Теория случайных процессов. Основные понятия и определения теории случайных процессов. Модели и характеристики случайных сигналов. Ч. 1

№ 1095

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра компьютерных информационных и управляющих
систем автоматики

Г.Г. Шапкарина

Теория случайных процессов

Основные понятия и определения
теории случайных процессов. Модели
и характеристики случайных сигналов

Учебное пособие
Часть 1

Рекомендовано редакционноиздательским
советом университета

Москва   Издательский Дом МИСиС
2009

УДК 519.21 
 
Ш23 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. С.Н. Богданов 

Шапкарина Г.Г. 
Ш23  
Теория случайных процессов. Основные понятия и определения теории случайных процессов. Модели и характеристики 
случайных сигналов: Учеб. пособие. Ч. 1. – М.: Изд. Дом 
МИСиС, 2009. – 82 с. 

В учебном пособии рассмотрены вероятностные методы исследования 
сигналов, применяемые при анализе и синтезе систем автоматического 
управления, а также вопросы классификации случайных сигналов, а также в 
системах управления. Приведены основные алгоритмы, используемые при 
построении вероятностных моделей. 
Предназначено для  студентов специальности 220301. 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Основные понятия, определения.........................................................5 
1.1. Случайные сигналы и воздействия в системах 
связи и управления ...............................................................................5 
1.2. Вероятность. Случайные величины. Основные 
характеристики случайных величин...................................................8 
1.3. Некоторые законы распределения .............................................21 
1.4. Системы случайных величин .....................................................30 
2. Случайные процессы в системах управления..................................38 
2.1. Случайные функции и их характеристики. 
Основные характеристики случайных процессов ...........................38 
2.2. Элементарные преобразования случайных 
процессов.............................................................................................52 
2.3. Классификация случайных процессов.......................................63 
2.4. Измерение параметров случайных процессов ..........................71 
Контрольные задания и примеры решения задач................................76 
Библиографический список...................................................................81 

Введение 

Функционирование системы автоматики в реальных условиях зависит от многочисленных факторов, связанных с действиями случайных воздействий. К таким воздействиям относятся шумы и помехи, действующие в каналах передачи и преобразования сигналов, обработка исходных данных в измерительных системах. Характеристики систем, по которым проходят сигналы, также нельзя считать в 
точности известными, причем эти характеристики в силу влияния 
многих факторов могут изменяться непредвиденным образом. Оценка достоверности информации тоже имеет статистический характер; 
поэтому в общем случае для исследования работы системы следует 
применять статистические методы. 
Роль статистических методов в теории и технике систем связи и 
управления также весьма велика и с течением времени все возрастает. С усложнением принципов и условий работы систем все более 
необходимым оказывается учет случайных факторов. В этих условиях, особенно при наличии значительных помех, помехоустойчивость 
оценивается вероятностными методами. Таким образом, для исследования систем управления необходимо привлечение статистических 
методов. Наконец, при изучении весьма сложных систем может оказаться целесообразным отказ от слишком сложных «регулярных» 
законов их действия. В некоторых случаях, рассматривая такие 
сложные «регулярные» законы как случайные, удается значительно 
упростить их исследование. 
Для понимания статистических и вероятностных методов необходимо предварительно ознакомиться с основами теории вероятностей, 
в которой рассматриваются три группы объектов. Простейшая из 
этих групп – случайные события. Вторая группа – случайные величины. Случайная величина соответствует некоторому множеству 
случайных событий. Третья и наиболее сложная группа – случайные 
процессы. Случайный процесс соответствует множеству случайных 
величин. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

1.1. Случайные сигналы и воздействия 
в системах связи и управления 

В инженерной практике в процессе обработки и анализа технических данных исследователю обычно приходится иметь дело с сигналами трех типов, описываемыми методами статистики. Во-первых, 
это информационные сигналы, отображающие физические процессы, 
вероятностные по своей природе; во-вторых, информационные сигналы, зависимые от определенных параметров физических процессов 
или объектов, значения которых заранее неизвестны, и которые 
обычно подлежат определению на основании данных информационных сигналов; и в-третьих, это шумы и помехи, хаотически изменяющиеся во времени, которые сопутствуют информационным сигналам, но, как правило, статистически независимы от них как по своим значениям, так и по изменениям во времени. 
С самого начала исследователь располагает некоторыми предварительными данными об этих сигналах. Прежде всего, известно все 
множество, весь ансамбль возможных сигналов, т.е. сигналов, которые могут передаваться по данной системе связи. Далее, во многих 
случаях известно, какие сигналы передаются чаще, а какие – реже. 
Таким образом, можно найти вероятности появления различных 
возможных сигналов. Это уже статистические характеристики. В 
результате исследования можно также найти более сложные статистические характеристики сигналов, чем вероятности появления отдельных сигналов. Итак, те предварительные сведения о сигналах, 
которые имеются, носят обычно статистический характер. 
Целесообразность применения статистических методов еще более 
очевидна, если ставится задача исследования преобразования сигналов при наличии помех. Помеха, примешивающаяся в канале связи к 
полезному сигналу, представляет собой, как правило, заранее не известную функцию. Если бы помеха была заранее известна, то ее 
влияние нетрудно было бы нейтрализовать, скомпенсировать. Действительно, пусть, например, известная помеха прибавляется к полезному сигналу в канале связи. Тогда на приемном конце можно вычесть из прибывающей суммы «сигнал плюс помеха» известную величину помехи и получить полезный сигнал в чистом виде. Однако 
проблема возникает именно потому, что помеха заранее не известна 

и может принимать различные значения. На основании предварительного изучения помех можно определить лишь их статистические 
характеристики. Поэтому и задача оптимального отделения сигнала 
от помехи становится статистической, т.е. для ее решения необходимы статистические методы. 
Характеристики систем, по которым проходят сигналы, также 
нельзя считать в точности известными. Эти характеристики в силу 
влияния многих факторов могут изменяться заранее непредвиденным 
образом. Случайные изменения свойств системы обычно можно сводить к влиянию некоторых случайных помех, воздействующих на нее. 
Разнообразные помехи, действующие в системах связи, можно классифицировать различными способами. Так, например, можно делить 
помехи по их происхождению на естественные и искусственные. 
Естественные помехи создаются природой независимо от человека, 
вторые являются прямыми или косвенными результатами деятельности 
человека. К естественным помехам в области систем связи относятся 
внешние и внутренние помехи. 
Искусственные помехи могут быть специально организованными 
либо неорганизованными. 
Помехи можно различать также по характеру или форме их зависимости от времени. Эта линия классификации одинакова для помех 
любой физической природы. Все обычные помехи принято делить на 
три категории: 
1 – помехи с узкополосным частотным спектром; 
2 – импульсные помехи, представляющие собой хаотическую последовательность импульсов, причем реакция системы па очередной 
импульс обычно успевает практически затухнуть к моменту прихода 
следующего импульса; 
3 – гладкие, или флуктуацонные, помехи. Гладкая помеха представляет собой результат действия огромного множества малых хаотических импульсов. Эти импульсы следуют друг за другом нерегулярно, но, как правило, настолько часто, что реакция системы на 
очередной импульс не успевает затухнуть к моменту прихода следующего. Поэтому реакции от отдельных импульсов накладываются 
друг на друга образуя как бы единый незатухающий хаотический 
процесс. Частотный спектр гладкой помехи можно считать равномерным вплоть до очень высоких частот. Между импульсными гладкими помехами нет четко выраженной границы; целый ряд помех в 
одних условиях может быть отнесен к импульсным, а в других условиях – к гладким помехам. 

Роль случайных факторов в системах управления может быть проиллюстрирована следующим образом. На рис. 1.1 приведена структурная схема системы автоматического управления. На выходе управляемого объекта В имеется управляемая величина Х, которая, в соответствии с техническими требованиями, должна удовлетворять некоторым условиям, соответствующим сигналу Х0. Можно, например, 
потребовать, чтобы в системе поддерживалось равенство Х = Х1, что 
является типичным условием для системы регулирования; в общем 
случае задающее воздействие Х0 может означать любую совокупность 
технических требований, предъявляемых к выходному сигналу Х объекта B. Для удовлетворения этих требований к объекту В присоединяют управляющее устройство А, которое осуществляет управляющее 
воздействие U. Задающее воздействие Х0 поступает на вход управляющего устройства А через канал Н0, в котором к Х0 примешивается 
случайная помеха h. Тогда выходной сигнал Y0 канала Н0, вообще говоря, уже не равен Х0. Это происходит, если, например, задающее воздействие Х0 подается в систему через линию радиосвязи или установка 
Х0 осуществляется человеком вручную с некоторой субъективной погрешностью. Точно так же управляющее воздействие U в канале связи 
G, где оно, смешиваясь с воздействие V, становится помехой g, преобразуется в воздействие V. Помеха g в конкретной системе может представлять собой погрешность установки исполнительного блока или 
возмущение, поступающее на этот блок. 

 

Рис. 1.1 

Значение управляемой величины Х может поступать на управляющее устройство А также через канал обратной связи H, где оно, 
смешиваясь со случайной помехой h, преобразуется в Y. Примером 
помехи h может служить погрешность измерительного блока. 
Наконец, сам объект В подвержен воздействию случайного возмущения, отчего его характеристики изменяются заранее непредвиденным образом. 

Величина Х0 в общем случае заранее не известна, т.е., по существу, 
является случайным сигналом. Итак, на любые звенья системы автоматического управления действуют бесчисленные случайные помехи. Задача системы автоматического управления (как и системы связи) состоит в том, чтобы осуществлять наилучшее приближение выходного сигнала системы к условиям, соответствующим сигналу Х0, подаваемому 
на ее вход, при наличии случайных помех и возмущений. При создании 
системы автоматического управления в общем случае невозможно игнорировать случайные факторы, так как и задающее воздействие Х0, и 
помехи, и возмущения, действующие на систему, вообще говоря, случайны. Таким образом, для исследования систем связи и управления 
необходимо привлечение статистических методов. 
При использовании статистических методов исследования комплекс ограниченного числа основных взаимосвязей уже не определяет 
полностью исход каждого отдельного опыта; этот исход становится 
неопределенным из-за наличия дополнительных, случайных факторов, 
т.е. из-за наличия бесчисленного множества отброшенных второстепенных взаимосвязей, изучение которых принципиально невозможно. 
Статистическая закономерность, обнаруживаемая лишь при массовых явлениях, не похожа на закономерность «регулярного» типа, 
характерную для каждого единичного явления. Тем не менее статистическая закономерность есть объективно существующая форма 
причинной связи. 

1.2. Вероятность. Случайные величины. 
Основные характеристики случайных величин 

Основой изучения статистических характеристик случайных воздействий является математический аппарат теории вероятностей. Одним из 
основных понятий теории вероятностей является событие. Понятие 
«событие» относится ко всему, что происходит или не происходит в 
результате опыта. При этом под опытом (испытанием, экспериментом) 
понимается не специально организованное исследование, а вся совокупность условий и воздействий, при которых происходят интересующие исследователя события. С теоретико-вероятностной точки зрения 
опытом является любое наблюдение окружающего мира, а событием – 
любой результат, полученный при наблюдениях. Если событие в результате проведения опыта или эксперимента обязательно должно произойти, то оно называется достоверным. Если же известно, что в результате опыта событие не произойдет, то оно называется невозмож

ным. Промежуточное положение между достоверным и невозможным 
событиями занимает случайное событие. 
Таким образом, каждое из произошедших событий обладает той 
или иной степенью возможности. Чтобы количественно сравнить 
между собой события по степени возможности, необходимо с каждым событием связать определенное число, которое должно быть 
тем больше, чем более возможно это событие. Это число называют 
вероятностью события. 
Уже при введении понятия вероятности с ним связывается определенный практический смысл: более вероятными событиями считаются 
те, которые чаще происходят при испытании; и наоборот, события, 
которые происходят реже, считаются менее вероятными. Таким образом, понятие вероятности связывается с понятием частоты события. 
Для практических целей недостаточно знать только то, что исследуемое событие случайно. Необходимо ввести какую-то количественную меру объективной возможности осуществления случайного 
события. 
Если предположить, что производится n опытов и при этом m раз 
произошло событие А, то отношение числа исходов опыта m, при 
которых произошло событие А, к числу опытов m называется статистической вероятностью (или частотой) события А и обозначается 
как P*(A): 

 
*( )
.
m
P
A
n
=
 

В случае если в результате n опытов событие А произошло k раз, событие B – m раз, а событие А совместно с событием B (событие АВ) – r 
раз, то для вычисления статистичеcкой вероятности события A при условии, что произошло событие В, вводится понятие условной статистической вероятности события A при наличии события В, которое 
обозначается как P*(A/B) и определяется в соответствии с формулой 

 
*(
/
)
r
P
A B
m
=
. 

Свойства статистической вероятности 

Свойство 1. Статистическая вероятность есть неотрицательное 
число, т.е. 

 
P*(A) ≥ 0. 

Свойство 2. Статистическая вероятность достоверного события 
равна единице: 

 
P*(U) = 1. 

Свойство 3. Если события А и В несовместны, то статистическая 
вероятность события А + В равна сумме статистических вероятностей событий А и В, т.е. 

 
P*(A + В) = P*(A) + P*(В). 

Свойства 1, 2 и 3 распространяются и на условную статистическую вероятность P*(A / B). 

Статистическую вероятность события можно вычислить только 
после проведения опыта, однако в ряде случаев проводить эксперимент для определения вероятности или невозможно, или нецелесообразно. В этом случае пользуются определением вероятности, которое 
называется классическим. 
Классическое определение вероятности основано на интуитивном 
понятии равновозможности событий: несколько событий в данном 
опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии 
есть основание считать, что ни одно из этих событий не является 
объективно более возможным, чем другое. Например, равновозможными событиями являются выпадение герба и выпадение цифры при 
однократном бросании монеты. 
В случае если исход опыта можно представить в виде полной 
группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны, 
вероятностью события A называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему числу всех равновозможных исходов опыта; в этом случае вероятность события А 
обозначается как P(A) и определяется по формуле 

 
( )
m
P A
n
=
. 

Свойства классической вероятности 

Свойство 1. Вероятность есть неотрицательное число, т.е. 

 
P(A) ≥ 0. 

Свойство 2. Вероятность достоверного события U равна единице: 

 
P(U) = 1. 

Свойство 3. Если события А и В несовместны, то вероятность события А + В равна сумме статистических вероятностей событий А и В: 

 
P(A + В) = P(A) + P(В). 

Свойства 1, 2 и 3 распространяются и на условную вероятность 
P(A / B). Условная вероятность события A при наличии события B 
равна частному от деления вероятности появления события A совместно с событием B на вероятность события B, т.е. 

 
(
)
(
/
)
( )

P AB
P A B
P B
=
. 

Зависимые и независимые события. Событие А не зависит от 
событии В, если 

 
P(A / B) = P(A) при условии, что P(A) ≠ 0, P(В) ≠ 0. 

Для зависимых событий справедливо выражение 

 
P(AВ) = P(A) P(В). 

Рассмотренные выше способы непосредственного определения 
вероятностей не всегда удобны и часто не применимы для расчетов. Во многих практических задачах требуется определять вероятности таких событий, которые трудно или бессмысленно проводить экспериментальным путем: опыт может оказаться громоздким, дорогостоящим, а то и вообще неосуществимым (например, 
оценка функционирования не существующего, а проектируемого 
оборудования). 
В большинстве случаев для определения вероятности применяются косвенные методы. Они позволяют по известным вероятностям 
одних событий определять вероятности связанных с ними других 
событий. Применяя косвенные методы, пользуются основными свойствами или теоремами теории вероятностей. 
Важным следствием теорем сложения и умножения вероятностей 
является формула полной вероятности. Эта формула позволяет определить вероятность некоторого события А, которое происходит 
вместе с одним из событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу несовместных событий: 

 

1

( )
(
) (
/
),

n

i
i
i

P A
P H P A H

=
=∑