Фрактальная геометрия. Детерминированные фракталы

Москва  2019
МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ  
И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
 
Кафедра инженерной кибернетики
В.В. Шихеева
ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
Учебник
Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета
№ 2949

УДК УДК 004.41 
 
Ш65
Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат.наук проф. С.М. Хорошкин
Шихеева В.В.
Ш65  
Фрактальная геометрия. Детерминированные фрак-
талы: учебник / В.В. Шихеева. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2019. – 270 с.
ISBN 978-5-906953-91-9
Учебник представляет собой изложение курса «Фрактальная геометрия», 
преподаваемого студентам третьего курса бакалавриата. 
Курс посвящен системам итерированных преобразований и понятию 
детерминированного аттрактора. В учебнике изложены базовые понятия, 
основные определения и теоремы. Приведены доказательства 
основных теорем. Введено понятие динамической системы на 
аттракторе и приведены алгоритмы построения детерминированных 
фракталов с помощью как детерминированного, так и стохастического 
алгоритмов. Завершает изложение курса знакомство с понятием 
фрактальной размерности и различными методами ее вычисления. 
В конце каждой главы приведены упражнения. Изложение допол- 
няют многочисленные примеры.
Учебник предназначен для студентов, обучающихся в бакалаври-
ате по направлению подготовки 01.03.04.
УДК УДК 004.41
 В.В. Шихеева, 2019
ISBN 978-5-906953-91-9
 НИТУ «МИСиС», 2019

Содержание
Введение
4
Глава 1. Примеры детерминированных фракта-
лов
7
Глава 2. Некоторые элементы топологии
36
Глава 3. Множество K(X) всех компактных множеств 
метрического пространства X
64
Глава 4. Преобразования пространства K(X) и
системы итерированных функций (СИФ)
82
Глава 5. Аффинные преобразования плоскости121
Глава 6. Множества накопления
135
Глава 7. Некоторые свойства детерминированных 
фракталов
152
Глава 8. Кодовое пространство СИФ
166
Глава 9. Адресная функция СИФ
183
Глава 10. Динамические системы
202
Глава 11. Динамика на фракталах
221
Глава 12. Хаотическая динамика
235
Глава 13. Фрактальная размерность
252
Список литературы
266
Предметный указатель
266
3

Введение
Этот курс посвящен фрактальной геометрии, науке новой, 
не устоявшейся и продолжающей развиваться. Слово
fractal по-английски означает дробный. Объекты, изучаемые 
фрактальной геометрией, давно известны в математике, 
однако только во второй половине XX в. их стали
систематически изучать именно с точки зрения их фрак-
тальной природы. В 1977 г. Бенуа Мандельброт (Benoit B.
Mandelbrot) выпустил работу «Фракталы», где сформулировал 
понятие фрактала и фрактальной размерности. Начиная 
с этого момента фракталы вошли в моду и появилось 
множество работ, им посвященных. Фракталы иссле-
довались как сами по себе, так и в качестве инструмента 
для решения прикладных задач в различных областях
человеческой деятельности, например, таких, как медицина, 
экономика, биология, химия, геология, вплоть до кинематографии. 
Математические методы при исследовании
фрактальных объектов также весьма различны. Это и топология, 
и комбинаторика, и линейная алгебра, и теория
вероятностей, и теория чисел, и теория функций комплексного 
переменного, и теория динамических систем. Предлагаемый 
курс затронет только некоторые вопросы фрак-
тальной геометрии, рассмотрит весьма небольшой класс
объектов фрактальной природы и привлечет ограниченный 
математический аппарат для их изучения. Основная
литература, которая будет использоваться:
Ричард М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических
системах (М.: Постмаркет, 2000)
Michael Barnsley. Fractals everywhere (Boston: Academic
Press, 1988).
Дополнительная литература в огромном количестве имеется 
в интернете как в виде монографий, так и в виде ста-
4

тей и заметок.
Курс построен следующим образом.
Сначала рассмотрено несколько примеров классических
детерминированных фракталов, обладающих свойством са-
моподобия и введено понятие размерности подобия. После
краткого экскурса в топологию, введено понятие детерминированного 
фрактала как аттрактора — неподвижной
точки специально построенного сжимающего преобразования 
метрического пространства. Рассмотрен алгоритм
построения фракталов, основанный на этом определении.
Далее определена динамическая система на аттракторе,
исследованы ее свойства и предложен алгоритм построения 
фракталов, использующий рассмотренные свойства.
Завершает курс знакомство с понятием фрактальной размерности 
и различными методами ее вычисления.
При составлении иллюстраций были использованы материалы [
5,6].
Автор выражает глубокую признательность С.К.Ландо
за помощь при оформлении курса и С.М.Хорошкину за
терпение и поддержку.
Прежде чем начать курс, имеет смысл сказать несколько 
слов о причинах популярности фрактальной теории.
Математики прошлого старались свести геометрию к простым 
геометрическим фигурам, а при анализе окружающего 
мира опирались на мощный аппарат математического 
анализа, дифференциальное и интегральное исчисления, 
методы теории функций и решения дифференциальных 
уравнений. Фрактальные объекты, появлявшиеся
в работах известных математиков XIX и начала XX в.,
как-то: множества Кантора, кривые Пеано, функции Вей-
ерштрасса, множества Жюлиа, — рассматривались как па-
талогии и назывались монстрами. Однако в природе существует 
множество сложно устроенных объектов, для которых 
аппроксимация их гладкими функциями приводит
5

к неизбежным и, главное, колоссальным потерям, качественно 
искажая особенности их природы. При ближайшем 
рассмотрении оказалось, что именно фракталы соот-
ветствуют наиболее часто встречающимся реальным объ-
ектам в самых разных природных и человеческих систе-
мах. Обратитесь ли вы к географии — вы увидите горы,
побережья, водные системы, имеющие ярко выраженный
фрактальный характер, посмотрите на человеческий ор-
ганизм — устройство кровеносной системы, системы ды-
хания и мочеиспускания напоминают деревья с ветвистой
кроной, у которых каждая ветка подобна всему дереву, а
значит — это тоже фрактальные объекты. Даже экономи-
ческие и социологические кривые, отражающие поведение
валют на биржевых торгах или состояние общественного
мнения, являются кривыми фрактального типа. Таким об-
разом, фракталы, будучи абстрактными математическими
объектами, являются весьма удобным аппаратом для ис-
следования окружающего нас мира.
6

Глава 1. Примеры
детерминированных фракталов
Рассмотрим несколько конкретных фракталов, давно
известных в математике и являющихся, с одной стороны,
классикой жанра, а с другой — основой всей дальнейшей
теории.
Пример первый. Канторово множество
Рассмотрим отрезок [0,1]. Выбросим из него среднюю
треть — интервал (1
3, 2
3). Из двух оставшихся отрезков [0, 1
3]
и [2
3, 1] выбросим их средние трети: (1
9, 2
9) и (7
9, 8
9), соответ-
ственно. С оставшимися четырьмя отрезками [0, 1
9], [ 2
9, 1
3],
[2
3, 7
9] и [8
9, 1] проделаем аналогичную операцию. В резуль-
тате получим восемь отрезков, с которыми можно про-
делать то же самое. Если продолжить эту процедуру до
бесконечности, что получится в пределе? Давайте назовем
предельное множество Канторовым множеством и обозна-
чим его буквой K.
Рис. 1: Итерации Канторова множества
Какими свойствами обладает множество K?
1. Множество K не пусто, поскольку оно содержит все
концы выброшенных интервалов, а также точки 0 и
7

1. Более того, оно несчетно, т.е. его мощность равна
континууму.
2. Мера множества K равна нулю.
3. Если рассмотреть любой сколь угодно малый отрезок
[a, b] на отрезке [0,1], то пересечение [a, b] ∩ K будет
подобно множеству K.
Докажем утверждения, сформулированные выше.
Утверждение 1. Множество K несчетно.
Доказательство этого факта состоит из двух утвержде-
ний:
1) каждому элементу x множества K можно однознач-
но сопоставить бесконечную последовательность из нулей
и двоек, являющуюся представлением числа x в троичной
системе счисления;
2) множество бесконечных последовательностей из двух
элементов несчетно.
Докажем сначала второе утверждение: множество бес-
конечных последовательностей из двух элементов несчет-
но.
Предположим, что это не так, пересчитаны все после-
довательности и каждая получила свой порядковый но-
мер. Построим новую последовательность по следующему
правилу: на первом месте у нее стоит не та цифра, что у
последовательности под номером один, на втором месте —
не та цифра, что у последовательности под номером два,
на десятом месте — не та цифра, что у последовательности
под номером десять. И так для любого знака : у новой по-
следовательности он не совпадает с тем знаком, что стоит
под этим номером у последовательности, номер которой
8

равен номеру этого знака. Это всегда возможно. Напри-
мер, если последовательности состоят из нулей и двоек и
если у k-й последовательности на k-м месте стоит ноль,
то у новой последовательности на k-е место ставим два,
и наоборот, если у k-й последовательности на k-м месте
стоит два, то у новой на k-е место ставим ноль. На каком
месте при пересчете окажется вновь построенная последо-
вательность? Она не может быть на первом, поскольку ее
первая цифра не совпадает с первой цифрой первой по-
следовательности, она не может быть на втором, так как
ее вторая цифра не совпадает со второй цифрой второй
последовательности, она не может быть на десятом, по-
скольку ее десятая цифра не совпадает с десятой цифрой
десятой последовательности, и так для любого числа k.
Эту последовательность некуда поставить, ее нельзя со-
считать, откуда следует, что множество бесконечных по-
следовательностей из двух элементов несчетно.
Теперь вернемся к первому утверждению.
Каждому элементу x множества K можно однозначно
сопоставить бесконечную последовательность из нулей и
двоек, являющуюся представлением числа x в троичной
системе счисления.
Правило, по которому элементу x Канторова множе-
ства сопоставляется последовательность, следующее: на
первом месте последовательности стоит 0, если x принад-
лежит отрезку [0, 1
3], и 2, если x принадлежит отрезку
[2
3, 1]. На втором месте стоит 0, если x принадлежит пер-
вой трети одного из отрезков [0, 1
3] и [2
3, 1], т.е. отрезкам
[0, 1
9] и [ 2
3, 7
9], и 2, если x принадлежит последней трети од-
ного из отрезков [0, 1
3] и [2
3, 1], т.е. отрезкам [2
9, 1
3] и [8
9, 1].
Дальнейшие 0 и 2 расставляются по тому же принципу:
если на i-м шаге, т.е. после того как i − 1 раз поделили
все оставшиеся отрезки на три части и выбросили внут-
9

ренность второй трети у каждого, точка x принадлежит
первой трети одного из оставшихся отрезков, на i-е место
последовательности ставится цифра 0, если x принадле-
жит третьей трети — цифра 2. Второй трети точка x при-
надлежать не может, иначе она будет выброшена на i-м
шаге и не будет принадлежать множеству K.
Например, рассмотрим x =
1
11 и получим его троичное
.
Поскольку 0 x 1, нас интересует последователь-
ность цифр после запятой. В нашем примере x 1
3, зна-
чит, на первом месте последовательности стоит 0. Дальше
нужно рассмотреть расположение x в первой трети отрез-
ка [0,1], или, что тоже самое, расположение 3x в самом
отрезке [0,1]. Поскольку 3x =
3
11 1
3 — это то же самое,
что x 1
9, на втором месте последовательности тоже стоит
0. Рассуждая аналогично, получаем 9x =
9
11 2
3, значит,
на третьем месте последовательности стоит цифра 2. По-
следнее неравенство означает, что точка x принадлежит
третьей трети на третьем шаге процедуры, или что точка
x принадлежит отрезку [ 2
27, 1
9].
Для дальнейшего деления надо рассмотреть отрезок
[ 2
27, 1
9] как аналог исходного отрезка [0,1].
Отображение y = 27x − 2 переводит отрезок [ 2
27, 1
9] в
отрезок [0,1]. Рассмотрим расположение (27x−2) в отрезке
[0,1]:
27x − 2 = 5
11.
Поскольку 1
3 5
11 2
3, на четвертом месте последователь-
ности стоит цифра 1. Расположение (3(27x − 2) − 1) на
отрезке [0,1] аналогично расположению точки x в соответ-
ствующем отрезке на пятом шаге процедуры.
(3(27x − 2) − 1) = 4
11,
10

значит, следующая цифра последовательности равна 1, так
как 1
3 4
11 2
3.
Продолжив рассуждения, получим
(3(3(27x − 2) − 1) − 1) = 1
11,
а значит последовательность начала повторяться, тем са-
мым троичное представление числа
1
11 равно 0.(00211), где
скобки означают бесконечно повторяющийся участок по-
следовательности. Троичное представление точки x =
1
11
показывает, что эта точка не лежит в Канторовом множе-
стве. Но на этом примере видно, как устроен механизм пе-
ревода числа из отрезка [0,1] из одной системы счисления
в другую: на i-м шаге смотрим, в какой из третей отрезка
[0,1] лежит число xi, первой трети соответствует цифра 0,
второй 1, третьей 2; соответствующая цифра ki ставится
на i-е место троичного представления, а xi вычисляется по
формулам
x0 = x,
xi+1 = 3xi − ki,
i = 0, 1, 2, . . . .
Особенно просто этот механизм работает в случае, когда 
x является рациональным числом p
q. Будем считать,
что p и q — взаимно просты, причем p < q. Тогда для того
чтобы узнать, в какой трети лежит x, надо разделить 3p
на q с остатком. Частное являет собой k1, а остаток, поделенный 
на q, даст новое число x1. Аналогично, xi = ri
q ,
где 3ri−1 = kiq + ri — деление числа 3ri−1 на q с остатком. 
Для конкретной дроби это представление получается
следующим образом:
x = 3
13 =
⇒ x0 = 3
13,
3 · 3 = 0 · 13 + 9 =
⇒ k1 = 0, r1 = 9 =
⇒ x1 = 9
13,
11