Основы теории цепей. Практикум

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

ПРАКТИКУМ

Г.Н. АРСЕНЬЕВ
И.И. ГРАДОВ

Под редакцией Г.Н. Арсеньева

Москва
ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 621.39(075.32)
ББК 32.88я723
 
А85

Арсеньев Г.Н.
А85  
Основы теории цепей. Практикум : учебное пособие / Г.Н. Арсеньев, И.И. Градов ; под ред. Г.Н. Арсеньева. — Москва : ИД «ФОРУМ» : 
ИНФРА-М, 2021. — 336 с. — (Среднее профессиональное образование). 

ISBN 978-5-8199-0798-6 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013987-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-109355-9 (ИНФРА-М, online)
Излагаются практические вопросы применения инженерных методов анализа и расчета электрических цепей. Даны общие краткие теоретические сведения о методах расчета, на многочисленных примерах показана методика применения методов расчета. Описываются методики составления передаточных 
функций, уравнений равновесия и уравнений состояния электрических цепей. 
Математическую основу анализа и синтеза электрических цепей составляют 
частотный, операторный и метод пространства состояний. Практическому применению этих методов способствуют как специально разработанные пакеты 
расчетно-аналитических компьютерных программ, так и уже известные математические пакеты типа Mathcad. Теоретические расчеты и выводы в учебном 
пособии широко подтверждаются наглядными практическими примерами, выполненными в компьютерных математических средах.
Для студентов электро- и радиотехнических специальностей средних профессиональных и высших учебных заведений, также может быть использовано 
инженерными и техническими специалистами, занимающимися анализом, синтезом и эксплуатацией электрических цепей и устройств.

УДК 621.39(075.32)
ББК 32.88я723

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра радиотехнических систем Военной академии Ракетных войск 
стратегического назначения имени Петра Великого (начальник кафедры, 
кандидат технических наук А.В. Мячин; кандидат технических наук, доцент A.И. Полоус);
кафедра электрорадиотехники, радиоцепей и автоматики Санкт-Петербургского высшего военного училища радиоэлектроники (военного 
института) (начальник кафедры, кандидат технических наук П.П. Шумаков; кандидат технических наук, доцент А.Н. Сазонов);
кафедра применения и эксплуатации средств и систем РКО Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана 
(кандидат технических наук, доцент С.А. Серов)

ISBN 978-5-8199-0798-6 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013987-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-109355-9 (ИНФРА-М, online)

© Арсеньев Г.Н., Градов И.И., 
2021
© ИД «ФОРУМ», 2021

 ïîäãîòîâêå èíæåíåðîâ âàæíåéøóþ ðîëü èãðàåò îâëàäåíèå
ñïåöèàëèñòàìè íàó÷íî-òåîðåòè÷åñêèìè è ïðàêòè÷åñêèìè ìåòîäàìè ïîëó÷åíèÿ è ïðèìåíåíèÿ íîâûõ çíàíèé â ñâîåé ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè. Òåîðåòè÷åñêîå è ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ íà÷èíàåòñÿ óæå íà íà÷àëüíîì ýòàïå îáó÷åíèÿ,
ïðè èçó÷åíèè åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ è îáùåïðîôåññèîíàëüíûõ
äèñöèïëèí. Ïðîõîæäåíèå ýòèõ äèñöèïëèí ïî ñðîêàì è ñîäåðæàíèþ ñòðóêòóðíî-ëîãè÷åñêè ñáàëàíñèðîâàíî ó÷åáíûì ïëàíîì ïîäãîòîâêè ïî êîíêðåòíîé ñïåöèàëüíîñòè. Ðàçâèòèå èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé âûçâàëî ïîÿâëåíèå íîâûõ ãðóïï ó÷åáíûõ äèñöèïëèí, ñâÿçàííûõ ñ èíôîðìàòèêîé, âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêîé.
Ðàñøèðåíèå ïåðå÷íÿ ó÷åáíûõ äèñöèïëèí åñòåñòâåííûì îáðàçîì
ïðèâåëî ê óìåíüøåíèþ âðåìåíè íà èçó÷åíèå äèñöèïëèí, ñâÿçàííûõ ñ îñíîâàìè ïîñòðîåíèÿ, ìåòîäàìè àíàëèçà è ñèíòåçà ñòðóêòóð
è ïàðàìåòðîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ÷òî
ìîæåò îòðèöàòåëüíî ñêàçàòüñÿ íà óðîâíå îáùåèíæåíåðíîé ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ.  ïåðâóþ î÷åðåäü ñîêðàùåíèå âðåìåíè ïîâëèÿëî íà óðîâåíü ïðàêòè÷åñêîãî îâëàäåíèÿ ìåòîäàìè ïîëó÷åíèÿ
çíàíèé â ðàìêàõ ðàñïèñàíèÿ çàíÿòèé, ÷òî íå ïîçâîëÿåò â ïîëíîé
ìåðå äîñòèãíóòü îáó÷àþùèìñÿ òðåáóåìûõ óðîâíåé óñâîåíèÿ,
ïðàêòè÷åñêèõ óìåíèé è íàâûêîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âàæíåéøåé
ñîñòàâëÿþùåé ïîäãîòîâêè èíæåíåðíûõ êàäðîâ.

В последние годы из печати вышел ряд учебников и учебных 
по собий по основам теории цепей, по теории радиотехнических 
цепей и сигналов, которые соответствуют требованиям ФГОС 
и отражают современные научные достижения в области теории 
электро- и радиотехники. Содержание этих учебников ориентировано в среднем на 60—80 часов учебного времени, а при таких 
объемах времени раскрытие глубинных основ дисциплины, а особенно ее прикладной направленности, например для радиоэлектронных систем космических, противо ракетных средств, связано 
с большими трудностями, а чаще всего не представляется воз

íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Â ýòèõ óñëîâèÿõ íàèáîëåå ìåòîäè-
÷åñêè îïðàâäàííûì ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå, âçàèìîñâÿçàííîå ïîñòðîåíèå ó÷åáíûõ êóðñîâ, ÷òî ïîçâîëèò íàó÷íîå è ïðàêòè÷åñêîå
ñîäåðæàíèå ñïåöèàëüíîñòè èçëàãàòü íå â îäíîì, à â ñåðèè ó÷åáíèêîâ è ó÷åáíûõ ïîñîáèé ïî ðàçëè÷íûì äèñöèïëèíàì, îáúåäèíåííûõ ìåòîäîëîãèåé ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ îáùèõ ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ çíàíèé â îòäåëüíûõ äèñöèïëèíàõ.
 ó÷åáíèêàõ è ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ [3—9] íà îñíîâå ìíîãîëåòíåãî ëè÷íîãî îïûòà àâòîðîâ ÷òåíèÿ ëåêöèé, ïîñòàíîâêè ïðàêòè÷åñêîé è ó÷åáíî-èññëåäîâàòåëüñêîé ÷àñòè êóðñîâ è äèñöèïëèí â öåëîì, îïûòà êàôåäðû àâòîìàòèêè ÊÂÈÐÒÓ ÏÂÎ, êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé
òåõíèêè
è
àâòîìàòèêè,
êàôåäðû
ýëåêòðîòåõíèêè
è ðàäèîòåõíèêè ÔÂÀ ÐÂÑÍ, ÌÂÈÐÝ Ê èçëîæåíû íàçíà÷åíèå,
ìåòîäèêà ïðèìåíåíèÿ èíæåíåðíûõ ìåòîäîâ àíàëèçà êà÷åñòâà
â ïåðåõîäíûõ è óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ àâòîìàòè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé â ðàäèîýëåêòðîííûõ ñèñòåìàõ.
Òåîðåòè÷åñêèé è ïðàêòè÷åñêèé ìàòåðèàë ïî èññëåäîâàíèþ
öåïåé è ñèñòåì ðàññìîòðåí ñ ïîçèöèé êîìïëåêñíîãî èçó÷åíèÿ
ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ è ñèñòåìàõ, èíæåíåðíûõ ìåòîäîâ èõ àíàëèçà è ñèíòåçà. Çà âðåìÿ, ïðîøåäøåå ïîñëå
âûõîäà ó÷åáíûõ èçäàíèé èç ïå÷àòè, áûëè ïîëó÷åíû ìíîãî÷èñëåííûå ïîëîæèòåëüíûå îòçûâû îò âåäóùèõ ñïåöèàëèñòîâ âóçîâ
Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè íà ñîäåðæàíèå è ìåòîäèêó èçëîæåíèÿ íàó÷íûõ ïîëîæåíèé òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è ïðèåìîâ èõ
ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Áûëè òàêæå ïîëó÷åíû íîâûå ïðàêòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû â îáëàñòè òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ. Âñå ýòî ïîñëóæèëî äëÿ
àâòîðîâ ñòèìóëîì ïî äàëüíåéøåé ðàçðàáîòêå ìåòîäèê êîìïëåêñíîãî ìåæäèñöèïëèíàðíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ àíàëèçà è ñèíòåçà äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â îáëàñòè âðåìåííîé, êîìïëåêñíîé
è ÷àñòîòíîé ïåðåìåííîé. Ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ, ïîääåðæàííûõ êîìïüþòåðíûìè ñðåäñòâàìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäàìè
òèïà Mathcad è Matlab, ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü ñîäåðæàíèå îòäåëüíûõ äèñöèïëèí â áëî÷íî-ìîäóëüíûå ñòðóêòóðû, êîòîðûå
îáåñïå÷èâàþò ìåæäèñöèïëèíàðíóþ ïðååìñòâåííîñòü îâëàäåíèÿ
ìåòîäàìè ïîëó÷åíèÿ çíàíèé â îòäåëüíûõ äèñöèïëèíàõ, ïåðåíåñåíèå è ñîâåðøåíñòâîâàíèå èõ â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ äðóãèõ äèñöèïëèí.
 êíèãå íà ïðèìåðàõ ïðîñòûõ è ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
èçëîæåíî ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ èõ àíàëèçà è ðàñ÷å
4
Ïðåäèñëîâèå

можным. В этих условиях наиболее методически оправданным 
является комплексное, взаимосвязанное построение учебных 
курсов, что позволит научное и практическое содержание специальности излагать не в одном, а в серии учебников и учебных пособий по различным дисциплинам, объединенных методологией 
практического применения общих методов получения знаний 
в отдельных дисциплинах.

òà. Ðàñ÷åò è àíàëèç äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, ïàðàìåòðîâ
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé îñóùåñòâëÿþòñÿ ÷àñòîòíûìè, âðåìåííûìè
è îïåðàòîðíûìè ìåòîäàìè, àíàëèòè÷åñêèìè è ÷èñëåííûìè ñïîñîáàìè ñ ïðèìåíåíèåì ïåðñîíàëüíûõ ÝÂÌ (ÏÝÂÌ). Èçëîæåíèå
ìåòîäèê ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé
è ïðîãðàìì äëÿ ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñîäåðæàíèÿ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ.
Ïðè èçëîæåíèè ìàòåðèàëà, îñîáåííî ïðè èçëîæåíèè ìåòîäîâ
àíàëèçà, àâòîðû ñòðåìèëèñü ìàêñèìàëüíî èñïîëüçîâàòü òå òåîðåòè÷åñêèå ìåòîäû, à èìåííî ÷àñòîòíûå, îïåðàòîðíûå è âðåìåííûå, êîòîðûå èçó÷àëèñü â êóðñå «Ìàòåìàòèêà». Ýòè ìåòîäû ÿâëÿþòñÿ îñíîâîïîëàãàþùèìè ïðè ïîäãîòîâêå ñïåöèàëèñòîâ ïî ðàäèîòåõíèêå è ðàäèîýëåêòðîííûì ñèñòåìàì.
Ïðè èçó÷åíèè îáó÷àþùèìèñÿ â ñïåöèàëüíûõ äèñöèïëèíàõ
îáðàçöîâ
ðàäèîýëåêòðîííûõ
ñèñòåì,
ñèñòåì
àâòîìàòè÷åñêîãî
óïðàâëåíèÿ ñîäåðæàíèå êíèãè áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü áîëåå áûñòðîìó óñòàíîâëåíèþ ñâÿçè ìåæäó êîíêðåòíûì èñïîëíåíèåì îáðàçöà ñèñòåìû, ïðèíöèïàìè åãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ è ìåòîäàìè
òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà. Êîìïëåêñíîå è âçàèìîñâÿçàííîå èçëîæåíèå ìàòåðèàëà ñïîñîáñòâóåò áîëåå ãëóáîêîìó ðàñêðûòèþ è ïîíèìàíèþ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, èõ ìàòåìàòè÷åñêîìó îïèñàíèþ è ôîðìèðîâàíèþ îáó÷àþùèìèñÿ ñïîñîáíîñòåé
àíàëèçèðîâàòü
ñîñòîÿíèÿ
è
îïðåäåëÿòü
íàïðàâëåíèÿ
ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è ðàäèîýëåêòðîííûõ
ñèñòåì.
Àâòîðû âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ðåöåíçåíòàì:
êàíäèäàòó òåõí. íàóê À.Â. Ìÿ÷èíó; êàíäèäàòó òåõí. íàóê
äîöåíòó À.È. Ïîëîóñó; êàíäèäàòó òåõí. íàóê Ï.Ï. Øóìàêîâó;
êàíäèäàòó òåõí. íàóê, äîöåíòó À.Í. Ñàçîíîâó; êàíäèäàòó òåõí.
íàóê, äîöåíòó Ñ.À. Ñåðîâó çà öåííûå çàìå÷àíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ,
ñïîñîáñòâîâàâøèå óëó÷øåíèþ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ.

Ïðåäèñëîâèå
5

Àíàëèç (ðàñ÷åò) ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè
îòêëèêà öåïè (ðåàêöèè) íà âõîäÿùèå âîçäåéñòâèÿ. Ïîä âîçäåéñòâèåì â äàííîì ñëó÷àå ïîíèìàåòñÿ âêëþ÷åíèå â öåïü èñòî÷íèêîâ
íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Îòêëèêîì â îáùåì ñëó÷àå íàçûâàþò âñå òîêè
â âåòâÿõ è âñå íàïðÿæåíèÿ íà ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññ÷èòàòü ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü — çíà÷èò, íàéòè âñå òîêè
è âñå íàïðÿæåíèÿ â ýòîé öåïè.
Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åò öåïè ïðè ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè
ïðîèçâîäèòñÿ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè
ðàñ÷åòå âñå ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè (îðèãèíàëû òîêîâ, íàïðÿæåíèé, èñòî÷íèêîâ) çàìåíÿþò èõ êîìïëåêñíûìè èçîáðàæåíèÿìè
(ñèìâîëàìè), à âñå ïàññèâíûå ýëåìåíòû ïðåäñòàâëÿþò èõ êîìïëåêñíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ
òîêîâ è íàïðÿæåíèé (èçîáðàæåíèé îòêëèêîâ) íàõîäÿò èõ îðèãèíàëû (âåùåñòâåííûå ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ) ïî ôîðìóëå Ýéëåðà.

Ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî A ìîæíî çàïèñàòü â ïîêàçàòåëüíîé,
òðèãîíîìåòðè÷åñêîé èëè àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìàõ
cos
sin
A
a
a
a
b
jc
j
e
,
(1.1)

ãäå a
b
c
2
2 — ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà; arctg c
b
— àðãó
ìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà; b
a
A
cos
Re( )
— äåéñòâèòåëüíàÿ

÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà; c
a
A
sin
Im( )
— ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà ñîîòâåòñòâóåò èçîáðàæåíèþ ÷èñëà A
â âèäå òî÷êè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (ðèñ. 1.1).
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ÷èñëà A ñîîòâåòñòâóåò ïîëÿðíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 1.2).
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôîðìà çàïèñè ïîëó÷àåòñÿ èç òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ïî ôîðìóëå Ýéëåðà

e j
j
cos
sin .
(1.2)

Êîìïëåêñíîå ÷èñëî e jèçîáðàæàþò íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âåêòîðîì (ðèñ. 1.3) ñ ìîäóëåì, ÷èñëåííî ðàâíûì åäèíèöå
è ñîñòàâëÿþùèì óãîë ñ îñüþ âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé (îñüþ b).
Óãîë îòêëàäûâàåòñÿ îò âåùåñòâåííîé îñè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè
â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé óãëà è ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå
ïðè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ .
Ïðè ðàñ÷åòàõ ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ ïåðåõîäèòü îò îäíîé ôîðìû çàïèñè ê äðóãîé. Íàïðèìåð,
äëÿ ñëîæåíèÿ (âû÷èòàíèÿ) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðèìåíÿþò àëãåáðàè÷åñêóþ ôîðìó çàïèñè. Ïðè ýòîì îòäåëüíî ñêëàäûâàþò (âû÷èòàþò) äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè ÷èñåë.

1.1. Îñíîâíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
7

+1

+j

-c2

c1

0

a2
a1

.
A1

.
A2

Ðèñ. 1.1

0

-+j

.
A2

.
A1

+1

Ðèñ. 1.2

A
b
jc
1
1
1
; A
b
jc
2
2
2
cos
sin
A
a
ja
1
1
1
1
1
;
cos
sin
A
a
ja
2
2
2
2
2

Ïîêàçàòåëüíàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàèáîëåå óäîáíà
äëÿ óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ÷èñåë.  ýòîì ñëó÷àå ìîäóëè ÷èñåë ïåðåìíîæàþò (äåëÿò), à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþò (âû÷èòàþò).

Ïðèìåð
1.1.
Äàíû
äâà
êîìïëåêñíûõ
÷èñëà:
A
j
1
5
3,5;
A
j
2
4
1,8
.

Íàéòè ñóììó, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå ýòèõ ÷èñåë.

Ðåøåíèå
Ïðè ñëîæåíèè ÷èñåë ïîëó÷èì
(
)
(
)
(
)
(
)
A
A
A
j
j
j
1
2
5
4
5
4
3,5
1,8
1,8
3,5
6,8
j0,5.

Ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ ïî âûðàæåíèþ
(
)
(
)
(
)
(
)
A
A
A
j
j
j
1
2
5
4
5
4
3,5
1,8
1,8
3,5
3,2
j7,5.

Äëÿ óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ÷èñëà çàïèøåì â ïîêàçàòåëüíîé
ôîðìå:

(
)
(
)
A
j
j
1
2
2
5
35
5
3,5
e
6,1e
arctg 3,5
;

(
)
(
)
A
j
j
2
2
2
4
4
1,8
e
4,39e
arctg
1,8
65,8 .

Òîãäà ïðè óìíîæåíèè
(
)
A
A A
j
j
j
1
2
35
35
6,1e
4,39e
26,78e
65,8
65,8
26,78e
30,8
j
,

à ïðè äåëåíèè


(
)
A
A

A

j

j
j
1

2

35
35
6,1e

4,39e
1,39e
1
65,8
65,8
,39e j1008, .

8
Ãëàâà 1. Êîìïëåêñíûé ìåòîä àíàëèçà óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ...

.
A1

cos sin b

+j

1

0

Ðèñ. 1.3

Ñèíóñîèäàëüíûå òîê è íàïðÿæåíèå â âåùåñòâåííîé ôîðìå (îðèãèíàëû) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå

i t
I
t
m
i
( )
sin(
)
, u t
U
t
m
u
( )
sin(
)
,
(1.3)

ãäå Im,U m — àìïëèòóäû êîëåáàíèé; i , u — íà÷àëüíûå ôàçû êîëåáàíèé.
Ñðåäíåå è äåéñòâóþùåå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùåéñÿ
âåëè÷èíû. Çà ñðåäíåå çíà÷åíèå òîêà è íàïðÿæåíèÿ ïðèíèìàþò èõ
ñðåäíåå çíà÷åíèå çà ïîëïåðèîäà.
Ñðåäíåå çíà÷åíèå òîêà

I
T
I
t dt
I
m

T

m
ñð 1
2
2

0

2
sin , ò. å. I
Im
ñð
0,638
.
(1.4)

Àíàëîãè÷íî E
Em
ñð 2
, U
U m
ñð 2
.
Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà

I
T
i dt
T
I
t dt
I
I

T

m

T
m
m
1
1

2

2

0

2
2

0
sin 0,707
.
(1.5)

Àíàëîãè÷íî E
Em
2 è U
U m
2.

Ìãíîâåííûå êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ (èçîáðàæåíèÿ, ñèìâîëû)
ñèíóñîèäàëüíûõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ:

( )
;
( )

(
)

(
I
t
I
I
I

U
t
U

m
m
j
t
m
j t
j t

m
m
j
t

i
e
e
e

e

2

u
U
U
m
j t
j t
)
,
e
e
2
(1.6)

ãäå I
I
m
m
j
i
e — êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà; I
I
I
m
m
j
i
2
2
e —

êîìïëåêñíûé òîê (êîìïëåêñíîå äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà);
U
U
U
U
m
m
j
j
u
u
e
e
2
2
— êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà íàïðÿ
æåíèÿ;
U
U
U
m
m
j
u
2
2
e — êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå (êîì
ïëåêñíîå äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ).

1.1. Îñíîâíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
9

Ïðè ðàñ÷åòå öåïè êîìïëåêñíûì ìåòîäîì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå
êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (ïðîâîäèìîñòè).
Êîìïëåêñíûì ñîïðîòèâëåíèåì Z íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êîìïëåêñíîãî íàïðÿæåíèÿ ê êîìïëåêñíîìó òîêó, âûçâàííîìó ýòèì íàïðÿæåíèåì:

Z
U

I

U

I

U

I

U
I

m

m

j

j
j
u

i

u
i
(
)
e

e
e

.
(1.7)

Ïðèìåíÿþò òðè ôîðìû çàïèñè êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ:

Z
z
z
z
jz
R
jx
j
e cos
cos
sin
,
(1.8)

ãäå z
U
I
R
x
2
2 — ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå òîêó; R
z
cos —

àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå; x
z
sin — ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå;
u
i — ðàçíîñòü ôàç íàïðÿæåíèÿ è òîêà.
Êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòüþ Y íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êîìïëåêñíîãî òîêà ê êîìïëåêñíîìó íàïðÿæåíèþ

Y
I

U

I

U
Z
I
U

m

m

j
i
u
(
)
1
e
.
(1.9)

Íà îñíîâàíèè âûðàæåíèÿ (1.9)

Y
y
y
jy
q
jb
j
e
cos
sin
,
(1.10)

ãäå y
I
U
q
b
2
2 — ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü; q
y
cos — àêòèâ
íàÿ ïðîâîäèìîñòü; b
y
sin — ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü.
Ñîñòàâëÿþùèå ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:

y
z
q
R

R
x
b
x

R
x

z
y
R
q

q
b
x
b

q
b

1

1

2
2
2
2

2
2
2
2

;
;
;

;
;
.
(1.11)

Ïðèìå÷àíèå. Ïîíÿòèÿ êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå è êîìïëåêñíàÿ
ïðîâîäèìîñòü ìîãóò îòíîñèòüñÿ êî âñåé öåïè, ê ÷àñòè
öåïè èëè ê åå îòäåëüíûì ýëåìåíòàì.

10
Ãëàâà 1. Êîìïëåêñíûé ìåòîä àíàëèçà óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ...