Теоретическая механика : динамика и аналитическая механика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1911 

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

В.Н. Шинкин 
 
 

Теоретическая механика

Динамика и аналитическая механика 

Курс лекций 

Допущено учебно-методическим объединением 
по образованию в области металлургии в качестве 
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению Металлургия 

Москва  2011 

УДК 531.1 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин, В. Н. 
Ш62  
Теоретическая механика: Динамика и аналитическая механика : Курс лекций / В.Н. Шинкин. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2011. – 206 с. 
ISBN 978-5-87623-391-2 

Рассмотрены основные теоретические и практические вопросы динамики 
материальной системы и аналитической механики по следующим темам: 
геометрия масс, динамика материальной системы и твердого тела (центр 
масс, количество движения, момент количества движения, кинетическая 
энергия, работа силы, закон сохранения механической энергии), принцип Даламбера, аналитическая статика, принцип виртуальных перемещений Лагранжа, общее уравнение динамики, аналитическая динамика, уравнения Лагранжа второго рода и уравнения Гамильтона.  
Темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. Подробно даны решения большого числа задач, приведены 10 домашних заданий 
по динамике механизмов и приспособлений, используемых в металлургическом производстве. 
Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению 150100 «Металлургия». 

УДК 531.1 

ISBN 978-5-87623-391-2 
© В.Н. Шинкин, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................5 
1. Краткий курс статики и кинематики...................................................8 
1.1. Краткий курс статики....................................................................8 
1.2. Краткий курс кинематики...........................................................17 
Вопросы самоконтроля по статике и кинематике ...........................25 
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 
И ТВЕРДОГО ТЕЛА ..............................................................................26 
2. Геометрия масс ...................................................................................26 
2.1. Момент инерции твердого тела..................................................26 
2.2. Моменты инерции простейших однородных 
фигур....................................................................................................28 
2.3. Моменты инерции тела относительно двух осей .....................35 
3. Динамика материальной системы.....................................................40 
3.1. Основные законы и принципы динамики .................................40 
3.2. Центр масс материальной системы............................................47 
3.3. Количество движения материальной системы .........................48 
3.4. Теорема о движении центра масс материальной 
системы................................................................................................50 
3.5. Момент количеств движения материальной 
системы................................................................................................53 
3.6. Кинетическая энергия материальной системы .........................64 
3.7. Элементарная работа силы .........................................................69 
3.8. Теорема об изменении кинетической энергии 
материальной системы.......................................................................70 
3.9. Закон сохранения полной механической энергии 
материальной системы.......................................................................73 
4. Принцип Даламбера ...........................................................................75 
4.1. Принцип Даламбера для материальной системы .....................75 
4.2. Главный вектор и главный момент сил инерции 
твердого тела.......................................................................................77 
Вопросы для самоконтроля по динамике 
материальной системы и твердого тела............................................81 
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.......................................................85 
5. Аналитическая статика ......................................................................85 
5.1. Удерживающие, стационарные и голономные 
связи.....................................................................................................85 
5.2. Виртуальные перемещения и идеальные связи ........................85 
5.3. Принцип виртуальных перемещений Лагранжа.......................89 
5.4. Обобщенные координаты и силы...............................................91 
6. Общее уравнение динамики ..............................................................98 

7. Аналитическая динамика.................................................................103 
7.1. Уравнения Лагранжа второго рода..........................................103 
7.2. Уравнения Лагранжа второго рода для 
консервативной системы .................................................................117 
7.3. Уравнения Гамильтона для консервативной системы.................118 
Вопросы для самоконтроля по аналитической 
механике............................................................................................120 
8. Опорный конспект лекций по теоретической 
механике для студентов-заочников ....................................................121 
Статика ..............................................................................................121 
Кинематика .......................................................................................123 
Геометрия масс .................................................................................128 
Моменты инерции тела относительно двух осей ..........................130 
Динамика материальной системы...................................................131 
Принцип Даламбера .........................................................................137 
Аналитическая статика ....................................................................138 
Общее уравнение динамики ............................................................140 
Аналитическая динамика.................................................................140 
Вопросы самоконтроля для студентов-заочников.........................142 
Ответы на вопросы...........................................................................143 
Основные формулы механики.........................................................148 
9. Домашние задания............................................................................150 
9.1. Теорема о движении центра масс механической 
системы..............................................................................................150 
9.2. Теорема об изменении кинетического момента 
твердого тела.....................................................................................155 
9.3. Теорема об изменении кинетической энергии 
механической системы.....................................................................160 
9.4. Поступательное и вращательное движение 
твердого тела.....................................................................................166 
9.5. Принцип возможных перемещений и равновесие 
механической системы.....................................................................172 
9.6. Принцип возможных перемещений и реакции 
опор составной конструкции...........................................................177 
9.7. Принцип Даламбера и реакции опор при 
вращательном движении тела .........................................................182 
9.8. Общее уравнение динамики для механической 
системы с одной степенью свободы ...............................................188 
9.9. Уравнения Лагранжа второго рода и программное 
движение манипулятора ..................................................................193 
9.10. Уравнения Лагранжа второго рода для системы 
с двумя степенями свободы.............................................................199 
Библиографический список.................................................................205 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Механика – одна из древнейших наук, возникновение и развитие 
которой обусловлено потребностями практики. Так, начало развития 
механики было тесно связано с земледелием (поднимание воды для 
орошения земельных участков в Египте), ростом городов, возведением крупных построек, развитием ремесел и мореплаванием. Уже при 
строительстве египетских пирамид применялись простейшие механические приспособления: рычаги, блоки и наклонная плоскость. 
Однако, несмотря на то, что в древние времена человечество обладало некоторыми эмпирическими знаниями по механике, потребовались многие века для того, чтобы установить основные законы механики и заложить фундамент этой науки. 
Основоположником механики как науки является знаменитый 
древнегреческий ученый Архимед (287−212 гг. до н. э.). Он дал точное решение задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу, создал 
учение о центре тяжести тел, открыл и сформулировал закон о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело (закон 
Архимеда). 
На первой стадии развития механики, от древнего мира до XIV в., 
в результате изучения простейших машин создается учение о силах. 
Однако быстрое и успешное развитие механики начинается лишь с 
эпохи Возрождения, когда были созданы благоприятные условия для 
развития науки и техники и заложены основы для мировой торговли 
и перехода ремесла в мануфактуру, которая послужила исходным 
пунктом для современной крупной промышленности. В этот период 
для решения практических задач требуются исследования движения 
тел, и на основе накопленного за четыре столетия опыта к концу 
XVII в. создаются основы механики материальных тел. 
Блестящим представителем эпохи Возрождения является гениальный итальянский художник, физик, механик и инженер Леонардо да 
Винчи (1451−1519). В области механики он изучил движение падающего тела, движение тела по наклонной плоскости, явление трения и ввел понятие момента силы. 
Зарождение небесной механики (науки о движении небесных тел) 
связано с великим открытием Николая Коперника (1473−1543) − 
создателя гелиоцентрической системы мира, сменившей геоцентрическую систему Птолемея. Это открытие произвело переворот в научном мировоззрении той эпохи и освободило естествознание от 

теологии. На основании учения Коперника и астрономических наблюдений Иоганн Кеплер (1571−1630) сформулировал три закона 
движения планет. 
Создание основ динамики принадлежит великим ученым − итальянскому Галилео Галилею (1564−1842) и англичанину Исааку 
Ньютону (1643−1727), открывшему всемирный закон тяготения. В 
знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) Ньютон в систематическом виде изложил основные 
законы классической механики. 
XVIII в. характеризовался разработкой общих принципов классической механики и важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидродинамике и небесной механике. Наиболее крупными 
зарубежными учеными XVIII и XIX вв. в области механики являются 
Иван Бернулли (1667−1748), Даниил Бернулли (1700−1782), Жан 
Лерон Даламбер (1717−1783), Жозеф Луи Лагранж (1736−1813). В 
работах французских ученых Пьера Вариньона (1654−1722) и Луи 
Пуансо (1777−1859) наряду с динамикой дальнейшее развитие получила и статика. Вариньон решил задачи сложения сил, приложенных 
в точке, и параллельных сил. Он получил условия равновесия этих 
сил, доказал теорему о моменте равнодействующей и предложил 
создание основ графостатики (построение силового многоугольника). 
Развитие науки в России связано с образованием по инициативе 
Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. Большое 
влияние на развитие механики оказали труды гениального русского 
ученого, основателя Московского университета Михаила Васильевича Ломоносова (1711−1765) и знаменитого математика, астронома и физика Леонарда Эйлера (1707−1783). За 30 лет работы в Российской Академии наук Эйлер создал большое количество научных 
трудов по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. 
Огромное значение для развития механики имеют работы выдающихся российских ученых: М.В. Остроградского (1801–1861), 
П.Л. Чебышева (1821–1894), С.В. Ковалевской (1850–1891), 
А.М. Ляпунова 
(1857–1918), 
И.В.Мещерского 
(1859–1935), 
К.Э. Циолковского 
(1857–1935), 
А.Н. 
Крылова 
(1863–1945), 
Н.Е. Жуковского (1847–1921), С.А. Чаплыгина (1869–1942) и многих других. Российскими механиками выполнены фундаментальные 

исследования по теории полета ракет, реактивных самолетов, искусственных спутников Земли и космических станций. 
Теоретическая механика является научной основой важнейших 
отраслей современной техники. Она также необходима для дальнейшего изучения ряда учебных курсов: «Сопротивление материалов», 
«Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Механика сплошных сред» и «Обработка металлов давлением». 

1. КРАТКИЙ КУРС СТАТИКИ 
И КИНЕМАТИКИ 

1.1. Краткий курс статики 

Сила – это мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила является векторной величиной и характеризуется модулем, точкой приложения и направлением (линией действия силы) 
(рис. 1.1). 

 

Рис. 1.1 

 

Пусть F = Fxi + Fyj + Fzk = (Fx, Fy, Fz), [F] = Н (ньютон), 

2
2
2
x
y
z
F
F
F
F
=
+
+
− модуль силы; i,j,k − единичные орты, | i | = 

= | j | = | k | = 1. 
Главным вектором системы сил {F1, … ,Fn} называется их геометрическая сумма (рис. 1.2) 

 
1

n

O
i
i
,
=
= ∑
F
F

(
)
O
Ox
Oy
Oz
F ,F ,F
,
=
F
 
(
)
i
ix
iy
iz
F ,F ,F ,
=
F
 
1

n

Ox
ix
i
,
=
=∑
F
F
 
1

n

Oy
iy
i
,
=
= ∑
F
F
 
1
.
n

Oz
iz
i=
= ∑
F
F
 

y 
O 

Твердое тело 

F 
z 

j 

k 

Линия 
действия 
силы 

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 

Рис. 1.2 

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы: 

 
( )
O

x
y
z

x
y
z
F
F
F
= ×
=
=
i
j
k
M
F
r
F
 

 
(
)
(
)
(
) (
)
z
y
x
z
y
x
Ox
Oy
Oz
yF
zF
zF
xF
xF
yF
M
,M
,M
,
=
−
+
−
+
−
=
i
j
k
 

где 
(
)
, ,
x y z
=
r
 – радиус-вектор точки приложения силы; 

(
)
,
,
x
y
z
F F F
=
F
 – вектор силы; 

,
,
Ox
z
y
Oy
x
z
Oz
y
x
M
yF
zF
M
zF
xF
M
xF
yF
=
−
=
−
=
−
−  моменты 

силы относительно осей x, y и z (рис. 1.3). 

 

Рис. 1.3 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

FO 

F1 
F2 

Fn 

Твердое тело 
Силовой многоугольник 

y 
O 

F – сила 
z 

j 

k

i 

h 

r – радиус-вектор 

x 

MO(F) 

Против хода часовой стрелки 

Момент силы 

h − плечо 

Момент силы M O  перпендикулярен к радиусу-вектору r и вектору силы F. 
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда «поворот» силы виден происходящим против хода часовой 
стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние от 
точки до линии действия силы. По абсолютному значению момент 
силы относительно точки равен произведению силы на плечо: 

 
(
)
(
)
(
)
sin
sin
O
rF
,
F r
,
Fh.
=
×
=
=
=
M
r
F
r F
r F
 

Для определения направления момента силы удобно пользоваться 
«правилом правой руки» (рис. 1.4). 
 

 

Рис. 1.4 

Главным моментом системы сил относительно выбранной точки называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этой точки: 

 
(
)
1
1
.
n
n

O
O
i
i
i
i
i
=
=
=
=
×
∑
∑
M
M
F
r
F  

Необходимым и достаточным условием равновесия системы 
сил является равенство нулю главного вектора и главного момента 
этой системы сил: 

 
0
0
O
O
,
.
=
=
M
F
 

Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным равенствам 

MO(F) 

r 

F 

.
M
,
M
,
M
,
F
,
F
,
F
Oz
Oy
Ox
Oz
Oy
Ox
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
 

Парой сил называется совокупность двух сил {
}
,−
F
F , равных по 
модулю и противоположных по направлению. 
Основные опоры и их опорные реакции показаны на рис. 1.5. 

 

Рис. 1.5 

Пример 1.1. Найти реакции опор балки (рис. 1.6). 
Решение. Заменим действие равномерно распределенной нагрузки 
силой Q = 18·5 = 90 кН, приложенной в середине интервала действия 
этой нагрузки и направленной вертикально вниз. Из уравнений статики следует, что главный вектор и главный момент системы сил 
равны нулю: 

 
( )
0:
0 ,
i
A
i
F x
x
=
=
∑
 

 
( )
0:
6
9
0 ,
i
A
B
i
F y
y
Q
y
=
−
+
−
+
+
=
∑
 

 
0:
6 2
5,5
8
9 10
0 ,
AZ
B
M
Q
y
=
⋅
−
⋅
+
⋅ +
⋅
=
 

откуда получим 

 
37,875 кН,
49,125 кН .
A
B
y
y
=
=
 

xA 

R 

yA 
R=yA 

xA 

yA 

R 

MA 

A 
A 

A 

Цилиндрическая 
шарнирно- 
неподвижная 
опора 

Цилиндрическая 
шарнирно- 
подвижная 
опора 

Жесткая заделка 
(защемление) 

Рис. 1.6 

Проверка: 

0:
6 10
8
2,5
9 2
60
37,875 8
90 2,5 18
0.
BZ
A
M
y
Q
=
⋅
−
⋅ +
⋅
+ ⋅
=
−
⋅ +
⋅
+
=
 

Ответ: 
0,
37,875 кН ,
49,125 кН.
A
A
B
x
y
y
=
=
=
 

Пример 1.2. Дано: G = 20 кН, P = 10 кН, q = 2 кН/м, a = 2 м, 
α = 45°. Найти реакции опор рамы (рис. 1.7). 

 

Рис. 1.7 

Решение. Заменим действие равномерно распределенной нагрузки 
q силой Q = q ⋅ a = 4 кН, приложенной в середине интервала действия 
этой нагрузки и направленной вертикально вниз. Разложим силу P на 
две составляющие, направленные по вертикали и горизонтали. Из 
уравнений статики следует, что главный вектор и главный момент 
системы сил равны нулю: 

9 т 

2 м 

xA 

yB 
yA 

18 кН/м 

2 м 

6 кН 

5 м 
3 м 

A 

B 

q 

A 
B 

P 

α 

G 

a 

P 

P cos α 

P sin α 

C 

C 

xA 

yB 
yA 

a 
a