Механика сплошных сред для металлургов

МИНИСТЕРСТВО ОБРА ЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

В.Н. Шинкин

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
                         для металлургов

Учебник

Допущено учебно-методическим объединением по образованию 
в области металлургии в качестве учебника для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по направлению Металлургия

Москва  2014

УДК 531/534
 
Ш62

Р е ц е н з е н т ы :
советник генерального директора ОАО «Институт Цветметобработка»,
дважды лауреат Государственной премии СССР, лауреат Государственной премии УССР,
лауреат премии Совета Министров СССР, заслуженный деятель науки РФ,
д-р техн. наук, проф. В.П. Полухин
зав. кафедрой технологии и оборудования трубного производства НИТУ «МИСиС»,
лауреат премии Совета Министров СССР, лауреат Правительственной премии РФ, 
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев

Шинкин, В.Н.
Ш62  
Механика сплошных сред для металлургов : учеб. / В.Н. Шинкин. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 628 с.
ISBN 978-5-87623-749-1

В учебнике подробно рассмотрены теоретические и практические вопросы механики сплошных сред по следующим темам: основы тензорного 
исчисления, теории деформаций и напряжений, законы сохранения и элементы термодинамики сплошных сред, модели сплошных сред и их физические 
соотношения, постановка задач механики сплошных сред, двумерные задачи 
в полярных координатах, задача Ламе о равновесии толстостенной трубы, 
идеальная несжимаемая жесткопластическая среда и дислокации. Приведены 
многочисленные примеры и домашние задания, закрепляющие изложенный 
материал. 
Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. Рассмотрены основы математического моделирования процессов производства 
труб большого диаметра по технологии немецкой фирмы SMS MEER, процессов правки листа на многороликовых листоправильных машинах линии 
испанской фирмы Fagor Arrasate для производства листа и штрипса из горячекатаного стального рулона и процессов разрушения труб большого диаметра 
магистральных газонефтепроводов при дефектах (раскатной пригар, риска, 
несплавление сварного соединения и т.д.)
Для студентов, обучающихся по направлению 150400 – Металлургия.

УДК 531/534

ISBN 978-5-87623-749-1
© В.Н. Шинкин, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ...................................................................................................... 9
1. Основные понятия теоретической механики  ...................................10
1.1. Статика  .................................................................................................. 10
1.2. Кинематика  ........................................................................................... 12
1.3. Геометрия масс  ..................................................................................... 15
1.4. Динамика ............................................................................................... 17
2. Основы тензорного исчисления  ..........................................................25
2.1. Основной и взаимный базисы системы координат  .......................... 25
2.2. Неопределенное умножение векторов. Тензоры второго 
и третьего рангов   ........................................................................................ 32
2.3. Умножение тензора на скаляр, сложение и вычитание тензоров ... 34
2.4. Операции «жонглирования» индексами   .......................................... 35
2.5. Скалярное и векторное умножение тензоров, тензор Риччи   ......... 37
2.6. Дифференцирование тензоров по координатам, символы 
Кристоффеля  ................................................................................................ 40
2.7. Градиент, дивергенция, ротор и лапласиан тензора ......................... 46
2.8. Теоремы Остроградского − Гаусса и Стокса  .................................... 51
2.9. Домашнее задание «Элементы тензорного исчисления»  ................ 54
3. Теория напряжений  ...............................................................................66
3.1. Тензор напряжений  .............................................................................. 66
3.2. Главные оси, главные площадки и главные напряжения тензора 
напряжений ................................................................................................... 71
3.3. Виды напряженного состояния в точке  ............................................. 75
3.4. Инварианты тензора напряжений ....................................................... 90
3.5. Шаровой тензор напряжений и девиатор напряжений .................... 94
3.6. Теории прочности  ................................................................................ 96
3.7. Домашнее задание «Напряженное состояние в точке 
сплошной среды и оценка условия пластичности по критерию 
Губера−Мизеса» ........................................................................................... 98
4. Теория деформаций  .............................................................................107
4.1. Лагранжево и эйлерово описания движения сплошной среды ..... 107
4.2. Тензор деформаций ............................................................................ 110
4.3. Главные оси деформаций и главные деформации  ......................... 121
4.4. Инварианты тензора деформаций ..................................................... 125
4.5. Шаровой тензор деформаций и девиатор тензора деформаций ..........129
4.6. Уравнения совместности деформаций ............................................. 131
4.7. Тензор скоростей деформаций .......................................................... 133
4.8. Домашнее задание «Деформированное состояние в точке 
сплошной среды»  ...................................................................................... 135

5. Законы сохранения механики сплошных сред ...............................146
5.1. Закон сохранения массы – уравнение неразрывности ................... 149
5.2. Закон сохранения количества движения – уравнения движения ....151
5.3. Закон сохранения момента количества движения – закон 
парности касательных напряжений  ........................................................ 152
5.4. Уравнение теплопроводности  .......................................................... 156
5.5. Закон сохранения полной энергии при наличии тепловых 
явлений ......................................................................................................164
6. Модели сплошных сред и их физические соотношения .................169
6.1. Физическое и механическое поведение деформируемых сред, 
уравнение состояния  ................................................................................. 170
6.2. Идеальная жидкость и идеальный газ  ............................................. 174
6.3. Закон Навье−Стокса для вязкой жидкости....................................... 175
6.4. Обобщенный закон Гука для идеальной упругой среды ................ 177
6.5. Идеальная жесткопластическая несжимаемая среда ..................... 182
6.6. Критерий пластичности Губера−Мизеса 
для упругопластических сред  .................................................................. 182
6.7. Теория пластического течения для упругопластической среды .....187
7. Постановка задач механики сплошных сред .......................................193
7.1. Общие принципы постановки задач  ................................................ 193
7.2. Уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости и газа  ..... 196
7.3. Уравнения движения Навье–Стокса для вязкой жидкости ............ 199
7.4. Уравнения движения Ламе для идеальной упругой среды  ........... 201
7.5. Уравнения движения Прандтля–Рейсса 
для упругопластической среды ................................................................ 203
8. Задача Ламе о равновесии толстостенной трубы  ..........................205
8.1. Двумерные осесимметричные задачи в полярных координатах ....205
8.2. Задача Ламе о равновесии толстостенной трубы под действием 
внутреннего и внешнего давлений........................................................... 207
8.3. Труба под действием только внутреннего давления ....................... 209
8.4. Труба под действием только внешнего давления  ........................... 210
8.5. Решение задачи в перемещениях ...................................................... 210
8.6. Длинная труба с «донышками» ......................................................... 211
8.7. Пластическое состояние толстостенной трубы .............................. 212
8.8. Упругопластическое состояние толстостенной трубы ................... 213
8.9. Примеры расчета толстостенных цилиндров .................................. 214
8.10. Домашнее задание «Расчет толстостенных цилиндров 
под действием внутреннего и внешнего давлений» .............................. 226

9. Тонкостенные осесимметричные оболочки  .....................................229
9.1. Уравнение Лапласа  ............................................................................ 229
9.2. Осевая равнодействующая внешних сил ......................................... 231
9.3. Примеры расчета цилиндрических тонкостенных сосудов ........... 233
9.4. Примеры расчета конических тонкостенных сосудов .................... 243
9.5. Примеры расчета сферических тонкостенных сосудов ................. 252
9.6. Примеры расчета тонкостенных сосудов, имеющих 
комбинированную геометрическую конфигурацию.............................. 256
9.7. Домашние задание «Расчет тонкостенных осесимметричных 
оболочек» .................................................................................................... 263
10. Идеальная несжимаемая жесткопластическая среда ..................269
10.1. Осадка параллелепипеда  ................................................................. 269
10.2. Плоское пластическое движение, линии скольжения .................. 273
10.3. Метод линий скольжения ................................................................. 277
10.4. Свойства линий скольжения, теоремы Генки ................................ 281
10.5. Граничные условия для напряжений и краевые задачи ............... 282
11. Дислокации ..........................................................................................285
11.1. Классификация кристаллов ............................................................. 285
11.2. Физические типы кристаллических решеток ................................ 286
11.3. Дефекты в кристаллах, краевая и винтовая дислокации .............. 287
11.4. Упругие деформации при наличии дислокации, вектор 
Бюргерса...................................................................................................... 289
11.5. Дифференциальные уравнения для дислокационной 
деформации в изотропной среде .............................................................. 292
11.6. Деформация вокруг прямолинейной винтовой дислокации 
в изотропной среде .................................................................................... 293
11.7. Деформация вокруг прямолинейной краевой дислокации 
в изотропной среде .................................................................................... 294
12. Усталость материалов при циклически изменяющихся 
напряжениях ..............................................................................................296
12.1. Общее понятие об усталости материалов  ..................................... 296
12.2. Зарождение и распространение усталостной трещины  .............. 299
12.3. Цикл напряжений и его характеристики ........................................ 300
12.4. Классификация циклов напряжений .............................................. 302
12.5. Кривая усталости Вёлера  ................................................................ 304
12.6. Три типа кривых усталости и их аналитическое описание ......... 307
12.7. Эмпирические формулы для определения предела 
выносливости  ............................................................................................ 313
12.8. Диаграмма предельных напряжений Смита  ................................. 315
12.9. Диаграмма предельных амплитуд напряжений Хэя  .................... 319
12.10. Способы схематизации диаграммы Хэя ...................................... 322

13. Факторы, влияющие на предел выносливости ............................327
13.1. Коэффициент снижения предела выносливости........................... 327
13.2. Влияние закона и частоты изменения напряжений 
на усталостную прочность ........................................................................ 328
13.3. Влияние концентрации напряжений на предел выносливости ......329
13.4. Влияние масштабного эффекта на предел выносливости ........... 344
13.5. Совместное влияние концентрации напряжений и масштабного 
фактора ..............................................................................................................346
13.6. Влияние качества обработки поверхности на предел 
выносливости ............................................................................................. 352
13.7. Влияние коррозии на предел выносливости ................................. 355
13.8. Влияние поверхностного упрочнения деталей на предел 
выносливости ............................................................................................. 357
13.9. Влияние коэффициента анизотропии 
на предел выносливости ........................................................................... 359
13.10. Коэффициент запаса усталостной прочности при симметричном 
цикле напряжений ................................................................................................360
13.11. Коэффициент запаса усталостной прочности при асимметричном 
цикле напряжений ..................................................................................................360
13.12. Коэффициент запаса усталостной прочности при двухосном 
напряженном состоянии ............................................................................ 364
14. Расчет на прочность при циклически изменяющихся 
напряжениях .....................................................................................................368
14.1. Примеры расчетов на прочность при циклически изменяющихся 
напряжениях ....................................................................................................368
14.2. Домашнее задание «Проверка элемента детали 
на усталостную прочность»...................................................................... 383
15. Стационарные процессы теплопроводности  ................................391
15.1. Передача теплоты через плоскую стенку  ..................................... 391
15.2. Передача теплоты через цилиндрическую стенку  ....................... 403
15.3. Передача теплоты через шаровую стенку  ..................................... 414
15.4. Передача теплоты в стержне постоянного поперечного сечения  ...419
15.5. Теплопроводность плоской полуограниченной пластины  ......... 423
15.6. Теплопроводность плоской пластины при наличии внутренних 
источников теплоты .....................................................................................425
15.7. Теплопроводность цилиндрического стержня при наличии 
внутренних источников теплоты  ............................................................. 429
15.8. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии 
внутренних источников теплоты  ............................................................. 433

16. Нестационарные процессы теплопроводности  ............................445
16.1. Остывание плоской пластины  ........................................................ 445
16.2. Остывание бесконечно длинного цилиндра  ................................. 458
16.3. Остывание шара  ............................................................................... 462
16.4. Остывание параллелепипеда  .......................................................... 467
16.5. Остывание бесконечно длинного прямоугольного стержня  ....... 469
16.6. Остывание цилиндра конечной длины  .......................................... 471
16.7. Распространение теплоты в неограниченном пространстве  ...... 473
16.8. Распространение теплоты в полупространстве  ........................... 477
16.9. Численное решение задач нестационарной теплопроводности 
методом конечных разностей  .....................................................................487
17. Теплообмен излучением  .........................................................................493
17.1. Виды теплового излучения  ............................................................. 493
17.2. Уравнение теплового баланса ......................................................... 497
17.3. Законы теплового излучения  .......................................................... 499
17.4. Средние угловые коэффициенты излучения  ................................ 504
17.5. Зональный метод расчета лучистого теплообмена 
в диатермической среде  ............................................................................ 507
17.6. Свойства средних угловых коэффициентов излучения  .............. 508
17.7. Алгебраический метод вычисления средних угловых 
коэффициентов излучения  ....................................................................... 509
17.8. Теплообмен излучением в замкнутой системе двух серых 
поверхностей, разделенных диатермической средой  ........................... 511
17.9. Зональный метод расчета лучистого теплообмена 
в поглощающе-излучающей среде ........................................................... 515
17.10. Теплообмен излучением в системе замкнутой серой 
поверхности, заполненной поглощающе-излучающим газом  ............ 519
17.11. Теплообмен излучением в замкнутой системе двух серых 
поверхностей, одна из которых адиабатная, заполненной 
поглощающе-излучающим газом  ............................................................ 521
17.12. Расчет степени черноты трехатомных газов  ............................... 527
17.13. Расчет сложного теплообмена в печах ......................................... 528
18. Упругопластический изгиб бруса ......................................................530
18.1. Графоаналитический способ построения напряжений ................ 530
18.2. Упругопластический изгиб бруса прямоугольного сечения  ....... 533
19. Математические основы производства труб большого 
диаметра по технологии SMS MEER ....................................................543
19.1. Отечественные магистральные газонефтепроводы ...................... 543
19.2. Формовка листовой заготовки 
на кромкогибочном прессе ....................................................................... 545

19.3. Условие возникновения гофра продольной кромки листа 
при формовке заготовки на кромкогибочном прессе  ........................... 548
19.4. Гибка плоской пластины на прессе пошаговой формовки .......... 551
19.5. Гибка цилиндрической оболочки на прессе пошаговой 
формовки ..................................................................................................... 555
19.6. Гибка изогнутой оболочки на прессе пошаговой формовки ....... 559
19.7. Критерий перегиба в обратную сторону свободной части 
листовой заготовки на трубоформовочном прессе SMS MEER .......... 563
19.8. Моделирование процесса экспандирования труб большого 
диаметра по технологии SMS MEER ...................................................... 570
19.9. Моделирование процесса гидроиспытания труб большого 
диаметра по технологии SMS MEER ...................................................... 573
19.10. Расчет максимальных напряжений в стенке трубы 
при экспандировании с учетом остаточных напряжений 
заготовки после трубоформовочного пресса SMS MEER .................... 581
20. Математические основы правки листа на многороликовой 
листоправильной машине линии Fagor Arrasate ...............................586
20.1. Виды стали для производства стальных листов ........................... 586
20.2. Горячекатаный и холоднокатаный стальной лист ......................... 587
20.3. Многороликовые листоправильные машины ................................ 588
20.4. Процесс производства листа из горячекатанного рулона 
на линии поперечной резки Fagor Arrasate ............................................. 590
20.5. Правка листа на пятироликовой листоправильной машине 
Fagor Arrasate .............................................................................................. 592
20.6. Правка стального листа на четырехроликовой листоправильной 
машине ........................................................................................................ 599
20.7. Гибка стального листа на трехроликовой гибочной машине  ..... 601
20.8. Расчет остаточных деформаций бруса при малоцикловых 
знакопеременных напряжениях  .............................................................. 603
21. Разрушение магистральных труб большого диаметра 
при дефектах ..............................................................................................607
21.1. Статистика и причины аварий газонефтепроводов  ..................... 607
21.2. Рекомендации по снижению числа отказов 
на газонефтепроводах  ............................................................................... 608
21.3. Критерий разрушения труб большого диаметра 
при несплавлении сварного соединения и внутреннем давлении ....... 609
21.4. Критерий разрыва труб газонефтепроводов при дефекте 
«раскатной пригар с риской»  ................................................................... 613
21.5. Критерий разрыва трубы при внутреннем давлении и дефекте 
риска на поверхности трубы ..................................................................... 618
22. Опорный конспект лекций для заочников ....................................620
Библиографический список ....................................................................626

Посвящается любимой дочери –
Анне Владимировне Шинкиной

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В металлургическом производстве широко применяются различные процессы, связанные с обработкой металлов давлением, − прокатка, прессование, волочение, ковка, объемная и листовая штамповка. Для качественного и количественного описания процессов 
деформации металла в таких процессах необходимо использовать теорию и методы механики сплошных сред. В связи с этим уже на этапе общеинженерной подготовки следует уделять должное внимание 
формированию у студентов металлургических специальностей навыков в осуществлении расчетов, связанных с деформациями и напряжениями элементов металлургических машин и оборудования. 
В учебнике подробно рассмотрены теоретические и практические 
вопросы механики сплошных сред по следующим темам: основы тензорного исчисления, теории деформаций и напряжений, законы сохранения и элементы термодинамики сплошных сред, модели сплошных сред и их физические соотношения, постановка задач механики 
сплошных сред (идеальная жидкость и газ, вязкая жидкость, идеальная упругая среда, идеальная несжимаемая жесткопластическая среда, упругопластическая среда), двумерные задачи в полярных координатах, задача Ламе о равновесии толстостенной трубы, идеальная 
несжимаемая жесткопластическая среда и дислокации. 
Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. Например, рассмотрены основы математического моделирования процессов производства труб большого диаметра по технологии немецкой фирмы SMS MEER, процессов правки листа на 
многороликовых листоправильных машинах линии испанской фирмы 
Fagor Arrasate для производства листа и штрипса из горячекатаного 
стального рулона и процессов разрушения труб большого диаметра 
магистральных газонефтепроводов при дефектах – раскатной пригар, 
риска, несплавление сварного соединения и т.д. 
Приведены многочисленные примеры и домашние задания, закрепляющие изложенный материал и способствующие более качественному усвоению специальных дисциплин, связанных с обработкой металлов давлением, деталями машин, конвективным теплообменом в 
печах, электрометаллургией, непрерывной разливкой стали и совмещенными литейно-прокатными процессами в металлургии. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 
МЕХАНИКИ 

1.1. Статика 

Сила есть мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорение или деформироваться. Сила является векторной величиной и характеризуется модулем, 
точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 1.1). 

y 
O 

Твердое тело 

F 
z 

j 

k

Линия 
действия 
силы 

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 

Рис. 1.1 

Пусть F=Fxi+Fyj+Fzk=(Fx,Fy,Fz), [F]=Н (ньютон), 
2
2
2
x
y
z
F
F
F
F
=
+
+
− 
модуль силы; i, j, k − единичные орты, | i | = | j | = | k | = 1. 
Главным вектором системы сил {F1, … ,Fn} называется их геометрическая сумма 

1
,

n

O
i
i=
= ∑
F
F

1
,

n

Ox
ix
i=
= ∑
F
F

1
,

n

Oy
iy
i=
= ∑
F
F

1
.

n

Oz
iz
i=
= ∑
F
F
 

Рассмотрим два вектора a = axi + ayj + azk = (ax, ay, az) и b = bxi + byj + bzk = 
= (bx, by, bz). 
Скалярным произведением двух векторов a и b называется скалярная величина, равная 

cos
( , ),
x
x
y
y
z
z
a b
a b
a b
a b
• =
+
+
=
∠
a
b
a b

2
2
2
2
2
2
,
.
x
y
z
x
y
z
a
a
a
b
b
b
=
+
+
=
+
+
a
b
 

Векторным произведением двух векторов a и b называется векторная величина, равная 

(
)
(
)
(
),
x
y
z
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x

x
y
z

a
a
a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b
b
b
×
=
=
−
+
−
+
−
i
j
k
a
b
i
j
k

sin
( , ).
×
=
∠
a
b
a
b
a b
 

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы: 

( )
O

x
y
z

x
y
z
F
F
F
= ×
=
=
i
j
k
M
F
r
F

(
)
(
)
(
) (
),
z
y
x
z
y
x
Ox
Oy
Oz
yF
zF
zF
xF
xF
yF
M
,M
,M
=
−
+
−
+
−
=
i
j
k
 

где 
(
)
, ,
x y z
=
−
r
радиус-вектор точки приложения силы; 

(
)
,
,
x
y
z
F F F
=
−
F
вектор силы; 

,
,
Ox
z
y
Oy
x
z
Oz
y
x
M
yF
zF
M
zF
xF
M
xF
yF
=
−
=
−
=
−
−  моменты 
силы относительно осей x, y и z (рис. 1.2). 

y 
O 

F – сила 
z 

j 

k

i 

h 

r – радиус-вектор 

x 

MO(F) 

Против хода  
часовой стрелки 

Момент силы 

h − плечо 

Рис. 1.2 

Момент силы MO перпендикулярен радиусу-вектору r и вектору 
силы F. 
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода часовой 
стрелки. По абсолютной величине момент силы относительно точки 
равен произведению «силы на плечо»: 

O
Fh.
=
×
=
M
r
F
 

Главным моментом системы сил относительно выбранной точки 
называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно 
этой точки: 

(
)
1
1
.

n
n

O
O
i
i
i
i
i
=
=
=
=
×
∑
∑
M
M
F
r
F  

Необходимым и достаточным условием равновесия системы 
сил является равенство нулю главного вектора и главного момента 
этой системы сил: 

0,
0.
O
O
=
=
F
M
 

Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным равенствам 

0,
0,
0,
0,
0,
0
Ox
Oy
Oz
Ox
Oy
Oz
F
F
F
M
M
M
.
=
=
=
=
=
=
 

Парой сил называется совокупность двух сил {
}
,−
F
F , равных по 
модулю и противоположных по направлению. Момент пары сил не 
зависит от выбора точки. 

1.2. Кинематика 

В инерциальной (неподвижной) системе координат абсолютной 
скоростью точки называется векторная величина, численно равная 
полной производной радиуса-вектора точки по времени (рис. 1.3): 

(
)
( )
[ ]

0
d
lim
,
d
м
с
t
t
t
t
.
t
t
Δ →
+ Δ
−
=
=
=
Δ
r
r
r
v
v
 

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в 
сторону ее движения.

O 

x 

z 

y 

M(x, y, z) – точка 

r – радиус-вектор 

v – вектор скорости 

Траектория точки 

i 
j 

k 

| i | = | j | = | k | = 1 

Рис. 1.3 

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в 
сторону ее движения.
Абсолютным ускорением точки называется векторная величина, 
численно равная полной производной абсолютной скорости точки по 
времени: 

[
]

2

2
d
d
,
d
d
2
м
с
.
t
t
=
=
=
v
r
W
W

Основные движения твердого тела: поступательное, плоскопараллельное, сферическое и вращательное. 
Поступательным движением твердого тела называется движение тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе во все время движения.
Плоскопараллельным движением твердого тела называется движение, при котором любая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной неподвижной плоскости. 
Вращательным движением твердого тела (движением тела вокруг неподвижной оси) называется движение тела с двумя неподвижными точками (рис. 1.4). Ось, проходящая через две неподвижные 
точки, называется осью вращения тела (ось z). 

y 
O 

Твердое тело 

z 

k

x 

ω − угловая скорость 

ϕ − угол поворота тела 

v − скорость 

Рис. 1.4 

Сферическим движением твердого тела называется движение 
тела с одной неподвижной точкой. При сферическом движении тело 
в каждый фиксированный момент времени совершает вращательное 
движение с мгновенной угловой скоростью ω вокруг некоторой оси. 
Вектором угловой скорости при вращательном движении твердого 
тела называется векторная величина, численно равная полной производной угла поворота тела по времени и направленная в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки: 

d
d
.
t
ϕ
=
k
ω
 

Вектором углового ускорения при вращательном движении твердого тела называется векторная величина, численно равная полной 
производной вектора угловой скорости по времени: 

2

2
d
d
.
d
d
t
t
ϕ
=
=
k
ω
ε
 

Сложным движением точки М называется движение точки относительно подвижной системы координат. Рассмотрим инерциальную 
(неподвижную) систему координат Ox1y1z1 . Пусть подвижная система 
координат Ax2y2z2 движется поступательно относительно неподвижной 
системы координат. Пусть система координат Axyz совершает сферическое движение относительно подвижной системы координат Ax2y2z2 
с мгновенной угловой скоростью ω. Движение точки M относительно 
неподвижной системы координат называется абсолютным движением 
точки, а движение точки M относительно подвижной системы координат Axyz называется относительным движением точки (рис. 1.5). 

y1 
O 

z 

k

i 

r 

x 

y 

A 

j 

x1 

z1 

M 

rA 

ρ

x2 

y2 

z2 

Рис. 1.5 

Пусть r и ρ – радиусы-векторы точки M относительно неподвижной и подвижной систем координат. 
Абсолютная скорость точки M равна 

A
r
e
r
=
+
×
+
=
+
v
v
v
v
v
ω ρ
ω ρ
,
 

где 
e
A
=
+
×
v
v
ω ρ
ω ρ  – переносная скорость точки M (скорость точки 
подвижной системы координат Axyz, которая в данный момент 
времени совпадает сточкой M); vr – относительная скорость 
точки M (скорость точки M относительно подвижной системы 
координат Axyz). 

Теорема об абсолютной скорости при сложном движении. Абсолютная скорость точки при сложном движении равна сумме переносной и относительной скоростей. 
Абсолютное ускорение точки M равно 

(
)
2
,
A
r
r
e
r
C
=
+ ×
+
×
×
+
+
×
=
+
+
W
W
W
v
W
W
W
ε
ρ
ω
ω ρ
ω
ε
ρ
ω
ω ρ
ω
 

где 
(
)
e
A
=
+ ×
+
×
×
W
W
ε
ρ
ω
ω ρ
ε
ρ
ω
ω ρ  – переносное ускорение точки M 
(ускорение точки подвижной системы координат Axyz, которая 
в данный момент времени совпадает с точкой M); Wr – относительное ускорение точки M (ускорение точки M относительно 
подвижной системы координат Axyz); 
2
C
r
=
×
W
v
ω
 – кориолисово ускорение точки M 
(
)
2
sin
,
C
r
r
W
v
⎡
= ω
⎤
⎣
⎦
v
ω
. 

Вектор WC перпендикулярен векторам ω и vr. 
Касательным (тангенциальным) ускорением точки M называется ускорение 
e
τ = ×
W
ε
ρ
ε
ρ , а центростремительным (нормальным) 
ускорением точки M называется ускорение 
(
)
n
e =
×
×
W
ω
ω ρ
ω
ω ρ . 
Центростремительное ускорение всегда направлено в сторону линии вектора угловой скорости ω и перпендикулярно к ней. 
Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки при сложном 
движении равно сумме переносного, относительного и кориолисова 
ускорений. 

1.3. Геометрия масс 

Плотностью тела в точке (x,y,z) называется скалярная величина, 
численно равная