Математические методы в управлении

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ 
В УПРАВЛЕНИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением 
вузов Российской Федерации по образованию 
в области прикладной информатики, математических методов 
в экономике, статистики и антикризисного управления 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 
«Математические методы в экономике»

Москва
ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2018

А.Н. ГАРМАШ,   И.В. ОРЛОВА

УДК 338(075.8)
ББК 65.050я73
 
Г20

А в т о р ы:
А.Н. Гармаш (главы 1–4, приложения 1 и 2);
И.В. Орлова (глава 5)

Р е ц е н з е н т:
Е.Ю. Хрусталев, проф., д-р экон. наук, ведущий сотрудник ЦЭМИ РАН

Гармаш А.Н.
Математические методы в управлении : учеб. пособие / 
А.Н. Гармаш, И.В. Орлова. — М. : Вузовский учебник : 
ИНФРА-М, 2018. — 272 с.
ISBN 978-5-9558-0200-8 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-004818-5 (ИНФРА-М)
Рассмотрены вопросы разработки и принятия решений в условиях 
определенности, риска и неопределенности. Содержание материала 
комплексно представляет учебный процесс и включает курс лекций 
и задания для компьютерного практикума и лабораторной работы. 
Изложение теоретического материала и решение задач проводятся 
с использованием профессиональных средств общения менеджеров — офисных средств MS Excel.
Для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей экономических вузов и менеджеров.
УДК 338(075.8)
ББК 65.050я73

ISBN 978-5-9558-0200-8 (Вузовский учебник) 
©  Вузовский учебник, 2012 
ISBN 978-5-16-004818-5 (ИНФРА-М)

Редактор   И.В. Мартынова
Корректор   Л.С. Куликова
Компьютерная верстка   Г.А. Волковой

Подписано в печать 06.05.2015.
Формат 60 × 90/16. Гарнитура Newton. Бумага офсетная. 
Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,0. 
ПТ20.

ТК  163800-9788-250811

Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52
www.vuzbook.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru     http://www.infra-m.ru

Г20

ПРЕДИСЛОВИЕ

Широкое использование математических методов является необходимым условием эффективной научной и практической деятельности современного специалиста. Эти методы приобретают все большее 
значение при принятии управленческих решений, когда для их обоснования требуется найти достаточно убедительную аргументацию.
Для успешного изучения основ принятия управленческих решений с применением математических методов и приобретения профессиональных навыков разработки экономико-математических 
моделей студентам необходим значительный объем самостоятельной 
работы.
Студентам предлагается учебное пособие, которое комплексно 
представляет учебный процесс и содержит: курс лекций по основным 
разделам учебной программы с указанием конкретных литературных 
источников по тем или иным вопросам; задания для компьютерного 
практикума и лабораторной работы; перечни тем рефератов и отчетов; список рекомендуемой литературы.
Предлагаемый курс лекций включает основные разделы дисциплины «Математические методы в управлении». В этих разделах рассматриваются вопросы разработки и принятия решений в условиях 
определенности, риска и неопределенности.
С учетом широкого применения электронных таблиц в современных бизнес-расчетах и управлении (по сути, в настоящее время 
это язык делового общения!) при иллюстрации лекционного материала и решении задач используются средства Microsoft Excel (MS 
Excel).
Основное внимание в учебном пособии уделяется приобретению 
студентами навыков математического моделирования и разработки 
моделей принятия решений — математических моделей, в которых 
управляющие переменные используются для формализации управленческого процесса. При этом задача состоит в следующем — 
обучить студентов профессиональным навыкам разработки и реализации моделей деловых ситуаций, не углубляясь в алгоритмические 
и математические тонкости расчетов.
При проведении практических занятий на компьютере целесообразно самостоятельное выполнение студентами лабораторной работы. На компьютерном практикуме осуществляется более углубленное изучение студентами учебного материала, развиваются навыки 
самостоятельного решения конкретных задач. Цель лабораторной 

работы — промежуточный контроль знаний студентов и оценка преподавателем степени усвоения ими учебного материала дисциплины.
В пособии предлагаются задания для выполнения с привлечением средств MS Excel лабораторной работы по следующим темам 
и разделам курса: «Методы и модели оптимизации», «Принятие решений в условиях неполной определенности», «Методы и модели 
эконометрики».
Для индивидуальной работы со студентами, успешно осваивающими учебную программу и проявившими заинтересованность, 
предлагаются перечни тем для рефератов и отчетов с указанием 
базовой литературы, с которой можно начать изучение соответствующей проблематики.
Материал учебного пособия по отдельным разделам и вопросам 
можно использовать при изучении дисциплин «Методы принятия 
управленческих решений», «Экономико-математические методы 
и прикладные модели», «Исследование операций», «Методы оптимальных решений» «Эконометрика» (магистратура, специалитет, 
бакалавриат).
Данное учебное пособие написано на основе лекций, читаемых 
авторами по дисциплинам кафедры «Экономико-математические 
методы и модели» ГОУ ВПО «Всероссийский заочный финансовоэкономический институт».

ГЛАВА 1.  МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
В ПРИНЯТИИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ 
РЕШЕНИЙ

Повседневная деятельность менеджера связана с исследованием 
самых разнообразных хозяйственных (управленческих, производственных, финансово-экономических) ситуаций, поскольку участие 
в коммерческой деятельности требует умения количественно оценить возможные варианты экономических последствий при выборе 
того или иного управленческого решения. Такие количественные 
оценки можно получить в результате математического моделирования исследуемых ситуаций, процессов, задач.
Как показывает опыт успешных фирм [34], умение менеджеров 
самостоятельно создавать и анализировать модели с использованием 
«подручного» инструментария — офисных средств MS Excel (язык 
повседневного делового общения) — позволяет существенно повысить эффективность управленческих решений. Даже на первый 
взгляд безуспешные попытки разработать и использовать модели для 
поддержки принятия тех или иных решений полезны хотя бы потому, 
что позволяют глубже вникнуть в суть решаемых задач. Появляется 
новый взгляд на ситуацию в целом или ее отдельные аспекты. Так, 
удается понять, почему отдельные вопросы не поддаются формализации, какие альтернативы нужно дополнительно исследовать и на 
что требуется обратить особое внимание.
При этом процесс математического моделирования призван 
дополнить опыт и интуицию менеджера в ходе анализа и принятия 
управленческих решений.

1.1. 
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

В основе всех современных методов принятия решений лежат те 
или иные модели исследуемых управленческих и финансово-экономических (хозяйственных) ситуаций.
Например, даже простейшие ситуации по выбору условий депозита моделируются с помощью следующих математических соотношений (финансовых моделей):
S = P(1 + in) — депозит на основе простых процентов;
S = P(1 + i)n — депозит на основе сложных процентов (с капитализацией процентов).
Здесь  P — исходная сумма вклада;   n — период сделки;   i — процентная ставка;   S — сумма возврата (наращенная сумма денег).

В частности, на основе этих моделей можно принять аргументированное решение о том, что при сроке сделки более года предпочтительнее оформить с банком договор на вклад по ставке сложных 
процентов (табл. 1.1.1).
Таблица  1.1.1

Сравнение множителей наращения 
(ставка 15%, временная база 360 дней)

Срок депозита  n
Множители наращения
1 + in
(1 + i)n

30 дней
1,0125
1,0117
180 дней
1,075
1,0724
1 год
1,15
1,15
5 лет
1,75
2,0114
10 лет
2,5
4,0456
20 лет
4
16,3665

Бухгалтерский баланс — это финансовая модель деятельности 
организации, построенная на равенстве ее активов и пассивов (модель 
состояния на данный момент валюты баланса, т.е. совокупности хозяйственных средств и обязательств, контролируемых организацией):

A
B

ст. АКТИВА
ст. ПАССИВА
∑
∑
=
.

В практической деятельности эту символическую (математическую) модель принято представлять в удобном, наглядном табличном виде (форма № 1 «Бухгалтерский баланс» периодической финансовой отчетности организации).
Таким образом, современная экономика и управление — это мир 
моделей. Соответственно, основным методом исследования управленческих и экономических процессов в настоящее время является 
метод моделирования, т.е. способ теоретического и практического 
действия, направленного на разработку и использование моделей.
Метод моделирования обеспечивает принятие решений в условиях определенности, риска и неопределенности. Соответственно, 
различают модели принятия решений в условиях определенности 
(мы знаем, в каком состоянии будет находиться природа после принятия нами решения), риска (знаем возможные состояния природы 
и можем оценить вероятности этих состояний, исходов) и неопределенности (известны возможные состояния природы и неизвестны 
вероятности появления этих исходов).

Метод моделирования основывается на принципе аналогии, 
т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, 
а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его 
модели.
Под моделью вообще понимают некоторый объект, способный заменить исследуемый с целью получения нового знания, т.е. модель — 
это некоторый образ исследуемого явления, процесса, объекта.
Все виды моделей можно подразделить на физические и абстрактные (концептуальные).
Физические модели — различного рода макеты, конструкции 
и другие подобные физические образования, т.е., как правило, это 
модели реальных объектов в миниатюре.
К абстрактным моделям относят:
 • символические — обычно их представляют в одной из следующих форм записи: табличной, графической или математической, 
соответственно говорят о табличной, графической или математической модели;
 • словесно-описательные — в экономике это экономические 
сценарии, программы, различные пояснительные записки к проектам и т.п.
Например, словесно-описательная модель расчетов по сделке 
с недвижимостью, которая обсуждается на переговорах и в последующем является основой раздела «Расчеты» договора купли-продажи, 
может быть представлена следующим образом.
1. Продавец открывает в течение пяти банковских дней с момента подписания договора аккредитивный счет в «нейтральном» 
банке (по взаимному согласию сторон в «случайным образом» 
выбранном отделении Сбербанка РФ), передает реквизиты 
исполняющего банка покупателю в указанные сроки курьером с уведомлением о вручении.
2. В течение двух банковских дней после официального уведомления об открытии аккредитивного счета в исполняющем 
банке покупатель открывает через банк-эмитент безотзывный 
неделимый покрытый аккредитив на 3 млн руб. со сроком 
исполнения до 01.02.2015 г. Условия исполнения — представление зарегистрированного в уполномоченном государственном органе договора купли-продажи и передаточного акта.
3. Комиссионный процент (услуги банков) по банку-эмитенту 
и исполняющему банку покрывается покупателем.
Эта модель может быть использована для имитации поведения партнеров в различных, в том числе и форс-мажорных, обстоятельствах.

Такие модели позволяют наиболее полно описать объект или ситуацию. Однако зачастую их невозможно или неудобно непосредственно использовать для достижения в полном объеме целей моделирования, поэтому при необходимости словесно-описательные 
модели преобразуют в математические для удобства дальнейшего 
оперирования ими.
В инструкции по формированию финансовой отчетности коммерческой организации «Отчет о прибылях и убытках» (форма № 2), 
по сути, содержится словесно-описательная модель формирования 
прибыли коммерческой организацией.
Формирование финансового результата в соответствии с формой № 2 может быть отражено простейшей математической моделью, 
записанной в виде системы равенств:

 
N (чистый оборот)
− 
S1 (производственная себестоимость)

 
P1 (валовая прибыль, брутто-прибыль)
− 
S2 (коммерческие и управленческие расходы)

 
P2 (прибыль от основной деятельности)
+ P3 (результат от финансовой деятельности)

 
P4 (прибыль от основной и финансовой деятельности)
+ P5 (результат от прочих внереализационных операций)

 
P (балансовая прибыль — прибыль до налогообложения)

Математические модели в экономике и управлении чаще всего 
строятся для следующих целей:
 • определение по модели оптимальных значений параметров 
процесса;
 • имитация процесса при различных значениях параметров для 
получения представления об изменении тех или иных его характеристик в связи с изменением параметров;
 • финансово-экономический анализ деятельности и прогнозирование значений тех или иных параметров процесса.
Математическая модель в экономике,  или  экономико-математическая модель (ЭММ), — это математический образ, математическое 
представление существа исследуемого экономического процесса, 
проблемы, задачи. Такая модель представляет собой комплекс экономико-математических зависимостей, знаковых логических выра

жений, отображающих все самое важное, принципиальное в рассматриваемой проблеме.
Известно выражение А. Эйнштейна: «Модели должны быть настолько простыми, насколько возможно, но не проще»1.
Единой системы классификации ЭММ к настоящему времени 
не выработано. В наиболее общем виде ЭММ подразделяют следующим образом:
 • макро- и микроэкономические;
 • прескриптивные и дескриптивные;
 • статические и динамические;
 • детерминированные и стохастические.
Модели, регулирующие народнохозяйственные, межотраслевые 
или межрегиональные пропорции и экономические взаимоотношения, — это макроэкономические модели (модели на макроуровне). 
Построение и анализ моделей на макроуровне — предмет экономической теории.
Микроэкономические модели — это модели внутрифирменного 
планирования и управления, модели взаимоотношений хозяйствующих субъектов.
Прескриптивные (нормативные) модели отвечают на вопрос, какой вариант управленческого поведения лучше, предпочтительнее. 
Это модели, реализация которых позволяет представить рекомендации по оптимальным решениям или, при наличии различных эвристик (допущений) на любом из этапов применения математических 
методов, по субоптимальным (рациональным) решениям.
Дескриптивные  (аналитические)  модели  отвечают  на  вопрос 
«что будет, если...», т.е. эти модели на основе известных или предполагаемых значений (оценок) некоторых ведущих факторов позволяют указать ожидаемые значения результативных факторов.
Примерами нормативных моделей служат оптимизационные модели различных хозяйственных ситуаций, примерами аналитических 
моделей — балансовые модели, производственные функции.
В статических моделях все зависимости отнесены к одному периоду времени, в динамических — экономические процессы описываются в развитии (в качестве элемента модели присутствует фактор 
времени). Например, при моделировании могут использоваться статические производственные функции и динамические с присутствием в качестве факторного признака времени   t   (кинематические 
производственные функции).

1  Цит. по: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный 
курс: Учеб. 6-е изд. М.: Дело, 2004.

В стохастических (вероятностных) моделях отдельные их 
элементы представляют собой случайные величины (процессы), 
в детерминированных — заданные, определенные величины.
Примерами детерминированных моделей служат модели линейного программирования, примерами вероятностных моделей — 
модели стохастического программирования.
Современные ЭММ представляют собой, как правило, комплексы, 
где сочетаются различные виды моделей.
По общему целевому назначению ЭММ делятся на теоретические, 
используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, планирования и управления. 
Различные типы прикладных ЭММ как раз и рассматриваются в данном учебном пособии (дисциплине).
Экономико-математические модели могут классифицироваться 
также по конкретному предназначению (балансовые — для реализации 
балансового метода планирования; оптимизационные — для реализации принципа оптимальности; трендовые — для математического 
описания долговременной тенденции; имитационные — для машинной имитации исследуемой экономической системы и др.) и по типу 
используемого математического аппарата (модели теории массового 
обслуживания, модели теории игр, матричные, регрессионные модели 
и т.д.).
Экономико-математические методы — это методы разработки, 
исследования и принятия решений по экономико-математическим 
моделям. Общепринятой классификации этих методов не существует.
С известной степенью приближения в составе экономико-математических методов можно выделить следующие группы методов 
(научных дисциплин):
 • математико-статистические методы (выборочный метод, 
методы дисперсионного анализа, корреляционно-регрессионного 
анализа, факторного анализа и др.);
 • методы эконометрики (методы разработки моделей парной 
и множественной регрессии, системы одновременных уравнений 
и др.);
 • методы исследования операций (оптимальное программирование, теория массового обслуживания, теория игр и др.);
 • методы финансовой математики (процентные вычисления 
и потоки платежей, анализ инвестиционных проектов и лизинговых операций, портфельные инвестиции и др.);