Высшая математика для экономистов: теория пределов и приложения

А. В. Лежнёв

Учебник

2018

Москва

И
М
НФРАВысшая математика
для экономистов:
теория пределов
и приложения

Рекомендовано УМО по образованию
в области прикладной информатики
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по направлению 080800
«Прикладная информатика (по областям)»
и другим экономическим специальностям

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я731
Л40

Р е ц е н з е н т ы:
др физ.мат. наук, проф. В. И. Чижиков;
др экон. наук, проф. Е. О. Горецкая

Лежнёв А. В.
Л40
Высшая математика для экономистов: теория пределов и
приложения : учебник / А. В. Лежнёв — М. : Магистр : ИнфраМ,
2018. — 240 с. (Бакалавриат)

ISBN 9785977603072 (в пер.)
ISBN 9785160095653
Агентство CIP РГБ

В учебнике изложен необходимый теоретический материал, раскрыты все
вопросы, обязательные при изучении данной темы студентами вузов, обучающимися по экономическом направлениям.
Особенности учебника состоят в постепенном повышении уровня сложности, «дозированном» использовании формальных определений, большом количестве детально разбираемых примеров, включении элементов доказательств
для простейших пределов, геометрической интерпретации ключевых результатов, наличии примеров применения теории пределов для анализа и решения
различных задач экономического содержания.
Для студентов вузов, обучающихся по экономическим направлениям подготовки. Будет полезен студентам других направлений, изучающим дисциплины
«Математика» и «Математический анализ».

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я731

ISBN 9785977603072
© Лежнёв А. В., 2014
ISBN 9785160095653
© Издательство «Магистр», 2014

Содержание 

 
Предисловие.............................................................................................7 
Глава 1 
ПОНЯТИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ......................11 
§ 1.1. Числовые множества и функции .......................................11 
§ 1.2. Предел функции в точке.....................................................17 
§ 1.3. Примеры отсутствия пределов функции ..........................22 
§ 1.4. Бесконечный предел функции в точке..............................24 
§ 1.5. Основные свойства пределов.............................................27 
§ 1.6. Непрерывность функций....................................................32 
Контрольные вопросы...................................................................37 
Задачи для самостоятельного решения........................................39 
Глава 2 
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ  
И РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ........................................41 
§ 2.1. Первый замечательный предел..........................................41 
§ 2.2. Второй замечательный предел...........................................47 
§ 2.3. Понятие и виды неопределенностей .................................51 
§ 2.4. Примеры вычисления пределов дробнорациональных и иррациональных функций .....................56 
§ 2.5. Примеры вычисления пределов,  приводимых к 
первому замечательному пределу .....................................61 
§ 2.6. Примеры вычисления пределов,  приводимых ко 
второму замечательному пределу .....................................64 
§ 2.7. Примеры вычисления пределов общего вида ..................68 
Контрольные вопросы...................................................................73 
Задачи для самостоятельного решения........................................74 
Глава 3 
ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА.................................................77 
§ 3.1. Односторонние пределы функции в точке .......................77 
§ 3.2. Односторонние бесконечные пределы функции 
в точке..................................................................................80 
§ 3.3. Условие существования односторонних пределов..........82 
§ 3.4. Пределы функции в бесконечности ..................................84 
§ 3.5. Классификация пределов функции ...................................87 

Содержание 

4 

§ 3.6. Примеры вычисления пределов функций 
в бесконечности ..................................................................88 
§ 3.7. Примеры вычисления односторонних пределов..............99 
Контрольные вопросы.................................................................103 
Задачи для самостоятельного решения......................................104 
Глава 4 
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕДЕЛАХ.........................107 
§ 4.1. Раскрытие неопределенностей по правилу 
Лопиталя ............................................................................107 
§ 4.2. Раскрытие степенно-показательных 
неопределенностей ...........................................................111 
§ 4.3. Некоторые важные пределы ............................................114 
§ 4.4. Асимптоты графика функции..........................................117 
§ 4.5. Непрерывность функции на отрезке ...............................122 
§ 4.6. Точки разрыва функции и их классификация ................125 
§ 4.7. Эквивалентность, убывание и рост функций .................128 
Контрольные вопросы.................................................................133 
Задачи для самостоятельного решения......................................135 
Глава 5 
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.................137 
§ 5.1. Понятие числовой последовательности..........................137 
§ 5.2. Бесконечно малые последовательности..........................141 
§ 5.3. Бесконечно большие последовательности......................145 
§ 5.4. Предел числовой последовательности............................147 
§ 5.5. Вычисление пределов числовых 
последовательностей ........................................................149 
Контрольные вопросы.................................................................156 
Задачи для самостоятельного решения......................................157 
Глава 6 
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ  
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ...................................................159 
§ 6.1. Модели потребительского спроса ...................................159 
§ 6.2. Сопоставление скорости роста  
простых и сложных процентов........................................163 
§ 6.3. Метод половинного деления и его применение 
в анализе инвестиционных проектов ..............................166 
§ 6.4. Паутинообразная модель ценообразования....................173 

Содержание 

 

§ 6.5. Поиск информации в базах данных.................................178 
§ 6.6. Вычисление площадей фигур с криволинейными 
границами ..........................................................................182 
Контрольные вопросы.................................................................186 
Задачи для самостоятельного решения......................................188 
ЛИТЕРАТУРА ....................................................................................191 
Основная литература...................................................................191 
Дополнительная литература .......................................................191 
ПРИЛОЖЕНИЯ ..................................................................................193 
Приложение 1. Строгие формальные определения пределов 
функций ................................................................................................193 
Приложение 2. Предельные свойства основных 
элементарных функций.......................................................................195 
Приложение 3. Сводка основных пределов ......................................196 
Приложение 4. Пример доказательства существования 
предела функции в точке ....................................................................197 
Приложение 5. Пример предела степенно-показательной 
функции ................................................................................................200 
Приложение 6. Примеры доказательств бесконечной малости 
последовательностей...........................................................................201 
Приложение 7. Финансовая интерпретация второго 
замечательного предела ......................................................................205 
Приложение 8. Типовые примеры из Интернет-тестов....................209 
Приложение 9. Примеры олимпиадных заданий..............................215 
Приложение 10. Примеры вычисления пределов 
без применения правила Лопиталя ....................................................221 
Приложение 11. Оценка трудоемкости поиска данных 
в упорядоченных таблицах .................................................................230 
Приложение 12. Пределы и непрерывность функций многих 
переменных ..........................................................................................232 

Предисловие 

Экономика передовых стран современного мира стремительно 
движется по пути формирования нового технологического уклада. Нарастает поток инноваций практически во всех сферах деятельности человека. Процессы глобализации, стирая внешние различия, крайне обостряют экономические, политические и иные противоречия между 
странами, корпорациями, слоями общества. 
Сложившиеся реалии ставят жесткие условия по модернизации 
национального хозяйства нашей страны, его глубинного и качественного преобразования. Столь масштабные задачи предопределяют, в том 
числе, важность и перспективность повышения качества подготовки 
выпускников высшей школы. В полной мере это положение относится 
и к подготовке специалистов, бакалавров и магистров экономики по 
математическим дисциплинам. Данная стратегическая линия прослеживается и в действующих на настоящий момент ФГОС ВПО третьего 
поколения, в которых для экономического направления подготовки 
предусмотрен определенный рост доли основной образовательной программы, отводимой на изучение дисциплин математического и естественнонаучного цикла.  
В структуре высшей математики одним из ключевых разделов 
является теория пределов, лежащая в основе широкого класса фундаментальных математических понятий и методов. При этом в большинстве курсов математики для экономистов данная тема излагается чрезмерно кратко, сжато и конспективно. Подобный подход к преподаванию теории пределов в значительной степени предопределен самой 
целью обучения и разъяснен классиками отечественной науки: владение некоторым инструментом – а именно этим выступает математика 
для экономистов – не предполагает умения изготавливать сам инструмент (к чему как раз и причастна теория пределов).  
В то же время неизбежная краткость изложения не должна приводить к заметной потере качества преподнесения материала, особенно 
на самых первых шагах освоения математического анализа. Весьма 
важно избежать поверхностного и излишне формализованного изложения и попытаться раскрыть всю глубокую, продуктивную, изящную и, 
в общем-то, не слишком сложную логику построения пределов. Укрепив данное звено в цепочке математического образования, мы делаем 

Предисловие 

8 

весомый вклад в формирование четкого, гибкого и аналитического 
мышления, которое обладает исключительной ценностью для представителей всех специальностей, в том числе экономических. 
Принятая точка зрения предопределила стиль изложения материала. Особенности учебника состоят в постепенном повышении уровня сложности, «дозированном» использовании формальных определений, большом количестве детально разбираемых примеров, включении 
элементов доказательств для простейших пределов, геометрической 
интерпретации ключевых результатов, наличии примеров применения 
теории пределов для анализа и решения различных задач экономического содержания. В тексте не приводятся доказательства теорем и 
лемм (их можно найти в любом учебнике для математиков); это обстоятельство, обыкновенное для курсов математики, предназначенных 
экономистам, позволяет достичь гармоничного сочетания доступности, 
лаконичности и строгости изложения материала. 
В учебнике изложен необходимый теоретический материал, раскрыты все вопросы, ставшие обязательными при изучении данной темы студентами-экономистами. В гл. 1 приводятся основные сведения о 
числовых множествах и функциях, изучаются классические понятия 
предела и непрерывности функции. В гл. 2 рассматриваются замечательные пределы и основные виды неопределенностей, рассматривается широкий круг примеров. В гл. 3 излагаются простые и естественные 
обобщения понятия предела – односторонние пределы, пределы в бесконечности, приводится классификация пределов. В гл. 4 изучается 
правило Лопиталя, рассматриваются некоторые важные пределы, 
асимптоты графиков функций, изучаются свойства непрерывных на 
отрезке функций, приводится классификация точек разрыва. В гл. 5 
рассматриваются числовые последовательности и их пределы. В гл. 6 
рассматриваются приложения теории пределов к решению ряда экономических задач. 
Наличие в каждой главе контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения позволит студентам закрепить полученные 
теоретические знания, обрести навык решения задач и подготовиться к 
любой форме контроля, а преподавателям даст возможность использовать учебник на практических занятиях. В список основной литературы 
включен ряд учебников и учебных пособий, имеющих грифы Министерства образования и науки или учебно-методических объединений 
по образованию в области экономических наук; остальные издания 

Предисловие 

9 

приведены в списке дополнительной литературы. Оба списка, конечно, 
не претендуют на исчерпывающую полноту. Ряд приложений поясняет, 
расширяет и углубляет материал основной части учебника. 
Действующие ФГОС ВПО не устанавливают жестких тематических рамок для преподаваемых дисциплин и обязательного состава дидактических единиц. Предлагаемый учебник вполне согласуется с подобной концепцией и содержит материал, собранный с некоторым «запасом» и по объему, и по глубине. Это позволит сделать обучение более гибким, учитывать различия в уровне подготовки обучающихся, 
предлагать хорошо успевающим студентам более сложные и содержательные вопросы на факультативное изучение и, в итоге, более свободно, разнообразно и творчески подойти к преподаванию такой сложной 
дисциплины, как математика. 
В современных условиях важным источником и хранилищем 
различной информации – в том числе и по математическим дисциплинам – является сеть Интернет. Прогрессирует и качество информационных услуг: растет число Интернет-ресурсов, позволяющих оперативно, в режиме реального времени, on-line решать многие стандартные 
математические задачи, в том числе и на вычисление пределов. Ясно, 
что при всём удобстве получаемых возможностей для эффективного 
обучения чрезмерное и некритичное их использование не сможет способствовать продвижению в понимании существа предмета.  
Задачи, выдвигаемые передовой экономической практикой, как 
правило, исключительно сложны. И чем сложнее они становятся, тем 
выше потенциальная эффективность математики как инструмента решения подобных задач. Без всякого преувеличения, рациональное применение математических методов может дать весомый экономический 
эффект, многократно окупающий затраты на постановку и исследование задачи управления, разработку или адаптацию метода ее решения и 
его компьютерную реализацию. В то же время имеющийся потенциал 
не реализуется автоматически, а требует подготовки математически 
грамотных специалистов. Конечно, излишне требовать от экономистов 
умения полностью находить законченные решения всего спектра возникающих задач – может оказаться слишком велик «калибр» используемых для этого математических средств. Однако само инициирование подобных работ, участие в постановке задач, определение различных условий, ограничений и критериев экономического содержания, 
анализ полученных решений вполне могут находиться в сфере компе

Предисловие 

 

тенции современного экономиста. Подчас и не совсем глубокой математической подготовки достаточно, чтобы понять, на каком направлении деятельности предприятия или организации могут быть полезны 
математические модели, оценки, прогнозы и оптимизация. Напротив, 
недостаточный уровень подготовки и понимания возможностей математики не позволит увидеть даже «лежащие на поверхности» точки ее 
приложения в случаях, когда они заведомо смогут выявить скрытые 
резервы и дать значительный экономический эффект. 
Данные обстоятельства и определяют актуальность учебника, 
основная цель которого заключается в достижении развёрнутого, систематизированного и доступного для студентов-экономистов изложения теории пределов и отдельных её приложений в области экономики. 
Учебник разработан на основе опыта преподавания дисциплин 
«Математика» и «Математический анализ» в Краснодарском филиале 
Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова и предназначен главным образом для студентов, обучающихся по экономическим специальностям и направлениям подготовки. Содержание учебника и уровень сложности излагаемого материала в целом соответствуют требованиям ФГОС ВПО, примерным основным образовательным программам, типовым рабочим программам. Впрочем, излагаемый 
материал не имеет жесткой привязки к экономической тематике и может быть полезен читателям широкого круга иных специальностей. 
Для понимания излагаемого в учебнике материала достаточно 
знаний, получаемых в рамках базового школьного курса математики. 
В частности, предполагается знание основных элементарных функций, 
свойства которых широко используются в учебнике. 
При оформлении приняты следующие соглашения. Вновь вводимые понятия и термины выделены в тексте полужирным курсивом. 
Наиболее важные и принципиальные фрагменты текста, на которые 
следует обратить особое внимание при изучении материала, записаны 
в р а з р я д к у . Нумерация формул и рисунков – локальная в каждой 
главе, нумерация примеров и замечаний – локальная в каждом параграфе. 
Автор приносит благодарность рецензентам д-ру физ.-мат. наук, 
проф. В. И. Чижикову и д-ру экон. наук, проф. Е. О. Горецкой за ценные замечания. 

Глава 1 
ПОНЯТИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 
ПРЕДЕЛОВ 

В настоящей главе приводятся базовые сведения о пределах числовых функций и их свойствах. 

§  1.1. Числовые множества и функции 

В данном учебном пособии изучаются свойства функций, характеризующие их поведение при определенных процессах изменения аргумента. Всюду в пособии рассматриваются ч и с л о в ы е  
функции, у которых и область определения, и множество значений 
являются числовыми множествами. 
Следует отметить, что само понятие ч и с л а  является первичным, изначальными, основополагающим в математике; это понятие не 
подлежит строгому определению и считается интуитивно ясным и 
понятным либо поясняется на примерах. К подобным понятиям относятся также понятия м н о ж е с т в а  и э л е м е н т а . Множество следует понимать как набор, совокупность, собрание элементов, сгруппированных по определенному признаку, не предполагающее обязательного наличия какой-либо внутренней структуры (в частности, 
упорядоченности). Множество связано со своими элементами отношением п р и н а д л е ж н о с т и : элементы принадлежат множеству, а 
множество содержит свои элементы; это обозначается записью 
S
s∈
, 
где s  – элемент, S  – множество. Задаются множества либо перечислением их элементов, либо указанием правила, по которому определяется принадлежность элемента множеству. На основе этих и ряда 
других основополагающих понятий (т о ч к и ,  п р я м о й ,  п л о с к о с т и ) строится всё здание математической науки.  
Над произвольными множествами можно определить различные операции, в частности, о б ъ е д и н е н и е  (обозначаемое символом « ∪ » )  и п е р е с е ч е н и е  (обозначаемое символом «∩ ») множеств. Два множества X  и Y  р а в н ы , если они поэлементно совпадают; это обозначается записью 
Y
X =
. Множество X  в к л ю ч а 

Глава 1. Понятие и основные свойства пределов 

12 

е т с я  во множество Y , если каждый элемент множества X  является 
элементом множества Y ; это обозначается записью 
Y
X ⊂
. Равенство 
Y
X =
 равносильно справедливости двух противоположных включений 
Y
X ⊂
 и 
X
Y ⊂
. 
Исходным числовым множеством является множество н а т у р а л ь н ы х  чисел 
...}
 ,3 ,2 ,1
{
=
N
,  

используемых при счете предметов. На этом множестве известным 
образом определены арифметические операции сложения и умножения чисел. В то же время, операция вычитания (обратная для операции сложения) выводит за рамки данного множества; например, результат операции «
2
1−
» не является натуральным числом. Подобная 
«узость» множества натуральных чисел приводит к рассмотрению 
множества ц е л ы х  чисел 
...}
 ,2
 ,2 ,1
 ,1 ,0
{
−
−
=
Z
, 

«расширяющего» множество натуральных чисел таким образом, чтобы операция вычитания не выводила за его пределы. При этом операция деления (обратная для операции умножения) всё ещё может выводить за рамки множества целых чисел; например, результат операции «
2
/
1
» не является целым числом. Соответственно формируется 
более широкое множество Q  р а ц и о н а л ь н ы х  чисел, представимых в виде отношений 
n
m/
, где 
Z
∈
m
, 
N
∈
n
. Данное множество 
можно формально записать в виде 
}
 ,
|
/
{
N
Z
Q
∈
∈
=
n
m
n
m
 

(здесь и далее вертикальная черта в описании множеств означает «при 
условии, что…»). Во множестве Q  операция деления не выводит за 
его пределы, и каждому рациональному числу соответствует некоторая точка числовой прямой, которую можно определить простым 
геометрическим построением (например, на основании теоремы Фалеса). Рациональные числа расположены «всюду плотно» на числовой оси, но к их множеству не принадлежат такие важные для математической теории числа, как 
2  (длина диагонали единичного 
квадрата) и π (длина окружности единичного диаметра). Соответст
                                                           
Фалес Милетский – древнегреческий математик, астроном и философ VII-VI вв. до н. э. 

§  1.1. Числовые множества и функции 

13 

венно множество Q  дополняется таким образом, чтобы не только 
каждому числу соответствовала некоторая точка прямой, но и наоборот, к а ж д о й  точке числовой прямой можно было сопоставить некоторое число. Получаемые числа называются д е й с т в и т е л ь н ы м и , или в е щ е с т в е н н ы м и , а их множество обозначается через 
R . Связь между действительными числами и точками числовой прямой настолько тесна, что в теории пределов эти термины часто употребляются как синонимы. 
Ко множеству действительных чисел R  относятся все положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные числа. Действительное число можно представлять как 
десятичную дробь, конечную или бесконечную, вида 
...
,
3
2
1
0
a
a
a
a
, 

где 
0
a  – целое число, 
...
 ,
 ,
 ,
3
2
1
a
a
a
 – десятичные знаки, или цифры, от 
0 до 9, показывающие, сколько десятых, сотых, тысячных и т. д. долей единицы содержит десятичная дробь (если пользоваться традиционной десятичной системой счисления). Например,  

2373095...
1,41421356
2 =
,   
3589793...
3,14159265
=
π
, 

причем многоточия означают, что последовательности десятичных 
знаков в представлениях этих чисел не полны и имеют бесконечное 
продолжение.  
Таким образом, построен ряд базовых числовых множеств 
R
Q
Z
N
⊂
⊂
⊂
. 

Для теории и практики важно, что любое действительное число можно с любой степенью точности приблизить рациональными числами. 
Всюду далее в данном пособии действительные числа будем называть 
просто числами. 
В математике часто используются следующие простые числовые множества и их обозначения: 
− числовая прямая 
R
=
∞
+
−∞
)
;
(
; 
− открытые полупрямые  
}
|
{
)
;
(
a
x
x
a
<
∈
=
−∞
R
  и  
}
|
{
)
;
(
a
x
x
a
>
∈
=
∞
+
R
; 

− замкнутые полупрямые (иначе говоря, лучи) 
}
|
{
]
;
(
a
x
x
a
≤
∈
=
−∞
R
  и  
}
|
{
)
;
[
a
x
x
a
≥
∈
=
∞
+
R
;