Математическое моделирование технологических процессов : моделирование в среде MathCAD

НИКОНЕНКО Виктор Александрович 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 
Моделирование в среде MathCAD 

Практикум 
 

Под ред. проф. Г.Д. Кузнецова 

Рецензент канд. техн. наук Е. А. Калашников 

Редактор Л.В. Иванкова 

Заказ 915 
Объем  48 стр.  
Тираж  200 экз. 

Цена “С” 
Регистрационный   № 479 

Московский государственный институт стали и сплавов. 
119991, Москва, Ленинский пр-т, 4 
Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС. 

117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ...............................................................................................4 

Практическая работа 1 

Модель кольцевого испарителя...............................................................5 

1.1. Теоретическое введение...................................................5 
1.2. Порядок выполнения работы.........................................13 
1.3. Контрольные вопросы....................................................13 
1.4. Варианты заданий...........................................................14 

Практическая работа 2 

Моделирование процессов диффузии ..................................................15 

2.1. Теоретическое введение.................................................15 
2.2. Порядок выполнения работы.........................................22 
2.3. Контрольные вопросы....................................................23 
2.4. Варианты заданий...........................................................23 

Практическая работа 3 

Формирование биполярного транзистора с помощью диффузии......25 

3.1. Теоретическое введение.................................................25 
3.2. Порядок выполнения работы.........................................30 
3.3. Контрольные вопросы....................................................30 
3.4. Варианты заданий...........................................................30 

Практическая работа 4 

Моделирование процесса ионной имплантации..................................32 

4.1. Теоретическое введение.................................................32 
4.2. Порядок выполнения работы.........................................39 
4.3. Контрольные вопросы....................................................40 
4.4. Варианты заданий...........................................................40 

Практическая работа 5 

Двумерное распределение ионов под краем маски.............................42 

5.1. Теоретическое введение.................................................42 
5.2. Порядок выполнения работы.........................................45 
5.3. Контрольные вопросы....................................................46 
5.4. Варианты заданий...........................................................46 

Литература ..............................................................................................47 

3 

ВВЕДЕНИЕ 

Практикум содержит пять работ по математическому моделированию некоторых технологических процессов производства полупроводниковых приборов и интегральных схем. 10 – 15 лет назад в 
США стоимость экземпляра программного комплекса для моделирования технологических процессов изготовления и характеристик 
приборов достигала сотен тысяч долларов [1]. В настоящее время 
техника и программное обеспечение персональных компьютеров 
достигла такого уровня, когда каждый грамотный специалист может 
самостоятельно строить модели различных процессов и явлений. Математические расчеты с применением систем высокого уровня 
(MathCAD, MatLAB, Mathematica и др.) не требуют от пользователя 
знаний системного программирования [2]. Эти системы позволяют в 
формализованном виде строить математические модели физических 
процессов и явлений. Подготовленные студенты легко осваивают 
MathCAD и в состоянии самостоятельно моделировать физические 
явления и процессы, применяемые в производстве полупроводниковых приборов. 

В настоящем практикуме все работы выполнены в математической системе MathCAD 7.0 Pro. Для их выполнения достаточно 
владеть общими навыками работы на персональном компьютере. 
Процесс вычисления в работах автоматизирован не полностью, поэтому при выполнении работ приходится неоднократно проводить 
некоторые вычисления для достижения оптимума. Работа считается 
выполненной, если полученный результат удовлетворяет требованиям задания. 

Работы выполняются студентами индивидуально и рассчитаны на два часа. При защите работы от студента требуются знания в 
объеме теоретической части описания работы и наличие отчета с результатом, удовлетворяющим требованиям поставленной задачи. 

 4 

1. Практическая работа 1 

МОДЕЛЬ КОЛЬЦЕВОГО ИСПАРИТЕЛЯ 

1.1. Теоретическое введение 

Одним из наиболее эффективных методов нанесения пленок 
в планарной технологии является метод магнетронного распыления 
материалов [3]. Этот метод является разновидностью ионноплазменного распыления. Распыление материала в этих системах 
происходит за счет бомбардировки поверхности мишени ионами 
рабочего газа. Скорость распыления в магнетронной системе в 
50…100 раз выше по сравнению с обычным ионно-плазменным 
распылением. Высокая скорость распыления материала в магнетронной системе определяется высокой плотностью ионного тока 
на мишень. Высокая плотность ионного тока достигается за счет 
локализации плазмы у поверхности мишени с помощью сильного 
поперечного магнитного поля. 

Рис. 1.1. Схема магнетронной системы распыления: 
1 – мишень; 2 – магнитная система; 3 – зона распыления; 4 – магнитные силовые линии; 5 – поток распыляемого вещества; 6 – подложка; 
7 – подложкодержатель 

 
5 

Схема магнетронной системы распыления показана на 
рис. 1.1. Основными элементами системы являются мишень 1 и магнитная система 2. Магнитные силовые линии 4 замкнуты между полюсами магнитной системы. Между мишенью 1 и подложкодержателем 7 прикладывается электрическое поле и возбуждается аномальный тлеющий разряд. Подложка 6 закреплена на подложкодержателе. Замкнутое магнитное поле у поверхности мишени локализует 
разряд вблизи этой поверхности. Положительные ионы из плазмы 
аномального тлеющего разряда ускоряются электрическим полем и 
бомбардируют мишень (катод). Под действием ионной бомбардировки происходит распыление мишени 5. Зона распыления 3 имеет 
кольцеобразную форму. Электроны, эмитированные с катода под 
действием ионной бомбардировки, попадают в область скрещенных 
электрического и магнитного полей и оказываются в ловушке. Траектории движения электронов в ловушке близки к циклоидальным. Эффективность ионизации и плотность плазмы в этой области значительно увеличиваются. Это приводит к повышению концентрации ионов у 
поверхности мишени, увеличению интенсивности ионной бомбардировки мишени и к значительному росту скорости распыления мишени. 

При построении модели скорости осаждения пленки путем 
распыления материала из кольцевого испарителя [4] сделаем следующие допущения: 

– распыленные атомы распределяются в пространстве по закону косинуса; 

– распыленные атомы не сталкиваются друг с другом и с 
атомами рабочего газа; 

– распыленные атомы осаждаются в точке соударения с 
подложкой. 

В общем случае толщина пленки в произвольной точке подложки описывается выражением 

t
r
V
h
⋅
φ
ϕ
π
=
cos
cos
2
, 
(1.1) 

где V – скорость распыления по толщине; 

ϕ – угол между нормалью к поверхности распыления и направлением распыления; 
φ – угол между нормалью к поверхности подложки и направлением осаждения; 
r – расстояние от элемента распыления до точки осаждения; 
t – время распыления. 

 6 

Модель процесса напыления будем строить для случая, показанного на рис. 1.1., когда мишень и подложка параллельны и соосны. 
В этом случае угол распыления равен углу конденсации, т.е. ϕ = φ. 

Рассмотрим геометрическую схему модели мишень – подложка, которая представлена на рис. 1.2.  

Рис. 1.2. Геометрическая схема модели мишень – подложка 

Распределение распыленного материала по подложке является центрально-симметричным и описывается одной переменной – 
расстоянием от центра l. Бесконечно тонкий кольцевой элемент поверхности мишени можно представить в виде dS = R⋅dα⋅dR, где α – 
угол между l и проекцией R на плоскость подложки 
Y
X
′
′
. Угол α 
можно выразить через радиус кольца и расстояние между мишенью и 
подложкой – cosϕ = H/r. Подставляя эти соотношения в уравнение 
(1.1) и суммируя дифференциальные элементы кольца мишени путем 
интегрирования, получим 

 
7 

∫∫∫
α
α
π
=

t R
dRdt
Rd
r
H
r
V
h
2

2

2
. 
(1.2) 

Выразим расстояние r через элементы призмы l, R, d, H, α: 

α
−
+
+
=
cos
2
2
2
2
lR
R
l
H
r
, 
(1.3) 

где l2 + R2–2lRcosα = d2. Подставим выражение (1.3) в уравнение (1.2): 

dRdt
d
lR
R
l
H
R
H
V
h

t R
α
α
−
+
+
π
= ∫∫∫
α
2
2
2
2

2

)
cos
2
(

. 
(1.4) 

Проинтегрировав это выражение по времени, получим полное количество распыленного вещества. В нашем случае полагаем, 
что скорость распыления постоянна во времени и не зависит от радиуса кольца распыления, тогда 

∫∫
α
α
α
−
+
+
π
=

R
dRd
lR
R
l
H
R
H
Vt
h
2
2
2
2

2

)
cos
2
(

. 
(1.5) 

Для интегрирования выражения (1.5) по углу делаем замену 
H2 + l2 + R2 = b, -2lR = c, получаем 

∫∫
α
α
α
⋅
+
π
=

R
dRd
c
b
R
H
Vt
h
2

2

)
cos
(

. 
(1.6) 

Интегрирование проводим от 0 до 2π, и, сделав обратную 
подстановку, получаем 

∫
+
−
+
=

R
dR
lR
l
R
H
R
H
Vt
h
2
/
3
2
2
2
2
2

2

]
)
2
(
)
[(
2
. 
(1.7) 

Можно провести дальнейшее интегрирование, но результат 
будет очень громоздким. Поэтому при расчете будем использовать 
численное интегрирование выражения (1.7). 

Количественной характеристикой процесса ионного распыления материалов является скорость распыления, которая определяется как 

 8 

t
h
V =
, 
(1.8) 

где  h – толщина распыленного материала, 

t – время распыления. 

Для расчета скорости распыления материалов при нормальном падении ионов можно пользоваться выражением 

ρ
=

A
eN
SMa
j
V
и
, 
(1.9) 

где 
 – плотность ионного тока в сечении, перпендикулярном направлению падения ионов, А/см

иj

2; 

S – коэффициент распыления материала, атом/ион; 
Ма – атомная масса атомов мишени, г/моль; 
е – заряд электрона (1,6 · 10-19 Кл); 
NА – число Авогадро (6,023 · 1023 атом/моль); 
ρ – плотность материала, г/см2. 

На практике наблюдается хорошее совпадение расчетных и 
экспериментальных результатов. В табл. 1.1 приведены расчетные и 
экспериментальные значения, скорости распыления V некоторых материалов ионами аргона с энергией 1 кэВ (1,6 · 10-16 Дж) при плотности ионного тока 
 = 1 мА/см
иj
2. 

Таблица 1.1 

Сравнение экспериментальных и расчетных данных (теория 
Зигмунда) по скорости распыления некоторых материалов 

Vр, нм/с 
Распыляемый 

материал 
Расчет 
Эксперимент 

Cu 
Ag 
Au 
Al 
Fe 
Mo 

1,3 
2,9 
2,65 
1,25 
1,36 
1,03 

1,7 
3,4 
2,7 
0,75 
1,4 
1,1 

Если распыление материалов проводится в диапазоне давлений, при котором возможен возврат распыленных частиц на мишень 
из-за процессов обратной диффузии и рассеяния, то значение вы
 
9 

бранного или рассчитанного коэффициента распыления должно быть 
скорректировано. 

Коэффициент распыления S характеризует эффективность 
распыления и определяется как среднее число атомов, удаляемых с 
поверхности твердого тела одной падающей частицей: 

частиц
падающих
число
атомов
удаленных
число
=
S
. 
(1.10) 

Падающими частицами могут быть ионы, нейтральные атомы, нейтроны, электроны или фотоны с большой энергией. 

Для коэффициента распыления типичны значения 1…5, хотя 
он может изменяться от 0 до 100. Это зависит от энергии и массы 
первичных частиц и угла их падения на поверхность, массы атомов 
мишени, кристаллического состояния твердого тела и ориентации 
кристалла, от поверхностной энергии связи атомов мишени.  

Для реализации распыления атомам мишени должна быть сообщена энергия, превышающая энергию их связи в твердом теле. Эта 
энергия обозначается как пороговая энергия распыления Епор. Величина ее колеблется в пределах 10…40 эВ. При энергиях меньше пороговой распыление отсутствует. При больших энергиях коэффициент распыления растет с увеличением энергии первичных частиц, 
достигает максимума, а затем опять падает. Уменьшение коэффициента распыления при более высоких энергиях связано с большой 
глубиной проникновения частиц в твердое тело и меньшим выделением энергии в поверхностном слое. 

Согласно теории Зигмунда, для аморфных и поликристаллических материалов при низких энергиях ионов до (1 кэВ) коэффициент распыления определяется следующим выражением: 

суб

и
2
а
и

а
и
2
2
)
(
3
E
E
M
M
M
M
S
+
α
π
=
, 
(1.11) 

где  Ми и Ма – атомные массы ионов и атомов мишени, г/моль; 

Еи – энергия падающих ионов, эВ; 
Есуб – энергия сублимации атомов мишени, эВ; 
α – безразмерный параметр, зависящий от Ми/Ма. 

Зависимость параметра α от отношения Ма/Ми при нормальном падении пучка ионов показана на рис. 1.3. 

 10 

Ма/Ми

Рис. 1.3. Зависимость коэффициента α от отношения массы атома 
распыляемого материала Ма к массе иона Ми

Поскольку энергия ионов при распылении в магнетронной 
системе при работе на аргоне лежит в диапазоне 350…450 эВ, то при 
расчете коэффициента распыления будет использоваться выражение 
(1.11). Справочные данные по характеристикам распыляемых материалов приведены в табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

Характеристики некоторых материалов, 
необходимые для расчета 

Материал 
Атомный 
номер Z 

Атомная 
масса М, 

г/моль 

Энергия 

сублимации 
Ес, эВ 

Плотность ρ, 
г/см3

Be 
4 
9 
3,48 
1,85 

Mg 
12 
24,3 
1,59 
1,76 

Al 
13 
27 
3,26 
2,7 

Si 
14 
28 
3,91 
2,42 

Ti 
22 
47,9 
4,34 
4,52 

V 
23 
51 
3,7 
6,11 

Cr 
24 
52 
3,68 
7,19 

Mn 
25 
54,9 
3,15 
7,44 

Fe 
26 
55,9 
4,15 
7,87 

 
11