Механика сплошных сред

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1912 

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов 

В.Н. Шинкин 

Механика сплошных сред 

Курс лекций 

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области металлургии в качестве учебного пособия для 
студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 150100 – Металлургия 

Москва 2010 

УДК 531/534 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин В.Н. 
Ш62  
Механика сплошных сред: Курс лекций. – М.: Изд. Дом 
МИСиС, 2010. – 235 с. 
ISBN 978-5-87623-370-7 

Подробно рассмотрены теоретические и практические вопросы механики 
сплошных сред по следующим темам: основы тензорного исчисления, теории 
деформаций и напряжений, законы сохранения и элементы термодинамики 
сплошных сред, модели сплошных сред и их физические соотношения, постановка задач механики сплошных сред, двумерные задачи в полярных координатах, идеальная несжимаемая жесткопластическая среда, дислокации. 
Приведены многочисленные примеры и домашние задания, закрепляющие 
изложенный материал.  
Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов.  
Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению 150100 «Металлургия». 

УДК 531/534 

ISBN 978-5-87623-370-7 
© Шинкин В.Н., 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ..........................................................................................6 
1. Основы тензорного исчисления .......................................................7 
 
1.1. Основной и взаимный базисы системы координат................7 
 
1.2. Контрвариантные и ковариантные преобразования 
 
координат и базисных векторов....................................................14 
 
1.3. Диадные произведения базисных векторов 
 
и тензор второго ранга...................................................................16 
 
1.4. Ранг тензора. Фундаментальный метрический тензор ........19 
 
1.5. Умножение тензора на скаляр. Сложение и вычитание 
 
тензоров...........................................................................................21 
 
1.6. Операции «жонглирования» индексами................................21 
 
1.7. Скалярное и векторное умножение тензоров.  
 
Тензор Риччи ..................................................................................23 
 
1.8. Дифференцирование тензоров по координатам. 
 
Символы Кристоффеля..................................................................26 
 
1.9. Градиент, дивергенция, ротор и лапласиан тензора ............32 
 
1.10. Теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса ........................36 
2. Теория деформаций (кинематика сплошной среды)....................40 
 
2.1. Лагранжево и эйлерово описания движения сплошной 
 
среды................................................................................................40 
 
2.2. Тензор деформаций.................................................................44 
 
2.3. Главные оси деформаций и главные деформации ...............52 
 
2.4. Инварианты тензора деформаций..........................................56 
 
2.5. Шаровой тензор деформаций и девиатор тензора 
 
 деформаций....................................................................................60 
 
2.6. Уравнения совместности деформаций ..................................62 
 
2.7. Тензор скоростей деформаций...............................................63 
3. Теория напряжений ........................................................................66 
 
3.1. Тензор напряжений .................................................................66 
 
3.2. Главные оси, главные площадки и главные напряжения 
 
тензора напряжений .......................................................................71 
 
3.3. Инварианты тензора напряжений ..........................................75 
 
3.4. Шаровой тензор напряжений и девиатор напряжений........77 
4. Законы сохранения механики сплошных сред ............................80 
 
4.1. Закон сохранения массы – уравнение неразрывности.........82 
 
4.2. Закон сохранения количества движения – уравнение 
 
движения .........................................................................................84 

4.3. Закон сохранения момента количества движения – закон 
 
парности касательных напряжений .............................................85 
 
4.4. Уравнение теплопроводности ...............................................89 
 
4.5. Закон сохранения полной энергии при наличии 
 
тепловых явлений...........................................................................94 
5. Модели сплошных сред и их физические соотношения .............99 
 
5.1. Физическое и механическое поведение деформируемых  
 
сред. Уравнение состояния..........................................................100 
 
5.2. Идеальная жидкость и идеальный газ .................................104 
 
5.3. Закон Навье–Стокса для вязкой жидкости ........................105 
 
5.4. Обобщенный закон Гука для идеальной упругой среды...107 
 
5.5. Идеальная жесткопластическая несжимаемая среда ........110 
 
5.6. Критерий пластичности Мизеса  
 
для упругопластических сред .....................................................111 
 
5.7. Теория пластического течения 
 
для упругопластической среды...................................................115 
6. Постановка задач механики сплошных сред .............................120 
 
6.1. Общие принципы постановки задач....................................120 
 
6.2. Уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости 
 
и газа..............................................................................................123 
 
6.3. Уравнения движения Навье–Стокса 
 
для вязкой жидкости ...................................................................125 
 
6.4. Уравнения движения Лямэ для идеальной 
 
упругой среды ..............................................................................127 
 
6.5. Уравнения движения Прандтля–Рейсса для 
 
упругопластической среды .........................................................128 
7. Задача Лямэ о равновесии толстостенной трубы ......................130 
 
7.1. Двумерные осесимметричные задачи в полярных 
 
координатах ..................................................................................130 
 
7.2. Задача Лямэ о равновесии толстостенной трубы 
 
под действием внутреннего и внешнего давления....................132 
 
7.3. Труба под действием только внутреннего давления..........133 
 
7.4. Труба под действием только внешнего давления ..............134 
 
7.5. Решение задачи в перемещениях.........................................135 
 
7.6. Длинная труба с «донышками»............................................135 
 
7.7. Пластическое состояние толстостенной трубы .................136 
 
7.8. Упругопластическое состояние толстостенной трубы ......137 
8. Идеальная несжимаемая жесткопластическая среда ................139 
 
8.1. Осадка параллелепипеда ......................................................139 
 
8.2. Плоское пластическое движение. Линии скольжения.......142 

8.3. Метод линий скольжения .....................................................146 
 
8.4. Свойства линий скольжения. Теоремы Генки....................150 
 
8.5. Граничные условия для напряжений и краевые задачи.....151 
9. Дислокации ...................................................................................155 
 
9.1. Классификация кристаллов ..................................................155 
 
9.2. Физические типы кристаллических решеток......................157 
 
9.3. Дефекты в кристаллах. Краевая и винтовая дислокации...158 
 
9.4. Упругие деформации при наличии дислокации. Вектор 
 
Бюргерса........................................................................................159 
 
9.5. Дифференциальные уравнения для дислокационной 
 
деформации в изотропной среде.................................................162 
 
9.6. Деформация вокруг прямолинейной винтовой 
 
дислокации в изотропной среде..................................................163 
 
9.7. Деформация вокруг прямолинейной краевой 
 
дислокации в изотропной среде..................................................164 
10. Формовка листа при производстве труб большого диаметра ......166 
 
10.1. Основные положения сопротивления материалов...........166 
 
10.2. Графоаналитический способ построения напряжений....170 
 
10.3. Гибка плоской пластины на прессе пошаговой 
 
формовки.......................................................................................182 
 
10.4. Гибка цилиндрической оболочки на прессе пошаговой 
 
формовки.......................................................................................185 
 
10.5. Гибка изогнутой оболочки на прессе пошаговой 
 
формовки.......................................................................................189 
 
10.6. Формовка листовой заготовки на кромкогибочном 
 
прессе.............................................................................................192 
 
10.7. Гофр продольной кромки листа при формовке 
 
на кромкогибочном прессе..........................................................195 
11. Опорный конспект лекций для заочников ...............................199 
12. Домашние задания ......................................................................206 
 
12.1. Домашнее задание «Элементы тензорного исчисления» .....206 
 
12.2. Домашнее задание «Деформированное состояние 
 
в точке сплошной среды» ............................................................220 
 
12.3. Домашнее задание «Напряженное состояние в точке 
 
сплошной среды и оценка условия пластичности 
 
по критерию Мизеса»...................................................................227 
Библиографический список .............................................................233 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ  

В металлургическом производстве широко применяются различные процессы, связанные с обработкой металлов давлением: прокатка, прессование, волочение, ковка, объемная и листовая штамповка. 
Для качественного и количественного описания процессов деформации металла в таких процессах необходимо использовать теорию и 
методы механики сплошных сред. В связи с этим уже на этапе общеинженерной подготовки следует уделять должное внимание формированию у студентов металлургических специальностей навыков в 
осуществлении расчетов, связанных с деформациями и напряжениями элементов металлургических машин и оборудования.  
В данном курсе лекций подробно рассмотрены теоретические и 
практические вопросы механики сплошных сред по следующим темам: основы тензорного исчисления, теории деформаций и напряжений, законы сохранения и элементы термодинамики сплошных сред, 
модели сплошных сред и их физические соотношения, постановка 
задач механики сплошных сред (идеальная жидкость и газ, вязкая 
жидкость, идеальная упругая среда, идеальная несжимаемая жесткопластическая среда, упругопластическая среда), двумерные задачи в 
полярных координатах и дислокации.  
Приведены многочисленные примеры и домашние задания, закрепляющие изложенный материал и способствующие качественному усвоению специальных дисциплин, связанных с обработкой металлов давлением, деталями машин, конвективным теплообменом в 
печах, электрометаллургией, непрерывной разливкой стали и другими литейными процессами в металлургии.  
 

1. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 

1.1. Основной и взаимный базисы системы 
координат 

Математические объекты, инвариантные (независимые) относительно преобразования координат, называются тензорами. Примерами тензоров являются скалярные величины – плотность, температура, 
давление, объем, площадь поверхности, расстояние между точками. 
Рассмотрим декартову прямоугольную, цилиндрическую и сферическую системы координат (рис. 1.1 – декартова прямоугольная 
система координат (ДПСК): x1 = x, x2 = y, x3 = z; рис. 1.2 – цилиндрическая система координат (ЦСК): x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z и рис. 1.3 – сферическая система координат (ССК): x1 = r, x2 = φ, x3 = θ). Координатной линией называется геометрическое место точек в пространстве, 
характеризуемое изменением только одной из координат, тогда как 
две другие координаты остаются неизменными. 

 

Рис. 1.1 

Прямолинейными системами координат называются системы 
координат, координатные линии которых являются прямыми линиями (ДПСК). Криволинейными системами координат называются 
системы координат, координатные линии которых являются кривыми линиями (ЦСК, ССК). 

x 

x 

y 

y 

M 

z 

z 

O 
i 
j 

k 

r1 

r3 

r2 

r 

Рис. 1.2 

 

Рис. 1.3 

Пусть радиус-вектор точки М равен  

r
xi
yj
zk
=
+
+
, 
2
2
2
r
x
y
z
=
+
+
. 

Основной базис системы координат в данной точке пространства 
есть совокупность трех векторов, определенных как частные производные по соответствующим координатам от радиус-вектора данной точки: 

r1 

r2 

r3 

x 

z 

y 

θ 

r 

O 

M 

ϕ

r1 

r2 

r3 

ρ 
x 

z 

y 

θ

r 

z 

O 

M 

1
2
3
1
2
3
,
,
.
r
r
r
r
r
r

x
x
x

∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂

 

Для ДПСК: 
1
2
3
;
,
,
;
r
xi
yj
zk
x
x x
y x
z
=
+
+
=
=
=
 

1
2
3
,
,
,
r
r
r
r
i
r
j
r
k
x
y
z
∂
∂
∂
=
=
=
=
=
=
∂
∂
∂
 
1
2
3
|
|
|
|
|
|
1.
r
r
r
=
=
=
 

Для ЦСК:  

1
2
3
,
,
;
x
r x
x
z
=
= θ
=
 

cos ,
sin ,
;
cos
sin
;
x
r
y
r
z
z r
r
i
r
j
zk
=
θ
=
θ
=
=
θ
+
θ
+
 

1
2
3
cos
sin
,
sin
cos
,
;
r
r
r
r
i
j r
r
i
r
j r
k
r
z

∂
∂
∂
=
=
θ
+
θ
=
= −
θ
+
θ
=
=
∂
∂θ
∂
 

1
2
3
|
|
1, |
|
, |
|
1.
r
r
r
r
=
=
=
 

Для ССК:  

sin
cos ,
sin
sin ,
cos
;
x
r
y
r
z
r
=
ϕ
θ
=
ϕ
θ
=
ϕ

1
2
3
sin
cos
sin
sin
cos
;
,
,
;
r
r
i
r
j
r
k
x
r x
x
=
ϕ
θ
+
ϕ
θ
+
ϕ
=
= ϕ
= θ  

1
sin
cos
sin
sin
cos
,
r
r
i
j
r
k
r
∂
=
=
ϕ
θ
+
ϕ
θ
+
ϕ
∂
 

2
cos cos
cos sin
sin
,
r
r
r
i
r
j
r
k
∂
=
=
ϕ
θ
+
ϕ
θ
−
ϕ
∂ϕ
 

3
sin
sin
sin
cos
r
r
r
i
r
j
∂
=
= −
ϕ
θ
+
ϕ
θ
∂θ
; 
1
2
3
|
|
1, |
|
, |
|
sin
.
r
r
r
r
r
=
=
=
ϕ
 

Векторы основного базиса 1
2
3
,
,
r
r
r  направлены по касательным к 
соответствующим координатным линиям, проведенным в данной 
точке пространства в направлении возрастания координат. 
Правило суммирования Эйнштейна по двойному индексу: если 
в каком-либо выражении один и тот же индекс встречается дважды 
(один раз внизу и один раз вверху), то предполагается, что по этому 
индексу производится суммирование в пределах, определяемых размерностью пространства; при этом знак суммирования опускается. 
Например, дифференциал радиус-вектора точки равен  

3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1

d
d
d
d
d
d
d
d
d
i
i

i
i
i

r
r
r
r
x
x
x
r x
r
x
r x
r x
r x

x
x
x
=

∂
∂
∂
=
+
+
=
+
+
=
=
∂
∂
∂
∑
, 

а квадрат расстояния между двумя сколь угодно близкими точками  

2
2
(d )
d
d
d
( d
) ( d
)
(
)d d
d d
i
j
i
j
i
j

i
j
i
j
ij
l
l
r
r
r x
r
x
r r
x x
g
x x
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
. 

Метрическими коэффициентами основного базиса системы координат называются скалярные произведения векторов основного 
базиса: 

ij
i
j
g
r r
=
⋅
. 

Так как  

ji
j
i
i
j
ij
g
r
r
r r
g
=
⋅
=
⋅
=
, 
ij
ji
g
g
=
, 

метрические коэффициенты образуют симметричную матрицу  

11
12
13

21
22
23

31
32
33

((
))
.
ij

g
g
g
g
g
g
g
g
g
g

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Соотношение  

2
d
d d
i
j

ij
l
g
x x
=
. 

называется метрикой пространства. Метрика пространства с системой координат 
ix  есть квадратичная относительно дифференциалов координат форма, выражающая квадрат расстояния между двумя 
сколь угодно близкими точками. 
 
Для ДПСК:  

1
2
3
11
22
33
,
,
;
1;
0,
;
ij
r
i
r
j
r
k
g
g
g
g
i
j
=
=
=
=
=
=
=
≠
 

1
0
0

((
))
0
1
0
;

0
0
1

ij
g
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

 

1
2
3
1
2
3
,
,
; d
d , d
d , d
d ;
x
x x
y x
z
x
x
x
y
x
z
=
=
=
=
=
=
 

2
2
2
2
d
d
d
d
.
l
x
y
z
=
+
+
 

Для ЦСК:  

1
2
3
cos
sin
,
sin
cos
,
;
r
i
j
r
r
i
r
j
r
k
=
θ
+
θ
= −
θ
+
θ
=
 

2
11
22
33
1,
,
1;
0,
;
ij
g
g
r
g
g
i
j
=
=
=
=
≠
 

2
1
0
0

((
))
0
0
;

0
0
1

ij
g
r

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

 

1
2
3
1
2
3
,
,
; d
d , d
d , d
d ;
x
r x
x
z
x
r
x
x
z
=
= θ
=
=
= θ
=
 

2
2
2
2
2
d
d
d
d
.
l
r
r
z
=
+
θ +
 

Для ССК: 

1
sin
cos
sin
sin
cos
,
r
i
j
r
k
=
ϕ
θ
+
ϕ
θ
+
ϕ
 

2
cos
cos
cos
sin
sin
,
r
r
i
r
j
r
k
=
ϕ
θ
+
ϕ
θ
+
ϕ
 

3
sin
sin
sin
cos
r
r
i
r
j
= −
ϕ
θ
+
ϕ
θ
; 

2
2
2
11
22
33
1,
,
sin
;
0,
;
ij
g
g
r
g
r
g
i
j
=
=
=
ϕ
=
≠
 

2

2
2

1
0
0

((
))
0
0
;

0
0
sin

ij
g
r

r

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ϕ
⎝
⎠
⎝
⎠

 

1
2
3
1
2
3
,
,
; d
d , d
d , d
d ;
x
r x
x
x
r
x
x
=
= ϕ
= θ
=
= ϕ
= θ  

.
sin
2
2
2
2
2
2
2
θ
ϕ
+
ϕ
+
=
d
r
d
r
dr
dl
 

Ортогональными системами координат (ОСК) называются 
системы координат, координатные линии которых в любой точке 
пространства взаимно перпендикулярны. Следовательно, взаимно 
перпендикулярны и векторы основного базиса (ДПСК, ЦСК, ССК).  
Взаимный базис системы координат в данной точке пространства 
есть совокупность трех векторов 
1
2
3
,
,
r
r
r , которые взаимосвязаны 
с векторами основного базиса соотношениями 

1,
0,

j
j
i
i

i
j
r r
i
j

=
⎧
⎫
⋅
= δ = ⎨
⎬
≠
⎩
⎭

, 

где 
j
iδ  – символ Кронекера. 

Для ортогональной системы координат одноименные векторы основного и взаимного базисов параллельны и направлены в одну сторону, но могут иметь разные длины (рис. 1.4). 

Рис. 1.4 

Метрическими коэффициентами взаимного базиса системы 
координат называются скалярные произведения векторов взаимного 
базиса: 

ij
i
j
g
r
r
=
⋅
. 

В силу определения  

ij
i
j
j
i
ji
g
r
r
r
r
g
=
⋅
=
⋅
=
, 
ij
ji
g
g
=
. 

Поэтому метрическая матрица взаимного базиса является симметричной: 

11
12
13

12
22
23

13
23
33

((
))
.
ij
g
g
g

g
g
g
g

g
g
g

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Для ортогональной системы координат (ОСК):  

11

22

33

0
0

((
))
0
0

0
0

ij
g

g
g

g

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

. 

1
||
,
1,
1,
;
i
i
i
i
i
i
i

i

r
r
r r
r r
r
r
⋅
=
⋅
=
=
 

r1 

r3 

r2 

r1

 

r2

 

r3

 

M 

Координатные 
линии 
Векторы 
основного

базиса 

Векторы взаимного 
базиса

2
2
2
2

1
1
1
( ) ,
(
)
,

( )

ii
i
i
i
ii
i
i
i

i
ii
i
g
r r
r
g
r
r
r
r
g
r

⎛
⎞
=
⋅
=
=
⋅
=
=
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 
1
ii

ii

g
g
=
. 

Для ДПСК:  

1;
0,
;
ii
ij
g
g
i
j
=
=
≠
 
1
0
0

((
))
0
1
0
.

0
0
1

ij
g
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Для ЦСК:  

11
22
33
2
1
1,
,
1;
0,
;
ij
g
g
g
g
i
j

r

=
=
=
=
≠
 
2

1
0
0
1
((
))
0
0
.

0
0
1

ij
g
r

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Для ССК: 

11
22
33
2
2
2
1
1
1,
,
;
0,
;

sin

ij
g
g
g
g
i
j

r
r
=
=
=
=
≠
ϕ
 

2

2
2

1
0
0
1
((
))
0
0
.

1
0
0
sin

ij
g
r

r

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ϕ
⎝
⎠
⎝
⎠

 

Метрическими коэффициентами смешанного типа называются скалярные произведения двух базисных векторов, один из которых принадлежит основному базису, а второй – взаимному базису: 

1,
0,

j
j
j
i
i
i

i
j
g
r r
i
j

=
⎧
⎫
=
⋅
= δ = ⎨
⎬
≠
⎩
⎭

 ; 
j
i
j
ig
g
=
 , 
1
0
0

((
))
0
1
0
.

0
0
1

j
ig
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠