Задачи по теории функций и функциональному анализу с решениями

ЗАДАЧИ 
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ 
И ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ 
АНАЛИЗУ 
С РЕШЕНИЯМИ

Рекомендовано
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки «Физико-математические науки»,
а также технических и педагогических вузов

Москва
ИНФРА-М
2018

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Т.А. ЛЕОНТЬЕВА
А.В. ДОМРИНА

УДК 517
ББК 22.161.5+22.162
 
Л47

Леонтьева Т.А.
Задачи по теории функций и функциональному анализу с решениями : учеб. пособие / Т.А. Леонтьева, А.В. Домрина. — М. : 
ИНФРА-М, 2018. — 164 с. — (Высшее образование: 
Магистратура).

ISBN 978-5-16-006429-1

Учебное пособие содержит задачи по всем разделам курса теории 
функций и функционального анализа, обычно читаемого на математических факультетах университетов: элементы теории множеств, 
мера Лебега и измеримые функции, интеграл Лебега и пространства Lp, тригонометрические ряды и преобразование Фурье. Рассматривается также теория метрических, топологических, нормированных и гильбертовых пространств. Отдельные главы посвящены 
линейным функционалам и операторам. Последняя глава задачника 
содержит начальные сведения об обобщенных функциях.
Сборник состоит из 11 глав и содержит более 300 задач. Все они расположены по темам и  приведены с полными решениями. В начале 
каждой главы содержатся необходимые теоретические сведения.
Учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей не только математических факультетов университетов, 
но также и технических и педагогических вузов.

УДК 517
ББК 22.161.5+22.162

Л47

© Леонтьева Т.А., Домрина А.В., 2013
ISBN 978-5-16-006429-1

Подписано в печать 25.11.2012. 
Формат 70 × 100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. 
Гарнитура Newton.  Усл. печ. л. 13,223. Уч.-изд. л. 14,12.
ПТ30.

ТК 409850-12012-251112

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ГЛАВА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Операции над множествами

Объединением множеств
и
называется множество С
обозначается

состоящее из элементов которые принадлежат хотя бы одному из мно

жеств
или
Множество
называется объединением множеств
где

пробегает множество индексов
и обозначается
если оно состоит
из всех таких элементов которые принадлежат хотя бы одному из множеств

т е

Пересечением множеств
и
называется множество С
обозначается

состоящее из элементов которые принадлежат каждому из множеств

и
Множество
называется пересечением множеств
где
пробегает
множество индексов
и обозначается
если оно состоит из всех
таких элементов которые принадлежат каждому множеству
т е

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свой

ствами

коммутативность

ассоциативность

дистрибутивность

Разностью множеств
и
называется множество
обозначается

состоящее из элементов множества
не принадлежащих множеству

Симметрической разностью множеств
и
называется множество

Если множество
является подмножеством множества
обозначается

то множество
называется дополнением множества
до
и обозна

чается
или
В этом случае удобно также ввести характеристическую
функцию множества
в множестве

ГЛАВА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Декартовым произведением множеств
называется множест

во состоящее из упорядоченных наборов
элементов
где

Это множество обозначантся символом

Непустое семейство множеств
называется полукольцом если оно содер

жит пустое множество и для любых
справедливы утверждения

и

Непустое семейство множеств
называется кольцом если оно содержит
пустое множество и для любых
следует
и

Если
кольцо и
то
следовательно объединение
любого конечного числа множеств из
содержится в
Кольцо
называется

кольцом если для любой последовательности множеств

объединение
также содержится в
Кольцо
называется
кольцом

если для любой последовательности множеств
пересечение

также содержится в

Множество
называется единицей некоторой системы множеств
если

и для любого множества
следует
Кольцо множеств
с единицей называется алгеброй
кольцо множеств с единицей называется

алгеброй
кольцо множеств с единицей называется
алгеброй

Пусть
некоторая последовательность множеств Верхним преде

лом последовательности
называется множество

нижним пределом последовательности
называется множество

Последовательность множеств называется сходящейся если

В этом случае пределом последовательности называется множество

Отображение множеств
Понятие мощности множеств

Пусть заданы множества
и
и по некоторому закону
каждому элементу

однозначно ставится в соответствие некоторый элемент
называе

мый образом элемента
при отображении
и обозначаемый
Графиком
Г
отображения
называется множество принадлежащее
такое что

Г

Образом множества
при отображении
называется множество

Если
то множество

ГЛАВА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

называется полным прообразом элемента
при отображении
Если

полагаем
Полным прообразом множества
называется
множество

Отображение
называется

сюрьективным если
инъективным если для любых различных элементов
справед

ливо

биективным или взаимно однозначным если оно сюрьективно и инъек

тивно

Композицией отображений
и
называется отображение

такое что
При этом пишут

Множество
равномощно или эквивалентно множеству
если
существует биективное отображение
Справедливы следующие
свойства эквивалентных множеств

Если
и
то

Таким образом все множества распадаются на непересекающиеся классы
эквивалентности
Будем говорить
что множества
принадлежащие одному
классу эквивалентности имеют одинаковую мощность
Мощность множест

ва
будем обозначать
Если
и
конечные множества то они имеют
одинаковую мощность тогда и только тогда когда имеют одинаковое число
элементов

Множество
называется счетным если
где
множество на

туральных чисел
Множество имеет мощность континуума если

Мощность континуума обозначается символом

Пусть множества
и
имеют мощности
и
соответственно
Если
множества
и
не эквивалентны но
то мы считаем что

Справедливы следующие утверждения

Утверждение
Пусть
и
множества причем

и
Тогда

Утверждение
теорема Кантора Бернштейна
Пусть
и

множества
и
Тогда

Пусть множество
имеет мощность
Тогда мощность множества всех
подмножеств множества
обозначается
Справедливо неравенство

Для мощности
счетного множества и мощности
континуума справедливо
равенство
Отсюда следует что множество всех подмножеств натураль

ного ряда равномощно сегменту
Мощность множества всех подмножеств
сегмента
называется гиперконтинуум

Через
как обычно обозначим множество рациональных чисел через

множество вещественных чисел Множество
счетно множество
имеет
мощность континуума

ГЛАВА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Задачи

Операции над множествами
Пусть
произвольное множество индексов
Доказать
равенства

Решение
Докажем первое равенство
Пусть
Тогда

и
для некоторого
Поэтому

Обратно пусть
Тогда
для некоторого

значит
Таким образом
и окончательно

Докажем второе равенство Пусть
отсюда

или
Если
то
тем самым

Если
то
Поэтому
Окончательно

Представить множество
в виде объединения

так чтобы
при
для всех

Решение Пусть
Тогда
множества
удовлетворяют условию задачи

Доказать что если С
то

Решение
Пусть
Возможны два случая
Первый случай

тогда
и
Второй случай
тогда
С
поэтому

Пусть теперь
Если
то
Если же

то снова
Мы показали что

Пусть
произвольное множество индексов
Доказать
принцип двойственности

Решение
Докажем первое утверждение
Пусть
Тогда

поэтому
то есть
С
значит

Пусть теперь
Тогда
следовательно

то есть

Доказать что для последовательности непересекающихся мно

жеств
справедливы равенства

Решение Так как
то

Пусть
Тогда
Так как
то

предположив что существует
получим что
Так
как
то
для некоторого
Возьмем
Так как

ЗАДАЧИ

то
где
Но тогда
что невозможно так как
множества
не пересекаются

Доказать что для любой последовательности множеств

справедливы вложения

Привести примеры строгих включений

Решение Так как
то

Пусть
тогда
Тем самым

значит
Отсюда

Пусть теперь
Тогда

Пример строгого включения множеств

Тогда

Доказать что если последовательность множеств
мо

нотонно возрастает
то есть
или монотонно убы

вает
то есть
то

причем в первом случае

а во втором

Решение Рассмотрим случай монотонно возрастающей последовательнос

ти
Пусть
тогда
Поэ

тому
В силу монотонности
а тогда

Включение
доказано в предыду

щей задаче

Пусть теперь
тогда
а тогда
и в
силу монотонности
поэтому

Показать что непустое семейство множеств замкнутое отно

сительно операций объединения и пересечения может не быть коль
цом

Решение
Рассмотрим семейство всех открытых множеств на прямой

Сумма и пересечение двух открытых множеств суть открытые множества Но
данное множество не есть кольцо так как симметрическая разность двух от
крытых множеств не обязана быть открытым множеством

Доказать
что получится эквивалентное определение коль

ца если потребовать от непустого семейства
замкнутости отно

сительно операций объединения и симметрической разности

Решение
Достаточно заметить что
замкнуто относительно пересече

ния так как

Доказать что множество ограниченных подмножеств число

вой прямой образует кольцо которое не является ни
кольцом ни
алгеброй

Решение
Данное семейство
не является
кольцом так как если

то
Кольцо
не является алгеброй так как оно не
содержит единицу
Действительно если
то
что
противоречит ограниченности

Пусть множества
принадлежат полукольцу

Доказать что в
можно выбрать
множества
так что

Решение Так как
полукольцо то

По определению полукольца множества

Поэтому
Так как
множества
попарно не пересекаются то С
если
либо

Мы получили

где множества
попарно не пересекаются и не пересекаются с
и
Рас

суждая подобным образом через конечное число шагов получим требуемое раз
ложение

Пусть
Рассмотрим систему
всех подмножеств
множества рациональных чисел отрезка
Доказать что
явля

ется
кольцом
Является ли
алгеброй

Решение Сумма симметрическая разность счетное объединение подмно

жеств рациональных чисел остается подмножеством рациональных чисел
В
качестве множества
единицы
алгебры достаточно взять все рациональ

ные точки отрезка

Пусть
множество непрерывных функций на
Пусть

семейство подмножеств
состоящее из функций
таких
что
Является ли
кольцом
Алгеброй

Решение
Семейство
является алгеброй
За единицу
семейства

можно взять множество всех
таких что

Отображения множеств
Мощность множеств

Доказать что для любого отображения
имеет место вклю

чение
если
Привести пример строгого включе

ния

Решение
Пусть
Тогда
поэтому

В качестве строгого включения рассмотрим отображение

Тогда

Доказать что для отображения
следующие условия
эквивалентны

инъективно

верно

верно

верно

верно

ЗАДАЧИ

Решение Заметим что для любого отображения
условия
заведомо
выполнены если
а условия
заведомо выполнены если

Поэтому далее будем рассматривать

Покажем
что из
следует
Пусть
Отсюда

Так как
инъективно то
то есть

Отсюда
Следовательно множества равны

Покажем что из
следует
Так как
то

Далее
имеем
Пусть

Согласно
то есть
следовательно

Покажем что из
следует
Если
то согласно

Покажем что из
следует
Пусть
тогда

поэтому
Обратно в силу
поэтому

Покажем что из
следует
Допустим что
не инъективно
Тогда

Возьмем

Тогда
что противоречит

Пусть
множество функций интегрируемых по Ри

ману на отрезке
Отображение
задано формулой

Является ли отображение
инъективным сюрьективным или би

ективным

Решение Отображение
сюрьективно так как

Отображение
не инъективно и тем более не биективно так как напри

мер
для любой функции
равной нулю всюду кроме быть может
конечного числа точек

Существует ли
такая что

Решение Непрерывная на отрезке функция ограничена на нем поэтому

не реализуется Непрерывная функция достигает на отрезке точную верхнюю
и точную нижнюю грань поэтому образ отрезка является замкнутым множес
твом и
тоже не реализуется
Условие
не реализуется поскольку иначе

и так как непрерывная функция на отрезке
принимает любое промежуточное значение между минимальным и максималь
ным то
что противоречит

Установить взаимно однозначное соответствие между

Отрезком
и квадратом

Поверхностью единичной сферы
в
с одной выколотой точ

кой
и плоскостью

Единичной сферой
и

Плоскостью
и верхней полуплоскостью