Нелинейные задачи строительной механики. Методы оптимального проектирования конструкций

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ 
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО 
ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ

Б.А. ТУХФАТУЛЛИН

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
 
Т91

Тухфатуллин Б.А.
Т91 
 
Нелинейные задачи строительной механики. Методы оптимального 
проектирования конструкций : учебное пособие / Б.А. Тухфатуллин. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 106 с. — (Высшее образование: Специалитет). — DOI 10.12737/1201340.

ISBN 978-5-16-016633-9 (print)
ISBN 978-5-16-109212-5 (online)
В учебном пособии рассмотрены методы оптимального проектирования 
конструкций, в том числе методы минимизации функций одной и нескольких переменных; методы решения задач линейного и нелинейного программирования; примеры оптимального проектирования плоских стальных 
рам с элементами из прокатных и составных двутавров.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 08.05.01 
«Строительство уникальных зданий и сооружений», магистрантов, обучающихся по программе подготовки 08.04.01.24 «Современные технологии проектирования и строительства зданий и сооружений», изучающих 
дисциплину «Нелинейные задачи строительной механики», а также для 
аспирантов направления 08.06.01 «Техника и технологии строительства. 
Строительство зданий и сооружений», изучающих дисциплину «Строительная механика».

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73

Р е ц е н з е н т ы:
Путеева Л.Е., кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики Томского государственного архитектурно-строительного университета;
Шильников С.М., кандидат технических наук, доцент кафедры 
строительной механики Томского государственного архитектурностроительного университета; 
Скударнов А.В., директор ООО «Архпроектсервис» (г. Томск)

ISBN 978-5-16-016633-9 (print)
ISBN 978-5-16-109212-5 (online)
© Тухфатуллин Б.А., 2021

.............................................................................................. 4
1. ............ ..6
1.1. ............................................... .6
1.2. ................................................ ..7
1.3. ................................................. ..19
1.4. ........................................................ ..22
1.5................................ ..26
1.6. .................................. ..28
2. ................... ..32
2.1. ................................................... ..32
2.2............................................... ..38
............................................................ ..41
..................................................... ..43
3. .......... 47
3.1. ........................................................... 47
3.2. ............................................................. 61
3.3. ............................................................. 65
4. ......................... 67
4.1. ...................................................... 67
4.2. .................................................. 74
..................................................................... 79
5.1. ............................. 79
5.2. ............................................................ 84
5.3. .............. 88
.............................................................................................. 96
................................................................. 97
-.............. 102

– -.
– – – , –
5

6

1. 1.1. [14]1.1.

7


– – . , , – . . .

1.1. 8

».
300
3
=
=
– 10
12
12
-2
⋅
=
=
q
– 10
9
9
-2
⋅
=
=
q

.1

:

– ;
5,1
15
2
=
=
R

– 2
18
0,
8,1
=
=
R
.

:

–
;
10
10
2
3
4
=
=
E

–
.
10
3
10
3,0
2
2
4
⋅
=
⋅
=
G

.5,2
=
n

1x
b =
.
2x
h =
1x :
2x
– ;
2
1x
x
bh
A
=
=

h

b

z

y

q

y

x

– z :
y

;
12
12

3
2
1
3
x
x
bh
J z
=
=

;
12
12

2
3
1
3
x
x
h
b
J y
=
=

– ;
6
6

2
2
1
2
x
x
bh
Wz
=
=

– :

.
63
,0
1
3

3
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
=
h
b
h
b
J x

x
J
h .b x
J
.
312
,0
312
,0
1,0
63
,0
1
3
2
3
1
3
3
x
x
h
b
h
h
h
b
J x
=
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
≈

:
.
300
2
1
⋅
=
=
=
x
x
bh
A
V
:

2
2
2
1

2
2
2
5,1

6
8

300
10
12
8
=
≤
⋅
⋅
=
=
=
σ

−
R
x
x
W
q
W
M

z
z

z
;

;1
5,1
8
6
300
10
12

2
2
1

2
2
≤
⋅
⋅
⋅
⋅
−

x
x
.1
5400

2
2
1
≤
x
x

2
2
1

2

2
1
18
,0
300
10
12
75
,0
2
5,1
5,1
=
≤
⋅
⋅
⋅
=
=
=
τ

−
R
x
x
x
x

q

A

Qy
;

;1
18
,0
300
10
12
75
,0

2
1

2
≤
⋅
⋅
⋅
⋅
−

x
x
.1
150

2
1
≤
x
x
2
150
25
,
113906

12
10
384

300
10
9
5
384
5

3
2
1
3
2
1
3

4
2
4
max
=
=
≤
=
⋅

⋅
⋅
⋅
=
=

−
u
z
f
x
x
x
x
EJ
q
f

;1
2
25
,
113906

3
2
1
≤
⋅
x
x
1
56953

3
2
1
≤
x
x
.

:

=
=
x
yGJ
EJ
q
3
3,
28
.
10
6,
92
312
,0
10
3
12
10
300
3,
28

2
3
1
6
2
3
1
2
3
1
2
3
3
x
x
x
x
x
x
−
⋅
=
⋅
⋅
=

;
q
n
q
y ≤
⋅
2
3
1
6
2
10
6,
92
5,2
10
12
x
x
−
−
⋅
≤
⋅
⋅
;
.1
3240

2
3
1
≤
x
x
10
1 ≥
= x
b
;1
10

1
≤
x
10
2 ≥
= x
h

;1
10

2
≤
x
50
2 ≤
= x
h
.1
02
,0
2 ≤
x

{ }
{
}
T
2
1
T
; x
x
x
=
11

,
1x
,
2x
min;
300
2
1
→
=
x
x
V
(1.1)
;1
5400

2
2
1
≤
x
x
;1
150

2
1
≤
x
x
(1.2)

:

1
56953

3
2
1
≤
x
x
;
(1.3)

:

1
3240

2
3
1
≤
x
x
;
(1.4)

;1
10

1
≤
x
;1
10

2
≤
x
.1
02
,0
2 ≤
x
(1.5)

1.2 [5, 17]. ) – ,
R
;
R

– ;
uf
– 1 3
,
1A
2 4 .
2
A

.
10
2
10
2
2
4
5
⋅
=
⋅
=
E

;
15
150
2
=
=
R

.
10
100
2
=
=
R
.
16
,0
6,1
=
=
uf

1.C):

1

2,000

5,657
–2,828

–6,000

N

1,000

1,414
–1,414

–2,000
N

70,7

70,7 2
4

2

1

2
3

70,7

00
1

000
,2
1 =
N
828
,2
2
−
=
N
657
,5
3 =
N
000
,6
4
−
=
N
«»
-1.3, N ).
N N ,
«»:

.
3,
1248
7,
1082
7,
70
)
000
,2
)(
000
,6
(

100
414
,1
657
,5
100
)
414
,1
)(
828
,2
(
4,
141
000
,1
2

2
1
2

1
2
1

2

4
4
4

1

3
3
3

2

2
2
2

1

1
1
1

EA
EA
EA

EA
EA
EA

EA
N
N
EA
N
N
EA
N
N
EA
N
N
fC

+
=
−
−
+

+
⋅
⋅
+
−
−
+
⋅
⋅
=

=
+
+
+
=
.
7,
170
4,
241
7,
70
100

100
4,
141

2
1
2
1

2
1
4
4
3
3
2
2
1
1
A
A
A
A

A
A
A
A
A
A
V

+
=
+
+

+
+
=
+
+
+
=
:

;
15
657
,5
2
1
1

3
3,1
=
≤
=
=
σ
R
A
A
N
;1
377
,0

1
≤
A
:

;
10
000
,6
2
2
2

4
4
,2
=
≤
=
=
σ
R
A
A
N
.1
6,0

2
≤
A
.
0,16
10
2
3
1248
10
2
7
1082
3
1248
7
1082

2
4
1
4
2
1
=
≤
⋅
+
⋅
=
+
=
u
C
f
A
,
A
,
EA
,
EA
,
f

.1
0,390
0,338

2
1
≤
+
A
A

{ }
⎭
⎬
⎫

⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫

⎩
⎨
⎧
=

2

1

2

1
A

A

x

x
x
,

,
1x
2x
min,
7,
170
4,
241
2
1
→
+
=
x
x
V
(1.6)
;1
377
,0

1
≤
x
;1
6,0

2
≤
x
(1.7)

.1
390
,0
338
,0

2
1
≤
+
x
x
(1.8)

1x 2x 0;
1 >
x
0.
2 >
x
(1.9)
1.3. . 1.4, 4, ).

4. 1.3

hw

fb

tf

wt

y

z

h

w′
w′′

q

h – . -:

{ }
.

4

3

2

1

⎪
⎪
⎭

⎪⎪
⎬

⎫

⎪
⎪
⎩

⎪⎪
⎨

⎧

=

⎪
⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪
⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

x

x

x

x

t

h

t

b

x

w

w

f

f

:
.)
2
)(
2
(
)
2
)(
2
(
4
3
2
1
+
+
=
+
+
=
h
x
x
x
x
h
t
h
t
b
V
w
w
f
f
(1.10)

:

;
max
y
R
≤
σ
;
max
s
R
≤
τ
.
3 2
2
y
red
R
≤
τ
+
σ
=
σ
(1.11)

– ;
y
R

– ;
s
R
– (
) ;
5,0
max
f
w
z

z
t
h
J
M
A
N
+
+
=
σ

– ;
max
w
z

z
y
t
J

S
Q
=
τ

– σ τ ;
5,0
w
z

z
h
J
M
A
N +
=
σ
.

*

w
z

z
y
t
J

S
Q
=
τ

,
z
M
y
Q
N . ;
2
2
4
3
2
1
x
x
x
x
t
h
t
b
A
w
w
f
f
+
=
+
=

;
2
2
12
2
12

2
2
12
2
12

2
2
3
2
1

3
2
1
3
4
3

2
3
3

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=

=
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜

⎝

⎛
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
+
+
=

x
x
x
x
x
x
x
x

t
h
t
b
t
b
t
h
J
f
w
f
f
f
f
w
w
z

;
2
2
8
2
2
8

2
3
2
1

2
4
3
2
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
+
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
+
=
x
x
x
x
x
x
t
h
t
b
t
h
S
f
w
f
f
w
w
z

.
2
2
2
2

2
3
2
1
*
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
=
x
x
x
x
t
h
t
b
S
f
w
f
f
z

:
.
uf
f ≤
(1.12)
-[26]:

;
y
R
A
N ≤
ϕ
=
σ
;
y
E
R
A
N
≤
ϕ
=
σ
,
y
y
R
A
c
N
≤
ϕ
=
σ
(1.13)

– [26]: