Математическое моделирование объектов и систем управления

Москва 2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ  
И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
 
Кафедра автоматизации

Н.В. Осипова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3312

УДК 004:001.573 
 
О-74

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. Л.Д. Певзнер (МИРЭА)

Осипова Н.В.
О-74  
Математическое моделирование объектов и систем управления : учеб. пособие / Н.В. Осипова. – М. : Изд. Дом НИТУ  
«МИСиС», 2019. – 67 с.
ISBN 978-5-906953-66-7

Учебное пособие состоит из трех разделов. В нем рассмотрены основные 
задачи, возникающие при моделировании производственных процессов и систем управления: идентификация объекта управления, настройка регуляторов, 
фильтров Чебышева, Баттерворта, Бесселя, Кауэра и Калмана-Бьюси. 
Предназначено для студентов, обучающихся в магистратуре по направлению подготовки 27.04.04 «Управление в технических системах».

УДК 004:001.573

 Н.В. Осипова, 2019
ISBN 978-5-906953-66-7
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ..............................................................................................4
1. Идентификация объектов управления ................................................5
1.1. Идентификация динамических характеристик  
промышленного объекта ......................................................................... 5
1.2. Идентификация статических характеристик  
промышленного объекта ....................................................................... 14
2. Методы настройки регуляторов .........................................................30
2.1. Общие сведения о регуляторах ..................................................... 30
2.2. Метод разгонной характеристики ................................................. 32
2.3. Методы Циглера–Никольса и CHR ............................................... 39
3. Основные типы фильтров ..................................................................46
3.1. Синтез фильтров для систем автоматического управления ....... 46
Контрольные вопросы ........................................................................... 55
3.2. Настройка фильтра Калмана–Бьюси для оценки параметров 
движения объекта ................................................................................... 56
Заключение ..............................................................................................64
Библиографический список ...................................................................65

ПРЕДИСЛОВИЕ

Целью данного пособия является закрепление знаний, полученных 
при изучении курса лекций, на лабораторных работах и практических 
занятиях. Основная задача состоит в приобретении навыков по идентификации модели промышленного объекта, настройке регуляторов, 
фильтров и умении составлять математические модели в среде Matlab с использованием приложений Simulink, Statistics Toolbox и Signal 
Processing Toolbox.
Учебное пособие выступает в качестве основной литературы для 
освоения дисциплины «Математическое моделирование объектов и 
систем управления».
Разработка моделей необходима для проверки правильности работы объекта, описанного уравнениями, изучения поведения САУ с 
рассчитанными параметрами регуляторов и фильтров в условиях различного рода возмущений. Такой предварительный анализ систем 
обладает быстротой и позволяет экономить время и ресурсы, затраченные на проведение эксперимента на физическом объекте. В связи 
с этим издание учебного пособия, в котором изложена методика построения моделей объектов и систем, является актуальной задачей.
Новизна издания заключается в приведении примеров построения 
моделей идентификации систем, расчета новых типов регуляторов, 
фильтров, изучение которых не предусмотрено в программе бакалавриата.
В учебном пособии автор рассмотрел теоретические основы моделирования объектов и систем в приложениях Simulink, Statistics 
Toolbox, Signal Processing Toolbox, имеющих наиболее полный набор 
функций и доступных для самостоятельного изучения.
Более эффективному освоению учебного материала будут способствовать дополнительные источники, приведенные в списке литературы.
Учебное пособие включает теоретические сведения, схемы для 
моделирования, перечень заданий, контрольные вопросы для самопроверки. 

1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ 
УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Идентификация динамических 
характеристик промышленного объекта

Разработка систем автоматического управления технологическими 
процессами зачастую связана с процедурой идентификации модели 
объекта, которая заключается в определении ее параметров на основе 
данных результатов наблюдения или эксперимента [4, 9].
Выделяют три метода получения математических моделей: аналитический, экспериментальный и экспериментально-аналитический.
Аналитический метод позволяет формально представить физический процесс технологического объекта в виде математических уравнений, отражающих связи между его параметрами и переменными.
Экспериментальные методы делятся на активные и пассивные.
В первом случае на вход объекта подаются планируемые воздействия (ПВ) в виде ступенчатого 1 или 2, импульсного 3, гармонического 4 сигнала. Они также могут быть случайными, которые 
создаются генераторами шума (ГШ). При пассивном эксперименте 
специально никаких сигналов на систему не подается. Она сама вырабатывает случайные воздействия (СВ) (рис. 1.1.1) [7].

Объект 

управления 

1 

2 

3 

4 

ГШ 

СВ 

ПВ 

вход объекта управления 

выход объекта управления 

Рис. 1.1.1. Схема идентификации модели экспериментальным методом

Экспериментально-аналитический метод характеризуется тем, 
что на первом этапе составляется математическая модель в виде уравнений, а затем на конкретном объекте проводится эксперимент в целях уточнения ее параметров. 

Пример. В качестве объекта управления (ОУ) рассматривают технологический процесс перемешивания суспензии (рис. 1.1.2).

Зумпф

Клапан 
1 

Насос 

Суспензия 

Перемешиватель  

6 

3 

2 
 5

4 

Рис. 1.1.2. Схема технологического процесса перемешивания суспензии

Суспензия, расход которой регулируется клапаном, поступает в 
промежуточную емкость – зумпф, откуда насосом откачивается в перемешиватель. В нем расположена вращающаяся крыльчатка 6 с приводом 3. Перечислим контролируемые параметры и датчики, используемые в данной системе:
 – расходомеры 1 и 2 применяются для измерений расхода суспензии на входе зумпфа и выходе насоса;
 – измеритель объема 5 предназначен для контроля заполнения суспензией перемешивателя;
 – измеритель мощности 4 контролирует ее активную составляющую на приводном валу двигателя перемешивателя.
Для построения динамической модели данной системы определим 
передаточные функции ее отдельных элементов.
Исходные данные для расчета:
 – рабочее напряжение электропривода клапана U = 30 В;
 – скорость перемещения клапана υ = 100 %/мин; 
 – «зона нечувствительности» клапана Δ = ± 3 %;
 – номинальная мощность двигателя перемешивателя Pном = 880 кВт;
 – максимальная производительность насоса Qн.max = 8,8 м3/мин;
 – расход при максимальном открытии клапана Qк.max = 11,7 м3/мин;
 – рабочий объем зумпфа Vз = 14,6 м3;
 – рабочий объем перемешивателя Vп = 44 м3;
 – среднеквадратичное отклонение (СКО) шума измерений расхода суспензии в перемешиватель σ1 = 0,1 м3/мин;
 – СКО шума измерений заполнения перемешивателя σ2 = 1 м3;

– СКО шума измерений мощности двигателя перемешивателя 
σ3 = 10 кВт;
Рассмотрим аналитический метод идентификации ОУ.

Модель клапана

Клапан имеет исполнительный механизм, перемещение x которого 
описывается уравнением [5]:

 
υ 
1 ,
d
d
x
k U
t
=
=
 
(1.1.1)

где k1 – коэффициент передачи клапана.

Применяя преобразование Лапласа к выражению (1.1.1) получаем 
передаточную функцию клапана по каналу «напряжение U на входе 
электродвигателя – степень открытия x»:

 
1
1
( )
( )
( )
( )
.
( )
к
k
x p
px p
k U p
W
p
U p
p
=
→
=
=
  
(1.1.2)

Зная скорость хода v и рабочее напряжение электропривода U, 
можно определить k1 из формулы (1.1.1):

 
1

100
3,33
30
v
k
U
=
=
=
 %/(мин ⋅ В). 
(1.1.3)

При составлении модели клапана обычно передаточную функцию 
замыкают отрицательной обратной связью по положению [6]:

 
1
1
1

1

1
1
( )
.
1
0,3
1
1

к

k
W
p
p
k
p
p
k

=
=
=
+
+
+

  
(1.1.4)

Также необходимо учитывать «зону нечувствительности» Δ при 
перемещении рабочего механизма xн:

 
0,

,
.
н
 | |
,

 | |>

x
x
x
x

≤ ∆

=  − ∆
∆


 
(1.1.5)

На выходе данного элемента присутствует еще одно нелинейное 
звено типа «ограничение» степени открытия клапана от 0 до 100 %:

 
 
,
100 %,

100,
100 %.

н
н
о
н

 0
 

 
 

x
x
x
x

≤
≤

= 
>


  
(1.1.6)

Передаточная функция по каналу процент открытия – расход суспензии является безынерционным звеном [13]:

 
( )
0,117.
100

к.max
к2
Q
W
p =
=
 
(1.1.7)

Модель зумпфа

Для расчета передаточных функций, описывающих процесс накопления вещества в емкости, используется уравнение идеального смешения [7]:

 
(
),
вх
вых
d
d
V
Q
Q
t =
−
 
(1.1.8)

где V – объемное заполнение агрегата, м3;
 
Qвх, Qвых – расход вещества на входе и выходе, м3/мин.

При этом Qвых выражается через постоянную времени Tз [7]:

 
,
,
p
вых
з
з

V
V
Q
T
T
Q
=
=
 
(1.1.9)

где Vp – рабочий объем агрегата, м3;
 
Q – номинальный расход вещества, м3/мин.

Выражая V через Qвых и Tз из уравнения (1.1.9) и подставляя в 
(1.1.8), получим передаточную функцию зумпфа по каналу расход суспензии на входе Qвх – ее расход на выходе Qвых:

 

( )
( )
( )

( )
1
( )
.
( )
1

вых
з
вх
вых
з
вых
вых
вх

вых
з
вх
з

d
d
Q
T
Q
Q
T pQ
p
Q
p
Q
p
t
Q
p
W
p
Q
p
T p

=
−
→
+
=
→

→
=
=
+

 (1.1.10)

Учитывая (1.1.9), вычислим постоянную времени Tз:

 

.

14,6
1,25
.
11,7

з
з
к max
 мин
V
T
Q
=
=
=
 
(1.1.11)

Тогда Wз(p) примет вид:

 
1
( )
.
1,25
1
з
W
p
p
=
+
 
(1.1.12)

Модель насоса

Так как расход на входе Qк.max и выходе зумпфа равны из-за единичного коэффициента передачи в уравнении (1.1.12), то Qк.max равно 
расходу вещества на входе насоса. 
Передаточную функцию насоса можно считать безынерционным 
звеном, так как она имеет постоянную времени на два порядка ниже, 
чем все остальные элементы системы, которой пренебрегают [15]. 
Коэффициент усиления насоса равен отношению максимальной производительности насоса Qн.max к Qк.max:

 
.

.

8,8
( )
0,75.
11,7

н max
н
н
к max

Q
W
p
k
Q
=
=
=
=
 
(1.1.13)

Модель перемешивателя

Выразим Qвых через V и Tп, используя уравнение (1.1.9), и подставим в (1.1.8), где в качестве входного потока выступает производительность насоса Qн:

 

1

1
1
( )
( )
( )

( )
( )
.
( )
1
1

н
н

п
п

п
п

п

н
п
п

d
d
V
Q
V
pV p
V p
Q
p
t
T
T

T
k
V p
W
p
Q
p
T p
T p

=
−
→
+
=
→

→
=
=
=
+
+

 
(1.1.14)

Коэффициент передачи перемешивателя равен Tп:

 
.
п
п
k
T
=
 
(1.1.15)

Постоянная времени перемешивателя Tп определяется из выражения (1.1.9) как:

 

.

44
5
.
8,8

п
п
н max
 мин
V
T
Q
=
=
=
 
(1.1.16)

Таким образом, модель перемешивателя по каналу расход суспензии Qн – степень заполнения V, будет определяться выражением:

 
1
5
( )
.
5
1
п
W
p
p
=
+
 
(1.1.17)

Передаточная функция данного агрегата по каналу «процентное заполнение V – мощность, потребляемая приводным двигателем 
крыльчатки», является безынерционным звеном и рассчитывается как 
отношение Pном к Vп:

 
880
20.
44

ном
п2
п

P
W
V
=
=
=
 
(1.1.18)

Для реализации выражений (1.1.4), (1.1.7), (1.1.12), (1.1.13), 
(1.1.17) и (1.1.18) в пакете Matlab Simulink используем блоки Transfer 
Fcn1, Gain1, Transfer Fcn2, Gain2, Transfer Fcn3, Gain3 соответственно. 
Зону нечувствительности Δ = ±3 % моделирует блок Dead Zone, а 
ограничение открытия клапана x от 0 до 100 % – Saturation. 
Элемент Step задает скачкообразное изменение параметра x до 
50 %. Display необходим для вывода установившегося значения переходной характеристики системы (рис. 1.1.3, а).
В меню Configurations parameters зададим время моделирования 
20 с, шаг – 0,01 с (fixed step, ode4), получим переходную (разгонную) 
характеристику ОУ по мощности перемешивателя (рис. 1.1.4). 

а

б 

Рис. 1.1.3. Схема моделирования процесса перемешивания суспензии: 
а – схема реального ОУ; б – схема ОУ с аппроксимирующими его 
моделями первого порядка

Перейдем к экспериментальному методу идентификации ОУ. Если 
кривая разгона имеет S-образную форму, как на рис 1.1.4, то такой 
объект можно приближенно описать передаточной функцией вида [3, 
4, 7, 9]:

 
( )
.
1

о
о

о

e
p
k
W p
T p

−τ
=
+
 
(1.1.19)

А

a

xА

xB

tB
tА

B

xуст

τо
Tо

Рис. 1.1.4. Переходная характеристика мощности перемешивателя 
суспензии

Для определения условного чистого запаздывания τо и постоянной 
времени Tо на характеристике выбирают две точки А и В. Точка А задается примерно в окрестности изгиба кривой, где находят соответствующие ей время tА и относительную ординату 
A
x  [7]: 

 
,

уст

A
A

x
x
x
=
 
(1.1.20)

где xуст – установившееся значение переменной.

Ординату xВ в момент tВ берут обычно 0,8…0,9 от xуст. Следовательно, 0,8 ≤ 
B
x ≤ 0,9. Далее τо и Tо рассчитываются по формулам [7]:

 
ln(1
)
ln(1
) ,
ln(1
)
ln(1
)
о
B
A
A
B

A
B

t
x
t
x
x
x
−
−
−
τ =
−
−
−
 
(1.1.21)