Системный анализ и теория принятия решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

Кафедра автоматики и управления в технических системах

В.Ф. Кузнецов 

Системный анализ  
и теория принятия решений 

Практикум по курсовой работе 

Для студентов, обучающихся по специальности 220201  
«Управление и информатика в технических системах»  
направления подготовки 220400 «Автоматизация и управление»

Москва  2014 

УДК 005 
 
К89 

Р е ц е н з е н т ы  
д-р техн. наук Г.Н. Ахобадзе  
(институт проблем РАН им. В.А. Трапезникова) 
доцент Д.В. Калитин (НИТУ «МИСиС») 

Кузнецов, В.Ф. 
К89  
Системный анализ и теория принятия решений : практикум 
по курсовой работе / В.Ф. Кузнецов. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2014. – 51 с. 
 

Представлен  материал, содержащий методические  указания по выполнению курсовой работы по дисциплине «Системный анализ и теория принятия решений». Содержанием рассматриваемых задач является изучение и 
практическое освоение компьютерной поддержки принятия решений с использованием современного программного обеспечения. Содержание работы 
основано на опыте преподавания дисциплины «Системный анализ и теория 
принятия решений» в МГГУ. 
В.Ф.Кузнецов – доцент кафедры автоматики и управления в технических 
системах (АТ)  НИТУ «МИСиС». 
Для студентов, обучающихся по специальности «Управление и информатика в технических системах» направления подготовки «Автоматизация и 
управление». 

УДК 005 

 
© В.Ф. Кузнецов, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Статистические  методы принятия решений  с использованием 
программы Financial Toolbox...................................................................5 
1.1. Метод решения задачи  «Диверсификация портфелей»............5 
1.2. Числовые характеристики  случайных величин.........................9 
1.3. Нахождение эффективной границы...........................................11 
1.4. Векторные и матричные операции  в программе Matlab, 
используемые  в задаче «Диверсификация портфелей» .................16 
1.5. Решение задачи при использовании  всех имеющихся 
 фондов.................................................................................................19 
1.6. Контрольные вопросы  по разделу 1 курсовой работы............20 
1.7. Варианты задания  по разделу 1 курсовой работы...................21 
2. Принятие решений в задачах линейного программирования   
с использованием программы Optimization Toolbox...........................23 
2.1. Решение задач линейного программирования..........................23 
2.2. Задача об усреднении состава руды...........................................24 
2.3. Контрольные вопросы  по разделу 2 курсовой работы........26 
2.4. Варианты задания  по разделу 2 курсовой работы...................27 
3. Задачи принятия решений, основанные на использовании 
теоретико-игровых методов ..................................................................28 
3.1. Классификация  критериев принятия решений ........................28 
3.2. Классические критерии принятия решений..............................29 
3.3. Контрольные вопросы  по 3 разделу курсовой работы............35 
3.4. Варианты задания  по разделу 3 курсовой работы...................35 
4. Графический способ  применения классических критериев 
принятия решений ..................................................................................37 
4.1. Примеры применения классических критериев .......................37 
4.2. Контрольные вопросы  по  4 разделу курсовой работы...........42 
4.3. Варианты задания  по разделу 4 курсовой работы...................43 
5. Статистический метод  обработки экспертной информации .........44 
5.1. Примеры статистической  обработки экспертной  
информации.........................................................................................44 
5.2. Статистическая обработка  экспертной информации  
при нестрогом ранжировании признаков.........................................46 
5.2. Контрольные вопросы  по разделу 5 курсовой работы............48 
5.3. Варианты задания  по 5-му разделу курсовой работы.............48 
Заключение..........................................................................................50 
Список литературы.............................................................................50 
 

ВВЕДЕНИЕ 

В практикуме рассматриваются задачи, входящие в курсовую работу по дисциплине «Системный анализ и теория принятия решений», содержанием которых является изучение и практическое освоение компьютерных программ, позволяющих осуществить компьютерную поддержку принятия решений. В качестве программного 
обеспечения использованы пакеты прикладных программ, входящие 
в программный комплекс Matlab. 
Каждый из пяти разделов практикума содержит теоретические 
сведения по предлагаемому классу задач, числовые примеры решения задач, контрольные вопросы и варианты индивидуальных заданий по каждому разделу практикума. Выполнение индивидуальных 
заданий направлено на создание у студентов навыков практического 
применения статистических и детерминированных методов решения 
задач принятия решений с использованием современного программного обеспечения.  

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ  
МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ  
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ 
FINANCIAL TOOLBOX 

1.1. Метод решения задачи  
«Диверсификация портфелей» 

Формирование портфеля ценных бумаг, являясь составной частью 
инвестиционного процесса, включает в себя определение конкретных 
активов для вложения средств, а также пропорций (весов) распределения инвестиционного капитала между активами. Задача заключается в достижении наилучшего возможного компромисса между возможным риском и доходностью. 
Основные 
положения 
этого 
подхода, 
сформулированные 
Г. Марковицем в 1952 г., заключаются в следующем: 
Предполагается, что в настоящий момент времени, обозначенный 
как t = 0, инвестор имеет некоторую сумму денег для инвестирования; 
деньги инвестируются в конкретные ценные бумаги, которые будут находиться в портфеле инвестора в течение определенного промежутка времени, называемого периодом владения, до момента времени, обозначенного как t = 1; 
в конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода владения при t = 0;  
доходности ценных бумаг и всего портфеля рассматриваются как 
случайные величины, так как в момент принятия решения инвестор 
не может точно спрогнозировать доходности ценных бумаг и портфеля на предстоящий период владения; 
доходности ценных бумаг и всего портфеля, определяемые как 
случайные величины, характеризуются средними значениями доходности (мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем) и стандартными отклонениями – мерой риска, связанного с конкретным портфелем; 
задача инвестора состоит в нахождении в момент времени t = 0 
при покупке ценных бумаг сбалансированного решения на основе 
оценок ожидаемой доходности и ожидаемого риска каждого из возможных портфелей. 

Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг R определяется 
как средневзвешенная доходность ценных бумаг, составляющих 
компоненты портфеля 

 

1

N

i i

i

R
W r

=
=∑
, 

где N – число ценных бумаг в портфеле; 
Wi – вес i-й ценной бумаги в портфеле; 
ri  – доходность i-й ценной бумаги. 

Дисперсия портфеля, состоящего из N ценных бумаг, вычисляется 
по формуле 

 
2
2
2

1
1

2
cov

N
N

p
i
i
i
j
ij

i
i
j i
W
WW

=
=
>
σ =
σ +
∑
∑∑
, 

где 
vij
ij
i
j
co
r
=
σ σ  – ковариация активов i и j; 

rij – коэффициент корреляции активов i и j; 
σp; σi; σj – средние квадратические отклонения доходности портфеля и входящих в него активов. 

 Для портфелей, составляемых из фиксированного набора активов, отношение риск/доходность изменяется с изменением структуры 
портфеля, определяемого множеством {Wi}. Инвестор выбирает свой 
портфель таким образом, чтобы обеспечить максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска или обеспечить минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.  
Пример 1. Портфель должен состоять из двух видов ценных бумаг, параметры которых 
1
1
2
2
2;  
0,8;  
3;  
1,1.
r
r
=
σ =
=
σ =
 Определим 
доход и дисперсию для портфеля с долями 
1
2
0,3;  
0,7.
W
W
=
=
 Доход 
от портфеля R = 
1 1
2 2
W r
W r
+
= 0,3 · 2 + 0,7 · 3 = 2,7. 
Дисперсия суммы дохода составит 

 

2
2
2
2
2
12

12

0,3
0,8
0,7
1,1
0,3 0,7
0,8 1,1

0,651
0,37

p
r

r

σ =
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=

=
+
⋅
 

Риск инвестиций, измеряемый квадратическим отклонением дохода 
p
σ , составит: при полной положительной корреляции ( 12
1
r
= ) 

1,021
1,01
p
σ
=
=
; 
при 
полной 
отрицательной 
корреляции  

( 12
1
r
= − ) 
53
0
281
0
p
,
,
=
=
σ
. 
При 
нулевой 
корреляции 

( 12
0
r
=
)
0,651
0,81
p
σ
=
=
. 

Из сказанного следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной 
или в крайнем случае нулевой корреляции.  
Зависимость доходности портфеля от риска при вариации относительных весов каждой составляющей портфеля Wi носит название 
эффективной границы, которая содержит две ветви: нижнюю, где 
рост доходности происходит при уменьшении риска, и верхнюю, где 
рост доходности происходит при увеличении риска. Ветви эффективной границы соединяются в точке, соответствующей минимальному риску. Верхняя ветвь эффективной границы позволяет инвестору выбрать доходность портфеля и соответствующие ей риск и диверсификацию компонентов портфеля Wi.  
Программа Financial Toolbox (FT), входящая в программный комплекс Matlab, содержит набор операторов, позволяющих выполнить 
диверсификацию портфеля ценных бумаг, в том числе оператор построения эффективной границы с указанием параметров точки минимального риска.  
На интерактивном демонстрационном примере, приводимом программой Matlab, инвестор может распределить свои средства между 
несколькими фондами и для каждого варианта диверсификации 
портфеля построить эффективную границу, для каждой точки которой указывается доход, риск и показатели Wi. Если инвестор выбрал 
ценные бумаги двух первых фондов Equity и Balanced , то эффективная граница приобретает вид, представленный на рис. 1.1.  
Минимальный риск (Volatiltty)составляет 9,3505 с весами 0,46093 
и 0,53907 при доходности (Expected Return) 9,2353. При работе с 
первыми 4 фондами минимальный риск составляет 6,7025 при доходности 10,4243 (рис. 1.2). При работе со всеми 6 фондами минимальный риск составляет 5,9334 при доходности 8,3303 (рис. 1.3).  
Для построения эффективной границы необходимо располагать 
сведениями об ожидаемых доходах каждого фонда (вида ценных бумаг) и ковариационной матрицей, определяющей статистическую 
взаимозависимость этих доходов. 
 
 

Рис. 1.1 

 

Рис.1.2 

Рис. 1.3. 

1.2. Числовые характеристики  
случайных величин 

Пусть имеется 2 фонда K и S, доход которых по годам за последние 5 лет составил в процентах следующую величину, указанную 
во 2 и 3 столбцах табл. 1.  

 Таблица 1 

Год
К 
S 
(K–mК)2 
(S–mS)2 
(K–mК) ·  (S–mS) 

1 
12 
10 
(12–10)2=4 
(10–11)2=1 
(12–10) · (10–11)=-2 

2 
11 
15 
(11–10)2=1 
(15–11)2=16 
(11–10) · (15–11)=4 

3 
8 
7 
(8–10)2=4 
(7–11)2=16 
(8–10) · (7–11)=8 

4 
9 
11 
(9–10)2=1 
(11–11)2=0 
(9–10) · (11–11)=0 

5 
10 
12 
(10–10)2=0 
(12–11)2=1 
(10–10) · (12–11)=0 

sum
50 
55 
4+1+4+1+0=10
1+16+16+0+1=34
–2+4+8+0+0=10 

10 = 50/5

mK=10 
11 = 55/5 
mS=11 
var(K)=10/5=2 
var(S)=34/5=6,8 
cov(K,S)=10/5=2 

std 
 
 
 
σK = 
2 = 1,414 σS = 
6,8 = 2,608 
rKS= cov(K,S)/ σKσS=
= 2 /
13,6 =0,5423 

В табл.1 приведен расчет статистических параметров случайных 
величин K и S: 
математического ожидания (mean) mK и mS; 
дисперсии (variance) var(K) и var(S); 

ковариации (covariance) cov(K,S); 
среднего квадратического отклонения (standard deviation) σK и σS;  
коэффициента корреляции (correlation) rKS= cov(K,S)/ σKσS. 
Эти расчеты могут быть выполнены, как показано ниже, специальными операторами программы Matlab : 
sum(А) – сумма элементов вектора А; 
mean(А) – математическое ожидание элементов вектора А; 
var(A,1) – центральная дисперсия элементов вектора А; 
std(A,1) – среднего квадратического отклонения вектора А (оператор std(A,1) может быть использован независимо от предварительного применения оператора var(A,1). 
cov(A,B,1) –ковариации векторов А и В. Программа возвращает 
ковариационную матрицу каждого вектора с каждым. Для рассматриваемого примера это матрица размерностью 2·2 (табл. 2). По главной диагонали ковариационной матрицы располагаются значения 
дисперсий векторов K и S. 

 

Таблица 2 

I/J 
K 
S 

K 
2,0000 
2,0000 cov(K,S) 

cov(K,K)=var(K) 

S 
2,0000 cov(K,S) 
6,8000 cov(S,S)=var(S) 

1.3. Нахождение эффективной границы 

Эффективная граница определяет связь весовых коэффициентов 
(Weights) диверсификации вкладов с максимальной ожидаемой доходностью (Expected Return) и риском (Volatility), возможными при 
этом распределении вкладов по выбранным фондам. Риск измеряется 
средним квадратическим отклонением (standard deviation) дохода от 
его среднего значения. Для решения этой задачи необходимо ввести 
в программу два вида данных: Exp Return (среднюю доходность по 
вкладам) и ExpCovariance (ковариационную матрицу, определяющую 
статистическую связь между фондами, в которые поступают эти 
вклады). Программа возвращает три вида данных: Port Risk (волатильность дохода), Port Return (доход), PortWts (весовые коэффициенты вкладов в выбранные фонды). 
Рассмотрим работу программы на конкретном примере. 
Пусть имеются четыре фонда: A, R, M, N, доходность которых 
приведена в табл. 3, ковариационная матрица в табл. 4. 

Таблица 3 

 Фонд 
A 
R 
N 
P 

 Доход 
8,35 
7,15 
7,46 
6,96 

 

Таблица 4 

I/J 
A 
R 
N 
P 

A 
2,56 
 
 
 

R 
–1,55 
2,98 
 
 

N 
–1.68 
0.49 
1,72 
 

P 
1,2 
–1,54 
–0,94 
1,97 

 
В табл. 4 приведена только достаточная для дальнейших расчетов 
информация. Для удобства набора ее на компьютере заполним всю 
матрицу I/J (табл. 5). 

Таблица 5 

I/J 
A 
R 
N 
P 

A 
2,56 
–1.55 
–1,68 
1,2 

R 
–1,55 
2,98 
0,49 
–1,54 

N 
–1.68 
0.49 
1,72 
–0,94