Теория автоматического управления. Линейные, непрерывные системы

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО 
УПРАВЛЕНИЯ. 
ЛИНЕЙНЫЕ, НЕПРЕРЫВНЫЕ 
СИСТЕМЫ

А.И. СЕСЛАВИН

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебника для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся  по укрупненным направлениям подготовки 
23.00.00 «Управление в технических системах», 15.00.00 «Машиностроение» 
(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол №9 от 28.09.2020)

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНИК

УДК 681.511.26(075.8)
ББК 32.965.4я73
 
С33

Р е ц е н з е н т ы:
Г.Л. Эпштейн, кандидат технических наук, доцент кафедры математического моделирования и системного анализа Российского университета транспорта;
Д.С. Бурлаков, кандидат физико-математических наук, руководитель группы разработки рекомендательных продуктов Yandex

ISBN 978-5-16-015022-2 (print)
ISBN 978-5-16-107517-3 (online)
© Сеславин А.И., 2021

Сеславин А.И.
С33  
Теория автоматического управления. Линейные, непрерывные 
си стемы : учебник / А.И. Сеславин. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 
314 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1014654.
ISBN 978-5-16-015022-2 (print)
ISBN 978-5-16-107517-3 (online)
В учебнике излагаются основы классической теории автоматического 
управления, основанные на математических моделях реальных систем, 
заданных в виде систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Используются методы, основанные на преобразованиях Лапласа и Фурье, теории устойчивости, управляемости и наблюдаемости, а также теории направленных графов и линейной алгебры.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям 15.00.00 «Машиностроение», 27.00.00 
«Управление в технических системах».

УДК 681.511.26(075.8)
ББК 32.965.4я73

Предисловие

Теория автоматического управления в настоящее время является классическим научным направлением, имеющим достойное, 
устоявшееся место в системе знаний и значительное влияние на развитие техники. Эта теория опирается на фундаментальные математические методы, разработка многих из которых была инициирована практическими потребностями, возникшими при создании 
систем управления. Настоящий учебник посвящен в основном 
теории линейных стационарных систем управления. Главы 1–6 
содержат необходимые сведения для студентов-бакалавров и учащихся, не выбравших для себя в качестве специальности теорию 
управления. Главы 7–11 в основном адресованы магистрам и аспирантам, специализирующимся в области теории управления.
Учебник предназначен для специальностей следующих направлений: «Управление в технических системах», «Автоматика и робототехнические системы», «Электронные системы управления».
В результате изучения дисциплины бакалавры будут:
знать
 
• основные элемен ты систем управления;
 
• принцип обратной связи;
 
• передаточные функции;
 
• элементарные звенья систем управления;
 
• частотные характеристики линейных систем управления;
 
• критерии устойчивости систем управления;
уметь
 
• эквивалентно преобразовывать системы управления к удобному 
для анализа виду, рассчитывать их устойчивость;
 
• строить частотные характеристики;
 
• исследовать качество переходных процессов;
 
• рассчитывать интегральные оценки качества;
 
• синтезировать системы управления с требуемым качеством;
 
• находить параметры стандартных регуляторов для заданных 
объектов;
 
• проводить инструментальную и теоретическую идентификацию 
систем управления;
владеть
 
• спектральным анализом систем управления;
 
• теорией устойчивости линейных систем управления;
 
• методами моделирования систем управления;

 
• расчетными методами построения переходных процессов 
на ЭВМ.
Магистры с помощью учебника смогут:
знать
 
• математические модели систем управления и их связь с передаточными функциями;
 
• теорию управляемости и наблюдаемости систем управления;
 
• теорию устойчивости в рамках проблематики Рауса — Гурвица 
и частотных методов;
 
• алгоритмы численного расчета передаточных функций 
для систем управления высокого порядка;
уметь
 
• рассчитывать устойчивость многосвязных систем управления 
высокого порядка;
 
• определять наличие управляемости и наблюдаемости систем 
управления;
владеть
 
• спектральными методами исследования систем управления 
и нахождения связи между их спектральными и временными 
характеристиками;
 
• методикой проведения идентификации объектов управления 
в условиях помех.
В учебнике имеются многочисленные подробно рассмотренные 
примеры, а в конце каждой главы предлагается практикум из задач, 
ответы и решения которых приведены в приложении 1. Отметим, 
что примеры и задачи практикума неразрывно связаны с теоретическим курсом учебника.

Глава 1. 
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 
ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 
И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Любая техническая, биологическая или иная система может 
функционировать лишь при определенных условиях. Например, 
температура в жилище не должна быть чрезмерно высокой 
или очень низкой. Поэтому для нормального существования многих 
систем необходимы средства и приложения усилия для поддержания их параметров в определенных рамках. Эти усилия осуществляются системами управления.
Теория автоматического управления возникла из практики применения регуляторов для технических систем. Поэтому изначально 
учебники и научные книги по этой теме назывались теориями автоматического регулирования. В результате существенных обобщений и идей Норберт Винер (1894–1964) ввел термин «кибернетика» (от греч. κυβερνητική — искусство управления [1П]). 
Практика применения регуляторов и систем управления, прежде 
всего в военной области (ракеты, торпеды, локаторы и т.п.), привела к признанию полезности кибернетики. В настоящее время 
термины «кибернетика» и «теория управления» стали синонимами, 
причем термин «теория управления» употреб ляется чаще и в более 
широком смысле.
Системы управления обязательно включают в себя сам объект 
управления, орган контроля (измерительный орган) и исполнительный орган (управляющую систему).

1.2. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим работу системы управления на примере обычного 
холодильника. Физической основой эффекта охлаждения является 
испарение фреона внутри стенок холодильной камеры. При испарении всегда происходит охлаждение поверхности, с которой это 
испарение происходит.

Если внутри камеры холодильника температура выше той, что 
была желательной и была выставлена с помощью уставки (ее можно 
менять с помощью лимба внутри холодильника), то электрическое 
реле включает двигатель, с помощью которого по специальным 
трубкам, находящимся внутри и вне холодильника, компрессором 
приводится в движение фреон, который может находиться как 
в жидком, так и газообразном состоянии, потому что температура 
кипения этого вещества не превосходит 30 °C. Фреон испаряется 
внутри холодильной камеры, охлаждая ее. Как только температура в камере становится ниже температуры уставки (а это определяет измерительное термореле), это реле выключает двигатель, 
останавливается работа компрессора, фреон перестает двигаться 
по трубкам и испаряться. Здесь объектом управления является 
температурный режим в камере холодильника, а органом контроля 
служит термореле, в качестве исполнительного устройства работает 
двигатель с компрессором.
Другими примерами систем управления являются автопилот самолета, система автоподстройки частоты радиоприемника, система поддержания постоянства напряжения на электростанции, система регулирования температурного режима на складе 
или в картинной галерее, система стабилизации спутника Земли 
на заданной для него высоте, система управления движением робота-манипулятора, система управления станка с числовым программным управлением, система настройки выдержки диафрагмы 
современного фотоаппарата и многие другие. Но следует заметить, 
что системы управления могут быть и не техническими, а природными или иными (социальными, экономическими). Примером 
природной системы управления служит система стабилизации 
артериального давления человека, примером управления социальными процессами — воздействие средствами массовой информации в виде рекламы на потребителей продукта. Примером экономической системы управления являются финансовые фонды, 
стабилизирующие производства отдельных отраслей промышленности.

1.3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Как правило, система управления состоит из нескольких 
элемен тов, соединенных между собой. Ориентированный граф 
системы соединения элемен тов называют структурной схемой 
системы. На ней элемен ты обозначаются прямоугольниками, а сигналы на их выходах — стрелками.

Простейшая структура системы управления изображена 
на рис. 1.1. Целью работы системы управления является получение 
нужного сигнала на выходе объекта. Представим работу системы. 
Измерительное устройство измеряет параметры выходного сигнала, который подается на орган сравнения. Орган сравнения сопоставляет выходной сигнал с тем, что требуется задающей программой, и на своем выходе формирует сигнал их рассогласования. 
Этот сигнал подается на вход регулятора, который по определенному заложенному в него закону вырабатывает уже на своем 
выходе входной сигнал для исполнительного механизма. Исполнительный механизм воздействует на объект, который изменяет выходной сигнал всей системы.

Вход
Орган 
сравнения

Регулятор

Объект 
управления

Исполнительный 
механизм

Измерительное 
устройство

Выход

Рис. 1.1. Схема стандартной системы управления

1.4. ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

Заметим, что характерной особенностью структуры системы 
управления, представленной на рис. 1.1, является замкнутый 
контур. Этот контур называется контуром обратной связи. Сам 
факт существования контура обратной связи может быть объяснен 
двумя факторами. Первый из них состоит в том, что для управления 
объектом необходимо иметь возможность входным сигналом воздействовать на сам объект, изменяя его выходную величину — цель 
регулирования. Это воздействие осуществляется по каналу прямой 
связи входа и выхода системы. Второй фактор состоит в том, что 
с помощью канала обратной связи выхода и входа создается возможность сопоставлять выходной сигнал с желаемым и передавать 
эту информацию на вход исполнительного механизма регулятора 
для выработки нужного управляющего воздействия. Поэтому необходимо измерять выходной сигнал.

1.5. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В зависимости от входного сигнала системы управления могут 
быть:
1) системами стабилизации, если входной сигнал постоянен 
(стабилизатор напряжения, система стабилизации температурного 
режима);
2) системами программного регулирования, когда на вход подается заданная функция времени (программа движения поезда 
метрополитена на перегоне, программа движения космического аппарата);
3) следящими системами, когда входная функция наперед неизвестна, а на выходе во всех случаях необходимо повторить ее 
с наибольшей возможной точностью. Примерами следящих систем 
служат система слежения за спутником и система ориентирования 
ветряка.
В зависимости от характера сигналов системы управления могут 
быть:
1) непрерывными;
2) импульсными, или дискретными.
В непрерывных системах сигналы являются непрерывными 
функциями времени, а в импульсных системах сигналы могут быть 
последовательностями импульсов определенной формы. Непрерывные сигналы наблюдаются в системах энергоснабжения, движения механических объектов (поезд, самолет), а характерными 
примерами импульсных систем служат работа ЭВМ по тактам 
и поквартальное управление экономическими системами.

1.6. ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Как правило, дорогостоящие и сложные системы, а также любые 
иные системы на этапе их проектирования невозможно или нецелесообразно исследовать непосредственно (примером объекта 
с не удачным экспериментом является Чернобыльская атомная 
станция). В некоторых случаях создаются уменьшенные физические модели систем (так поступают при проектировании крупных 
гидроузлов), но в большинстве случаев системы управления изучают с помощью математических моделей.
Математические модели обычно представляют собой совокупности уравнений, которые составляются исходя из законов природы и науки. Если система механическая, то можно составить ее 
уравнения на основе законов Ньютона. Если она электрическая, 

то применяют законы Ома и Кирхгофа. Существуют математические модели процессов в экономических системах (модели Леонтьева), математические модели процессов в биосистемах (модели 
Вольтерра), математические модели социальных процессов.

1.7. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Если в уравнения математической модели входит хотя бы одна 
нелинейная функция, то модель называется нелинейной. В противоположном случае модель считается линейной. Последнее в большинстве случаев означает, что функции u(t) на входе системы 
и функция x(t) на ее выходе связаны между собой системой дифференциальных уравнений некоторого порядка n. Например, для механических систем с m степенями свободы порядок модели равен 
удвоенному их числу — 2m. Каждая степень свободы описывается 
уравнением второго порядка в силу второго закона механики Ньютона. Если же в механической системе наложены жесткие связи, 
то количество уравнений в модели уменьшается и ее порядок может 
стать и нечетным числом.
В моделях электрических систем токи и напряжения на их емкостях и индуктивностях связаны между собой соотношениями, 
в состав которых входят производные по времени. Здесь математические модели представляют собой системы дифференциальных 
уравнений, порядок которых можно оценить путем подсчета числа 
индуктивностей и емкостей в электрической схеме. Как правило, 
дифференциальные соотношения для процессов в емкостях могут 
приниматься линейными, в то время как модели процессов в индуктивностях во многих случаях нелинейны из-за эффектов насыщения и гистерезиса.

1.8. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ 
НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В большинстве случаев непрерывные процессы в системах 
управления описываются системами дифференциальных и алгебраических уравнений. Если эти уравнения линейны, то для их исследования используется аппарат линейной алгебры, и прежде 
всего матрицы.
Применение матриц. Специфическими особенностями современных систем управления являются их многосвязность и сложность. При использовании математического моделирования сложность системы проявляет себя, прежде всего, в том, что полу

чаемый порядок системы уравнений, как правило, довольно велик. 
Приведем обзор математической модели поперечной динамики 
вагона скоростного железнодорожного транспорта. Этот экипаж 
состоит из двух тележек, каждая из которых имеет две колесные 
пары. Каждая их колесных пар имеет несколько степеней свободы 
и в модели описывается как минимум четырьмя дифференциальными уравнениями. Сама тележка также может быть приближенно 
описана четырьмя дифференциальными уравнениями, а вместе 
со своими колесными парами ее модель имеет 12 дифференциальных уравнений. Вагон без тележек описывается четырьмя дифференциальными уравнениями, а с учетом двух тележек полная модель вагона представляет собой систему из 18 дифференциальных 
уравнений с 18 переменными.
Следует заметить, что такая модель перемещения вагона в поперечной к направлению основного движения плоскости является далеко не самой подробной. Но уже и ее непосредственное 
рассмотрение становится совершенно неудобным. Однако если 
представить эти же уравнения в матричном виде, то получается 
компакт ная запись, с которой удобно работать (анализировать и 
вести расчеты на ЭВМ). Напомним, что числовой матрицей с n 
строками и m столбцами называется прямоугольная таблица nm 
чисел — элемен тов матрицы. В настоящем курсе будут употребляться квадратные матрицы, у которых m = n, матрицы-строки, 
у которых m = 1, и матрицы-столбцы, у которых n = 1. Будем обозначать матрицы жирным шрифтом. Обозначение

 
( )
=
=
…
,
1,
,
i
colon x
i
n
D
 

говорит о том, что мы имеем дело с матрицей-столбцом D из n 
элемен тов xi. Проводя простейшие операции с матрицами, по аналогии с тем, как это делается с числами, следует иметь в виду, что 
при сложении и вычитании матриц одной размерности складываются и вычитаются их соответствующие элемен ты. При умножении матрицы на число каждый ее элемент умножается на это 
число.

Пример 1.1. Примеры алгебраических операций с матрицами:

1) (
)
(
)
(
)
2
4
6
4
1
8
6
5
14
+
=
;

2) 
1
2
3
3
5
8
1
2
1

⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
=
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

;