Определение параметров полупроводника по температурным зависимостям ЭДС Холла, времени жизни носителей заряда и электропроводности

 
Кафедра полупроводниковой электроники и физики полупроводников 

 

 

 

 

 
Определение параметров полупроводника 
по температурным зависимостям ЭДС Холла, 
времени жизни носителей заряда  
и электропроводности 

Методические указания  
к выполнению курсовой работы 
для студентов направлений 6541, 5507, 5531, 
обучающихся по специальностям 200100, 071000 

Часть 1 

Рекомендованы редакционно-издательским  
советом института 

МОСКВА 2002 

№ 1641 

УДК 539.293 
 
М23 

М23 
 Определение параметров полупроводника по температурным 
зависимостям ЭДС Холла, времени жизни носителей заряда и 
электропроводности: Метод. указания / Сост. Ф.И. Маняхин. 
М.: МИСиС, 2002. – 65 с. 

Приведена методика расчета основных параметров полупроводника – ширины запрещенной зоны, энергии ионизации примесных и рекомбинационных центров – по температурным зависимостям ЭДС Холла, времени 
жизни носителей заряда и электропроводности. 
Описана интерактивная компьютерная расчетная программа в среде 
Mathcad, имитирующая реальную ситуацию экспериментального исследования свойств полупроводника по температурным зависимостям его основных параметров. 
Приведено подробное поэтапное описание методики расчета, а 
также программа расчета в среде Mathcad с описанием файлов основной 
программы и субпрограмм. 
Предлагаемая методика может быть использована как в учебном 
процессе, так и в научных исследованиях. 
Пособие состоит из двух частей. Первая часть предназначена для 
студентов направлений 6541, 5531, 5507, обучающихся по специальностям 
200100, 071000, выполняющих курсовую работу по физике твердого тела. 
Вторая часть предназначена для преподавателей, составляющих задания к 
курсовой работе. 
 

 Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Теоретическое введение ...................................................................... 4 
2. Задание к курсовой работе ................................................................ 14 
3. Краткое 
руководство 
для 
пользователей 
программы 
MATHCAD PROFESSIONAL ........................................................ 15 
3.1. Главное меню программы ........................................................... 15 
3.2. Инструментальные панели ......................................................... 16 
3.3. Операторы .................................................................................... 18 
3.4. Порядок выполнения курсовой работы с использованием 
программы Mathcad ................................................................... 20 
3.4.1. Создание директории для пакета расчетных файлов и 
файлов данных ..................................................................... 20 
3.4.2. Порядок работы с пакетом Kurs_ftt .................................... 20 
4. Требования по оформлению пояснительной записки к 
курсовой работе и порядок ее защиты ............................................. 29 
5. Контрольные вопросы........................................................................ 30 
6. Библиографический список ............................................................... 31 
Приложение I (файл Kurs_ftt.mcd). Определение параметров 
полупроводника 
по 
температурным 
зависимостям 
электропроводности, ЭДС Холла и времени жизни 
носителей заряда ......................................................................... 32 
Приложение II 
(файл 
Myu.mcd). 
Расчет 
подвижности 
носителей заряда ......................................................................... 44 
Приложение IIIn (файл N_f.mcd). Расчет температурной 
зависимости концентрации основных носителей заряда и 
температурной зависимости энергии Ферми в донорном 
полупроводнике, базирующийся на решении уравнения 
электронейтральности ................................................................ 48 
Приложение IIIp (файл P_f.mcd). Расчет температурной 
зависимости концентрации основных носителей заряда и 
температурной 
зависимости 
энергии 
Ферми 
в 
акцепторном полупроводнике, базирующийся на решении 
уравнения электронейтральности .............................................. 52 
Приложение IVn (файл tn.mcd). Расчет времени жизни 
носителей заряда в донорном полупроводнике ....................... 56 
Приложение IVp (файл tp.mcd). Расчет времени жизни 
носителей заряда в акцепторном полупроводнике .................. 60 
Приложение V. Шаблон титульного листа пояснительной 
записки к курсовой работе ......................................................... 64 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 

Основными эксплуатационными параметрами полупроводника являются тип и концентрация легирующей примеси, удельная 
электропроводность, время жизни и подвижность носителей заряда. 
В то время как концентрация легирующей примеси остается 
постоянной при любых температурных условиях, ее зарядовое состояние зависит от температуры существенным образом в определенных температурных интервалах. 
Последнее обстоятельство, в свою очередь, сказывается на 
зависимости от температуры времени жизни носителей заряда (Т), 
их подвижности (Т), электропроводности (Т) и ЭДС Холла ЕХ(Т). 
Функциональные соотношения, отражающие эти закономерности, 
полученные на основании физической модели полупроводника приведены ниже. 
Электропроводность  определяется по соотношению: 

 
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
)
(
0
0
T
T
p
T
T
n
l
S
q
T
p
n





, 
(1.1) 

где q = 1,6  10–19 Кл – элементарный заряд; 
S – площадь образца; 
l – длина образца; 
n0(T), p0(T) – концентрация электронов и дырок при температуре Т, соответственно; 
n(T), p(T) – подвижность электронов и дырок при температуре Т, соответственно. 

Для невырожденного полупроводника концентрация электронов и дырок, соответственно, определяется следующим образом: 

 
kT
F
E

C

C
e
N
n




0
, 
kT
E
F

V

V
e
N
p




0
, 
(1.2) 

где NC, NV – эффективные плотности состояний в зоне проводимости 
и в валентной зоне, соответственно; 
F – энергия Ферми; 
ЕС, ЕV – энергия краев зоны проводимости и валентной зоны, соответственно; 
k – постоянная Больцмана. 

В свою очередь, эффективные плотности состояний в зоне 
проводимости и в валентной зоне, соответственно, определяются выражениями 

 

2
/
3
2
/
3

0

*
19

2
/
3

2

*

300
10
5,2
2
2























 

T
m
m
h
kT
m
N
n
n
C
, см–3; 
(1.3) 

 

2
/
3
2
/
3

0

*
19

2
/
3

2

*

300
10
5,2
2
2



























 

T
m

m

h

kT
m
N
p
p
V
, см–3. 

где 
*
*,
p
n m
m
 – эффективные массы электронов и дырок, соответственно. 

Индекс «n» или «p» соответствует полупроводнику донорного или акцепторного типа, соответственно. 
Температурная зависимость подвижности электронов и дырок, соответственно, обусловлена температурной зависимостью времени свободного пробега носителей заряда: 

 

n
n
m
T
q
T
)
(
)
(
nсв



; 

p
p
m

T
q
T
)
(
)
(
pсв



 
(1.4) 

где 
)
(
),
(
T
T
pсв
nсв


 – время свободного пробега электронов и дырок, 

соответственно, при температуре Т, определяемые выражениями. 

 

1

)
(
1
)
(
1
)
(














T
T
T

nl
nI
nсв
, 

1

)
(
1
)
(
1
)
(




















T
T
T

pl
pI
pсв
, (1.5) 

здесь I – время свободного пробега при рассеянии на ионах примеси; 
l – время свободного пробега при рассеянии на акустических 
фононах. 

Температурная зависимость l(Т) отражается соотношением 

 
2
/
1
1
2
/
3
*
3
2

4

2
4
9





E
T
km
a
C
M
V
l

2
зв

, 
(1.6) 

где 
зв
V  – скорость звука в полупроводнике; 
М – масса атома полупроводника; 
С – постоянная, имеющая размерность энергии, характеризую

щая интенсивность взаимодействия электронов с колебаниями 
решетки; 
а – параметр решетки; 
Е – энергия носителя заряда; 
 – постоянная Планка. 

При рассеянии на ионах примеси время свободного пробега 
зависит от температуры согласно соотношению: 

 






















 






2

3
/
1
2

2
*
0
4
2

3
2
*
2
0

2
1
ln
2

)
(

I

T
I

T
I

N
Zq
V
m
N
q
Z

V
m
, 
(1.7) 

где 

2
/
1

*
3







m
kT
VT
– тепловая скорость; 

Z – заряд иона; 
NI – концентрация ионов примеси; 
, 0 – относительная и абсолютная диэлектрические постоянные, 
соответственно. 
На температурных зависимостях параметров полупроводника 
можно выделить три основные температурные области (рис. 1.1): область I низких температур (0…TS), область II истощения примеси 
(TS…Ti) и область III собственной проводимости (T > Ti). 

I                           II                                  III

0           TS                                                      Ti                                                                                     T

EC
Ed

Et
Ei

F

EV

E

 
Рис. 1.1. Температурные зависимости ширины запрещенной зоны 
(EC – EV) и энергии Ферми E в донорном полупроводнике 

В I температурной области уровень Ферми F расположен 
выше энергетического уровня примеси Ed и примесь ионизована частично. Концентрация собственных носителей заряда пренебрежимо 
мала и поэтому концентрация носителей заряда в зонах определяется 
степенью ионизации примеси. 
Во II температурной области уровень Ферми находится ниже 
уровня примеси и она практически полностью ионизована (истощена). Концентрация носителей заряда в этой области равна концентрации примеси и практически не зависит от температуры. 
В III температурной области тепловой энергии оказывается 
достаточно для разрыва валентных связей и концентрация носителей 
заряда в полупроводнике растет с ростом температуры вследствие 
образования собственных носителей. 
Вид температурной зависимости концентрации носителей заряда в полупроводнике показан на рис. 1.2. 

n0

              Ti                                                         Ts                                                            1/T

    III                             II                                               I

 
Рис. 1.2. Температурная зависимость концентрации электронов 
в донорном полупроводнике 

Взаимосвязь между температурной зависимостью уровня 
Ферми и концентрацией носителей заряда следует из принципа электронейтральности, в соответствии с которым сумма подвижных и 
неподвижных зарядов полупроводника равна нулю. 
На основании этого принципа уравнение электронейтральности записывается в общем виде: 

0
)
(
)
(
0
0






d
a
N
p
N
n
 

 
или 
a
d
d
a
N
N
n
p
p
n





)
(
)
(
0
0
, 
(1.8) 

где n0, p0 – равновесные концентрации электронов и дырок, соответственно; 


d
a N
N ,
 – концентрации ионов акцепторной и донорной примесей, соответственно; 
pa, nd – концентрация дырок на акцепторных уровнях, не занятых 
электронами, и электронов на донорных уровнях, соответственно; 
Na, Nd – концентрации акцепторной и донорной примесей, соответственно. 

С учетом распределения носителей заряда по энергетическим 
уровням в полупроводнике уравнение (1.8) можно преобразовать 
следующим образом: 

 
a
d

kT
E
F
a
kT
F
E

V

kT
F
E
d
kT
F
E

C
N
N

e
g

N
e
N

e
g

N
e
N
a

V

d

C






















1
1
1
1
, (1.9) 

где Ed, Ea – энергия донорных и акцепторных центров, соответственно; 
g – фактор вырождения. 

Уравнение (1.9) позволяет однозначно определить взаимосвязь между концентрацией носителей заряда и уровнем Ферми при 
любой температуре. 
Так, в областях I и II (см. рис. 1.2) для донорного полупроводника концентрация электронов определяется по формуле, полученной в результате решения уравнения (1.9): 

 

1
4
1

2

1

0









d
C
kT
E
E
d

N
N
ge

N
n
d
C
, 
(1.10) 

а для акцепторного полупроводника концентрация дырок определяется по формуле 

 

1
4
1

2

1

0









a
V
kT
E
E
a

N
N
ge

N
p
V
a
. 
(1.11) 

В области I температурная зависимость концентрации носителей заряда обусловлена энергией ионизации примесных центров и 
поэтому она экспоненциально зависит от температуры с показателем 
экспоненты либо (EC – Ed)/kT – для донорного полупроводника, либо 
(Ea – EV)/kT – для акцепторного полупроводника. 
Энергия ионизации примесных атомов (Е = (Ea – EV) – для акцепторного полупроводника и Е = (EC – Ed) – для донорного полупроводника определяется по графику температурной зависимости электропроводности в области I (рис. 1.3) с использованием выражения 

 


















































1
/
1
2
/
1
1
1
1
ln
2
2
2
ln
2
4
/
3
4
/
3

T
T
T
T
q
k
E
, 
(1.12) 

где индексы «1» и «2» относятся к точкам на графиках температурной зависимости электропроводности и подвижности (рис. 1.4) 
при различных температурах Т1 и Т2. 

III           II                        I

ln

1/T, K-1
 1/Ti                    1/Ts
 
Рис. 1.3. Зависимость логарифма электропроводности 
от обратной температуры 



Т, К
     Ts                                                              Ti
 
Рис. 1.4. Типичный вид зависимости подвижности носителей заряда 
от температуры 

Для области II второе слагаемое под корнем в формулах (1.10) и 
(1.11) много меньше единицы, что соответствует полной ионизации примеси, и концентрация носителей заряда не зависит от температуры. В 
этой температурной области концентрация примеси определяется по величине ЭДС Холла, которая будет рассматривается ниже. 
Обе формулы (1.10) и (1.11) получены без учета заряда неосновных носителей. Вследствие этого они не описывают температурную зависимость концентрации носителей заряда в III области. Однако уравнение электронейтральности (1.9) с учетом заряда неосновных 
носителей не позволяет получить решение в явном виде, аналогично 
формулам (1.10) и (1.11). В этом случае возможно найти решение, 
используя численные методы и вычисление с помощью компьютера. 
ЭДС Холла возникает в результате разделения подвижных 
носителей заряда силой Лоренца при направленном коллективном 
перемещении их в магнитном поле. 
Величина ЭДС Холла рассчитывается по формуле 

 



JBd
p
n

n
p

q
r
E

p
n

n
p
X
X




















2
0
0

0
2
0
2
, 
(1.13) 

где rХ – Холл-фактор; 
J – плотность тока; 
В – магнитная индукция; 
d – ширина Холловского образца. 

Особый интерес представляет область II – область истощения 

примеси, где 
JBd
qn
r
E
X
X
0


 – для донорного полупроводника и 

JBd
qp
r
E
X
X
0

 – для акцепторного. 

По характерному виду температурной зависимости ЭДС 
Холла (рис. 1.5) определяется тип примеси. Если ЭДС Холла отрицательная во всем температурном диапазоне, то полупроводник – донорного типа и примесные центры – доноры. В случае акцепторного 
полупроводника на температурной зависимости ЭДС Холла в области истощения примеси наблюдается инверсия знака ЭДС Холла: с 
повышением температуры поток неосновных носителей заряда – 
электронов, отклоняющихся магнитным полем к одной из граней образца – начинает превышать поток основных носителей заряда – дырок так как подвижность электронов выше подвижности дырок. 
Вследствие этого отрицательный заряд будет определять знак ЭДС 
Холла в области высоких температур. Температура инверсии знака 
ЭДС Холла определяется равенством, которая может быть получено 
из выражения (1.13): 

 
0
2
0
2
n
p
n
p



 
(1.14) 

1/Т

EX

1

2

 

Рис.1.5. Температурная зависимость ЭДС Холла для акцепторного (1) 
и донорного (2) полупроводников