Исследование функций : задачник

Москва 2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
Кафедра математики

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Задачник

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3149

Е.В. Твердохлебова

УДК 517 
 
Т26

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, проф. Б.Ф. Мельников

Твердохлебова Е.В.
Т26  
Исследование функций : задачник / Е.В. Твердохлебова. – 
М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 179 с.

Предназначен для внеаудиторной помощи студентам в усвоении данного 
раздела курса математического анализа. Содержит необходимые теоретические материалы и достаточное количество примеров по основным темам: моделирование графиков элементарных функций, асимптотическое исследование функций, исследование при помощи производных, полное исследование, 
наименьшее и наибольшее значение функции на заданном интервале. Расчёты 
проведены подробно со всеми необходимыми пояснениями к вычислению 
пределов или производных. Содержит достаточное количество рисунков для 
каждого этапа построения экскиза графика фукции.
Предназначен для студентов всех направлений подготовки НИТУ  
«МИСиС».

УДК 517

 Е.В. Твердохлебова, 2019
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ..............................................................................................4
1. Элементарные функции. Преобразование графиков функций .........5
1.1. Элементарные функции ................................................................... 5
1.2. Область определения функции ...................................................... 12
1.3. Преобразования графиков функций .............................................. 17
1.3.1. Элементарные преобразования графика функции ............... 17
1.3.2. Модуль в преобразованиях графиков .................................... 22
1.3.3. Сложение графиков ................................................................. 31
1.3.4. Графики сложных функций, композиция графиков ............ 34
1.3.5. Иррациональные выражения в составе функции ................ 37
2. Асимптотическое исследование функции ........................................43
2.1. Основные понятия и определения ................................................ 43
2.1.1. Односторонние пределы ......................................................... 43
2.1.2. Непрерывность функции ........................................................ 44
2.1.3. Классификация точек разрыва функции ............................... 48
2.1.4. Асимптоты графика функции ................................................. 53
2.2. Схема асимптотического исследования функции, примеры ..... 54
3. Исследование функций при помощи производных .........................97
3.1. Основные понятия и определения ................................................ 97
3.1.1. Интервалы монотонности, экстремумы ................................ 97
3.1.2. Выпуклость графика функции. Перегибы .......................... 103
3.2. Схема исследования. Примеры ................................................... 106
4. Полное исследование функции ........................................................130
Литература .............................................................................................178

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачник предназначен для самостоятельного повторения и усвоения материала, который используется на занятиях в аудитории. 
Необходимо разобраться в решениях задач и пытаться повторить 
их самостоятельно, выполняя все промежуточные преобразования и 
сверяясь с результатом.  
Первый раздел содержит краткий обзор элементарных функций, 
а также правила и приёмы преобразования графиков элементарных 
функций.
Во втором разделе используется понятие предела функции и одностороннего предела при проведении асимптотического исследования функций.
В третьем разделе используется понятие производной и применение производных для исследования поведения функций. 
Каждый из этих видов исследований независимо друг от друга позволяет изобразить эскиз графика функции. Совместное применение 
этих видов исследования позволяет получить наиболее точное изображение функции.
В четвёртом разделе рассматривается полное исследование 
функций. 
В пятом разделе рассматривается решение задачи о наибольшем 
и наименьшем значении функции на аданном интервале.
В каждом разделе есть примеры для самостоятельного решения. 

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. 
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

1.1. Элементарные функции

Рассмотрим основные элементарные функции. Краткий обзор позволит легче ориентироваться в областях определения и конфигурации графиков функций.
1. Степенная функция y = xa, a ∈ R.
Степенная функция содержит переменную x в основании степени. 
Рассмотрим отдельно случаи положительного и отрицательного показателя степени.
1) a > 0. На рис. 1.1 приведено изображение графика функции в 
правой координатной полуплоскости для x ≥ 0. 

a = 1

a > 1

a < 1

x ≥ 0

Y

X
0

Рис. 1.1

Область определения функции зависит от показателя степени a ∈ R. 
Аргумент x в левой полуплоскости можно представить в виде: 
x = –|x|. 
Тогда для x < 0
xa = (–|x|)a = (–1)a · |x|a,

где |x|a – это то, что изображено в правой полуплоскости. 
Существование и вид графика в левой полуплоскости зависит от  
(–1)a. Если (–1)a = 1, то график слева симметричен графику спра

ва относительно оси Y, функцию называют чётной. Если (–1)a = –1, 
то график в левой полуплоскости центрально симметричен графику 
из правой полуплоскости относительно начала координат. Если (–1)a 
не существует как вещественное число, то график слева не существует в вещественной координатной плоскости. 

Например: при 
1
2
a =
 в левой полуплоскости функция не суще
ствует, при a = 2 график симметричен относительно Y (квадратная 
парабола), при a = 3 график центрально симметричен относительно 
начала координат (кубическая парабола). 
2) a < 0. В этом случае удобнее рассмотреть степенную функцию  

в виде 
1
a
y
x



= 




, где a > 0.

На рис. 1.2 приводится изображение графика функции только в 
правой полуплоскости при x > 0.

a = 1

a > 1
0 < a < 1

Y

X
0

1

1

Рис. 1.2

Существование и вид графика в левой полуплоскости аналогично 
предыдущему зависит от существования и значения (–1)a.
2. Показательные и логарифмические функции.
Показательная функция содержит переменную в показателе степени, основание степени является константой y = a x, по соглашению 
a > 0, a ≠ 1.

Функция определена на всей числовой оси независимо от показателя степени. График y = ax представлен на рис. 1.3. Множество значений функции E = (0,+∞).

a > 1
0 < a < 1
Y

X
0

1

Рис. 1.3

Логарифмическая функция является обратной для степенной и 
значение функции y(x) равно степени, в которую необходимо возвести число a, чтобы получить число x:

y = logax.

Аналогично показательной функции по соглашению рассматриваются основания a > 0, a ≠ 1. Очевидно, что при положительном 
основании степени x = ay может быть только положительным, поэтому область определения логарифмической функции D = (0, +∞).  
Степень, в которую возводят число a, может быть любой, поэтому 
множество значений функции E = (–∞, +∞). График y = logax представлен на рис. 1.4.

Y

X
0
1

a > 1

0 < a < 1

Рис. 1.4

Тригонометрические функции
Рассмотрим график 2π-периодических функций y = sin x и y = cos x.  
Область определения и множество значений функций D = (–∞, +∞),  
E = (–1, +1). График cos x смещён относительно sin x влево вдоль оси Х 

на 2

π , что соответствует зависимости cos
sin
2
x
x
π


=
+





. Графики 

представлены на рис. 1.5, а, б.

        

y = sin x

− π
2

− π
2

− 3
2
π

Y

X
0

–1

a

y = cos x

− π
2

− 3
2
π

− 3
2
π

–π
π

Y

X

–1

0

б

Рис. 1.5

Аналогично 
для 
функций 

sin
cos
tg
, ctg
cos
sin

x
x
x
x
x
x
=
=
, 
где 

ctg
tg 
2
x
x
π


= −
+



 .

Обе функции π – периодические.

Область определения tg x : 
(
,
) \
,
0,
1,
2,... .
2
D
k
k
π


= −∞ ∞
+ π
=
±
±





Область определения ctg x: 
(
) {
}
,
\
,
0,
1,
2,... .
D
k
k
= −∞ ∞
π
=
±
±

Множество значений: E = (–∞, +∞). Графики представлены на 
рис. 1.6, а, б.

− π
2

− π
2

− 3
2
π
–π
π

y = tg x
Y

X
0

a

    

− π
2
− π
2
− 3
2
π
–π
π

y = ctg

0

Y

X

б

Рис. 1.6

Необходимо особо выделить некоторые особенности обратных 
тригонометрических функций y = arcsin x, y = arccos x.
Областью определения каждой из них является отрезок D = [–1, +1]. 
Вне этого отрезка функции не существуют.
Множество значений:

[
]
(arccos )
0,
,
(arcsin )
,
.
2
2
E
x
E
x
π
π


=
π
= −
+





Это означает, что каждая из функций ограничена прямоугольником 
2 × π (рис. 1.7, а, б).

Y
Y

X

X

0

0
− π
2

− π
2

− π
2

π
y = arccos x

–1

–1

+1

+1

y = arcsin x

a 
б

Рис. 1.7

Функции y = arctg x, y = arcctg x:
– область определения функций: D = (–∞,+∞);

– множество значений: 
[
]
(arctg )
,
,
(arctg )
0,
2
2
E
x
E
x
π
π


= −
+
=
π





.

Обе функции являются ограниченными при x → ± ∞ (рис. 1.8, а, б).

− π
2

− π
2

y = arctg x
Y

X

0

 
a

− π
2

π
y = arcctg x

0

0

Y

X

 
б

Рис. 1.8

Гиперболические синус, косинус, тангенс и котенгенс :

sh
ch
th
sh
ch
x
e
e
x
e
e
x
e
e
e
e
x
x

x
x
x
x
x
x

x
x
=
−
=
+
=
−
+
=

−
−
−

−
2
2
,
,
,

cth
ch
sh
x
e
e
e
e
x
x

x
x

x
x
=
+
−
=

−

−
.

Вообще говоря, эти функции не являются тригонометрическими, это комбинации экспонент. Они не являются периодическими. 
Но при этом некоторые равенства, аналогичные тригонометриче