Введение в аксиоматическую теорию элементарных функций

ВВЕДЕНИЕ 
В АКСИОМАТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ 
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

А.Б. ШИШКИН

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 44.04.01 «Педагогическое образование» 
(квалификация (степень) «магистр») 
(протокол № 9 от 28.09.2020)

УДК 517.53(075.8)
ББК 22.16я73
 
Ш65

Шишкин А.Б.
Ш65  
Введение в аксиоматическую теорию элементарных функций : учебное пособие / А.Б. Шишкин. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 169 с. — 
(Высшее образование: Магистратура). — DOI 10.12737/1209581.

ISBN 978-5-16-016652-0 (print)
ISBN 978-5-16-109233-0 (online)
Содержит изложение основных понятий и теорем аксиоматической 
теории основных элементарных функций действительной и комплексной 
переменных. Учебное пособие написано на основе лекций, в течение ряда 
лет читаемых автором в Армавирском государственном педагогическом 
университете, в Славянском-на-Кубани государственном педагогическом институте и в филиале Кубанского государственного университета 
в г. Славянске-на-Кубани.
Предназначено для студентов естественно-математических профилей 
подготовки направления «Педагогическое образование». Может быть использовано при изучении математического анализа, теории функций действительной переменной, теории функций комплексной переменной и др.

УДК 517.53(075.8)
ББК 22.16я73

Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом 
филиала Кубанского государственного университета в г. Славянске-на-Кубани

ISBN 978-5-16-016652-0 (print)
ISBN 978-5-16-109233-0 (online)
© Шишкин А.Б., 2021

Оглавление

Введение
5

Глава 1. Элементарные функции действительной переменной
12
1.1
Определение базовых констант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2
Иррациональность числа 𝜋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3
Линейная функция действительной переменной . . . . . . . . . . .
22
1.4
Логарифмическая функция действительной переменной . . . . . .
24
1.5
Показательная функция действительной переменной . . . . . . . . .
30
1.6
Степенная функция действительной переменной . . . . . . . . . . . .
35
1.7
Косинус и синус Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.8
Гиперболические функции действительной переменной . . . . . .
41
1.9
Тригонометрические функции действительной переменной . . .
44
1.10 Экспонента с мнимым показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Глава 2. Однозначные элементарные функции комплексной
переменной
54
2.1
Линейная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.2
Целая степенная функция комплексной переменной. . . . . . . . . .
57
2.3
Целая рациональная функция комплексной переменной . . . . . .
60
2.4
Рациональная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . .
63
2.5
Дробно-линейная функция комплексной переменной . . . . . . . . .
67
2.6
Показательная функция комплексной переменной. . . . . . . . . . . .
75
2.7
Тригонометрические функции комплексной переменной. . . . . .
79

Глава 3. Многозначные отображения
89
3.1
Однозначные и многозначные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.2
Непрерывные представления многозначных отображений . . . .
96

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

3.3
Фактор-пространство семейства непрерывных
отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4
Расслоения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5
Тригонометрическое расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6
Полярное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Глава 4. Многозначные элементарные функции комплексной
переменной
116
4.1
Многозначная линейная функция действительной
переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2
Эвентуальные пары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3
Многозначная линейная функция комплексной переменной . . . 128
4.4
Аксиоматическое определение аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5
Логарифмическая функция комплексной переменной . . . . . . . . 138
4.6
Степенная функция комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.7
Дробно-степенная функция комплексной переменной . . . . . . . . 151
4.8
Многозначная показательная функция комплексной
переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.9
Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Библиографический список
166

4

Введение

Одним из важнейших математических понятий является понятие функциональной зависимости, которое Ф. Клейн считал центральным понятием
всей математики. Само понятие «функция» возникло в XVII веке и прошло
сложный и трудный путь развития. Среди ученых, внесших существенный
вклад в развитие представлений о функции и о способах ее определения,
были Г.В. Лейбниц, И. Бернулли, Л. Эйлер, С.Ф. Лакруа, Н.И. Лобачевский,
П. Дирихле и др.
Понятие «элементарной функции» возникает после выделения семейства «основных элементарных функций» и семейства «основных функциональных операций». Функция называется элементарной, если она может
быть получена из основных элементарных функций с помощью конечной
последовательности основных функциональных операций. Семейство основных элементарных функций является во многом условным и имеет тенденцию к расширению. Изменяется и семейство основных функциональных
операций. Помимо чисто научных целей изучение элементарных функций в
большой степени связано с поиском эффективных подходов к определению
основных элементарных функций, ориентированных на обучение в условиях многоуровневого образования (школа, бакалавриат и магистратура).
Наиболее перспективным является подход основанный на аксиоматическом
методе, который предполагает аксиоматическое определение основных элементарных функций. Этот вывод основан на следующих наблюдениях:
– аксиоматический подход позволяет разработать единую аксиоматику
элементарных функций действительной и комплексной переменных;
– он допускает простое развитие на семейство многозначных элементарных функций комплексной переменной;
– аксиоматический метод эффективнее и экономнее по сравнению с традиционными подходами к введению элементарных функций;

5

ВВЕДЕНИЕ

– аксиоматический метод определения основных элементарных функций
легко адаптируется к различным уровням образования.
Элементарные функции в вузе изучаются в курсе математического анализа и в курсе теории функций комплексной переменной. В этих курсах при
рассмотрении основных элементарных функций, как правило, используются традиционные подходы. Имеется не так много математической литературы, в которой теория элементарных функций излагается последовательно и
в достаточной мере подробно. Настоящая книга содержит последовательное
изложение основных понятий и теорем аксиоматической теории элементарных функций действительной и комплексной переменных и является введением в упомянутую теорию. При этом содержание книги охватывает случай
многозначных элементарных функций комплексной переменной.
К основным элементарным функциям действительной переменной мы
относим:
– константу;
– линейную функцию действительной переменной;
– логарифмическую функцию действительной переменной;
– показательную функцию действительной переменной;
– степенную функцию действительной переменной;
– косинус Жуковского, синус Жуковского;
– гиперболические функции (гиперболический косинус и гиперболический синус) действительной переменной;
– тригонометрические функции (косинус и синус) действительной переменной;
– экспоненту с мнимым показателем.
Произвольная элементарная функция действительной переменной может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа шагов, каждый из которых предполагает выполнение одной из
основных функциональных операций:
– переход к сужению;
– образование композиции;
– выполнение арифметической операции;
– переход к обратной функции.
В семейство основных элементарных функций действительной переменной мы включаем косинус и синус Жуковского (они определены на множе
6

ВВЕДЕНИЕ

стве положительных действительных чисел) и гиперболические косинус и
синус действительной переменной. Эти функции можно исключить из семейства основных элементарных функций, так как каждая из них может
быть получена из ранее определенных основных элементарных функций
с помощью конечной совокупности основных функциональных операций.
Наример, гиперболические косинус и синус совпадают с композицией соответствующей функции Жуковского и показательной функции. То же самое
можно сказать и про показательную функцию, так как она совпадает с обратной к логарифмической функции, а операция перехода к обратной функции включена в список основных функциональных операций. Это позволяет исключить из списка основных элементарных функций показательную
функцию (или логарифмическую функцию, если первоначально определена
показательная функция). Можно легко обосновать возможность исключения
и степенной функции. Автор не делает это, по трем причинам. Во-первых,
некоторые элементарные функции традиционно относятся к основным элементарным функциям. Во-вторых, книга ориентирована на использование в
конкретном учебном процессе, в котором преподаватель может иметь свои
предпочтения. Он может вводить основные элементарные функции в ином
порядке. Наконец, в-третьих, аксиоматические определения одних элементарных функций используются при аксиоматическом определении других
элементарных функций. Такое поэтапное введение основных элементарных
функций удобно с чисто методических позиций.
Аксиоматический метод определения основных элементарных функций
предполагает формулировку двух аксиом и последующую проверку существования и единственности функции, удовлетворяющей данным аксиомам.
В качестве первой аксиомы выступает характеристическое свойство выбранной элементарной функции (функциональное уравнение, которому она
удовлетворяет). Вторая аксиома содержит условие единственности (начальное условие). При этом определяемая функция предполагается непрерывной.
Отметим, что каждая определяемая основная элементарная функция рассматривается как функция из R в C. Вложение области значений основной
элементарной функции (кроме экспоненты с мнимым показателем) в поле
действительных чисел является следствием аксиоматического определения
этой функции. Однако в тексте этот факт не отмечается. Если читателя ин
7

ВВЕДЕНИЕ

терисуют лишь функции действительной переменной, то он об этом может
и не знать.
При различных способах введения элементарных функций сложности
локализуются в разных частях тех или иных разделов математического анализа и теории функций. Если говорить о начальных разделах анализа, то
подход с позиций теории функциональных уравнений в классе непрерывных функций, на наш взгляд, является наиболее предпочтительным. Функциональное уравнение

𝑓 (𝑥 + 𝑦) = 𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑦)

рассматривалось еще А. Лежандром при доказательстве основной теоремы
проективной геометрии (1794 г.) и К. Гауссом при исследовании распределений вероятностей (1809 г.). Решение этого функционального уравнения и
уравнений

𝑓 (𝑥 + 𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦),
𝑓 (𝑥𝑦) = 𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑦),
𝑓 (𝑥𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦)

в классе непрерывных функций впервые получил О. Коши (1821 г.). Их
теперь принято называть уравнениями Коши. Оказалось, что непрерывные
решения этих четырех уравнений исчерпываются функциями

𝑥 ↦→ 𝑎𝑥, 𝑥 ↦→ 𝑎𝑥, 𝑥 ↦→ log𝑎 𝑥, 𝑥 ↦→ 𝑥𝑎

соответственно. Это означает, что уравнения Коши могут быть использованы при аксиоматическом определении основных (алгебраических) элементарных функций одной действительной переменной.
Функциональное уравнение

𝑓 (𝑥 + 𝑦) + 𝑓 (𝑥 − 𝑦) = 2 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦).

известно из работ Д. Д´Аламбера (1769 г.) и С. Пуассона (1804 г.). В классе непрерывных функций уравнение Д´Аламбера-Пуассона решил О. Коши
(1821 г.). Он показал, что все непрерывные решения этого уравнения исчерпываются тождественным нулём, тождественной единицей и функциями

𝑥 ↦→ cos 𝑎𝑥, 𝑥 ↦→ ch 𝑎𝑥, 𝑎 ∈ R.

8

ВВЕДЕНИЕ

Значит, уравнение Д´Аламбера-Пуассона можно использовать при аксиоматическом определении тригонометрического косинуса и гиперболического
косинуса. Однако автор предпочитает другое определение этих функций,
основанное на их теоремах сложения. Например, тригонометрические косинус и синус мы определим с помощью системы следующих функциональных уравнений:

𝑐(𝑥 + 𝑦) = 𝑐(𝑥)𝑐(𝑦) − 𝑠(𝑥)𝑠(𝑦),
𝑠(𝑥 + 𝑦) = 𝑠(𝑥)𝑐(𝑦) + 𝑐(𝑥)𝑠(𝑦).

Аксиоматический метод определения элементарных функций допускает
естественный перенос на случай комплексной переменной. Изучение элементарных функций комплексной переменной предполагает твёрдое знание
определений и свойств элементарных функций действительной переменной. Эти знания не могут быть ограничены школьными учебниками по математике, так как последние не обладают достаточной степенью строгости.
В учебниках по комплексному анализу сложно найти достаточно полный и
методически разработанный материал по этому вопросу. По-видимому, следует признать, что вполне элементарного, строгого и одновременно краткого, но лишенного пробелов изложения аксиоматической теории элементарных функций комплексной переменных не существует.
К основным (однозначным) элементарным функциям комплексной переменной мы относим:
– константу;
– линейную функцию комплексной переменной;
– показательную функцию комплексной переменной;
– тригонометрические функции (комплексный косинус и комплексный
синус) комплексной переменной.
Опираясь на аксиоматику элементарных функций действительной переменной, читатель легко убедится в корректности аксиоматических определений линейной и показательной функций, основанных на функциональных
уравнениях:

𝑓 (𝑧 + 𝑤) = 𝑓 (𝑧) + 𝑓 (𝑤),
𝑓 (𝑧 + 𝑤) = 𝑓 (𝑧) 𝑓 (𝑤)

соответственно, и определения тригонометрических функций, основанного
на системе функциональных уравнений:

𝑐(𝑧 + 𝑤) = 𝑐(𝑧)𝑐(𝑤) − 𝑠(𝑧)𝑠(𝑤),
𝑠(𝑧 + 𝑤) = 𝑠(𝑧)𝑐(𝑤) + 𝑐(𝑧)𝑠(𝑤).

9

ВВЕДЕНИЕ

Как и прежде, все определяемые функции предполагаются непрерывными.
Ситуация серьезно меняется, если поставить вопрос об аксиоматическом
определении многозначных элементарных функций комплексной переменной. Здесь речь идет о следующих многозначных функциях:
– многозначная константа;
– многозначная линейная функция действительной переменной;
– многозначная линейная функция комплексной переменной;
– аргумент комплексного числа;
– логарифмическая функция комплексной переменной;
– степенная функция комплексной переменной;
– многозначная показательная функция комплексной переменной.
Аксиоматический метод может быть успешно применен и для многозначных функций комплексной переменной. В случае многозначных решений функциональные уравнения Коши дополняются сопутствующими уравнениями (коуравнениями) и рассматриваются уже системы уравнений:

𝐹(𝑧 + 𝑤) = 𝐹(𝑧) + 𝐹(𝑤),
𝐹(𝑧 − 𝑤) = 𝐹(𝑧) − 𝐹(𝑤);

𝐹(𝑧 + 𝑤) = 𝐹(𝑧)𝐹(𝑤),
𝐹(𝑧 − 𝑤) = 𝐹(𝑧)/𝐹(𝑤);

𝐹(𝑧𝑤) = 𝐹(𝑧) + 𝐹(𝑤),
𝐹 (𝑧/𝑤) = 𝐹(𝑧) − 𝐹(𝑤);

𝐹(𝑧𝑤) = 𝐹(𝑧)𝐹(𝑤),
𝐹 (𝑧/𝑤) = 𝐹(𝑧)/𝐹(𝑤).

Для решения таких систем требуется существенная топологическая подготовка, связанная с детальным анализом следующих понятий: однозначное отображение, многозначное отображение, непрерывное представление
многозначного отображения, кратное пространство, фактор-пространство непрерывного представления многозначного отображения, непрерывное многозначное отображение и др. Отмеченные понятия в математической литературе отсутствуют и используются автором впервые. Содержание
этой книги может служить хорошим обоснованием их полезности.
Аксиоматическое определение многозначной элементарной функции основано на понятии «эвентуальной пары». Эвентуальная пара включает «начальный слой» и «множество единственности». Эти понятия являются
естественным обобщением понятия «начальных значений» используемого

10

ВВЕДЕНИЕ

при решении известной задачи Коши. При этом «начальные условия» предполагают указание однозначной ветви определяемой многозначной элементарной функции, определенной на множестве единственности. Функциональные уравнения, отражающие характеристические свойства многозначной элементарной функции, определены вполне однозначно. Таким образом, для аксиоматического определения конкретной многозначной элементарной функции необходимым является лишь выбор удобной эвентуальной
пары. Предлагаемый автором выбор может оказаться и не вполне удачным.
Основное содержание этой книги предназначено для усвоения на разных
уровнях образования (в рамках факультатива, элективного курса, спецкурса
бакалавриата или магистратуры). Оно может быть использовано учителями средних общеобразовательных школ при рассмотрении элементарных
функций в классах и школах с углубленным изучением математики, а также
студентами и преподавателями вузов при подготовке к занятиям по математическому анализу, по теории функций действительной переменной или по
теории функций комплексной переменной.
Учебный материал подобран и изложен так, что преподаватель может
выносить тему «Элементарные функции действительной переменной» или
тему «Элементарные функции комплексной переменной» на самостоятельное изучение. Читателю со слабой математической подготовкой автор рекомендует использовать содержание третьей и четвёртой глав лишь для ознакомления.

11

Глава 1

Элементарные функции
действительной переменной

1.1
Определение базовых констант

В основе аксиоматической теории элементарных функций действительной переменной лежит ряд базовых констант, среди которых особое место занимают два замечательных действительных числа 𝑒 и 𝜋. Рассмотрим
определения этих констант. Начнём с определения числа 𝑒.
Определение числа 𝑒. По извесной формуле Ньютона для любого натурального 𝑛 имеем

𝑒𝑛 :=
1+1

𝑛

𝑛
=

𝑛
𝑘=0

𝑛
𝑘

1

𝑛𝑘 ,

где
𝑛
𝑘

:=
𝑛!

𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
– биномиальные коэффициенты. Убедимся, что для любого натурального 𝑛
выполняются неравенства
𝑒𝑛 < 𝑒𝑛+1 < 3.

Действительно, 𝑒1 < 𝑒2 < 3 и при 𝑛 ≥ 2 имеем

𝑒𝑛 = 2 +

𝑛
𝑘=2

1
𝑘!

1 − 1

𝑛

· ... ·
1 − 𝑘 − 1

𝑛

𝑘−1

.

12