды, а также исследователям, работающим в указанных областях. 

УДК 551.5
ББК 26.233

  
© Санкт-Петербургский  
 
 
государственный университет, 2020
ISBN 978-5-288-06029-8 
© Г. М. Швед, 2020

Оглавление

Предисловие ............................................................................................................ 
7

Глава 1. Основные уравнения динамики и термодинамики .................. 
9

1.1. Общее уравнение баланса субстанции .........................................  
9

1.2.  Кинетическое уравнение Больцмана ............................................  
10

1.3.  Общий вид уравнения баланса субстанции в кинетической 
теории газа ...........................................................................................  
13

1.4.  Уравнения неразрывности...............................................................  
14

1.5.  Уравнение движения .........................................................................  
16

1.6.  Локальное термодинамическое равновесие ...............................  
23

1.7.  Уравнение энергии ............................................................................  
28

1.8.  Полуэмпирические гипотезы для молекулярных диффузии,  
вязкости и теплопроводности .........................................................  
35

1.9.  Адиабатический процесс в атмосфере ..........................................  
37

1.10. Статический критерий устойчивости атмосферы .......................  
41

Глава 2. Турбулентность ..................................................................................... 
45

2.1.  Турбулентные пульсации гидродинамических величин ..........  
45

2.2.  Уравнения гидродинамики в турбулизованной среде ..............  
49

2.3.  Полуэмпирическое представление  
турбулентных потоков .......................................................................  
54

2.4.  Критерий устойчивости Рейнольдса ..............................................  
58

2.5.  Уравнения баланса турбулентных пульсаций .............................  
62

2.6.  Критерий устойчивости Ричардсона .............................................  
67

2.7.  Статистическое описание турбулентности ...................................  
71

2.8.  Спектральное представление турбулентных процессов ..........  
77

2.9.  Турбулентная диффузия примеси ...................................................  
83

Глава 3. Способы описания состояния и движений атмосферы ............ 
89

3.1.  Уравнение движения для вращающейся  
сферической атмосферы ...................................................................  
89

3.2.  Масштабы атмосферных движений ...............................................  
92

3.3.  Гидростатическое равновесие в атмосфере ................................  
97

3.4.  Представление уравнений  
в изобарической системе координат .............................................  
102

3.5.  Классификация движений по критериям подобия .....................  
105

3.6.  Термический ветер ............................................................................  
110

3.7.  Завихренность ....................................................................................  
114

3.8.  Адаптация гидродинамических полей  
к геострофическому равновесию ...................................................  
117

3.9.  Уравнения абсолютной и потенциальной завихренности .......  
122

3.10. Уравнение вертикальных движений .............................................  
127

Глава 4. Пограничный слой ............................................................................... 
129

4.1.  Толщина пограничного слоя ...........................................................  
129

4.2.  Основные уравнения .........................................................................  
131

4.3.  Теории подобия для пограничного слоя ......................................  
134

4.4.  Замыкание системы уравнений ......................................................  
140

4.5.  Изменение ветра с высотой .............................................................  
142

4.6.  Воздействие ветров на движения в океанах и морях ................  
148

Глава 5. Конвекция ............................................................................................ 
155

5.1.  Физические механизмы термической конвекции ......................  
155

5.2.  Конвекция Рэлея — Бенара ..............................................................  
157

5.3.  Конвекция в атмосфере, создаваемая горизонтальным 
перепадом температуры ...................................................................  
170

5.4.  Роль фазовых переходов воды в конвекции................................  
177

5.5.  Формы энергии в общей циркуляции атмосферы ......................  
182

5.6.  Приближенное выражение для доступной  
потенциальной энергии ...................................................................  
185

5.7.  Уравнения кинетической  
и доступной потенциальной энергий ............................................  
189

Глава 6. Момент импульса ................................................................................. 
193

6.1.  Сохранение момента импульса атмосферы .................................  
193

6.2.  Перенос момента импульса в атмосфере .....................................  
198

6.3.  Горизонтальная конфигурация поля давления ...........................  
205

6.4.  Вариации скорости вращения Земли ............................................  
207

Глава 7. Макровихри и среднеширотная метеорология .......................... 
209

7.1.  Основные особенности движений в макровихрях .....................  
209

7.2.  Опыты во вращающихся сосудах....................................................  
213

7.3.  Математические модели неустойчивости  
зональных течений ............................................................................  
219

7.4.  Меридиональный перенос тепла  
и бароклинная регулировка ............................................................  
226

7.5.  Энергетический цикл Лоренца .......................................................  
228

7.6.  Пространственная структура метеорологических полей 
в среднеширотной тропосфере ......................................................  
235

7.7.  Фронтальные зоны и воздушные массы .......................................  
237

7.8.  Внетропические циклоны ................................................................  
244

7.9.  Тропические циклоны .......................................................................  
249

Глава 8. Колебания и волны ............................................................................ 
255

8.1.  Классификация атмосферных волн ................................................  
255

8.2.  Акустико-гравитационные волны ...................................................  
260

8.3.  Уравнение энергии акустико-гравитационной волны ..............  
270

8.4.  Линейная теория глобальных волн ...............................................  
272

8.5.  Собственные колебания атмосферы ..............................................  
280

8.6.  Вынуждаемые глобальные волны ..................................................  
287

8.7.  Затухание волн с высотой ................................................................  
304

8.8.  Влияние волн на циркуляцию атмосферы ...................................  
308

8.9.  Тропические колебания ....................................................................  
320

Глава 9. Тепловой баланс ................................................................................. 
325

9.1.  Процессы, определяющие температуру атмосферы ..................  
325

9.2.  Нагревание атмосферы солнечным излучением .......................  
327

9.3.  Тепловые эффекты переноса теплового излучения 
атмосферы ............................................................................................  
335

9.4.  Парниковый эффект ...........................................................................  
345

9.5.  Теплопроводность в атмосфере ......................................................  
355

9.6.  Остальные механизмы нагревания  
и охлаждения атмосферы .................................................................  
359

9.7.  Вертикальный «профиль» температуры .......................................  
361

Использованная литература ................................................................................ 
368

Рекомендованная литература ............................................................................. 
370

Список сокращений ............................................................................................... 
380

Принятые обозначения ......................................................................................... 
381

Предметный указатель .......................................................................................... 
388

Предисловие

В основу книги положены лекции по динамике и энергетике атмосферы, которые автор в течение многих лет читал на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета студентам кафедры физики атмосферы. Существует ряд монографий и учебников по динамике атмосферы, 
написанных специалистами в этой области. Они, несомненно, повлияли на 
содержание данного издания. Особенно хочется отметить книгу Джеймса 
Р. Холтона «Введение в динамическую метеорологию». Однако автор полагает, 
что по подбору материала и способу изложения его книга отличается от уже 
вышедших в свет. Основная цель книги — объяснить главные наблюдаемые закономерности в пространственно-временной изменчивости физических (метеорологических) параметров атмосферы и прежде всего объяснить ветровую 
и температурную структуры атмосферы. (Дать полное представление о взаимосвязи процессов в атмосфере, что составляет, например, предмет климатических исследований, не является целью книги.) 
Автор сознательно отошел от традиционного изложения, когда книга об 
атмосфере начинается со знакомства с наблюдаемыми основными особенностями полей метеорологических параметров атмосферы. Предполагается, что 
читатель имеет общие представления об атмосфере, хотя бы на основании личного опыта. Наблюдаемые особенности указанных полей излагаются в книге 
вместе с их объяснением. Наибольшее внимание в книге уделяется земной атмосфере. Однако в ряде случаев органичным оказывается сравнительное рассмотрение процессов в атмосферах Земли и других планет.
Количество положений, которые вводятся в изложение без обоснования, 
минимизировано. Предпочтение отдается математическим доказательствам 
с использованием простых моделей и численным оценкам по порядку величины. И лишь при невозможности это сделать простым, не громоздким способом приходится прибегать к обоснованию с помощью только физических 
рассуждений, вплоть до использования мысленных экспериментов. 
Из книги исключен ряд сюжетов, традиционно повторяющихся в изданиях по динамике атмосферы. Они, по мнению автора, ничего не добавляют 

Предисловие
8

к пониманию физики явления, а представляют собой лишь общепринятые модели процессов. В то же время вопросы, которые в других книгах или упоминаются вскользь, или вообще не рассмотрены, здесь обсуждаются достаточно 
подробно. Это прежде всего касается обоснованности приближений и способов, используемых для описания динамических и энергетических процессов 
в атмосфере. Чтобы установить связь между различными формами записи основных уравнений гидродинамики, в книге дан их вывод из молекулярно-кинетической теории газа, что нетрадиционно для учебников и монографий по 
динамике атмосферы. Другим нетрадиционным элементом является включение в текст фрагментов, заимствованных из классической гидродинамики 
несжимаемой жидкости. Это делается тогда, когда явление наиболее просто 
может быть объяснено в рамках классической гидродинамики.
Глубоко признателен А. И. Погорельцеву, который прочитал всю рукопись 
и сделал ряд полезных замечаний, а также консультировал автора по некоторым вопросам глобальных волн. Особую благодарность выражаю Н. А. Козловой и Н. В. Карповой за помощь в подготовке рукописи к печати и в изготовлении рисунков. Неоценима помощь Е. В. Воробьевой на завершающей стадии 
подготовки рукописи к печати.

Чтение книги предполагает знакомство читателя с математическим анализом в объеме технических университетов.

Глава 1

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 
И ТЕРМОДИНАМИКИ

1.1. Общее уравнение баланса субстанции

Планетная атмосфера является движущейся сплошной средой. Физические 
величины, характеризующие сплошную среду в каждой пространственной 
точке, представляют собой поля, то есть меняются в пространстве непрерывно. Из физических характеристик сплошной среды основными являются 
плотность, давление, температура и скорость ее движения. Установление закономерностей в пространственно-временных изменениях полей указанных 
и других физических величин и обнаружение связей между полями разных 
величин является предметом исследования в гидродинамике, к разделам которой относится динамика атмосферы.
Локальное (в некоторой точке пространства) изменение физической величины со временем t для сплошной среды может быть записано в единой 
форме — в форме уравнения баланса субстанции, под которой понимается 
некоторая физическая величина. Особенностью этого уравнения является 
разделение механизмов, контролирующих временнóе изменение плотности 
субстанции, q, в некоторой точке на две принципиально отличные категории. 
Первая соответствует механизмам переноса субстанции в пространстве 
и описывается с использованием вектора плотности потока субстанции, F, 
суммирующим действие всех этих механизмов. Вторая соответствует механизмам возникновения и исчезновения субстанции (ее источникам и стокам) 
и задается источником Q, который представляет собой результирующее изменение субстанции за единицу времени в единице объема. Если доминируют 
процессы возникновения субстанции, то Q > 0, если — исчезновения, то Q < 0.
Скорость изменения содержания субстанции в некотором объеме V 
с площадью поверхности S определяется уравнением

 

8

Глава 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 

И ТЕРМОДИНАМИКИ

1.1. Общее уравнение баланса субстанции

Планетная атмосфера является движущейся сплошной средой. Физические величины, 

характеризующие сплошную среду в каждой пространственной точке, представляют 

собой поля, то есть меняются в пространстве непрерывно. Из физических характеристик 

сплошной среды основными являются плотность, давление, температура и скорость ее

движения. Установление закономерностей в пространственно-временных изменениях 

полей указанных и других физических величин и обнаружение связей между полями 

разных величин является предметом исследования в гидродинамике, к разделам которой 

относится динамика атмосферы.

Локальное (в некоторой точке пространства) изменение физической величины со 

временем t для сплошной среды может быть записано в единой форме — в форме 

уравнения баланса субстанции, под которой понимается некоторая физическая величина. 

Особенностью этого уравнения является разделение механизмов, контролирующих 

временнóе изменение плотности субстанции, q, в некоторой точке на две принципиально 

отличные категории. Первая соответствует механизмам переноса субстанции в 

пространстве и описывается с использованием вектора плотности потока субстанции,

F, суммирующим действие всех этих механизмов. Вторая соответствует механизмам 

возникновения и исчезновения субстанции (ее источникам и стокам) и задается 

источником Q, который представляет собой результирующее изменение субстанции за 

единицу времени в единице объема. Если доминируют процессы возникновения 

субстанции, то Q > 0, если — исчезновения, то Q < 0.

Скорость изменения содержания субстанции в некотором объеме V с площадью 

поверхности S определяется уравнением

,
(1.1.1)

где dV — элемент объема, dS — вектор элемента поверхности рассматриваемого объема. 

Знак минус в члене, описывающем пространственный перенос, обусловлен тем, что 

положительное направление вектора dS определено наружу из объема. Использование в

(1.1.1) формулы Остроградского — Гаусса

(1.1.2)

(
)
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
+
⋅
−
=
∂
∂

V
S
V

dV
Q
dV
q
t
dS
F
, 
(1.1.1)

где dV — элемент объема, dS — вектор элемента поверхности рассматриваемого объема. Знак минус в члене, описывающем пространственный перенос, 

Глава 1. Основные уравнения динамики и термодинамики
10

обусловлен тем, что положительное направление вектора dS определено наружу из объема. Использование в (1.1.1) формулы Остроградского — Гаусса

 

8

Глава 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ 

И ТЕРМОДИНАМИКИ

1.1. Общее уравнение баланса субстанции

Планетная атмосфера является движущейся сплошной средой. Физические величины, 

характеризующие сплошную среду в каждой пространственной точке, представляют 

собой поля, то есть меняются в пространстве непрерывно. Из физических характеристик 

сплошной среды основными являются плотность, давление, температура и скорость ее

движения. Установление закономерностей в пространственно-временных изменениях 

полей указанных и других физических величин и обнаружение связей между полями 

разных величин является предметом исследования в гидродинамике, к разделам которой 

относится динамика атмосферы.

Локальное (в некоторой точке пространства) изменение физической величины со 

временем t для сплошной среды может быть записано в единой форме — в форме 

уравнения баланса субстанции, под которой понимается некоторая физическая величина. 

Особенностью этого уравнения является разделение механизмов, контролирующих 

временнóе изменение плотности субстанции, q, в некоторой точке на две принципиально 

отличные категории. Первая соответствует механизмам переноса субстанции в 

пространстве и описывается с использованием вектора плотности потока субстанции,

F, суммирующим действие всех этих механизмов. Вторая соответствует механизмам 

возникновения и исчезновения субстанции (ее источникам и стокам) и задается 

источником Q, который представляет собой результирующее изменение субстанции за 

единицу времени в единице объема. Если доминируют процессы возникновения 

субстанции, то Q > 0, если — исчезновения, то Q < 0.

Скорость изменения содержания субстанции в некотором объеме V с площадью 

поверхности S определяется уравнением

,
(1.1.1)

где dV — элемент объема, dS — вектор элемента поверхности рассматриваемого объема. 

Знак минус в члене, описывающем пространственный перенос, обусловлен тем, что 

положительное направление вектора dS определено наружу из объема. Использование в

(1.1.1) формулы Остроградского — Гаусса

(1.1.2)

(
)
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
+
⋅
−
=
∂
∂

V
S
V
dV
Q
dV
q
t
dS
F

(
)
∫∫
∫∫∫ ⋅
=
⋅

S
V

dV
F
dS
F
∇
 
 (1.1.2)

дает уравнение баланса субстанции:

 

9

дает уравнение баланса субстанции:

,
(1.1.3)

где xj — j-я пространственная координата. За исключением специально оговоренных 

случаев здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Далее в главе 1 в виде (1.1.3) будут получены основные уравнения гидродинамики, 

соответствующие законам сохранения массы, импульса и энергии, а также выведено 

уравнение баланса для компоненты смеси газов. В главе 2 в виде (1.1.3) будет 

представлено обобщение указанных уравнений на турбулизованную сплошную среду.

1.2. Кинетическое уравнение Больцмана

В случае не очень плотных газов явный вид величин q, F и Q для основных уравнений 

гидродинамики и уравнения баланса для компоненты смеси газов может быть получен из 

молекулярно-кинетической теории газа. Эта теория развита для общего случая 

неравновесных газов, не находящихся в условиях термодинамического равновесия.

Состояние системы, содержащей N молекул, в каждый момент времени t определяется 

совокупностью радиус-векторов r и векторов скорости 

Q
x
F
t
q/
j
j
+
−
=
∂
∂
∂
∂
/
, 
 (1.1.3)

где xj — j-я пространственная координата. За исключением специально оговоренных случаев здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается 
суммирование.
Далее в главе 1  в виде (1.1.3) будут получены основные уравнения гидродинамики, соответствующие законам сохранения массы, импульса и энергии, 
а также выведено уравнение баланса для компоненты смеси газов. В главе 2  
в виде (1.1.3) будет представлено обобщение указанных уравнений на турбулизованную сплошную среду.

1.2. Кинетическое уравнение Больцмана

В случае не очень плотных газов явный вид величин q, F и Q для основных 
уравнений гидродинамики и уравнения баланса для компоненты смеси газов 
может быть получен из молекулярно-кинетической теории газа. Эта теория 
развита для общего случая неравновесных газов, не находящихся в условиях 
термодинамического равновесия.
Состояние системы, содержащей N молекул, в каждый момент времени 
t определяется совокупностью радиус-векторов r и векторов скорости ξ всех 
молекул. Таким образом, состоянию системы в момент t в 6N-мерном фазовом 
пространстве соответствует точка (r1, r2,…, rN; ξ1, ξ2, …, ξN). Разные состояния 
имеют различную вероятность реализации, что описывается с помощью плотности вероятности системы находиться около заданной точки фазового пространства, wN (t; r1, r2, …, rN; ξ1, ξ2, …, ξN).
Хотя N-частичная функция wN точно описывает состояние газовой системы, использовать ее невозможно, так как N очень велико. Однако в этом 
и нет необходимости — репрезентативное описание состояния газа требует 
наличия функции wN для сравнительно малого N, равного числу молекул,  
с которыми каждая молекула одновременно взаимодействует. Наиболее простое описание системы возможно, когда газ настолько разрежен, что длительность взаимодействия (столкновения) молекул много меньше времени их 
свободного пробега, то есть каждая молекула подавляющую часть времени 
не взаимодействует с соседними. Тогда wN можно представить с помощью од

1.2. Кинетическое уравнение Больцмана

ночастичной плотности вероятности в шестимерном фазовом пространстве, 
w1(t, r, ξ), как произведение вероятностей независимых событий:

 

9

дает уравнение баланса субстанции:

,
(1.1.3)

где xj — j-я пространственная координата. За исключением специально оговоренных

случаев здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Далее в главе 1 в виде (1.1.3) будут получены основные уравнения гидродинамики, 

соответствующие законам сохранения массы, импульса и энергии, а также выведено 

уравнение баланса для компоненты смеси газов. В главе 2 в виде (1.1.3) будет

представлено обобщение указанных уравнений на турбулизованную сплошную среду.

1.2. Кинетическое уравнение Больцмана

В случае не очень плотных газов явный вид величин q, F и Q для основных уравнений 

гидродинамики и уравнения баланса для компоненты смеси газов может быть получен из 

молекулярно-кинетической теории газа. Эта теория развита для общего случая 

неравновесных газов, не находящихся в условиях термодинамического равновесия.

Состояние системы, содержащей N молекул, в каждый момент времени t определяется 

совокупностью радиус-векторов r и векторов скорости 

), 

как произведение вероятностей независимых событий:

. 
(1.2.1)

Представление (1.2.1) называется приближением «молекулярного хаоса». Это 

приближение допускает физически невозможное одновременное нахождение молекул в 

Q
x
F
t
q/
j
j
+
−
=
∂
∂
∂
∂
/

(
)
(
)
(
)
N
N
N
1
2
2
1
1
1
1
r
r
w   = w   t,   ,ξ    w   t,r ,ξ     ... w   t,    ,ξ
. 
 (1.2.1)

Представление (1.2.1) называется приближением «молекулярного хаоса». 
Это приближение допускает физически невозможное одновременное нахождение молекул в одной пространственной точке. Тем не менее описание 
движения газа и тепловых эффектов в нем с использованием одночастичной 
плотности вероятности w1 находит широкое применение. Например, оно полностью оправданно для плотностей и температур газа, имеющих место в атмосфере Земли. Поэтому наше дальнейшее рассмотрение газовой кинетики 
будет основано на использовании функции w1(t, r, ξ).
Введем понятие сорта молекул, обозначаемого индексом α. Под сортом 
понимается своеобразие компоненты газовой смеси, определяемое ее химической формулой, причем атомный газ понимается как частный случай молекулярного газа. Удобно от функции w1 перейти к функции распределения  
fα (t, r, ξ), представляющей собой вероятное количество молекул сорта α в единице объема шестимерного фазового пространства около его точки (r, ξ) в момент времени t. Если состояние одной молекулы в шестимерном фазовом пространстве задается точкой, то fα (t, r, ξ) понимается как число точек, равное 
количеству молекул, состояния которых принадлежат единице объема этого 
пространства около его точки (r, ξ). Интеграл от  fα по всему фазовому пространству

 

10

одной пространственной точке. Тем не менее описание движения газа и тепловых 

эффектов в нем с использованием одночастичной плотности вероятности w1 находит 

широкое применение. Например, оно полностью оправдано для плотностей и температур 

газа, имеющих место в атмосфере Земли. Поэтому наше дальнейшее рассмотрение 

газовой кинетики будет основано на использовании функции w1(t, r,

). Интеграл от fα по всему фазовому пространству

,
(1.2.2)

где Nα — число молекул сорта α в системе, dVx = dx1dx2dx3 — элемент объема обычного 

трехмерного пространства, dVξ = dξ1 dξ2 dξ3 — элемент объема в пространстве скоростей 

молекулы. Поскольку аналогичный интеграл от w1α(t, r,

∫∫∫
∫∫∫
=
α
α
ξ
N
f
dV
dVx
, 
 (1.2.2)

где Nα — число молекул сорта α в системе, dVx = dx1dx2dx3  — элемент объема 
обычного трехмерного пространства,  dVξ = dξ1 dξ2 dξ3  — элемент объема в пространстве скоростей молекулы. Поскольку аналогичный интеграл от w1α(t, r, ξ) 
равен 1, то fα = Nα w1α. Из определения fα  также следует:

 

10

одной пространственной точке. Тем не менее описание движения газа и тепловых 

эффектов в нем с использованием одночастичной плотности вероятности w1 находит 

широкое применение. Например, оно полностью оправдано для плотностей и температур 

газа, имеющих место в атмосфере Земли. Поэтому наше дальнейшее рассмотрение 

газовой кинетики будет основано на использовании функции w1(t, r,

) равен 1, то fα = Nα w1α . Из 

определения fα также следует:

,
(1.2.3)

где nα — концентрация молекул сорта α.

Кинетическое уравнение Больцмана представляет собой уравнение баланса типа (1.1.3) 

для функции распределения fα , в шестимерном фазовом пространстве (q = fα). 

Рассмотрим, что будут представлять собой в этом случае шесть компонент вектора F.

Состояние молекулы, задаваемое точкой (r,

, а скорость ее меняется, потому что на молекулу действует сила fV. (Заметим, 

что в молекулярно-кинетической теории газов и в гидродинамике принято силу 

записывать для единицы массы, а значит, она имеет размерность ускорения.) Вектор F в 

кинетическом уравнении Больцмана определяет перемещение точек, описывающих 

∫∫∫
∫∫∫
=
α
α
ξ
N
f
dV
dVx

∫∫∫
=
α
α
ξ
n
f
dV
, 
 (1.2.3)

где nα — концентрация молекул сорта α.
Кинетическое уравнение Больцмана представляет собой уравнение баланса типа (1.1.3) для функции распределения fα , в шестимерном фазовом 
пространстве (q = fα). Рассмотрим, что будут представлять собой в этом случае 
шесть компонент вектора F. Состояние молекулы, задаваемое точкой (r, ξ) 
в фазовом пространстве, непрерывно изменяется за время свободного пробега молекулы между столкновениями. Пространственные координаты молекулы меняются, потому что молекула движется со скоростью ξ, а скорость ее 
меняется, потому что на молекулу действует сила fV. (Заметим, что в молеку

Глава 1. Основные уравнения динамики и термодинамики
12

лярно-кинетической теории газов и в гидродинамике принято силу записывать для единицы массы, а значит, она имеет размерность ускорения.) Вектор 
F в кинетическом уравнении Больцмана определяет перемещение точек, описывающих состояния молекул в шестимерном фазовом пространстве. Компонента1 вектора F в точке (r, ξ) представляет собой произведение плотности 
состояний около данной точки,  fα (t, r, ξ), на скорость изменения координаты, 
соответствующей данной компоненте, в той же точке. Скорость изменения 
пространственной координаты xj — это ξj, а скорость изменения скоростной 
координаты ξj — это ускорение fV,j . Соответственно, компоненты F имеют вид 
fα ξj и fα fV, j. Отсюда в кинетическом уравнении Больцмана дивергенция потока 
∇ ⋅ F содержит шесть слагаемых:

 

11

состояния молекул в шестимерном фазовом пространстве. Компонента1 вектора F в точке 

(r,

⋅ F содержит шесть слагаемых:

.
(1.2.4)

Изменение скорости молекулы по величине и направлению также происходит за 

короткое время столкновения, причем скорость изменяется скачкообразно. При 

столкновениях, кроме того, могут происходить химические реакции, то есть возникать и 

исчезать молекулы сорта α . Указанные процессы вводятся в кинетическое уравнение 

Больцмана в качестве источника Q = Cα (t, r,

(
)
(
)
j
j
V
j
j
f
f
x
f
∂ξ
∂
∂
ξ
∂
α
α
/
/
+
=
⋅ F
∇
. 
(1.2.4)

Изменение скорости молекулы по величине и направлению также происходит за короткое время столкновения, причем скорость изменяется скачкообразно. При столкновениях, кроме того, могут происходить химические 
реакции, то есть возникать и исчезать молекулы сорта α . Указанные процессы вводятся в кинетическое уравнение Больцмана в качестве источника  
Q = Cα(t, r, ξ), определяемого как столкновительное изменение за единицу 
времени около момента времени t количества молекул сорта α в состояниях, 
которые принадлежат единице объема шестимерного фазового пространства 
около его точки (r, ξ).
Итак, кинетическое уравнение Больцмана имеет вид

 
(
)
(
)

α
α
α
α
ξ

ξ
C
f
f

x

f

t
f

j

j,
V

j

j
+
∂

∂
−
∂

∂
−
=
∂
∂
. 
 (1.2.5)

Поскольку член Cα  учитывает столкновения, он содержит произведения 
функций распределения для молекул как одинакового, так и разных сортов. 
Член Cα представляет собой многократный интеграл по компонентам скорости и пространственным координатам, так как он должен учитывать все 
разнообразие скоростей и пространственных траекторий сталкивающихся 
молекул. Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана представляет 
собой нелинейное интегродифференциальное уравнение, решение которого 
нетривиально. Вид Cα, кроме того, зависит от характера межмолекулярных сил 
при столкновениях, которые описываются лишь с помощью более или менее 
репрезентативных моделей. Можно заключить, что теоретический расчет реалистичных  fα (t, r, ξ) не только очень сложен, но  и во многих случаях пробле
1 
Определение компонент вектора F в принципе аналогично определению плотности 
потока молекул сорта α в j-м направлении за счет движения газа как целого в этом 
направлении со скоростью υj: плотность потока равна nαυj. 

1.3. Общий вид уравнения баланса субстанции в кинетической теории газа

матичен. К счастью, явный вид Cα для вывода основных уравнений гидродинамики не понадобится.

1.3. Общий вид уравнения баланса субстанции 
в кинетической теории газа

Уравнение (1.2.5) позволяет получить общий вид уравнения баланса субстанции уже в обычном трехмерном пространстве. В разделах 1.4, 1.5  и 1.7 этот 
общий вид будет использован для вывода основных уравнений гидродинамики в приложении к не очень плотным газам.
Введем некоторую физическую величину ψα , характеризующую одну молекулу сорта α и зависящую в общем случае от компонент вектора ξ. Уравнение 
(1.2.5) умножим на нее и проинтегрируем по всему пространству скоростей:

 

12

счастью, явный вид Cα для вывода основных уравнений гидродинамики не 

понадобится.1.3. Общий вид уравнения баланса субстанции в 

кинетической теории газа

Уравнение (1.2.5) позволяет получить общий вид уравнения баланса субстанции уже в 

обычном трехмерном пространстве. В разделах 1.4, 1.5 и 1.7 этот общий вид будет 

использован для вывода основных уравнений гидродинамики в приложении к не очень 

плотным газам.

Введем некоторую физическую величину ψα , характеризующую одну молекулу сорта 

α и зависящую в общем случае от компонент вектора . Уравнение (1.2.5) умножим на нее

и проинтегрируем по всему пространству скоростей:

. (1.3.1)

Преобразуем каждое из трех слагаемых 2-го члена правой части уравнения (1.3.1). При 

этом, во-первых, учтем, что fV, j либо вообще не зависит от 

(
)
(
)
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∂

∂
−
∂

∂
−
=
∂
∂

α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ψ
C
dV
f
f
dV
x

f
dV
f
dV
t
j

j,
V

j

j
. 
 
 
 
(1.3.1)
Преобразуем каждое из трех слагаемых 2-го члена правой части уравнения (1.3.1). При этом, во-первых, учтем, что  fV, j  либо вообще не зависит от 
ξ, либо зависимость от ξ входит через векторное произведение, как в силах Кориолиса и Лоренца, и следовательно  fV, j ≠ fV, j (ξj). Во-вторых, учтем, что ξj  меняется от –∞ до ∞. Выделим в тройных интегралах 2-го члена интегрирование 
по  ξj  и проинтегрируем по частям:

 
∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

 ∞
=

 −  ∞
=
∂
∂
−
=
∂
∂

j
j
j
j
f
d
f
f
d

j

j
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
α
α

ξ

ξ

α
α
α
α
. 
 (1.3.2)

Чтобы иметь представление о величине 1-го члена правой части (1.3.2), 
сначала рассмотрим кинетическую энергию молекул сорта α в единице объема

12

счастью, явный вид Cα для вывода основных уравнений гидродинамики не 

понадобится.1.3. Общий вид уравнения баланса субстанции в 

кинетической теории газа

Уравнение (1.2.5) позволяет получить общий вид уравнения баланса субстанции уже в 

обычном трехмерном пространстве. В разделах 1.4, 1.5 и 1.7 этот общий вид будет 

использован для вывода основных уравнений гидродинамики в приложении к не очень 

плотным газам.

Введем некоторую физическую величину ψα , характеризующую одну молекулу сорта 

α и зависящую в общем случае от компонент вектора 

входит 

через векторное произведение, как в силах Кориолиса и Лоренца, и следовательно fV, j ≠ fV, j

(ξj). Во-вторых, учтем, что ξj меняется от −∞ до ∞. Выделим в тройных интегралах 2-го 

члена интегрирование по ξj и проинтегрируем по частям:

.
(1.3.2)

Чтобы иметь представление о величине 1-го члена правой части (1.3.2), сначала 

рассмотрим кинетическую энергию молекул сорта α в единице объема 
,

где mα — масса молекулы сорта α. Из конечности этой энергии следует 
при ξj

→ ± ∞. Функции ψα (ξ) являются степенными функциями от ξj: ψα
, причем n = 0, 1 

или 2 (см. разделы 1.4, 1.5 и 1.7). Значит, для любого ψα
. Следовательно, 1-й 

член правой части (1.3.2) равен нулю.

В 1-м члене правой части уравнения (1.3.1) меняем последовательность 

интегрирования и дифференцирования, учитывая, что согласно определению фазового 

пространства скоростные координаты ξj такие же независимые переменные, какими 

являются пространственные координаты xj . Окончательно (1.3.1) записывается как

(
)
(
)
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∂

∂
−
∂

∂
−
=
∂
∂

α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ψ
C
dV
f
f
dV
x

f
dV
f
dV
t
j

j,
V

j

j

∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

∞
=

−∞
=
∂
∂
−
=
∂
∂

j
j
j
j
f
d
f
f
d

j

j
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
α
α

ξ

ξ

α
α
α
α

∫∫∫
∑

=

3

1

2

2
j

j f
m
dV
α

α
ξ
ξ
, 

где mα — масса молекулы сорта α. Из конечности этой энер гии следует 

0
2
→
α
ξ f
j
 при ξj → ± ∞. Функции ψα (ξ) являются степенными функциями от ξj: 
ψα

n
j
ξ
∝
, причем n = 0, 1 или 2 (см. разделы 1.4, 1.5  и 1.7). Значит, для любого ψα 

12

счастью, явный вид Cα для вывода основных уравнений гидродинамики не 

понадобится.1.3. Общий вид уравнения баланса субстанции в 

кинетической теории газа

Уравнение (1.2.5) позволяет получить общий вид уравнения баланса субстанции уже в 

обычном трехмерном пространстве. В разделах 1.4, 1.5 и 1.7 этот общий вид будет 

использован для вывода основных уравнений гидродинамики в приложении к не очень 

плотным газам.

Введем некоторую физическую величину ψα , характеризующую одну молекулу сорта 

α и зависящую в общем случае от компонент вектора 

входит 

через векторное произведение, как в силах Кориолиса и Лоренца, и следовательно fV, j ≠ fV, j

(ξj). Во-вторых, учтем, что ξj меняется от −∞ до ∞. Выделим в тройных интегралах 2-го 

члена интегрирование по ξj и проинтегрируем по частям:

.
(1.3.2)

Чтобы иметь представление о величине 1-го члена правой части (1.3.2), сначала 

рассмотрим кинетическую энергию молекул сорта α в единице объема 
,

где mα — масса молекулы сорта α. Из конечности этой энергии следует 
при ξj

→ ± ∞. Функции ψα (ξ) являются степенными функциями от ξj: ψα
, причем n = 0, 1 

или 2 (см. разделы 1.4, 1.5 и 1.7). Значит, для любого ψα
. Следовательно, 1-й 

член правой части (1.3.2) равен нулю.

В 1-м члене правой части уравнения (1.3.1) меняем последовательность 

интегрирования и дифференцирования, учитывая, что согласно определению фазового 

пространства скоростные координаты ξj такие же независимые переменные, какими 

являются пространственные координаты xj . Окончательно (1.3.1) записывается как

(
)
(
)
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∂

∂
−
∂

∂
−
=
∂
∂

α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ψ
C
dV
f
f
dV
x

f
dV
f
dV
t
j

j,
V

j

j

∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

∞
=

−∞
=
∂
∂
−
=
∂
∂

j
j
j
j
f
d
f
f
d

j

j
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
α
α

ξ

ξ

α
α
α
α

∫∫∫
∑
=

3

1

2
2
j
j f
m
dV
α
α
ξ
ξ

0
2
→
α
ξ f
j

n
j
ξ
∝

±∞
→

=

j
f

ξ
α
α
ψ
0
lim
. Следовательно, 1-й член правой части (1.3.2) равен нулю.

В 1-м члене правой части уравнения (1.3.1) меняем последовательность 
интегрирования и дифференцирования, учитывая, что согласно определению 
фазового пространства скоростные координаты ξj такие же независимые переменные, какими являются пространственные координаты xj. Окончательно 
(1.3.1) записывается как

Глава 1. Основные уравнения динамики и термодинамики
14

13

. (1.3.3)

Интегрирование по всему пространству скоростей молекул привело к свертыванию 

скоростных координат фазового пространства. В результате этого (1.3.3) является 

уравнением баланса в обычном трехмерном пространстве типа уравнения (1.1.3). В записи 

(1.3.3) также указано, какие именно выражения соответствуют величинам q, Fj и Q,

введенным в разделе 1.1. В уравнении (1.3.3) источник Q оказывается состоящим из двух 

разных по физическому смыслу и математическому виду членов Q1 и Q2. Член Q1 обязан 

своим появлением действию силы fV на молекулу во время ее свободного пробега, а Q2

обусловлен молекулярными столкновениями.

1.4. Уравнения неразрывности

Если в (1.3.3) положить ψα = 1, то согласно (1.2.3) q = nα . В этом случае уравнение 

(1.3.3) представляет собой уравнение неразрывности, или уравнение баланса для молекул 

сорта α .

Приведем далее определения ряда физических величин: плотность газовой компоненты 

α

;
(1.4.1)

плотность газа, состоящего из смеси компонент,

(1.4.2)

(суммирование по всем сортам молекул смеси); средняя скорость молекул сорта α

;
(1.4.3)

средняя массовая или макроскопическая скорость движения газа

;
(1.4.4)

тепловая скорость молекулы

;
(1.4.5)

диффузионная скорость молекул сорта α

.
(1.4.6)

Из предшествующих формул следует, что


 

 























2

1

Q
Q

j,
V
j
F

j
j
q

C
dV
f
f
dV
f
dV
x
f
dV
t

j
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂

α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ψ
.

 

(1.3.3)

Интегрирование по всему пространству скоростей молекул привело 
к свертыванию скоростных координат фазового пространства. В результате 
этого (1.3.3) является уравнением баланса в обычном трехмерном пространстве типа уравнения (1.1.3). В записи (1.3.3) также указано, какие именно выражения соответствуют величинам q, Fj и Q, введенным в разделе 1.1. В уравнении (1.3.3) источник Q оказывается состоящим из двух разных по физическому смыслу и математическому виду членов Q1  и Q2. Член Q1 обязан своим 
появлением действию силы fV на молекулу во время ее свободного пробега, 
а Q2  обусловлен молекулярными столкновениями.

1.4. Уравнения неразрывности

Если в (1.3.3) положить ψα = 1, то согласно (1.2.3) q = nα. В этом случае уравнение (1.3.3) представляет собой уравнение неразрывности, или уравнение баланса для молекул сорта α .
Приведем далее определения ряда физических величин: 
плотность газовой компоненты α —
 
α
α
α
ρ
n
m
=
; 
 (1.4.1)

плотность газа, состоящего из смеси компонент, —

 
∑
=

α
α
ρ
ρ
 
 (1.4.2)

(суммирование по всем сортам молекул смеси); средняя скорость молекул 
сорта α —

 

13

. (1.3.3)

Интегрирование по всему пространству скоростей молекул привело к свертыванию 

скоростных координат фазового пространства. В результате этого (1.3.3) является 

уравнением баланса в обычном трехмерном пространстве типа уравнения (1.1.3). В записи 

(1.3.3) также указано, какие именно выражения соответствуют величинам q, Fj и Q,

введенным в разделе 1.1. В уравнении (1.3.3) источник Q оказывается состоящим из двух 

разных по физическому смыслу и математическому виду членов Q1 и Q2. Член Q1 обязан 

своим появлением действию силы fV на молекулу во время ее свободного пробега, а Q2

обусловлен молекулярными столкновениями.

1.4. Уравнения неразрывности

Если в (1.3.3) положить ψα = 1, то согласно (1.2.3) q = nα . В этом случае уравнение 

(1.3.3) представляет собой уравнение неразрывности, или уравнение баланса для молекул 

сорта α .

Приведем далее определения ряда физических величин: плотность газовой компоненты 

α

;
(1.4.1)

плотность газа, состоящего из смеси компонент,

(1.4.2)

(суммирование по всем сортам молекул смеси); средняя скорость молекул сорта α

;
(1.4.3)

средняя массовая или макроскопическая скорость движения газа

;
(1.4.4)

тепловая скорость молекулы

;
(1.4.5)

диффузионная скорость молекул сорта α

.
(1.4.6)

Из предшествующих формул следует, что


 

 























2

1
Q
Q

j,
V
j
F

j
j
q

C
dV
f
f
dV
f
dV
x
f
dV
t

j
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ψ

α
α
α
ρ
n
m
=

∑
=

α
α
ρ
ρ

α
ξ
α
α
ξ f
dV
n ∫∫∫
= 1
ξ
; 
 (1.4.3)

средняя массовая или макроскопическая скорость движения газа —

 
 
υ
ξ −
=
c
α
α
α
ρ
ρ
υ
ξ
∑
= 1
; 
 (1.4.4)

тепловая скорость молекулы —
 
 
υ
ξ −
=
c
; 
 (1.4.5)

диффузионная скорость молекул сорта α —

 

13

. (1.3.3)

Интегрирование по всему пространству скоростей молекул привело к свертыванию 

скоростных координат фазового пространства. В результате этого (1.3.3) является 

уравнением баланса в обычном трехмерном пространстве типа уравнения (1.1.3). В записи 

(1.3.3) также указано, какие именно выражения соответствуют величинам q, Fj и Q,

введенным в разделе 1.1. В уравнении (1.3.3) источник Q оказывается состоящим из двух 

разных по физическому смыслу и математическому виду членов Q1 и Q2. Член Q1 обязан 

своим появлением действию силы fV на молекулу во время ее свободного пробега, а Q2

обусловлен молекулярными столкновениями.

1.4. Уравнения неразрывности

Если в (1.3.3) положить ψα = 1, то согласно (1.2.3) q = nα . В этом случае уравнение 

(1.3.3) представляет собой уравнение неразрывности, или уравнение баланса для молекул 

сорта α .

Приведем далее определения ряда физических величин: плотность газовой компоненты 

α

;
(1.4.1)

плотность газа, состоящего из смеси компонент,

(1.4.2)

(суммирование по всем сортам молекул смеси); средняя скорость молекул сорта α

;
(1.4.3)

средняя массовая или макроскопическая скорость движения газа

;
(1.4.4)

тепловая скорость молекулы

;
(1.4.5)

диффузионная скорость молекул сорта α

.
(1.4.6)

Из предшествующих формул следует, что


 

 























2

1
Q
Q

j,
V
j
F

j
j
q

C
dV
f
f
dV
f
dV
x
f
dV
t

j
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
α
α
ξ
ψ
ξ
ψ
ξ
ψ
ψ

α
α
α
ρ
n
m
=

∑
=

α
α
ρ
ρ

α
ξ
α
α
ξ f
dV
n ∫∫∫
= 1
ξ

α
α
α
ρ
ρ
υ
ξ
∑
= 1

υ
ξ −
=
c

α
ξ
α
α
α
f
dV
n
c
c
∫∫∫
=
−
=
1
υ
ξ
. 
 (1.4.6)