Информатика : численные методы

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ 
 
Кафедра инженерной кибернетики

О.В. Андреева
М.С. Бесфамильный
О.И. Ремизова 

ИНФОРМАТИКА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3378

УДК 002 
 
А65

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. С.Ю. Муратова

Андреева О.В.
А65  
Информатика : численные методы : учеб. пособие  / О.В. Андреева, М.С. Бесфамильный, О.И. Ремизова. – М. : Изд. Дом 
НИТУ «МИСиС», 2019. – 94 с.
ISBN 978-5-906061-01-9

Рассматриваются численные методы решения прикладных задач (решение 
уравнений, нахождение определенного интеграла, приближение функций) и 
особенности их реализации с использованием языка программирования С#, а 
также электронных таблиц Excel и математического пакета Mathcad.
Предназначено для студентов 1-го курса всех направлений  (кроме ИТАСУ) 
при изучении курса «Информатика», а также для самостоятельной работы.

УДК 002

 О.В. Андреева,
М.С. Бесфамильный,
О.И. Ремизова, 2019
ISBN 978-5-906061-01-9
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ...............................................................................................5
Необходимость использования численных методов ............................ 6
Погрешность вычислений.  
Источники ошибок в вычислительном процессе.  
Распространение ошибок ........................................................................ 6
1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ .....................................................................8
1.1. Вычисление определенного интеграла ........................................... 8
1.1.1. Метод прямоугольников .......................................................... 10
1.1.2. Метод трапеций ........................................................................ 12
1.1.3. Метод Симпсона ...................................................................... 13
1.1.4. Обеспечение заданной точности ............................................ 15
1.2. Решение нелинейных уравнений .................................................. 17
1.2.1. Метод половинного деления (метод дихотомии) ................. 18
1.2.2. Метод итераций ........................................................................ 19
1.2.3. Метод Ньютона (метод касательных) .................................... 21
1.3. Интерполяция .................................................................................. 24
1.3.1. Линейная интерполяция .......................................................... 26
1.3.2. Квадратичная интерполяция................................................... 28
2. ОСНОВЫ РАБОТЫ С ПРИКЛАДНЫМИ ПРОГРАММАМИ 
ЕXCEL И MATHCAD .............................................................................30
2.1. Excel .................................................................................................. 30
2.1.1. Книга, ячейка, лист .................................................................. 30
2.1.2. Адресация ................................................................................. 31
2.1.3. Функции .................................................................................... 32
2.1.4. Работа с матрицами ................................................................. 35
2.1.5. Линейная интерполяция .......................................................... 37
2.2. Mathcad ............................................................................................. 38
2.2.1. Рабочая область ........................................................................ 39
2.2.2. Регионы ..................................................................................... 40
2.2.3. Работа с математическими выражениями ............................ 40
2.2.4. Определение переменных ....................................................... 41
2.2.5. Вычисление результатов ......................................................... 41
2.2.6. Ввод операторов ....................................................................... 42
2.2.7. Правка выражений ................................................................... 44
2.2.8. Создание массивов................................................................... 46
2.2.9. Определение функций ............................................................. 49

2.2.10. Создание переменной-диапазона ......................................... 51
2.2.11. Решение уравнений ............................................................... 52
2.2.12. Построение графиков ............................................................ 53
2.2.13. Символьные вычисления ...................................................... 54
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ .........................................................58
3.1. Нахождение корней нелинейного уравнения .............................. 58
3.2. Вычисление определенного интеграла ......................................... 65
3.3. Интерполирование функции .......................................................... 71
3.4. Построение графика ....................................................................... 78
Вопросы для самопроверки .................................................................. 83
Библиографический список .................................................................. 84
Варианты заданий для самостоятельного выполнения  .................... 85
Приложение 1. Нахождение корня или корней нелинейного 
уравнения ............................................................................................ 85
Приложение 2. Вычисление определенного интеграла ................ 87
Приложение 3. Интерполирование функций .................................. 90
Приложение 4. Построение графика ............................................... 92

ВВЕДЕНИЕ

Решение прикладных задач с использованием компьютера предполагает наличие математической модели объекта (производственного 
процесса, системы управления, экономического плана и т.п.). Математическая модель – это взаимосвязь основных параметров объекта, 
выраженная в математической форме (в виде формул, интегралов, 
уравнений алгебраических или дифференциальных и т.п.). Возможность использования компьютера для реализации математической 
модели снимает многие вычислительные проблемы, и в настоящее 
время в моделях можно более полно учитывать особенности объекта 
и его внутренние взаимосвязи, что делает компьютерное моделирование мощным средством при решении практических задач по выбору 
оптимальных режимов функционирования или конструктивных параметров объекта и пр.
Чтобы реализовать математическую модель на компьютере, необходимо привести входящие в ее состав математические объекты (интегралы, дифференциальные уравнения и т.д.) к последовательности 
арифметических операций и простых количественных сравнений, которые только и умеет выполнять компьютер. Для этого используются 
так называемые численные методы, или методы вычислительной математики. Например, вычисление определенного интеграла сводится 
при  этом к последовательному сложению, а для достижения заданной 
точности выполняется ряд последовательных приближений (см. ниже).
Численные методы разрабатывались и использовались уже давно, задолго до появления компьютеров. Это было обусловлено необходимостью решать задачи, решение которых не удается получить в 
явном виде (т.е. в виде формулы). Численные методы позволяют получить решение, выполняя бесконечный ряд последовательных приближений, который обрывается, когда достигнута заданная точность. 
Использование численных методов связано с выполнением огромного объема вычислений, и до появления компьютеров их применение 
было весьма ограничено.
Численные методы – это целая область современной математики, в 
которой рассматривается численное решение различных математических задач. При этом большое внимание уделяется исследованию точности получаемых решений. Необходимо также иметь в виду, что при 
компьютерной реализации математических моделей на точность по

лученного решения влияют еще погрешности, содержащиеся в исходных данных, а также ограниченность разрядной сетки компьютера.
Здесь рассматриваются лишь отдельные задачи, часто встречающиеся в инженерной практике, и простейшие методы их решения с 
целью дать первое представление о подходах к решению реальных задач с использованием компьютера. Овладение предложенными методами позволит решать самостоятельно типовые инженерные задачи, 
грамотно пользоваться пакетами прикладных программ (в частности, 
математическим пакетом Mathcad) или с пониманием дела обратиться 
к специалистам в сложных случаях.

Необходимость использования численных 
методов

Все методы решения математических задач можно разделить на 
две  группы:
1) точные методы решения задач;
2) численные методы решения задач.
В точных методах решения математических задач ответ удается 
получить в виде формул.
Для большинства задач, встречающихся на практике, точные методы решения или неизвестны, или дают очень громоздкие формулы. 
Однако они не всегда являются необходимыми. Прикладную задачу 
можно считать практически решенной, если сумеем ее решить с нужной степенью точности.
Для решения таких задач разработаны численные методы, в которых решение сложных математических задач сводится к последовательному выполнению большого числа простых арифметических 
операций. Непосредственная разработка численных методов относится к вычислительной математике.

Погрешность вычислений.  
Источники ошибок в вычислительном процессе. 
Распространение ошибок

В процессе численного решения задачи приходится иметь дело с 
тремя основными видами ошибок: ошибками, содержащимися в исходной информации, ошибками, возникающими при ограничении 

бесконечного математического процесса конечным числом операций 
(ошибки ограничения), и ошибками, возникающими в результате необходимости представить число в виде конечной последовательности 
цифр (ошибки округления). (Ошибки, вызванные неточностями или 
неверными допущениями при разработке математической модели, 
здесь не рассматриваются.)
Ошибки в исходной информации возникают в результате неточности измерений или невозможности представить необходимую величину конечной дробью (например, число·π невозможно представить 
точно, это бесконечная дробь). Ошибки в исходной информации влияют на точность результата независимо от того, как и какими методами произведены вычисления.
Ошибки ограничения определяются численным методом, используемым при решении задачи. Например, ряд Тейлора для синуса

sin(x) = x – x3/3! + x5/5! + x7/7! + ...

может использоваться для вычисления синуса любого угла, выраженного 
в радианах. Так как бесконечный ряд ограничивается конечным числом 
членов, то отброшенные члены ряда (а их число бесконечно) вносят некоторую ошибку в результаты вычислений. Это – ошибки ограничения.
Третий тип ошибок – ошибки округления. Ошибки округления  
присутствуют всегда, даже если необходимая информация представлена точно (с достаточной степенью точности), все вычислительные 
процессы конечны и отсутствуют ошибки ограничения. Они возникают из-за ограниченности разрядной сетки компьютера (вопросы округления относятся только к вещественным числам). Так, если 
выполняется операция сложения 0,16·100 + 0,21·10–1 (мантисса представлена только двумя десятичными цифрами), то результат будет 
0,18·100. Произошла ошибка округления.
Возникшие ошибки распространяются дальше и после каждой 
арифметической операции.
Ошибки, возникшие в определенном месте в ходе вычислений, 
распространяются дальше и могут возрастать после каждой арифметической операции (иногда ошибки имеют противоположные знаки и 
компенсируют друг друга).
Проблемы ошибок очень важны, особенно при использовании численных методов, связанных с выполнением последовательных итераций, требующих значительного объема вычислений. 

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1.1. Вычисление определенного интеграла

Довольно часто возникает необходимость вычисления определенного интеграла или значений первообразной функции. 
Нахождение определенного интеграла может применяться, например, при решении следующих задач: нахождение пути при перемен
ной скорости (

0

( )

t

t
S
v t dt
= ∫
) или скорости при переменном ускорении 

(

0
( )

t

t
v
a t dt
= ∫
), нахождение работы переменной силы (

0

( )

t

t
A
F t dt
= ∫
), 

при решении дифференциальных уравнений и пр.
Рассмотрим задачу нахождения определенного интеграла в общем 
виде. Пусть задана функция 
( )
y
f x
=
 и требуется найти интеграл 

этой функции на отрезке [a, b], т.е. найти 
( )

b

a
J
f x dx
= ∫
.

Функция F(x) на данном интервале называется первообразной 
функцией для функции f(x), если на всем этом интервале f(x) является 
производной для F(x), т.е. F′(x) = f(x).
Пусть функция f(x) задана на некотором отрезке [a, b]. Разобьем 
этот отрезок произвольным образом на части Δxi = xi+1 – xi, i = 0, 1, … , 
n – 1. Возьмем в каждой части произвольную точку ξi, i = 0, 1, …, n – 1. 

Тогда определенным интегралом 
( )

b

a

f x dx
∫
 функции f(x) на отрезке 

[a, b] называется

 

(
)

1

max
0
0
lim
.

i
i

n

i
i
x
i

f
x


∆ →
=
ξ
∆
∑
 
(1.1)

Условия существования первообразной и определенного интеграла функции f(x) рассматриваются в курсе математического анализа. 
При этом доказываются следующие положения:
• если F(x) есть первообразная функция для f(x) на интервале, 
включающем [a, b], то

( )

b

a

f x dx
∫
= F(b) – F(a) (формула Ньютона – Лейбница); 
(1.2)

● если существует
( )

b

a

f x dx
∫
, то одной из первообразных функций 

на [a, b] для f(x) является 
( )

x

a

f t dt
∫
.

Таким образом, умея аналитически вычислять первообразную 
функцию, можно вычислять определенный интеграл и наоборот. 
Тем не менее довольно часто применяются методы приближенного 
вычисления определенных интегралов. Дело в том, что для большого 
числа подынтегральных функций первообразная уже не выражается через элементарные функции и, следовательно, нельзя вычислить 
определенный интеграл, используя формулу Ньютона – Лейбница. 
Встречаются также случаи, когда интегрирование приходится применять и для таких интегралов, которые могут быть получены аналитически, но получающиеся выражения оказываются слишком сложными. Для некоторых часто используемых интегралов, которые не могут 
быть вычислены аналитически, получены таблицы, но, как правило, 
в программе проще организовать вычисление интеграла численными 
методами, чем хранить в памяти таблицу его значений и находить в 
ней нужные величины.
Таким образом, численные методы интегрирования обычно применяются в следующих случаях:
● подынтегральная функция f(x) задана таблично на участке [a, b] ;
● подынтегральная функция f(x) задана аналитически, но ее первообразная не выражается через элементарные функции;
● подынтегральная функция f(x) задана аналитически, имеет первообразную, но ее определение слишком сложно.
В численных методах интегрирования не используется нахождение первообразной. Основу алгоритма численных методов интегрирования составляет геометрический смысл определенного интеграла. 

Как известно, величина определенного интеграла 
( )

b

a
J
f x dx
= ∫
 чис
ленно равна площади S криволинейной трапеции (рис. 1.1), ограни

ченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс и двумя прямыми 
x = a и х = b.

Y 

S 

f(x) 

a  
   b 
   X 

Рис. 1.1 

Суть всех численных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площади1. Далее будут рассмотрены 
некоторые из них (метод прямоугольников, метод трапеций, метод 
Симпсона).

1.1.1. Метод прямоугольников

Одним из простейших методов вычисления определенных интегралов является метод прямоугольников.
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей длиной h = (b – a)/n и заменим функцию на каждом из участков [xi, xi+1] 
отрезком прямой, проходящей параллельно оси OX. Тогда определенный интеграл можно приближенно представить как сумму площадей 
n прямоугольников с основаниями h.
Если за высоту каждого прямоугольника принять значение подынтегральной функции на левых концах каждого отрезка, то метод называется методом левых прямоугольников (рис. 1.2). Тогда формула 
для приближенного вычисления значения определенного интеграла 
имеет вид

1 Утверждение о равенстве величин интеграла и площади полностью справедливо только для f(x) ≥ 0, так как интеграл – это «площадь со знаком».

1
1
1

0
0
0

n
n
n

i
i
i
i
i
i
J
S
h y
h
y


=
=
=
≈
=
⋅
=
⋅
∑
∑
∑
. 
(1.3)

Si 

Y 
f(x) 

   a=x0    x1    x2 
 ... 
 xn=b      X 

h

y0 

Рис. 1.2

Если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в правых концах каждого отрезка, то 
метод называется методом правых прямоугольников (рис. 1.3). Тогда 
формула имеет вид

 
1
1
1

.

n
n
n

i
i
i
i
i
i
J
S
h y
h
y

=
=
=
≈
=
⋅
=
⋅
∑
∑
∑
 
(1.4)

Si 

Y 
f(x) 

   a=x0    x1    x2
 ...  
   xn=b      X 

h

y1 

Рис. 1.3

Также применяется метод средних прямоугольников, когда высота 
каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в середине каждого отрезка. 
Точность каждого метода прямоугольников имеет порядок h (т.е. 
погрешность изменяется пропорционально изменению шага интегрирования).
Схема алгоритма

Весь участок [a, b] разделить на n равных частей с шагом h = (b – a)/n.
Определить значение yi подынтегральной функции f(x) в каждой 
части деления, т.е. yi = f(xi), i = 0, 1, …, n .
Для каждой части деления вычислить площадь Si частичного прямоугольника.
Просуммировать эти площади. 

1.1.2. Метод трапеций

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей длиной 
h = (b – a)/n и заменим функцию на каждом из участков [xi, xi+1] отрезком прямой, проходящей через точки (xi, yi), (xi+1, yi+1), i = 0, 1, …, 
n – 1. Тогда определенный интеграл можно приближенно представить 
как сумму площадей n трапеций с основаниями yi = f (xi), yi+1 = f(xi+1) 
и высотой h (рис. 1.4).

yn 

y2 

y1 

y0 

Y 

  X 

f(x) 

   x0=a   x1    x2 
   xn-1    b=xn       X 

Рис. 1.4 
Таким образом:

 

0
1
1
2
1
( )
(
...
).
2
2
2

n
n
b

a

y
y
y
y
y
y
J
f x dx
h
+
+
+
=
≈
+
+
+
∫
 
(1.5)