Физика полупроводниковых приборов : расчет параметров биполярных приборов : сборник задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ 
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1893 

Кафедра полупроводниковой электроники и физики полупроводников

Г.И. Кольцов 
С.И. Диденко 
М.Н. Орлова 
 

Физика полупроводниковых 
приборов 

Расчет параметров биполярных приборов 

Сборник задач 

Рекомендовано редакционно-издательским советом  
университета 

Москва  2012 

УДК 621.38 
К62 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук С.П. Курочка 

Кольцов, Г.И. 
К62  
Физика полупроводниковых приборов : расчет параметров 
биполярных приборов : сб. задач / Г.И. Кольцов, С.И. Диденко, 
М.Н. Орлова. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2012. – 78 с. 
ISBN 978-5-87623-533-6 

Сборник задач содержит ряд указаний по расчету параметров полупроводниковых материалов и приборов, а также примеры решения задач и необходимые теоретические сведения.  
Предназначен для студентов, обучающихся по направлению 210100 
«Электроника и наноэлектроника», изучающих дисциплину «Физические основы электроники». 
УДК 621.38 

ISBN 978-5-87623-533-6 
© Кольцов Г.И.,  
Диденко С.И.,  
Орлова М.Н., 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Соотношения из курса «Физика конденсированного состояния» ...4 
1.1. Температурная зависимость ширины запрещенной зоны .........4 
1.2. Расчет концентраций носителей заряда ......................................4 
1.3. Уравнение электронейтральности и расчет положения  
уровня Ферми при наличии легирующей примеси ...........................6 
1.4. Явления переноса носителей заряда в полупроводниках..........7 
1.5. Уравнение непрерывности..........................................................11 
1.6. Контакт полупроводник–металл................................................13 
2. Расчет параметров полупроводникового диода...............................23 
2.1. Контактная разность потенциалов.............................................23 
2.2. Барьерная емкость p–n-перехода и ширина области 
пространственного заряда..................................................................27 
2.3. Диффузионная емкость p–n-перехода .......................................33 
2.4. Расчет вольт-амперной характеристики диода.........................37 
2.5. Пробой электронно-дырочного перехода..................................44 
3. Расчет параметров биполярного транзистора..................................52 
3.1. Токи, протекающие в биполярном транзисторе .......................52 
3.2. Коэффициенты, характеризующие работу транзистора  
в статическом режиме ........................................................................57 
3.3. Статические параметры биполярного транзистора..................64 
3.4. Работа биполярного транзистора в режиме переменного  
тока.......................................................................................................69 
Библиографический список...................................................................77 
 

1. СООТНОШЕНИЯ ИЗ КУРСА «ФИЗИКА 
КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ» 

1.1. Температурная зависимость ширины 
запрещенной зоны 

Для большинства полупроводниковых материалов ширина запрещенной зоны уменьшается с ростом температуры. Температурную 
зависимость ширины запрещенной зоны можно аппроксимировать 
выражением 

 

2

( )
(0)
g
g

T
E T
E
T
α
=
−
+ β . 

Значения α и β приведены в табл. 1.1. 

Таблица 1.1  

Параметры для определения ширины запрещенной зоны 

Материал 
Eg (0) 
α·10-4 
β·10-4 

GaAs 
1,519 
5,405 
204 

Si 
1,170 
4,73 
636 

Ge 
0,7437 
4,774 
235 

 

1.2. Расчет концентраций носителей заряда 

 

3
*
2

2
2π
2
dn

c
c

m kT
N
M

h

⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
;  

 
(
)

1

*
*
*
*
3

1
2
3
dn
m
m m m
=
, 

где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости; 

*
dn
m
 – эффективная масса плотности состояний электронов; 
Mc – число эквивалентных минимумов в зоне проводимости. 

В случае невырожденного полупроводника применяется статистика Максвелла–Больцмана. Для электронов в зоне проводимости: 

exp

c
f
c

E
E
n
N
kT

−
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Аналогичный расчет для дырок в валентной зоне: 

 
exp

f
v
v

E
E
p
N
kT

−
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
, 

 

3

*
2

2
2π
2
dp
v

m kT
N
h

⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
 , 

 
(
)
(
)

2
3
3
3

*
*
*
*
2
2

dp
lp
pp
dp
m
m
m
m

⎡
⎤
=
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,  

где Nv – эффективная плотность состояний в валентной зоне; 

*
dp
m
 – эффективная масса плотности состояний дырок. 

Для собственного полупроводника (p = n = ni) положение уровня 
Ферми зависит от температуры и соотношения между плотностями 
состояний 

 
ln
2
2

c
v
v
f
i

c

E
E
N
kT
E
E
N

⎛
⎞
+
=
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Для полупроводника, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, произведение концентрации дырок и электронов – 
величина постоянная и равна ni
2: 

 
2

p
p
n
n
i
n p
n p
n
=
=
, 

где ni – собственная концентрация носителей заряда рассчитывается 
из выражения: 

 
2
exp

Eg
kT
i
c
v
n
N N
−
=
. 

С повышением температуры собственная концентрация носителей заряда увеличивается, что важно знать при работе полупровод

никового прибора. При повышении температуры концентрация 
термогенерируемых носителей может оказаться равной или большей концентрации носителей, участвующих в преобразовании сигнала. Можно ввести понятие критической температуры, при которой концентрация собственных носителей становится равной концентрации примеси в некоторой определяющей области полупроводникового прибора (рис. 1.1). 

 

Рис. 1.1. Температурная зависимость собственной концентрации 
носителей заряда ni в Ge, Si, GaAs 

1.3. Уравнение электронейтральности и расчет 
положения уровня Ферми при наличии 
легирующей примеси 

В полупроводнике существует два вида носителей заряда: подвижные – электроны и дырки и неподвижные – ионизированные доноры (положительно заряженные) и ионизированные акцепторы (отрицательно заряженные). Можно считать, что доноры и акцепторы 
однократно ионизированы и поэтому имеют единичный заряд. Условие нейтральности объема полупроводника: 

 
–n(x) + p(x) – 
( )
A
N
x
−
 + ND
+(x) = 0. 

Для полупроводника, легированного только донорной примесью, 

 
–n(x) + p(x) + ND
+(x) = 0, 

 
1
( )
( ) 1
1
1
exp

D
D
D
f

D

N
x
N
x
E
E

g
kT

+

⎡
⎤

⎢
⎥

⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
−
⎛
⎞
+
⎢
⎥
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦

, 

где ND(x) – общее число донорных атомов, введенных в полупроводник; 
gD – фактор вырождения донорного примесного уровня; 
ED – энергия ионизации донорного примесного уровня. 

Для полупроводника, имеющего только акцепторную примесь, 
уравнение электронейтральности:  

 
–n(x) + p(x) – 
( )
A
N
x
−
= 0, 

 
( )
( )
1
exp

A
A
A
f
A

N
x
N
x
E
E
g
kT

−
=
−
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠

, 

где NA(x) – общая концентрация акцепторных атомов, введенных в 
полупроводник; 
gA – фактор вырождения акцепторного состояния. 

Исходя из конкретного вида уравнения электронейтральности 
можно находить положение уровня Ферми для каждого конкретного 
случая и его зависимость от температуры. 

1.4. Явления переноса носителей заряда 
в полупроводниках 

Из обобщенного выражения для кинетического уравнения Больцмана можно получить значение плотности тока в полупроводнике: 

 
2
*
*
τ
τ
n
dn
dn

j
q n
E
qn
F

m
m
<
>
<
>
=
−
∇
. 

С учетом определения подвижности  

 
*
µ n
dn

q
m
< τ >
=
 

первый член представляет собой дрейфовую составляющую плотности тока, а коэффициент пропорциональности между током и напряжением определяется как удельная электропроводность σn = qnμn. 
Если в полупроводнике имеются два типа носителей заряда, то общий ток равен сумме токов этих зарядов, поэтому σ = qnμn + qpμp. 
Величина, обратная электропроводности, называется удельным 
сопротивлением. 
Второй член в уравнении для плотности тока описывает поток носителей заряда, имеющий место за счет разности уровней Ферми в 
различных частях полупроводника ∇F. В частности, для невырож
денного полупроводника 
kT n
F
n
∇
∇
=
 и тогда 
µ
D
n
n
j
kT
n
=
∇ . Следова
тельно, вторая составляющая плотности тока определяется как диффузионная составляющая, вызванная градиентом концентрации примеси ∇F: 

 
grad
D
n
n
j
qD
n
=
, 

 
grad
D
p
p
j
qD
p
= −
. 

Коэффициенты диффузии для невырожденных полупроводников, 
где n << Nc, p << Nv, рассчитываются из соотношений Эйнштейна: 

 
µp

p

kT
D
q
=
, 

 
µn

n

kT
D
q
=
. 

Дрейфовые составляющие плотности тока 

 
jn
E = qμnnE = σnE,  

 
jp
E = qμppE = σpE 

зависят от подвижности носителей заряда, которая в малых электрических полях пропорциональна дрейфовой скорости и является постоянной при определенных значениях концентрации и температуры. 
Основным механизмом, определяющим подвижность носителей заряда для германия и кремния, является рассеяние на акустических 
фононах и ионизированных ионах примеси. 

При рассеянии на акустических фононах температурная зависимость подвижности определяется выражением 

 
(
)

3
5
*
2
2
µ~ m
T
−
−
. 

При рассеянии на ионизованных примесях 

 
(
)

3
1
*
1
2
2
µ~
np
m
N
T
−
, 

где Nnp – концентрация примеси в полупроводнике. 

В отличие от германия и кремния в полярных полупроводниках, 
таких как GaAs, рассеяние происходит на оптических фононах и 

(
)

3
5
*
2
2
µ~ m
T
−
−
. Поскольку при фиксированной температуре подвиж
ность зависит от концентрации примеси, от концентрации зависит 
также и удельная электропроводность (рис. 1.2, 1.3). 

 

Рис. 1.2. Удельное сопротивление кремния при T = 300 К 
в зависимости от концентрации примеси: 
1 – p-типа (бор); 2 – n-типа (фосфор) 

Рис. 1.3. Удельное сопротивление Ge, GaAs, GaP при T = 300 К в 
зависимости от концентрации примеси: 
──── – n-типа; ─  ─  ─  – p-типа (фосфор) 

При повышении величины напряженности электрического поля 
полевая зависимость дрейфовой скорости становится нелинейной 
вплоть до насыщения дрейфовой скорости. При достаточно больших 
значениях напряженности электрического поля электронная температура становится значительно большей, чем температура решетки, и 
дрейфовая скорость перестает зависеть от напряженности электрического поля. Скорость насыщения слабо зависит от концентрации примеси и примерно одинакова в чистых и сильнолегированных образцах. 
Для расчетов можно принимать, что при полях, больше критических, 
дрейфовые скорости электронов и дырок становятся постоянными.  

Таблица 2.1 

Напряженность критического поля и максимальные скорости  
носителей заряда 

Напряженность  
критического поля, В·см–1 
Максимальная скорость, см·с–1 
Материал 
для электронов 
для дырок 
электронов 
дырок 

Ge 
5·103 
(2…3)·104 
6·106 
(4…6)·106 

Si 
2·104 
5·104 
107 
7,5·106 

(2…4)·103 
– 
(1,5…2,3)·107 
– 
GaAs 
104 
– 
(0,8…1,2)·107 
– 

1.5. Уравнение непрерывности 

В случае возникновения в полупроводнике неравновесных носителей заряда для описания их поведения во времени и пространстве 
пользуются уравнением непрерывности, которое описывает изменение концентрации носителей заряда вследствие генерации, рекомбинации и движения частиц, приводящего к расходимости потока: 

 
1 div
n
n
n

n
G
R
j
t
q
∂
=
−
+
∂
,  
1 div
p
p
p

p
G
R
j
t
q
∂
=
−
−
∂
, 

 
σ
p
p
p
I
E
qD
p
=
−
∇

,  
σ
n
n
n
I
E
qD
n
=
+
∇
. 

Дрейфовая составляющая электрического тока появляется только в 
случае возникновения объемного заряда и, как следствие, электрического поля, связанного с объемным зарядом, уравнением Пуассона: 

 

0

( )
div

n

x
E
−ρ
= ε ε

. 

Изменение концентрации электронов и дырок во времени происходит только при наличии внешнего возбуждения, зависящего от 

времени. В остальных случаях можно считать 
0
p
t

∂ =
∂
 и 
0
n
t

∂ =
∂
. 

Рассматривая рекомбинационный процесс, характеризуемый скоростью рекомбинации R, можно считать, что в большинстве случаев 
реализуется случай линейной рекомбинации, скорость которой зависит от концентрации избыточных носителей заряда и среднего времени жизни избыточных носителей заряда. Поскольку рекомбинация 
происходит между носителями противоположных знаков, то определяющими процесс будут носители, концентрация которых ниже. Поэтому время жизни определяется для неосновных носителей заряда: 

 
0

τ

n
n
p
p

p
p
R
−
= −
, 

0

τ

p
p
n
n

n
n
R
−
= −
. 

Рекомбинация разделяется на прямую рекомбинацию зона–зона и 
рекомбинацию через примесные и дефектные уровни, располагающиеся в запрещенной зоне полупроводника. Рекомбинация зона–зона 
играет существенную роль при работе оптоэлектронных полупроводниковых приборов. Для анализа работы других полупроводниковых приборов более существенным является второй механизм.