Механика сплошных сред : теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению
«Металлургия» и специальности «Обработка металлов
давлением»

МОСКВА

hМИСИСh

2006

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Б. В. КУЧЕРЯЕВ

Федеральное агенство по образованию РФ
Московский государственный институт стали и сплавов
(технологический университет)

(теоретические основы обработки давлением
композитных металлов с задачами и решениями,
примерами и упражнениями)

Издание второе, дополненное

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

Изложены основы теории пластичности композитных металлов (КМ) и ее приложение

для моделирования процессов обработки давлением КМ. На современном научном уровне

показаны возможности расчетных и экспериментальных методов механики деформируемого

твердого тела, эффективность их сочетания для решения инженерных задач о движении КМ.

Учебник снабжен упражнениями, задачами с решениями, методическими указаниями и

контрольными вопросами, облегчающими самостоятельную работу читателя. В нем размещены типовые примеры домашних заданий и контрольных работ.

Учебник предназначен для студентов металлургических, машиностроительных и политехнических вузов, обучающихся по специальности «Обработка металлов давлением». Он может быть полезен специалистам смежных областей науки и техники, а также преподавателям,

аспирантам, инженернотехническим и научным работникам металлургических заводов, научноисследовательских и проектноконструкторских институтов. Ил. 117. Табл. 15. Библиогр.

список: 32 назв.

Рецензенты: кафедра «Материаловедение, качество и сервис металлургических и машиностроительных технологий» Магнитогорской горнометаллургической академии им. Г. И. Носова; проф., докт. техн. наук Н. Д. Лукашкин

УДК 621.771.001 (075.8)
ББК 22.25
К 88

© Кучеряев Б. В., 2006
© МИСиС, 2006

К 88
Кучеряев Б. В. Механика сплошных сред (теоретические основы обработки
давлением композитных металлов с задачами и решениями, примерами и
упражнениями): Учебник для вузов. – М.: hМИСИСh, 2006. – 604 с.

ISBN 5876231533

ISBN 5876231533

УДК 621.771.001 (075.8)
ББК 22.25

Издано при финансовой поддержке Федерального Агентства по печати и
массовым коммуникациям в рамках Федеральной целевой программы
«Культура России»

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................................................. 7
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ ........................................................................ 10

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД ...........................................16
1.1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЙ ......................................................................... 16
1.1.1. Идеализация форм существования материи..................................................................... 16
1.1.2. Топология сплошных сред ............................................................................................... 17
1.1.3. Классификация композитных сред ................................................................................... 19
1.1.4. Понятие о математической постановке и решении краевых задач ...................................... 21
Контрольные вопросы ............................................................................................................................ 23

1.2. КИНЕМАТИКА ........................................................................................... 24
1.2.1. Основные понятия и определения.................................................................................... 24
Задачи к пп. 1.2.1 .................................................................................................................... 29
1.2.2. Описание движения в лагранжевых координатах ............................................................... 31
Задачи к пп. 1.2.2 .................................................................................................................... 36
1.2.3. Описание движения в эйлеровых координатах .................................................................. 41
Задачи к пп. 1.2.3 .................................................................................................................... 47
1.2.4. Теория малых деформаций.............................................................................................. 52
Задачи к пп. 1.2.4 .................................................................................................................... 57
1.2.5. Условие совместности деформаций ................................................................................. 62
1.2.6. Поле скоростей .............................................................................................................. 63
Задачи к пп. 1.2.6 .................................................................................................................... 75
1.2.7. Тензор скоростей деформаций ........................................................................................ 85
Задачи к пп. 1.2.7 .................................................................................................................... 92
1.2.8. Кинематические граничные условия ............................................................................... 103
Задачи к пп. 1.2.8 .................................................................................................................. 105
1.2.9. Кинематика сплошных композитных сред ....................................................................... 108
1.2.10. Двухмерное стационарное течение двухслойной среды ................................................. 109
1.2.11. Двухмерное стационарное течение многослойной среды ............................................... 118
1.2.12. Объемное стационарное течение слоистых композитов ................................................. 120
1.2.13. Кинематика сплошных сред с включениями .................................................................. 124
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 127
Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 2 по разделу МСС «Кинематика» ...................................... 128
Типовые варианты контрольной работы № 2 по разделу МСС «Кинематика» ............................................ 133

1.3. СТАТИКА ............................................................................................... 147
1.3.1. Механическое силовое воздействие .............................................................................. 147
1.3.2. Формула О. Коши ......................................................................................................... 149

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

1.3.3. Тензор напряжений ....................................................................................................... 152
Задачи к пп. 1.3.3 .................................................................................................................. 155
1.3.4. Напряжения на характерных площадках в главных координатах тензора напряжений ......... 163
Задачи к пп. 1.3.4 .................................................................................................................. 168
1.3.5. Статические граничные условия .................................................................................... 171
Задачи к пп. 1.3.5 .................................................................................................................. 172
1.3.6. Статика сплошных композитных сред ............................................................................. 174
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 175
Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 3 по разделу МСС «Статика» ............................................ 176

1.4. ДИНАМИКА ............................................................................................ 181
1.4.1. Уравнение неразрывности ............................................................................................. 181
Задачи к пп. 1.4.1 .................................................................................................................. 183
1.4.2. Уравнение движения ..................................................................................................... 185
Задачи к пп. 1.4.2 .................................................................................................................. 188
1.4.3. Симметрия тензора напряжений .................................................................................... 191
1.4.4. Баланс мощности (работы) ............................................................................................ 193
Задачи к пп. 1.4.4 .................................................................................................................. 199
1.4.5. Уравнение теплопроводности ........................................................................................ 201
Контрольные вопросы ...........................................................................................................................205

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД ................................................................ 207
1.5.1. Свойства идеальных кристаллов и реальных металлов .....................................................207
1.5.2. Определяющие уравнения ............................................................................................. 218
1.5.3. Математическая постановка краевых задач .................................................................... 221
Задачи к пп. 1.5.3 ...................................................................................................................229
1.5.4. Кинематическая постановка задач...................................................................................239
1.5.5. Статическая постановка задач ........................................................................................243
1.5.6. Диаграммы механических испытаний металлов ...............................................................245
Задачи к пп. 1.5.6 ...................................................................................................................258
1.5.7. Модели пластичных сред ...............................................................................................263
1.5.8. Пластическая деформация анизотропных сред ................................................................265
1.5.9. Оценка эффективных свойств сплошных композитных сред ..............................................273
Контрольные вопросы ...........................................................................................................................286
Типовые варианты контрольной работы № 3 по разделам МСС «Статика» и «Динамика» ............................287

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД ........................... 308
2.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД.............................. 308
2.1.1. Принцип Ж. Лагранжа ....................................................................................................308
2.1.2. Принцип А. Кастилиано ................................................................................................. 314
2.1.3. Принцип минимума мощности внутренних сил................................................................ 319
2.1.4. Изопериметрическая постановка вариационных задач..................................................... 321
Контрольные вопросы ...........................................................................................................................324

2.2. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ ЖЕСТКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД ...................................... 326
2.2.1. Метод тонких сечений....................................................................................................326
2.2.2. Метод линий скольжения ...............................................................................................329
2.2.3. Метод разрывных полей скоростей ................................................................................ 341
Контрольные вопросы ...........................................................................................................................348

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

2.3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КВПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ ......................... 349
2.3.1. Склейка разрывных полей скоростей ..............................................................................349
2.3.2. Интеграл К. Шварца–Э. Кристоффеля ............................................................................ 351
2.3.3. Суперпозиция гармонических течений.............................................................................354
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 361

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОМД МЕТОДАМИ МСС ............................... 363
3.1. Применение разрывных КВполей скоростей ................................................. 363
3.1.1. Принципы построения полей скоростей ..........................................................................363
3.1.2. Оценка технологических параметров процесса прокатки ..................................................368
3.1.3. Оценка технологических параметров процессов прессования и волочения
круглых прутков ......................................................................................................................379
3.1.4. Оценка технологических параметров при РКУП ............................................................... 391

3.2. Применение непрерывных КВполей скоростей .............................................. 394
3.2.1. Применение методов ТФКП ............................................................................................394
3.2.2. Моделирование процесса РКУП ......................................................................................409
3.2.3. Моделирование процесса листовой прокатки.................................................................. 415
3.2.4. Моделирование процессов сортовой прокатки .................................................................425

3.3. Пластическая деформация композитов......................................................... 432
3.3.1. Сжатие бинарного пакета ...............................................................................................432
3.3.2. Прокатка многослойных заготовок ..................................................................................433

ПРИЛОЖЕНИЕ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД) ....... 442

П1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ .......................... 442
П1.1. Тензоры в декартовых координатах ........................................................... 442

П1.2. Задачи по матричному исчислению ........................................................... 449
П1.2.1. Сложение, вычитание и умножение матриц ...................................................................449
П1.2.2. Транспонирование, симметрирование и альтернирование ..............................................452
П1.2.3. Диагонализация матрицы.............................................................................................454

П1.3. Действия над тензорами различного ранга .................................................. 455
П1.4. Инварианты тензоров ............................................................................. 461
П1.5. Задачи по тензорному исчислению ............................................................ 464
П1.5.1. Ортонормированный векторный базис ..........................................................................464
П1.5.2. Действия над тензорами ..............................................................................................468

П1.6. Физические и геометрические аналоги тензоров .......................................... 482
П1.7. Методы анализа тензорных полей ............................................................. 484
П1.8. Задачи по анализу тензорных полей .......................................................... 489
П1.8.1. Дифференциальные операции над тензорными полями .................................................489
П1.8.2. Дифференцирование тензорных полей по времени ........................................................497
Типовые варианты домашнего задания (ДЗ) № 1 по разделу МСС «Тензорное исчисление и анализ
тензорных полей» .................................................................................................................................498

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

П1.9. Основные интегральные зависимости ........................................................ 512
Контрольные вопросы .......................................................................................................................... 515
Типовые варианты контрольной работы № 1 по разделу МСС «Тензорное исчисление и
анализ тензорных полей» ..................................................................................................................... 516

П2. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ............................................. 532
П2.1. Элементы функционального анализа ......................................................... 532
П2.2. Некоторые сведения из вариационного исчисления ....................................... 538
П2.3. Примеры реализации вариационных задач .................................................. 540
П2.4. Проекционные методы............................................................................ 555
Контрольные вопросы ...........................................................................................................................558

П3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ................................. 559
П3.1. Глобальная аппроксимация с учетом граничных условий ................................. 559
П3.1.1. Метод М. М. ФилоненкоБородича ...............................................................................559
П3.1.2. Метод В. Л. Рвачева ....................................................................................................560
П3.1.3. Метод конформных отображений ................................................................................ 561
П3.1.4. Метод интеграла К. Шварца–Э. Кристоффеля ...............................................................568
П3.1.5. Метод суперпозиции гармонических течений ................................................................572
П3.2. Склейка локальных аппроксимаций............................................................ 576

Контрольные вопросы ...........................................................................................................................584

Рекомендательный библиографический список ......................................................................................586

Предметный указатель ..........................................................................................................................588

Именной указатель ...............................................................................................................................599

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

Моим учителям:
по жизни
дорогому папе КУЧЕРЯЕВУ ВИКТОРУ НИКОЛАЕВИЧУ;
в науке
КЛЯЩИЦКОЙ ЕВГЕНИИ АЛЕКСАНДРОВНЕ,
СЕГАЛУ БЕНИЦИОНУ ИЗРАИЛЕВИЧУ,
ГУНУ ГЕННАДИЮ ЯКОВЛЕВИЧУ
посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник предназначен для студентов технических вузов, специализирующихся в области обработки композитных металлов давлением. Потребность различных отраслей народного хозяйства в композитных металлах постоянно увеличивается, и этим объясняется необходимость подготовки инженерных кадров,
получающих в процессе обучения специальные знания, необходимые для проектирования технологии производства изделий в цехах по обработке таких металлов давлением.
В широком смысле под термином «композитный материал» можно понимать любой материал со значимой в рассматриваемых условиях неоднородностью свойств. В учебнике этот термин представлен в более узком смысле, означающем материал, получаемый в общем случае совместной пластической деформацией разнородных металлов. Специфика свойств композитных
металлов, особенности совместной пластической деформации разнородных
металлов требуют сделать акцент на определенных подразделах 1й главы «Механика сплошных композитных сред», связанных со спецификой описания
движения неоднородных тел. Естественно, что однородные тела можно рассматривать как частные варианты неоднородных тел с малозначимой в определенных условиях неоднородностью свойств последних. Поэтому при упрощении, а в ряде случаев и при сокращении некоторых специальных подразделов, относящихся к особенностям описания движения композитных металлов,
учебник может быть использован студентами, специализирующимися в области обработки однородных металлов давлением.
При изложении материала учебника автор придерживался концепции о дуальности окружающего нас мира: информация как форма существования материи, так же как и материя, никогда не возникает и никогда не исчезает, а лишь
преобразовывается из одного вида в другой. Вечное существование материального мира можно рассматривать как результат постоянного обмена информацией

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

ПРЕДИСЛОВИЕ

одних его частей с другими внутри этого мира в самом широком смысле этого
слова (механическом, тепловом, химическом, электромагнитном и др.).
Описание движения композитных металлов рассмотрено с позиции механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с использованием гипотезы сплошной среды, что позволяет в структурном построении учебника в основном сохранить порядок представления его содержания, присущий традиционному изложению курсов «Механика сплошных сред» (МСС), «Механика
деформируемого твердого тела», «Теория пластичности» (ТП).
Учебник состоит из трех разделов. В первом излагается механика сплошных
композитных сред, во втором приведены основные методы МСС для решения
задач теории пластичности, которые использованы в третьем разделе, посвященном моделированию процессов обработки металлов давлением (ОМД). В учебник не включены разделы, связанные с вопросами разрушения, вязкости и ползучести деформируемых металлов. В достаточном для специалистов в области
ОМД объеме этот материал изложен в книгах Г. Я. Гуна «Теоретические основы
обработки металлов давлением», В. Л. Колмогорова «Механика обработки металлов давлением», Г. Э. Аркулиса и В. Г. Дорогобида «Теория пластичности»,
Н. Н. Малинина «Прикладная теория пластичности и ползучести», А. А. Богатова, О. И. Мижирицкого и С. В. Смирнова «Ресурс пластичности при обработке
давлением», которые наряду с настоящим учебником должны быть включены в
список основной литературы учебных программ. С начальными сведениями по
технологии ОМД, в том числе по обработке давлением композитных металлов
можно ознакомиться в учебнике В. К. Бабича, Н. Д. Лукашкина, А. С. Морозова
и др. «Основы металлургического производства».
Используемый математический аппарат преимущественно в информативном виде приведен в Приложении, ссылка на которое в тексте учебника позволила отказаться от многократного описания большого количества стандартных
процедур и избавить его объем от рутинных нагромождений. Все теоретические
подразделы основного текста учебника и разделы Приложения заканчиваются
контрольными вопросами, часть из которых составлена с учетом творческого
подхода к изложенному материалу при подготовке ответов.
Помещенные в учебнике упражнения можно рассматривать как объект для
самостоятельной работы, а также как задачи для работы с аудиторией на практических занятиях. Основной теоретический материал иллюстрирован примерами решения задач. Конец текстов, а также идущих подряд упражнений или
примеров обозначен значком 
. Кроме того, в конце многих теоретических
подразделов рассмотрен комплекс задач с решениями по теме подраздела, например задачи по кинематике как в основном тексте, так и в Приложении. Комплекс задач заканчивается типовыми примерами домашних заданий (ДЗ) и контрольных работ (КР).

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

ПРЕДИСЛОВИЕ

В тексте использована трехпозиционная индексация пунктов. Например,
2.1.4 означает четвертый пункт первого подраздела второго раздела. Таблицы и
рисунки имеют сквозную нумерацию по всему тексту учебника. Формулы и упражнения нумеруются в естественном порядке внутри каждого подраздела. Например, запись 1.2.27 означает формулу 27 из второго подраздела первого раздела. Точно так же запись Упражнение 1.3.5 означает упражнение 5 из третьего
подраздела первого раздела. Если в основном тексте перед номером формулы
или упражнения поставлена буква «П», например П1.31, то это означает, что
формулу или упражнение следует смотреть в Приложении. Иногда в комплексе
«Задачи …» приводятся поясняющие формулы, которые нумеруются с соответствующим индексом «З». Например, символ З1.2.4 означает формулу 4 из комплекса «Задачи …» второго подраздела первого раздела.
Автор выражает глубокую благодарность кафедре «Пластическая деформация специальных сплавов» Московского государственного института стали и
сплавов (технологического университета), во главе с заведующим кафедрой профессором А.В. Зиновьевым, за поддержку идеи написания и повторного издания учебника, а также коллективному рецензенту – кафедре «Материаловедение, качество и сервис металлургических и машиностроительных технологий»
Магнитогорской горнометаллургической академии им. Г. И. Носова, во главе
с заведующим кафедрой профессором Г. С. Гуном, и рецензенту профессору
Н. Д. Лукашкину.
Автор признателен доценту В. В. Кучеряеву за огромную помощь при проведении экспериментальных работ методами муаровых полос и координатной
сетки для получения соответствующего иллюстративного материала.
Автор с благодарностью примет от читателя любые замечания и предложения по улучшению содержания учебника, которые можно отправить по адресу:
119049, Россия, Москва, Ленинский проспект, 4, МИСИСИздательство.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

M – материальный объект, сплошное тело, сплошная среда;
Mα – сплошная αсреда;
m – материальная частица;
mα – материальная частица αсреды;
R – пространство, заполненное множеством сред;
N – пространственная область, занимаемая телом M;
Nα – пространственная область, занимаемая αсредой;
N – размерность пространства N;
∅ – свободное (пустое) пространство (множество);
n – пространственная точка;
S, s – поверхность тела M и ее точка;
Sαβ – поверхность раздела тел Mα и Mβ;
Ω – объем тела M;
Ωα– объем αсреды;
P – совокупность свойств;
Pα – совокупность свойств αсреды;
t – время;
Ma = ((aik)) – матрица с компонентами aik;

n

...
Т

n
a
i k
a
=
 – тензор ранга n с компонентами 
...
n
i k
a
 (скалярная величина 
0
Тa
a =
 – тензор нулевого ранга, векторная величина 
1
Та
a =
 с компонентами ai – тензор первого ранга, тензор второго ранга 
2
Та  с компонентами aik обозначается Ta, тензор 
3
Та  с компонентами aikj – третьего ранга и т. д.);

||
||
b
 или b – длина (модуль, норма) вектора b ;

n  – единичная (
1
n = ) внешняя (по отношению к телу M) нормаль к поверхности S;

т
Та  – транспонированный тензор с компонентами aki тензора Ta с компонентами aik;
δik – символ Л. Кронекера;
Mδ = (( δik)) – единичная матрица с компонентами δik;

Tδ = 
ik
δ
 – единичный тензор с компонентами δik;

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

∈ijk – символ Т. ЛевиЧивиты;

ke  – орт, или единичный вектор (
1
ke
= ), направление которого совпадает

с kй координатной осью;
aI, aII, aIII (bI, bII, bIII и т. п.) – первый, второй и третий инварианты тензора
Ta (Tb и т. п.);
ai (bi и т. п.) – главные компоненты тензора Ta (Tb и т. п.);

a0 – среднее значение тензора Ta, a0 = N

ii
a
*
;

Sa – сферическая часть тензора Ta, Sa = a0Tδ;
Da – девиаторная часть тензора Ta, Da = Ta–Sa;
– символ скалярного типа p произведения двух тензоров различных рангов с p индексами суммирования (свертки) их компонент (при умножении тензора любого ранга на скаляр символ p опускается; при p = 0 (= ) вместо
символа используется символ ⊗ тензорного произведения; при p, равном наименьшему рангу одного из тензоровсомножителей, символ заменяется скалярной точкой «·» как символом полного скалярного произведения);
×p – символ векторного произведения тензоров различных рангов (при p, равном рангу одного из тензоровсомножителей, символ ×p заменяется символом
«×» полного векторного произведения);
∇ – векторный дифференциальный оператор У. Р. Гамильтона (набла) с компонентами 
k
i
i
k
e
x
x
x

⎛
⎞
∂
∂
∂
∇ =
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠

;

∇n – тензорный, ранга n, дифференциальный оператор У. Р. Гамильтона,

∇n = ∇ ⊗...⊗ ∇ = 

n

...
i
k
x
x
∂
∂
∂
 (полное скалярное произведение ∇n на тензор ран*В учебнике используется правило А. Эйнштейна и исключение из него – правило А.И. Лурье.

Правило А. Эйнштейна: если в одночлене (например, aibi, или kfk, или cjdj, и т. п.), содержащем

индексированные переменные, встречаются повторяющиеся индексы или одинаковые с индексами буквы, то по этим индексам или индексам и буквам производится суммирование (aibi = a1b1 +

+ a2b2 + ..., или kfk = f1 + 2f2 + ..., или cj d j = c1d + c2d2 +..., и т. п.).

Исключение А. И. Лурье: суммирование в одночлене по повторяющимся индексам или индексам и одинаковым с ними буквам не производится, если такие индексы или буквы в любом виде

встречаются с обеих сторон знака равенства (неравенства, тождества и т. п.) в уравнениях или равенствах (неравенствах, тождествах и т. п.), например: ci = aibi ⇒ c1 = a1b1; c2 = a2b2; ... или

sk = kfk ⇒ s1 = f1; s2 = 2f2; ..., или gj = cjdj ⇒ g1 = c1d; g2 = c2d2; ...

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

га m при m ≥ n называется дивергенцией nго порядка этого тензора; тензорное
произведение ∇n на тензор любого ранга называется градиентом nго порядка
этого тензора; векторное произведение ∇n на тензор ранга m при m ≥ n называется ротором или вихрем nго порядка этого тензора);

Δ = ∇⋅∇ = 

2

i
i
x x
∂
∂ ∂
 – оператор П.С. Лапласа (гармонический);

 Δ2 = ΔΔ = 

4

i
i
j
j
x x x
x
∂
∂ ∂ ∂
∂
 – бигармонический оператор;

n
Ta
t
∂
∂
 – частная производная тензора 
n
Ta  по времени t;

n
Ta
d
dt
 – полная производная тензора 
n
Ta  по времени t;

L  – лагранжев радиусвектор с компонентами Li – лагранжевыми (материальными) координатами частицы m в начальный t = t0 момент времени;

E  – эйлеров радиусвектор с компонентами Ei – эйлеровыми (пространственными) координатами материальной частицы m, находящейся в произвольный момент времени t в пространственной точке n;

, 
dL dE  – радиусвекторы точек малой окрестности материальной частицы
m в начальный t0 и произвольный t моменты времени соответственно;
x  – радиусвектор частицы (точки) в обобщенных координатах xi (общее обозначение координат);

 ( )
U u  – вектор перемещения материальной частицы с компонентами Ui (ui);

, 
, 
n
p
U
U
U τ  – полный, нормальный и касательный векторы перемещения

на поверхности S с нормалью n ;

, 
dU U ⊗∇  – вектор и тензор искажения (дисторции) окрестности материальной частицы;
TL, TE – лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций с компонентами Lik и Eik соответственно;
JL, JE – якобианы взаимообратного преобразования лагранжевых и эйлеровых координат;

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Tε – тензор малых деформаций с компонентами εik;

ε0 – средняя деформация, 
0
ε
ii
N
ε
=
;

Sε – сферическая часть Tε , Sε = ε0Tδ;
Dε – девиаторная часть Tε (девиатор деформаций) с компонентами eik = εik – ε0δ ik;
eI, eII, eIII – первый, второй и третий инварианты девиатора Dε;

Γ – интенсивность сдвиговых деформаций, 
II
2
e
Γ =
;

dΩL, dΩE – элементарные объемы окрестности материальной частицы в начальный t0 и произвольный t моменты времени;

V  или v  – вектор скорости перемещения материальной частицы с компонентами Vi или vi;

, 
, 
n
p
V
V
V τ  – полный, нормальный и касательный поверхностные векторы

скорости на поверхности S с нормалью n ;

, 
dV V ⊗∇  – вектор и тензор скорости искажения (скорости дисторции)
окрестности материальной частицы;
Tξ – тензор скоростей деформаций с компонентами ξik;

ξ0 – средняя скорость деформации, ξ0 = N

ii
ξ
;

Sξ – сферическая часть Tξ , Sξ = ξ0Tδ;
Dξ – девиаторная часть Tξ (девиатор скоростей деформаций) с компонентами ηik = ξik – ξ0δik;

ηI, ηII, ηIII – первый, второй и третий инварианты девиатора Dξ;

Η – интенсивность сдвиговых скоростей деформаций, 
II
H
2
=
η
;

Λ – степень деформации сдвига;

P  – поверхностная сила;
m – масса;

F  – массовая сила, приходящаяся на единицу массы;

dV
dt  – инерционная сила, приходящаяся на единицу массы (ускорение);

σ  – напряжение;

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Tσ – тензор напряжений с компонентами σik;

σ0 – среднее напряжение, 
0
σ
σ
ii
= Ν
;

Sσ – сферическая часть Tσ, Sσ = σ0Tδ ;
Dσ – девиаторная часть Tσ (девиатор напряжений) с компонентами sik = σik – σ0δik;
sI, sII, sIII – первый, второй и третий инварианты девиатора Dσ;

Τ – интенсивность касательных напряжений, 
II
s
Τ =
;

, 
, 
n
n
n
p
σ
τ  – полное, нормальное и касательное поверхностные напряжения, действующие на площадке S с нормалью n ;

окт
окт
окт
, 
, 
p
σ
τ
 – полное, нормальное и касательное октаэдрические напряжения;
τik – максимальные касательные напряжения, τmax – наибольшее из них по
модулю;
θ – температура;
Q – количество тепла;
q  – вектор теплового потока;
ρ – плотность;
σт или σs – предел текучести;
τт или τs – напряжение пластического сдвига (предел текучести на сдвиг);
Ext – мощность внешних сил;
Int – мощность внутренних сил;
δJ, δy – вариации функционала и функции соответственно;
(ϕ, ψ) – скалярное произведение двух функций;
||ϕ|| – норма функции;
JЛ, JК – функционалы Ж. Лагранжа А. Кастилиано соответственно;
ДС – деформированное состояние;

КВполе – кинематически возможное поле (V  или U ), удовлетворяющее
кинематическим граничным условиям;
КМ – композитный материал (металл);
МДТТ – механика деформируемого твердого тела;
МКЭ – метод конечных элементов;
МСС – механика сплошных сред;
НДС – напряженнодеформированное состояние;
НС – напряженное состояние;
ОМД – обработка металлов давлением;

Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com