Математика : основы теории дифференциальных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 3150 

Кафедра математики 

В.К. Ушаков 
 
 

Математика 

Основы теории дифференциальных уравнений 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2018 

УДК 514.745.8 
 
У93 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, проф. В.С. Пигулевский 

Ушаков В.К. 
У93  
Математика : основы теории дифференциальных уравнений : учеб. пособие / В.К. Ушаков. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2018. – 102 с. 
ISBN 978-5-906953-05-6 

Учебное пособие посвящено одному из наиболее важных разделов высшей математики – теории дифференциальных уравнений. Приведены основные понятия и теоремы теории дифференциальных уравнений. Систематизированы разнообразные методы и приемы решения различных типов дифференциальных уравнений. Рассмотрены основные понятия теории их устойчивости. Приведены детально разобранные примеры различных типов дифференциальных уравнений. 
Предназначено для студентов всех направлений подготовки НИТУ «МИСиС», 
а также будет полезно преподавателям высшей математики. 

УДК 514.745.8 

ISBN 978-5-906953-05-6 
 В.К. Ушаков, 2018 
 
 НИТУ «МИСиС», 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .......................................................................................... 4 
1. Основные понятия и примеры дифференциальных 
уравнений .............................................................................................. 5 
2. Дифференциальные уравнения первого порядка .......................... 9 
2.1. Задача Коши .............................................................................. 9 
2.2. Уравнения с разделяющимися переменными ........................ 11 
2.3. Однородные уравнения ............................................................ 13 
2.4. Линейные уравнения первого порядка ................................... 15 
2.5. Уравнение Бернулли ................................................................ 21 
3. Дифференциальные уравнения второго порядка .......................... 24 
3.1. Задача Коши .............................................................................. 24 
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка ..................... 25 
3.3. Линейные однородные уравнения второго порядка ............. 30 
3.4. Линейные неоднородные уравнения второго порядка ......... 37 
4. Системы дифференциальных уравнений первого порядка .......... 57 
4.1. Задача Коши. Метод исключения ........................................... 57 
4.2. Системы линейных однородных уравнений. ......................... 61 
4.3. Системы линейных неоднородных уравнений ...................... 71 
5. Элементы теории устойчивости ...................................................... 90 
5.1. Основные понятия .................................................................... 90 
5.2. Анализ системы двух линейных однородных уравнений .... 93 
5.3. Анализ нелинейных автономных систем ............................... 97 
Библиографический список ................................................................. 101 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Современный этап развития народного хозяйства характеризуется 
инновационными преобразованиями в различных отраслях отечественной промышленности. В связи с этим особую востребованность 
приобретают высококвалифицированные специалисты как инженерных, так и экономических направлений. Подготовка таких специалистов предполагает их высококачественное математическое образование. Это обусловлено тем, что математические знания представляют 
собой необходимый фундамент для успешного освоения студентами 
этих направлений дисциплин общепрофессионального и специального циклов. 
В то же время анализ статистических данных различных вузов позволяет сделать вывод о низком уровне математической подготовки 
весьма значительной части студентов. Такая ситуация является следствием того, что, как правило, учебный процесс направлен в первую 
очередь на приобретение студентами навыков решения типовых задач. Однако решение задач по принципу аналогии не позволяет устранить пробелы в знаниях основ математической теории, что необходимо для осмысленного применения тех или иных теорем и методов при решении конкретных нестандартных задач, требующих 
творческого подхода. 
Настоящее учебное пособие посвящено одному из наиболее важных разделов высшей математики – теории дифференциальных 
уравнений. 
Основной проблемой для студентов при изучении теории дифференциальных уравнений является правильная идентификация типа 
предложенного им уравнения и выбор соответствующего метода его 
решения. В данном учебном пособии в рамках каждой темы классифицированы различные типы дифференциальных уравнений. Систематизированы методы и приемы, применяемые при решении того 
или иного типа уравнений. Изложение каждого из теоретических методов сопровождается детальным анализом на конкретных примерах 
его практического применения для решения дифференциальных 
уравнений соответствующего типа. Рассмотрены также основные 
понятия теории устойчивости дифференциальных уравнений. В конце учебного пособия приведен список литературы, использованной 
при его подготовке. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 

Определение. Дифференциальное уравнение – это уравнение, устанавливающее зависимость между независимой переменной х, искомой функцией y = φ(x) и ее производными у', у'',...,у(п): 

 
( )
( , ,
,
,...,
)
0
n
F x y y y
y



. 

Определение. Дифференциальное уравнение в нормальной форме – 
это уравнение, разрешенное относительно старшей производной у(п): 

 
( )
(
1)
( , ,
,
,...,
)
n
n
y
f x y y y
y




. 

Определение. Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной у(п). 
Определение. Решение (интеграл) дифференциального уравнения – 
это функция y = φ(x), которая при подстановке в уравнение обращает 
его в тождество. 
Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к дифференциальным 
уравнениям. 
Пример 1.1 
Пусть v(t) – скорость движения материальной точки в момент t. 
Найти S(t) – путь, пройденный точкой за время t. 
Решение 
Из курса физики известно, что 

 
( )
( )
dS t
v t
dt

 

или 

 
( )
( )
S t
v t


. 

Имеем дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции S(t), решением которого является интеграл от функции v(t): 

 

0
( )
( )

t
S t
v
d
c


 

, 

где с – произвольная константа. 

Пример 1.2 
Пусть x(t) – число особей в некоторой биологической популяции 
(например, рыб в пруду) в момент времени t. Найти вид функции x(t). 
Решение 
При нормальных условиях (достаток пищи, отсутствие хищников 
и болезней) скорость размножения пропорциональна числу особей: 

 
х
kх
 
, 

где k – коэффициент пропорциональности. 

Имеем дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции x(t). Можно показать, что его решения имеют вид: 

 
( )
kt
x t
ce

, 

где с – произвольная константа. 

Пример 1.3 
Рассмотрим так называемую модель Лотка–Вольтерра системы 
«хищник–жертва». Пусть (x(t);у(t)) – число карасей и щук в пруду. Написать уравнения, решениями которых являются функции x(t) и у(t). 
Решение 
При отсутствии щук караси размножаются со скоростью 

 
х
kх
 
. 

При отсутствии карасей щуки вымирают со скоростью 

 
y
ly
  
. 

Количество встреч карасей и щук пропорционально количеству 
пар (карась, щука), т.е. произведению xу. Поэтому для скоростей изменения числа карасей и щук имеем следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка: 

 
,

х
kх
аху

у
lу
bху

 


   


 

где k, l, a, b – некоторые положительные коэффициенты. 

Пример 1.4 
Пусть m – масса тела парашютиста. В полете на него кроме силы 
тяжести действует сила сопротивления воздуха Fс = kv, где v – скорость парашютиста. Найти функцию v = v(t). 

Решение 
В соответствии со вторым законом Ньютона имеем дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции v(t): 

 
mv
mg
kv
 

. 

Можно показать, что его решения имеют вид 

 
( )

k t
m
mg
v t
ce
k




, 

где с – произвольная константа. 

Чтобы из этого множества решений найти искомую зависимость 
v = v(t), надо иметь дополнительное условие – начальную скорость 
v = v(0) = v0. Подставляя это условие в решение 

 

0

0

k
m
mg
v
ce
k




, 

находим значение константы с: 

 
0
mg
с
v
k


. 

Таким образом, решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями v(0) = v0, т.е. искомая зависимость 
v = v(t), имеет вид 

 
0
( )

k t
m
mg
mg
v t
v
e
k
k











. 

Пример 1.5 
Рассмотрим так называемую динамическую модель рынка. Даны 
функции спроса QD(P) и предложения QS(P) от цены товара Р: 

 
( )
,

( )
,

D

S

Q
P
P

Q
P
P

  

   
 

где α, β, γ, δ – положительные коэффициенты. Найти изменение цены 
Р = Р(t). 

Решение 
Обычно предполагают, что скорость изменения цены пропорциональна разности между спросом и предложением, т.е. имеем дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Р(t): 



( )
( )
D
S
Р
J Q
P
Q
P
 

, 

где J – коэффициент пропорциональности. 

Если спрос превышает предложение, т.е. QD(P) – QS(P) > 0, имеем 
Р  > 0, т.е. цена Р возрастает, и наоборот. При QD(P) = QS(P) имеем 
Р  = 0, т.е. цена Р = const, так называемая равновесная цена. 
Пример 1.6 
Рассмотрим задачу о колебании шарика на пружине. Искомая 
функция х(t) – отклонение шарика от положения равновесия в момент времени t. 
Решение 
В соответствии со вторым законом Ньютона имеем дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции х(t) (так 
называемое уравнение гармонических колебаний или уравнение линейного осциллятора): 

 
2
0
х
х
  

, 

где ω – заданный коэффициент. 

Можно показать, что его решения имеют вид 

 


( )
cos
х t
А
t

   , 

где А, φ – произвольные константы. 

Как видно из примеров, дифференциальное уравнение 

 
( )
( , ,
,
,...,
)
0
n
F x y y y
y



 

имеет бесчисленное множество решений. Для получения однозначного решения, описывающего исследуемый процесс, должны быть 
заданы некоторые дополнительные условия. Обычно это – так называемые начальные условия вида 

 







(
1)
(
1)
0
0
0
0
0
0
,
,...,
n
n
у x
у
y x
у
y
x
у








. 

Начальные условия позволяют найти те числовые значения входящих в решение произвольных констант, при которых получается 
решение, соответствующее исследуемому процессу. 
 

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
ПЕРВОГО ПОРЯДКА 

2.1. Задача Коши 

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка – это 
уравнение, устанавливающее зависимость между независимой переменной х, искомой функцией y = φ(x) и ее первой производной у': 

 
( , ,
)
0
F x y y 
. 

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка в 
нормальной форме – это уравнение, разрешенное относительно первой производной у': 

 
( , )
y
f x y
 
. 

Задача Коши (для дифференциального уравнения первого порядка). 
Найти решение y = φ(x) уравнения 

 
( , )
y
f x y
 
, 
(2.1) 

удовлетворяющее начальному условию 

 


0
0
у x
у

. 
(2.2) 

Теорема 2.1 (существования и единственности решения задачи Коши): Если функции 
( , )
f x y  и 
( , )
уf
x y

 непрерывны в некоторой 

области D, содержащей точку с координатами (х0, у0), то существует 
и при том единственное решение задачи Коши, т.е. существует и 
притом единственная функция y = φ(x), которая является решением 
уравнения (2.1) и удовлетворяет начальному условию (2.2). 
Замечание. Из этой теоремы следует, что уравнение (2.1) имеет 
бесчисленное множество решений, так как для любой точки с координатами (х0, у0), принадлежащей области D, существует решение, 
график которого проходит через эту точку. При этом графики решений не пересекаются. 
Определение. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка – это функция вида y = φ(x,с), которая, во-первых, при 
любом значении произвольной константы с является решением уравнения (2.1) и, во-вторых, для любого начального условия (2.2) найдется такое числовое значение произвольной константы с = с0, при 

котором соответствующая функция y = φ(x,с0) удовлетворяет этому 
начальному условию. 
Определение. Общий интеграл дифференциального уравнения 
первого порядка – это его общее решение, записанное в неявном виде, т.е. в виде 
( , , )
0
Ф x y с 
. 
Определение. Частное решение дифференциального уравнения 
первого порядка – это функция вида y = φ(x,с0), которая получается 
из общего решения подстановкой конкретного числового значения 
произвольной константы с = с0. 
Определение. Частный интеграл дифференциального уравнения 
первого порядка – это функция вида 

0
( , ,
)
0
Ф x y с

, 
которая получается из общего интеграла подстановкой конкретного 
числового значения произвольной константы с = с0. 
Пример 2.1 
Найти частное решение уравнения 

 
у
y
х

  
, 

удовлетворяющее начальному условию 

 
 1
2
у

. 

Решение 
Можно показать, что общее решение данного уравнения имеет 

вид 
с
у
х

. Находим частное решение, удовлетворяющее заданному 

начальному условию 

 
0
2
1
с 
, 
0
2
с 
, 
2
у
х

. 

Определение. Интегральная кривая – это график функции 
y = φ(x), являющейся решением уравнения (2.1). 
Таким образом, общему решению дифференциального уравнения 
первого порядка (2.1) соответствует семейство непересекающихся интегральных кривых. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка (2.1) заключается в следующем. Для любой точки с 
координатами (х,у) дифференциальное уравнение задает производную 

( , )
y
f x y
 
 искомого решения y = φ(x), т.е. задает тангенс угла наклона 
касательной к искомой интегральной кривой. В результате получается 
так называемое поле направлений интегральных кривых. 
Определение. Изоклина дифференциального уравнения первого 
порядка – это геометрическое место точек, в которых выполняется 
соотношение 
( , )
y
f x y
k
const
 


. 
Таким образом, изоклина – это геометрическое место точек, в которых направления поля (т.е. касательные к интегральным кривым) 
имеют одинаковый угловой коэффициент k. Зная изоклины, можно, 
не решая дифференциального уравнения, приближенно построить 
семейство интегральных кривых, т.е. найти его общее решение. Так, 
для примера (2.1) уравнение изоклин имеет следующий вид: 

 
у
k
х


, у
kх
 
. 

2.2. Уравнения с разделяющимися переменными 

Определение. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это дифференциальное уравнение первого порядка вида: 

 
 
 
1
2
y
f
x f
y
 
. 
(2.3) 

Это частный случай уравнения (2.1), когда его правая часть представляет собой произведение двух сомножителей, каждый из которых зависит только от одной переменной. Если f2(y) ≠ 0, то в уравнении (2.3) можно разделить переменные: 

 
 
 
1
2
dy
f
x f
y
dx 
,       
 
 
1
2

dy
f
x dx
f
y 
. 

Получили так называемое уравнение с разделенными переменными. Интегрируя левую часть этого уравнения по переменной у, а правую часть по переменной х, получаем соотношение между переменными х, у и произвольной константой с: 

 
 
 
1
2

dy
f
x dx
с
f
y 



, 

или 

 
Ф( , , )
0
x y с 
, 

т.е. общий интеграл исходного дифференциального уравнения (2.3).