Моделирование систем управления

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ  
И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
 
Кафедра автоматизации

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ  
УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3138

Н.В. Осипова

УДК 004 
 
О-74

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. Л.Д. Певзнер (МИРЭА)

Осипова Н.В.
О-74  
Моделирование систем управления : учеб.-метод. пособие / 
Н.В. Осипова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 50 с.

Представлены основные теоретические сведения об электроприводе. Приведено математическое описание асинхронного двигателя с короткозамкнутым 
ротором, а также методика настройки регуляторов для контуров стабилизации 
потокосцепления ротора, тока статора и угловой скорости вала двигателя. Рассмотрен пример моделирования системы автоматического управления асинхронной машиной в пакете прикладных программ Matlab Simulink, Control 
System Toolbox.
Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлению подготовки 
27.03.04 «Управление в технических системах».

УДК 004

 Н.В. Осипова, 2019
 НИТУ «МИСиС», 2019

Оглавление

Введение ....................................................................................................4
1 Теоретическая часть...............................................................................5
1.1 Выбор объекта моделирования ........................................................ 5
1.2 Математическое описание асинхронной машины ......................... 5
Математическое описание обобщенной асинхронной  
машины ................................................................................................. 5
Математическое описание АКЗ во вращающейся системе 
координат .............................................................................................. 9
1.3 Синтез модели системы автоматического управления АКЗ ....... 13
Контур регулирования потокосцепления ротора ........................... 13
Контур регулирования тока статора ................................................ 25
Контур регулирования угловой скорости вала двигателя ............. 27
1.4 Моделирование системы автоматического управления АКЗ ...... 37

2 Требования к курсовой работе ............................................................41
2.1 Примеры заданий на курсовую работу .......................................... 41
2.2 Требования к выполнению курсовой работы ............................... 41
2.3 Требования к оформлению курсовой работы ............................... 42
2.4 Требования к защите и оценке курсовой работы ......................... 43
Контрольные вопросы к защите курсовой работы ..............................44
Заключение ..............................................................................................45
Список использованных источников ....................................................46
Приложение А .................................................................................... 47
Приложение Б ..................................................................................... 48
Приложение В .................................................................................... 49

Введение

Целью написания курсовой работы является закрепление 
знаний, полученных при изучении курса лекций и на практических 
занятиях. Основная задача состоит в приобретении навыков по 
разработке математической модели асинхронного электродвигателя 
с 
короткозамкнутым 
ротором 
(АКЗ), 
настройки 
регуляторов 
для синтеза системы автоматического управления приводом и 
моделированию.
В соответствии с утвержденным учебным планом студенты 
направления 
27.03.04 
«Управление 
в 
технических 
системах» 
выполняют курсовую работу по дисциплине «Моделирование систем 
управления» на 4 курсе, 8 семестре. 
Общий объем работы должен составлять 20 – 25 страниц 
машинописного текста.
Структура курсовой работы:
1 Титульный лист. 
2 Задание. 
3 Содержание. 
4 Введение. 
5 Математическое описание асинхронной машины.
5.1 Математическое описание обобщенной асинхронной 
машины.
5.2 Математическое описание АКЗ во вращающейся системе 
координат.
6 Синтез модели системы автоматического управления АКЗ.
6.1 Контур регулирования потокосцепления ротора.
6.2 Контур регулирования тока статора.
6.3 Контур регулирования угловой скорости вала двигателя.
7 Моделирование системы автоматического управления АКЗ.
8 Выводы и заключение. 
9 Список используемой литературы.
Перед началом выполнения курсовой работы студент получает 
индивидуальное задание. При этом составляется календарный график 
выполнения курсовой работы, расписание консультаций.

1 Теоретическая часть

1.1 Выбор объекта моделирования

Построение моделей систем автоматического управления 
технологическими процессами связано с математическим описанием 
таких составляющих как регуляторы, датчики, объект управления с 
исполнительным механизмом и т.д. При этом неотъемлемой частью 
последнего является электрический привод.
Он представляет из себя электромеханическую систему, 
которая приводит в действие производственные механизмы и 
обеспечивает управление ими за счет преобразования электрической 
энергии в механическую. Самые распространенные типы двигателей 
электроприводов – асинхронный и синхронный.
В асинхронных машинах частота вращения ротора не равна 
частоте вращения магнитного поля, создаваемого током обмотки 
статора, а в синхронных – частота вращения ротора равна частоте 
вращения магнитного поля в воздушном зазоре.
Асинхронные двигатели в свою очередь подразделяются на 
два вида: 1) с короткозамкнутым ротором и 2) с фазным ротором. 
Причем первые из них находят более широкое применение, так как 
имеют ряд достоинств: низкую стоимость, простоту в эксплуатации, 
обслуживании, конструкции  и высокую надежность.
Поэтому объектом моделирования в курсовой работе выбран 
асинхронным привод с короткозамкнутым ротором.

1.2 Математическое описание асинхронной 
машины

Математическое описание обобщенной 
асинхронной машины

Асинхронная машина имеет трехфазные обмотки на статоре 
и роторе, соединенные по схеме «звезда» и подключенные к 
симметричным трехфазным источникам напряжения. При этом фазы 
обмоток статора будем обозначать большими буквами A, B, C, а 
ротора – малыми a, b, c (рисунок 1.2.1). 
Приведем ее математическое описание [2, 8].

Рисунок 1.2.1 – Схема асинхронной машины

Согласно 2-му закону Кирхгофа уравнения равновесия ЭДС на 
обмотках статора и ротора запишутся в виде:

 

,
,

,
,

,
,

d
d
 
d
d

d
d
 
d
d
d
d

d
d

a
A
A
A A
a
a a

b
B
B
B B
b
b b

C
c

C
C C
c
c c

u
R i
u
R i
t
t

u
R i
u
R i
t
t

u
R i
u
R i
t
t

ψ
ψ
=
+
=
+

ψ
ψ
=
+
=
+

ψ
ψ
=
+
=
+

  
(1.2.1)

где uA, uB, uC , ua, ub, uc – мгновенные значения напряжений на 
обмотках статора и ротора, В;
iA, iB, iC, ia, ib, ic – мгновенные значения токов, протекающих в 
обмотках статора и ротора, А;
RA, RB, RC , Ra, Rb, Rc – активные сопротивления статорной и роторной обмотки, Ом;
ψA, ψB, ψC , ψa, ψb, ψc – потокосцепления обмоток статора и ротора, Вб.

На основании закона Ампера потокосцепления ψA, ψB, ψC , ψa, 
ψb, ψc могут быть выражены следующим образом:

 

,

,

,

,

,

A
AA A
AB B
AC C
Aa a
Ab b
Ac c

B
BA A
BB B
BC C
Ba a
Bb b
Bc c

C
CA A
CB B
CC C
Ca a
Cb b
Cc c

a
aA A
aB B
aC C
aa a
ab b
ac c

b
bA A
bB B
bC C
ba a
bb b
bc c

c
c

L i
L
i
L
i
L i
L i
L i

L i
L i
L
i
L i
L i
L i

L i
L
i
L
i
L i
L i
L i

L i
L i
L i
L i
L i
L i

L i
L i
L i
L i
L i
L i

L

ψ
=
+
+
+
+
+

ψ
=
+
+
+
+
+

ψ
=
+
+
+
+
+

ψ =
+
+
+
+
+

ψ =
+
+
+
+
+

ψ =
,
A A
cB B
cC C
ca a
cb b
cc c
i
L i
L i
L i
L i
L i
+
+
+
+
+

  
(1.2.2)

где LAA, LBB, LCC , Laa, Lbb, Lcc, – собственные индуктивности  
обмоток статора и ротора соответственно, Гн;
LAB, LAC , LAa, LAb, LAc, LBA, LBC , LBa, LBb, LBc, LCA, LCB, LCa, LCb, 
LCc – взаимоиндуктивности, Гн;

Уравнения 
равновесия 
моментов 
на 
валу 
машины 
формируются на основе 2-го закона Ньютона:

 
,
н
d
d

m
J
M
M
t
ω
=
−





  
(1.2.3)

где J – момент инерции на валу машины, кг·м/с2,

m
ω – угловая скорость вала машины, рад/с,

M


– электромагнитный момент машины, Н·м,

н
M


– момент рабочего механизма, приведенный к валу машины, Н·м.

На основании правила Ленца, уравнение для электромагнитного 
момента запишется в виде

 
(
).
M
k
i
=
ψ×




  
(1.2.4)

При этом коэффициент k зависит от отношения взаимной и 
собственной индуктивности обмоток, его расчет будет приведен далее.
Для упрощения описания асинхронной машины применяют 
метод пространственного вектора. Данный вектор для токов iS, 
iR напряжений uS, uR и потокосцеплений ψS, ψR статора и ротора 
раскладывается на три составляющие [1]:

 

(
)

(
)

(
)

2

2

2

2
,
3
2
,
3
2
,
3

S
A
B
C

S
A
B
C

S
A
B
C

i
i
ai
a i

u
u
au
a u

a
a

=
+
+

=
+
+

ψ =
ψ + ψ +
ψ










  
(1.2.5)

 

(
)

(
)

(
)

2

2

2

2
,
3
2
,
3
2
.
3

R
a
b
c

R
a
b
c

R
a
b
c

i
i
ai
a i

u
u
au
a u

a
a

=
+
+

=
+
+

ψ
=
ψ + ψ +
ψ










 
(1.2.6)

При этом операторы 

2
4
2
3
3
,
j
j
a
e
a
e

π
π
=
=


 показывают, насколько 
обмотки B, С смещены относительно обмотки A и обмотки b, с 
относительно обмотки a в пространстве. Например, угол между 

обмотками A и B равен 2 ,
3
π а между A и С его величина составляет 4 .
3
π

Преобразуем 
уравнения 
(1.2.1) 
и 
(1.2.2), 
записанные 
относительно мгновенных значений параметров к уравнениям 
в пространственных векторах. Для этого умножим первые два 

выражения для напряжений uA, ua на 2 ,
3 вторые два выражения для uB, 

ub – на 2 ,
3 a  третьи для uС, uс – на 
2
2
.
3 a
Затем сложим их раздельно 

для статора и ротора. Аналогично поступим и с уравнениями (1.2.2). 
В результате получим:

(
)
(
)

(
)
(
)

2
2
2

2
2
2

2
2
2
(
)
,
3
3
3
2
2
2
(
)
,
3
3
3

d
d
d
 
d

A
B
C
A A
B B
C C
A
B
C

a
b
c
a a
b b
c c
a
b
c

u
au
a u
R i
aR i
a R i
a
a
t

u
au
a u
R i
aR i
a R i
a
a
t

+
+
=
+
+
+
ψ + ψ +
ψ

+
+
=
+
+
+
ψ + ψ +
ψ














(1.2.7)

 

(
)

(
)

2

2

2

2
2 (
)
3
3
2 (
)
3
2
(
),
3

2
2 (
)
3
3

A
B
C
AA A
AB B
AC C
Aa a
Ab b
Ac c

BA A
BB B
BC C
Ba a
Bb b
Bc c

CA A
CB B
CC C
Ca a
Cb b
Cc c

a
b
c
aA A
aB B
aC C
aa a
ab b
ac c

a
a
L i
L
i
L
i
L i
L i
L i

a L i
L i
L
i
L i
L i
L i

a
L i
L
i
L
i
L i
L i
L i

a
a
L i
L i
L i
L i
L i
L i

ψ + ψ +
ψ
=
+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
+

ψ + ψ +
ψ
=
+
+
+
+
+
+

+











2

2 (
)
3
2
(
).
3

bA A
bB B
bC C
ba a
bb b
bc c

cA A
cB B
cC C
ca a
cb b
cc c

a L i
L i
L i
L i
L i
L i

a
L i
L i
L i
L i
L i
L i

+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
+





(1.2.8)

Заменим в (1.2.7) и (1.2.8) выражения обобщенными вектором 
(1.2.5) и (1.2.6):

,

,

( ) ,

( )

d
 
d
d
d
 

. 

S
S
S S

R
R
R R

S
S S
m
R

R
R R
m
S

u
R i
t

u
R i
t
L i
L
i

L i
L
i

ψ
=
+

ψ
=
+

ψ =
+
θ

ψ
=
+
θ

















 
(1.2.9)

В уравнении (1.2.9) учитывается условие, что обмотки 
выполняются обычно симметричными и RA = RB = RC = RS и Ra = Rb = 
= Rc = RR. Собственными индуктивностями статора и ротора являются 
LS и LR, Lm(θ) – взаимоиндуктивность, θ – угол поворота ротора.

Математическое описание АКЗ во вращающейся 
системе координат

Асинхронный 
привод 
с 
короткозамкнутым 
ротором 
получается, если обмотки ротора замкнуть накоротко. При этом 
полагают, что uR = 0.
Недостатком уравнений (1.2.9) является то, что для статора 
они записаны в неподвижной системе координат, а для ротора – во 
вращающейся. Поэтому необходимо осуществить преобразование 
к единой системе координат, вращающейся с произвольной угловой 
скоростью ωk. При этом выражения (1.2.9) примут вид, где Lm не 
будет зависеть от угла поворота θ [2, 12]:

 

,

0
(
)
,

,

,

d
 
d
d
d
 

S
S
S S
k
S

R
R R
k
m
R

S
S S
m R

R
R R
m S

u
R i
j
t

R i
j
t
L i
L i

L i
L i

ψ
=
+
+ ω ψ

ψ
=
+
+
ω − ρω
ψ

ψ =
+

ψ
=
+

















 
(1.2.10)

где ρ – число пар полюсов в машине.

Уравнение (1.2.3) остается без изменений. Для определения 
электромагнитного момента в качестве переменных состояния 
используются ток статора is и потокосцепление ротора ψR. Поэтому 
выражение (1.2.4) примет вид

1,5
(
).
R
R
S
M
k Mod
i
=
ρ
ψ ×




 
(1.2.11)

Коэффициент k обозначают через kR.
Выразим из последнего уравнения системы (1.2.10) ток ротора iR:

 
.
R
m S
R
R

L i
i
L

ψ −
=




  
(1.2.12)

Подставим (1.2.12) в выражение для ψS:

 

2
.
R
m S
m
m
S
S S
m
S S
R
S

R
R
R

L i
L
L
L i
L
L i
i
L
L
L

ψ −
ψ =
+
⋅
=
+
ψ −








  
(1.2.13)

Тогда с учетом (1.2.13) напряжение uS будет равно:

 

2

2
.

d
d
d
d
d
d

S
m
m
S
R
S
S S
S
R
R

m
m
k
S S
k
R
k
S
R
R

i
L
L
i
u
R i
L
t
L
t
L
t

L
L
j
L i
j
j
i
L
L

ψ
=
+
+
−
+

+ ω
+ ω
ψ − ω











  
(1.2.14)

Выразим d
d

R
t
ψ

 из второго уравнения (1.2.10), применив 

формулу для iR  (1.2.12):

 
(
)
.
d
d

R
m
R
R
R
S
k
m
R
R
R

R L
R
i
j
t
L
L
ψ
= −
ψ +
−
ω − ρω
ψ




  
(1.2.15)

Подставляя (1.2.15) в (1.2.14), получаем:

 

2
2

2
2

2
2

(
)
S
m
R
m
R
S
S S
S
R
S
k
m
R
R
R
R

m
S
m
m
S
k
S S
k
R
k
S
S S
S
R
R
R

m
m
m
m
m
S
R
R
R S
k
R
m
R
R
R
R
R
R

m
k
S S
k
R
R

di
L
R L
R
u
R i
L
i
j
dt
L
L
L

L
di
L
L
di
j
L i
j
j
i
R i
L
L
dt
L
L
dt

L
L
L
L
L
di
R
R i
j
j
L
L
L
dt
L
L

L
j
L i
j
L



=
+
+
−
ψ +
−
ω − ρω
ψ
−





−
+ ω
+ ω
ψ − ω
=
+
−

−
ψ +
− ω
ψ +
ρω ψ −
+

+ ω
+ ω
ψ























2
2

2

2
2

2
.
d
d

m
m
k
S
S
R
S
R
R

m
S
m
m
m
S
k S
S
R
R
m
R

R
R
R
R

L
L
j
i
R
R
i
L
L

L
i
L
L
L
L
j
i
L
R
j
L
t
L
L
L



− ω
=
+
+








+
−
+ ω
−
−
ψ +
ρω ψ

















 

(1.2.16)

Введем следующие обозначения [2]:

 

2
2
'
;
;
;
.
m
m
R
R
S
R
R
S
S
R

R
R
R

L
L
L
k
r
R
k R
L
L
T
L
L
R
=
=
+
=
−
=
  
(1.2.17)

Тогда уравнения (1.2.15) и (1.2.16) перепишутся в более 
простом виде:

 

'
'
,

1
(
)
.

d
d

d
d

S
R
S
S
S
k
S S
R
R
m
R
R

R
R
R
R S
k
m
R
R

i
k
u
ri
L
j
L i
jk
t
T

k R i
j
t
T

=
+
+ ω
−
ψ +
ρω ψ

ψ
= −
ψ +
−
ω − ρω
ψ













  
(1.2.18)

Во вращающейся системе координат с произвольной скоростью 
ωk обозначим вещественную ось как x, а мнимую – y. Разложим 
пространственный вектор напряжения на обмотке статора uS, ток в 
обмотке статора iS и потокосцепление ротора ψR по этим осям:

 

,

,

.

S
Sx
Sy

S
Sx
Sy

R
Rx
Ry

u
u
ju

i
i
ji

j

=
+

=
+

ψ
= ψ
+ ψ

  
(1.2.19)

Подставим (1.2.19) в (1.2.18):

 

'

'

'
'
'
'

(
)

(
)
(
)
(
)

.

d
d
d
d

d
d
d
d

Sy
Sx
Sx
Sy
Sx
Sy
S

R
k
S
Sx
Sy
Rx
Ry
R
m
Rx
Ry
R

Sy
Sx
R
Sx
Sy
S
S
k
S Sx
k
S Sy
Rx
R

R
Ry
R
m
Rx
R
m
Ry
R

Ry
Rx

i
i
u
ju
r i
ji
L
j
t
t

k
j
L i
ji
j
jk
j
T

di
di
k
ri
jri
L
jL
j
L i
L i
dt
dt
T

k
j
jk
k
T

j
t
t



+
=
+
+
+
+





+ ω
+
−
ψ
+ ψ
+
ρω
ψ
+ ψ
=

=
+
+
+
+ ω
− ω
−
ψ
−

−
ψ
+
ρω ψ
−
ρω ψ

ψ
ψ
+
= − 1 (
)
(
)

1
1
(
)(
)

.

Rx
Ry
R
R
Sx
Sy
R

k
m
Rx
Ry
Rx
Ry
R
R

R
R Sx
R
R Sy
k
Rx
m
Rx
k
Ry
m
Ry

j
k R
i
ji
T

j
j
j
T
T

k R i
jk R i
j
j

ψ
+ ψ
+
+
−

−
ω − ρω
ψ
+ ψ
= −
ψ
−
ψ
+

+
+
− ω ψ
+ ρω ψ
+ ω ψ
− ρω ψ

 (1.2.20)