Информатика : численные методы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

№ 2099 

Кафедра инженерной кибернетики

О.В. Андреева 
 
 

Информатика

Численные методы 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета 

Москва  2014 

УДК 004.6 
 
А65 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. С.Ю. Муратова  

Андреева, О.В. 
А65  
Информатика : численные методы : учеб. пособие / 
О.В. Андреева. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 57 с. 
ISBN 978-5-87623-778-1 

Рассматриваются численные методы решения прикладных задач (решение уравнений и систем уравнений, нахождение определенного интеграла, 
приближение функций и пр.) и особенности их программной реализации. 
Предназначено для студентов 2-го курса всех направлений при изучении 
дисциплины «Информатика» и при выполнении курсовой работы. Может 
быть использовано для самостоятельного изучения. 
 
УДК 004.6 

ISBN 978-5-87623-778-1 
© О.В. Андреева, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Вычисление  определенного интеграла..............................................9 
Метод прямоугольников................................................................11 
Метод трапеций ..............................................................................13 
Метод Симпсона.............................................................................14 
Обеспечение заданной точности...................................................15 
Вопросы для самопроверки ...............................................................16 
2. Решение нелинейных уравнений ......................................................17 
Метод половинного деления (метод дихотомии)........................18 
Метод итераций ..............................................................................19 
Метод Ньютона (метод касательных)...........................................21 
Метод секущих (модифицированный метод Ньютона)..............23 
Метод хорд......................................................................................24 
Вопросы для самопроверки ...............................................................26 
3. Приближение функций ......................................................................27 
3.1. Интерполяция...............................................................................28 
Линейная интерполяция.................................................................28 
Квадратичная интерполяция..........................................................30 
Многочлен Лагранжа .....................................................................31 
3.2. Аппроксимация............................................................................32 
Вопросы для самопроверки ...............................................................36 
4. Решение  дифференциальных уравнений.........................................37 
Метод Эйлера..................................................................................39 
Модифицированный метод Эйлера ..............................................42 
Метод Рунге – Кутта ......................................................................43 
Вопросы для самопроверки ...............................................................44 
5. Решение систем  линейных уравнений.............................................46 
Метод Гаусса и его модификации.................................................47 
Метод Гаусса – Жордана ...............................................................51 
Метод Крамера................................................................................52 
Вопросы для самопроверки ...............................................................54 
Библиографический список...................................................................56 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Решение прикладных задач с использованием компьютера предполагает наличие математической модели объекта (производственного процесса, системы управления, экономического плана и т.п.). Математическая модель – это взаимосвязь основных параметров объекта, выраженная в математической форме (в виде формул, интегралов, 
уравнений алгебраических или дифференциальных и т.п.). Возможность использования компьютера для реализации математической 
модели снимает многие вычислительные проблемы, и в настоящее 
время в моделях можно более полно учитывать особенности объекта 
и его внутренние взаимосвязи, что делает компьютерное моделирование мощным средством при решении практических задач по выбору оптимальных режимов функционирования или конструктивных 
параметров объекта и пр. 
Чтобы реализовать математическую модель на компьютере, необходимо привести входящие в ее состав математические объекты (интегралы, дифференциальные уравнения и т.д.) к последовательности арифметических операций и простых количественных сравнений, которые 
только и умеет выполнять компьютер. Для этого используются так называемые численные методы, или методы вычислительной математики. Например, вычисление определенного интеграла сводится при 
этом к последовательному сложению, а для достижения заданной точности выполняется ряд последовательных приближений (см. ниже). 
Численные методы разрабатывались и использовались уже давно, 
задолго до появления компьютеров. Это было обусловлено необходимостью решать задачи, решение которых не удается получить 
в явном виде (т.е. в виде формулы). Численные методы позволяют 
получить решение, выполняя бесконечный ряд последовательных 
приближений, который обрывается, когда достигнута заданная точность. Использование численных методов связано с выполнением 
огромного объема вычислений, и до появления компьютеров их применение было весьма ограничено. 
Численные методы – это целая область современной математики, 
в которой рассматривается численное решение различных математических задач. При этом большое внимание уделяется исследованию 
точности получаемых решений. Необходимо также иметь в виду, что 
при компьютерной реализации математических моделей на точность 
полученного решения влияют погрешности, содержащиеся в исходных данных, а также ограниченность разрядной сетки компьютера. 

Здесь рассматриваются лишь отдельные задачи, часто встречающиеся в инженерной практике, и простейшие методы их решения в целях 
предоставления начальных сведений о подходах к решению реальных 
задач с использованием компьютера. Овладение предложенными методами позволит решать самостоятельно типовые инженерные задачи, 
грамотно пользоваться пакетами прикладных программ (в частности, 
пакетом MathCad, изучаемым в рамках модуля «Методы обработки 
данных и численные методы» курса «Информатика») или с пониманием 
дела обратиться к специалистам в сложных случаях. 

Понятие о моделировании.  
Основные классы моделей.  
Математическое моделирование 

Компьютер – неотъемлемая часть современной жизни. Необходимо осваивать основные сферы его применения.  
Для использования компьютера при решении прикладных задач, 
они прежде всего должны быть «переведены» на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы 
должна быть построена математическая модель.  
Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает 
как средство познания свойств и закономерности поведения объекта. 
Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования – математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, 
решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении 
объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной. 
Математическое моделирование – это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической 
моделью, более удобной для экспериментального исследования 
с помощью ЭВМ. 
Построение математической модели заключается в определении 
связей между теми или иными процессами и явлениями, создании 
математического аппарата, позволяющего выразить количественно 
и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, 
и факторами, влияющими на конечный результат. 

Форма и принципы представления математической модели зависят от многих факторов. 
По принципам построения математические модели разделяют на: 
● аналитические; 
● имитационные. 
В аналитических моделях процессы функционирования реальных 
объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей. 
Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы: 
● уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные); 
● задачи приближения функций (интерполяция, экстраполяция, 
численное интегрирование и дифференцирование); 
● задачи оптимизации; 
● стохастические проблемы. 
В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и 
систем математические модели могут быть: 
● детерминированные; 
● стохастические. 
В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких 
случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) должны быть достаточно точно установлены, поведение 
системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, 
интегральные уравнения, матричная алгебра. 
Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов 
в исследуемых объектах и системах, который описывается методами 
теории вероятности и математической статистики. 
Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения. 
Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об 
изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного 

эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может 
быть решен математическими методами. 
После построения математической модели наступает второй этап 
решения прикладной задачи – поиск или разработка метода решения 
сформулированной математической задачи. Метод должен быть 
удобным для его реализации на ЭВМ и обеспечивать необходимое 
качество решения. 

Необходимость  
использования численных методов 

Все методы решения математических задач можно разделить 
на две группы: 
1) точные методы решения задач; 
2) численные методы решения задач. 
В точных методах решения математических задач ответ удается 
получить в виде формул. 
Для большинства задач, встречающихся на практике, точные методы решения или неизвестны, или дают очень громоздкие формулы. 
Однако они не всегда являются необходимыми. Прикладную задачу 
можно считать практически решенной, если можно ее решить с нужной степенью точности. Для решения таких задач разработаны численные методы, в которых решение сложных математических задач 
сводится к последовательному выполнению большого числа простых 
арифметических операций. Непосредственная разработка численных 
методов относится к вычислительной математике. 

Погрешность вычислений.  
Источники ошибок в вычислительном процессе.  
Распространение ошибок 

В процессе численного решения задачи приходится иметь дело 
с тремя основными видами ошибок: 1) ошибками, содержащимися 
в исходной информации, 2) ошибками, возникающими при ограничении бесконечного математического процесса конечным числом 
операций (ошибки ограничения), 3) ошибками, возникающими в результате необходимости представить число в виде конечной последовательности цифр (ошибки округления). (Ошибки, вызванные неточностями или неверными допущениями при разработке математической модели, здесь не рассматриваются.) 

Ошибки в исходной информации возникают в результате неточности измерений или невозможности представить необходимую величину конечной дробью (например, число π невозможно представить 
точно, это бесконечная дробь). Ошибки в исходной информации 
влияют на точность результата независимо от того, как и какими методами произведены вычисления. 
Ошибки ограничения определяются численным методом, используемым при решении задачи. Например, ряд Тейлора для синуса 

 
sinx = x – x3/3! + x5/5! + x7/7! + ... 

может использоваться для вычисления синуса любого угла, выраженного в радианах. Так как бесконечный ряд ограничивается конечным числом членов, то отброшенные члены ряда (а их число бесконечно) вносят некоторую ошибку в результаты вычислений. Это – 
ошибки ограничения. 
Ошибки округления присутствуют всегда, даже если необходимая 
информация представлена точно (с достаточной степенью точности), 
все вычислительные процессы конечны и отсутствуют ошибки ограничения. Они возникают из-за ограниченности разрядной сетки компьютера (вопросы округления относятся только к вещественным числам). 
Так, если выполняется операция сложения 0,16 · 100 + 0,21 · 10–1 (мантисса представлена только двумя десятичными цифрами), то результат 
будет 0,18 · 100. Произошла ошибка округления. Возникшие ошибки 
распространяются дальше и после каждой арифметической операции. 
Ошибки, возникшие в определенном месте в ходе вычислений, 
распространяются дальше и могут возрастать после каждой арифметической операции (иногда ошибки имеют противоположные знаки и 
компенсируют друг друга). 
Проблемы ошибок очень важны, особенно при использовании 
численных методов, связанных с выполнением последовательных 
итераций, требующих значительного объема вычислений.  

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ  
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 

Довольно часто возникает необходимость вычисления определенного интеграла или значений первообразной функции.  
Нахождение определенного интеграла может применяться, например, при решении следующих задач: нахождение пути при пере
менной скорости (

0

( )

t

t

S
v t dt
= ∫
) или скорости при переменном уско
рении 
(

0

( )

t

t

v
a t dt
= ∫
), 
нахождение 
работы 
переменной 
силы 

(

0

( )

t

t

A
F t dt
= ∫
), при решении дифференциальных уравнений и пр. 

Рассмотрим задачу нахождения определенного интеграла в общем 
виде. Пусть задана функция 
)
(x
f
y =
 и требуется найти интеграл 

этой функции на отрезке [a, b], т.е. найти 
( )
.

b

a

J
f x dx
= ∫
 

Функция F(x) на данном интервале называется первообразной 
функцией для функции f(x), если на всем этом интервале f(x) является 
производной для F(x), т.е. F'(x) = f(x). 
Пусть функция f(x) задана на некотором отрезке [a, b]. Разобьем 
этот отрезок произвольным образом на части Δxi = xi+1 – xi, i = 0, 1, ... , 
n – 1. Возьмем в каждой части произвольную точку ξi, i = 0, 1, ... , n – 1. 

Тогда определенным интегралом 
( )

b

a

f x dx
∫
 функции f(x) на отрезке 

[a, b] называется 

 
(
)

1

max
0
0

lim
.

i
i

n

i
i
x
i
f
x

−

Δ →
=

ξ
Δ
∑
 
(1.1) 

 

Условия существования первообразной и определенного интеграла функции f(x) рассматриваются в курсе математического анализа. 
При этом доказываются следующие положения: 

● если F(x) есть первообразная функция для f(x) на интервале, 
включающем [a, b], то 

 
∫

b

a
dx
x
f
)
(
= F(b) – F(a)  
(1.2) 

 

– формула Ньютона – Лейбница; 

● если существует
( )
,

b

a

f x dx
∫
 то одной из первообразных функций 

на [a, b] для f(x) является 
( )
.

x

a

f t dt
∫
 

Таким образом, умея аналитически вычислять первообразную 
функцию, можно вычислять определенный интеграл и наоборот.  
Тем не менее методы приближенного вычисления определенных интегралов применяются довольно часто. Дело в том, что для большого 
числа подынтегральных функций первообразная уже не выражается через элементарные функции и, следовательно, нельзя вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона – Лейбница. Встречаются также случаи, когда интегрирование приходится применять и для 
таких интегралов, которые могут быть получены аналитически, но 
получающиеся выражения оказываются слишком сложными. Для 
некоторых часто используемых интегралов, которые не могут быть 
вычислены аналитически, получены таблицы, но часто в программе 
проще организовать вычисление интеграла численными методами, 
чем хранить в памяти таблицу его значений и находить в ней нужные 
величины. 
В численных методах интегрирования не используется нахождение первообразной. Основу алгоритма численных методов интегрирования составляет геометрический смысл определенного интеграла. 

Как известно, величина определенного интеграла 
( )

b

a

J
f x dx
=∫
 чис
ленно равна площади S криволинейной трапеции (рис. 1.1), ограниченной графиком функции
)
(x
f
y =
, осью абсцисс и двумя прямыми 
x = a и х = b. 
 

Рис. 1.1. Геометрический смысл определенного интеграла 

Суть всех численных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площади1. Далее будут рассмотрены 
некоторые из них (метод прямоугольников, метод трапеций, метод 
Симпсона). 

Метод прямоугольников 

Одним из простейших методов вычисления определенных интегралов является метод прямоугольников. 
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей длиной h = (b – a)/n и заменим функцию на каждом из участков [xi, xi+1] 
отрезком прямой, проходящей параллельно оси OX. Тогда определенный интеграл можно приближенно представить как сумму площадей n прямоугольников с основаниями h. 
Если за высоту каждого прямоугольника принять значение подынтегральной функции на левых концах каждого отрезка, то метод 
называется методом левых прямоугольников (рис. 1.2). Тогда формула для приближенного вычисления значения определенного интеграла имеет вид 

 

1
1
1

0
0
0

.

n
n
n

i
i
i
i
i
i

J
S
hy
h
y

−
−
−

=
=
=
≈
=
=
∑
∑
∑
 
 (1.3) 

––––––––– 
1Утверждение о равенстве величин интеграла и площади полностью справедливо 
только для f(x) ≥ 0, так как интеграл – это «площадь со знаком».