Математические методы в инжиниринге металлургического оборудования и технологий

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 3003 

Кафедра инжиниринга технологического оборудования

А.А. Герасимова 
 
 

Математические методы 
в инжиниринге  
металлургического  
оборудования и технологий 

Курс лекций 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2017 

УДК 669.02/.09 
 
Г37 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. А.Г. Радюк 

Герасимова А.А. 
Г37  
Математические методы в инжиниринге металлургического 
оборудования и технологий : курс лекций / А.А. Герасимова. – 
М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 82 с. 
ISBN 978-5-906846-89-1 

Содержит необходимый объем знаний по дисциплине «Математические 
методы в инжиниринге металлургического оборудования и технологий», который предусмотрен учебными планами высших учебных заведений, ведущих подготовку магистров по направлениям подготовки 22.04.02 «Металлургия» и 15.04.02 «Технологические машины и оборудование».  
Предназначен для студентов, обучающихся в НИТУ «МИСиС» по магистерской программе «Инжиниринг металлургического оборудования и технологий», «Инжиниринг технологических машин и оборудования», «Инжиниринг лазерной техники и технологий», и преподавателей, ведущих занятия 
по данной дисциплине. Может быть полезен студентам и аспирантам других 
профилей и направлений. 
 

УДК 669.02/.09 

 
 А.А. Герасимова, 2017 
ISBN 978-5-906846-89-1 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение .................................................................................................... 5 
1. Математическая модель ....................................................................... 7 
1.1. Структура математической модели ............................................. 8 
1.2. Свойства математических моделей ............................................ 11 
1.3. Схема построения математической модели .............................. 12 
2. Классификация моделей в инжиниринге 
оборудования и технологий ................................................................... 17 
2.1. Физические модели ..................................................................... 19 
2.2. Основные этапы физического моделирования ......................... 21 
2.3. Имитационное моделирование ................................................... 22 
2.4. Натурное моделирование ............................................................ 24 
3. Структура процесса моделирования ................................................. 26 
3.1. Линейное программирование ..................................................... 28 
3.2. Нелинейное программирование ................................................. 29 
3.3. Сетевые задачи ............................................................................. 30 
3.4. Вероятностные и оптимизационные модели ............................ 31 
3.5. Целочисленное программирование ........................................... 31 
4. Математические модели инновационных объектов на 
основе аналитических методов ............................................................. 34 
4.1. Определение понятия «имитационное 
моделирование» ...................................................................................... 36 
4.2. Процесс конструирования модели ............................................. 38 
4.3. Определения метода имитационного 
моделирования ........................................................................................ 40 
4.4. Имитация функционирования системы ..................................... 41 
4.5. Метод Монте-Карло как разновидность 
имитационного моделирования ............................................................ 44 
4.6. Метод деформируемого многогранника  (метод 
Нелдера–Мида) ....................................................................................... 45 
5. Инженерное проектирование ............................................................ 52 
5.1. Понятие инженерного проектирования ..................................... 52 
5.2. Представление конструктивных элементов 
в САМ-модулях ...................................................................................... 54 
5.3. Облачные вычисления ................................................................. 56 

6. Дизайн технологического оборудования ......................................... 58 
6.1. Требования безопасности и их учет 
при проектировании и разработке технологического 
оборудования .......................................................................................... 58 
6.2. Эргономика элементов технологического 
оборудования .......................................................................................... 59 
6.3. Компьютерный дизайн технологического 
оборудования .......................................................................................... 60 
7. Построение математической модели и проверка ее на 
адекватность на примере электрогидравлического 
привода .................................................................................................... 65 
Заключение .............................................................................................. 79 
Библиографический список ................................................................... 81 
 

Введение 

Невозможно сегодня представить себе современную науку без 
широкого применения математических методов. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» – математической моделью – и дальнейшем изучении модели с помощью 
реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Эксперимент, в широком понимании этого слова используется во всех областях человеческой деятельности. Поэтому обойтись без математической обработки результатов эксперимента в настоящее время не 
могут не только представители «точных наук», но и типичные «гуманитарии» – историки, медики, психологи и т.д. 
Что касается студентов технических вузов, то курс «Математические методы в инжиниринге металлургического оборудования и технологий» является необходимым элементом их математического образования, поскольку в своей работе – исследовательской, конструкторской, производственной – они постоянно будут сталкиваться с 
необходимостью математической обработкой информации.  
Сегодня эффективно управлять сложными технологическими 
процессами на основе опыта и интуиции персонала становится невозможно, а ошибки по управлению – слишком дорогими. Выход из 
этой ситуации – это внедрение информационных систем для управления технологическими процессами, основное назначение которых 
состоит в том, чтобы обеспечить обработку информации о технологическом процессе и на основе результатов этой обработки оказать 
помощь персоналу, управляющему этим процессом по принятию 
решений, направленных на изменение параметров технологического 
процесса для достижения поставленной цели. Информационные системы работают наиболее эффективно, если в их составе имеется модельная система поддержки принятия решений, в основе которой 
лежит математическая модель технологического процесса, позволяющая на основе расчетов прогнозировать ход и результат этого 
процесса при изменяющихся условиях его проведения. 
Выпускник технического вуза, управляющий технологическим 
процессом, должен владеть методами создания и использования математических моделей для совершенствования и оптимизации технологии. 

Дисциплина имеет общенаучную направленность и предназначена 
для приобретения студентами компетенций в использовании современных технологий при проектировании металлургического оборудования и технологий.  

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 

Математика давно стала общепризнанным инструментом исследования явлений и процессов реального мира. Помимо традиционных областей использования математики в сферу ее приложений вовлекаются все новые и новые дисциплины. В литературе, посвященной экономике, социологии, технике, экологии и т.д., прочно заняло 
место выражение «математическая модель». Понятие «математическая модель» (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее в это понятие вкладывают вполне конкретное 
содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы являются, по сути, упорядоченными множествами ММ, построение которых 
сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. 
Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с 
математикой. По-видимому, к этому сводится смысл замечания Карла Маркса, цитируемый в [1], о том, что любая наука только тогда 
достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. 
Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и совершенствовании техники – это построение последовательности все более точных и полных ММ изучаемых процессов и явлений. Однако история науки знает не только 
случаи последовательного уточнения той или иной ММ, но и случаи 
отказа от некоторых из них вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью. 
Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, 
большим научным достижением. Она позволяет провести детальное 
исследование изучаемого объекта и дать надежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность модели нередко 
приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности 
при ее использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающих количественный 
анализ.  
Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон притяжения двух материальных 

точек (закон Ньютона) и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения 
физических величин можно выразить одинаковыми формулами. 
С помощью одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона, 

 



2
(
)
0
u М
f M



, 
(1.1) 

где 
2
 – дифференциальный оператор Лапласа; 
(
),
(
)
u M
f M  – искомая и заданная функции положения точки  
МV в некоторой области V соответственно, 

можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределения электрического потенциала, 
деформацию мембраны, механические напряжения при кручении 
бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, 
распространение какой-либо примеси в воздухе. В каждой из перечисленных задач функции (
)
u M и 
(
)
f M приобретают свой смысл, но 
их связь описывает общее для этих задач уравнение (1.1). 
Эти примеры характеризуют свойство универсальности ММ, благодаря которому возникает «родство» между различными отраслями 
знаний, что ускоряет их совместное развитие.  
Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, 
что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей рассматривать 
как проявление этих понятий и отношений между ними, выраженных 
с помощью системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта. Их совокупность 
называют математической моделью1 этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. 

1.1. Структура математической модели 

Изучаемый объект может быть самой разнообразной технологической, экономической или любой природы, физически осязаем (явление, технологический агрегат, производственный участок с комплексом взаимосвязанных агрегатов и производственным и управ
––––––– 
1 Математический энциклопедический словарь. 

ленческим персоналом и т.д.) или проявляться лишь косвенно, своими конечными результатами (вычислительный процесс, процесс выработки решений коллективом людей и т.д.). 
В общем случае применяется системный подход, когда объект 
рассматривается как сложная целенаправленная система, под которой имеется в виду совокупность взаимосвязанных элементов, функционирование которых подчинено достижению единых для всех 
элементов целей. 
Необходимо подчеркнуть, что элементы, составляющие систему, 
из которых состоит изучаемый объект, – машины, агрегаты, помещения, обслуживающий персонал и т.д. обладают некоторыми свойствами, характеристиками, которые могут изменяться как во времени, 
так и под влиянием взаимодействия с другими элементами системы. 
Следовательно, в принципе можно в любой момент времени узнать 
любой набор, любую совокупность характеристик и свойств. Такой 
набор (или совокупность свойств всех компонентов и элементов системы), однозначно характеризующий систему, обычно называют состоянием системы, которое может изменяться. Такое изменение в 
общем случае называется движением или функционированием системы.  
Воздействие внешней среды на систему называют входом системы, а на внешнюю среду – выходом. При исследовании любых объектов целесообразно вводить и учитывать направление связи, т.е. 
конкретного указания, что и на что воздействует в данный момент. 
Структура системы – конкретное отображение для данного объекта системы всех его элементов и всех связей между ними. 
Структура системы или подсистемы, дальнейшая декомпозиция 
которой для данного конкретного анализа объекта признается нецелесообразной и которую, следовательно, достаточно охарактеризовать ее состоянием и указанием одних лишь связей (ее входа и выхода) носит специальное и весьма распространенное название «черного 
ящика». 
В большинстве случаев удобно представлять объект как «черный 
ящик» с входными и выходными параметрами (рис. 1.1). 
На рис. 1.1 стрелки справа – численные характеристики целей исследования. Их называют параметрами оптимизации (критерием оптимизации, откликом функции, выходом «черного ящика»). 
 

Рис. 1.1. Схема «черного ящика» 

В общем случае, изучаемый технический объект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами xRk, gRm, yRn внешних, внутренних и выходных параметров соответственно. Одни и те 
же физические, механические или информационные характеристики 
ТО в моделях различного уровня и содержания могут выполнять 
роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров. 
Например, для электронного усилителя выходными параметрами 
являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними – 
сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, 
температура окружающей среды, а внутренними – сопротивления 
резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов. 
В сравнительно простом случае ММ ТО может представлять собой соотношение 

 
y = f (x,g), xRk, gRm, yRn, 
(1.2) 

где f – векторная функция векторного аргумента. 

Модель в виде соотношения (1.2) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних 
параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу. 
В инженерной практике решение прямой задачи часто называют 
проверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость 
решать более сложную так называемую обратную задачу, а именно 
по обусловленным техническим заданиям (ТЗ) на проектирование 
ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. 

«Черный ящик» 
(объект исследования) 

X1  

X 2  

X k  

…

…

.  .  . 

G1 
G2 
Gm 

Y 1  

Y 2  

Yn 

Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между y, x, g в виде уравнения 

 
L(u(z)) = 0, 
(1.3) 

где L – некоторый оператор (в общем случае нелинейный); 
u – вектор фазовых переменных, включающий те параметры ТО, 
которые характеризуют его состояние; 
z – вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты; 
0 – нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор. 

Но даже если возможно получить решение (1.3) и найти зависимость u(z), то далеко не всегда удается представить математическую 
модель технического объекта в явном относительно вектора y виде 
соотношения (1.2). Поэтому именно уравнение (1.3) определяет в 
общем случае структуру ММ ТО, а соотношение (1.2) является более 
простым частным случаем такой модели. 

1.2. Свойства математических моделей 

При изучении реального существующего или мыслимого ТО математические методы применяют к его ММ. Это применение будет 
эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств. 
Полнота ММ позволяет отразить именно те характеристики объекта, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели 
проведения вычислительного эксперимента (не отражает габаритные, 
массовые или стоимостные показатели). Так, ММ резистора в виде 
формулы закона Ома (U = IR) обладает свойством полноты лишь между U, I, R. 
Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных с помощью ММ значений выходных 
параметров ТО. 
Адекватность ММ – это способность ММ описывать выходные 
параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого 
заданного значения δ. Под адекватностью ММ понимают правильное 
качественное и достаточно точное количественное описание характеристик ТО. 
Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные 
ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации 

ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, размерности пространства фазовых 
переменных, особенности применяемой ЭВМ и других факторов. 
Робастность ММ (от англ. robust – крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных 
данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать 
их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость 
при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу 
приближенных значений величин или деления на малую по модулю 
величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой 
точностью.  
Продуктивность ММ связана с возможностью располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, 
чем для тех параметров, которые получаются при использовании 
ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл.  
Наглядность ММ является ее желательным, но необязательным 
свойством. Тем не менее использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет 
ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.  

1.3. Схема построения математической модели 

В ходе математического моделирования металлургических процессов наиболее сложной и трудоемкой является задача составления 
математического описания, удачное решение которой определяет 
дальнейшую разработку. 
Рецептов по составлению ММ для всех случаев дать нельзя, но из 
самой сущности метода математического моделирования вытекает, 
что математическое описание моделируемого объекта необходимо 
проводить по частям, исходя из того, что реальный процесс представляет собой сочетание элементарных процессов. 
Практически составление ММ происходит по этапам. При этом 
наиболее часто применяют блочный принцип, согласно которому 
каждый блок содержит более или менее самостоятельный этап моде