Теория системного анализа и принятия решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1972 

Кафедра компьютерных информационных
и управляющих систем автоматики 

Р.Т. Газимов 
М.В. Усачёв 
К.З. Салихов 

Теория системного анализа
и принятия решений 

 

Курс лекций 

Допущено учебно-методическим объединением 
по образованию в области металлургии в качестве 
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению Металлургия 

Москва  2011 

УДК 681.5 
 
Г12 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. А.И. Широков 

Газимов, Р.Т. 
Г12  
Теория системного анализа и принятия решений : курс лекций / Р.Т. Газимов, М.В. Усачёв, К.З. Салихов. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2011. – 52 с. 
ISBN 978-5-87623-493-3 

Целью курса лекций является создание у студентов технологических специальностей целостного представления о принципах системного подхода при 
изучении и исследовании сложных процессов и систем. 
Курс лекций содержит два основных раздела. В первом разделе в доступной форме излагаются основные понятия теории системного анализа: структурный анализ и декомпозиция, формализация параметров и состояний систем, структурирование моделей системы и пространства решений, основные 
методы принятия решений в условиях многокритериальности. Второй раздел 
посвящен вопросам выработки оптимальных (по некоторому критерию) экспертных решений. В нем рассматриваются как классические постановки задачи оптимизации для линейного и нелинейного случая, объясняются понятия функции цели и ограничений и их влияние на процесс оптимизации, так 
и компьютерные поисковые методы. 
Предназначен для студентов бакалавриата по направлениям «Техносферная безопасность» и «Стандартизация и сертификация». 
УДК 681.5 

ISBN 978-5-87623-493-3 
© Газимов Р.Т., Усачёв М.В., 
Салихов К.З., 2011 

СОДЕРЖАНИЕ 

1 Модели и методы системного анализа и принятия 
экспертных решений 
5 
1.1 Введение в системный анализ 
5 
1.1.1 Основные понятия системного анализа 
5 
1.1.2 Система и внешняя среда 
7 
1.1.3 Свойства систем 
7 
1.1.4 Классификации систем 
7 
1.1.5 Методология системного анализа 
8 
1.1.6 Задачи системного анализа 
9 
1.2 Исследование свойств среды и структуризация 
систем (получение экспертной информации) 
10 
1.2.1 Экспертные методы и задачи оценивания 
10 
1.2.2 Алгоритм экспертизы и принципы опроса экспертов 
10 
1.2.3 Экспертные измерения и шкалы 
11 
1.2.4 Технологии генерации решений 
14 
1.3 Исследование свойств среды и структуризация 
систем (обработка экспертной информации) 
15 
1.3.1 Оценка компетентности экспертов 
и согласованности мнений 
15 
1.3.2 Методы формирования исходного пространства решений 18 
1.4 Многокритериальная оценка альтернатив 
23 
1.4.1 Цели системы 
23 
1.4.2 Возникновение многокритериальности, множества Парето 
24 
1.4.3 Многокритериальные задачи 
25 
1.4.4 Классификация методов 
26 
1.4.5 Прямые методы 
26 
1.4.6 Аксиоматические методы 
28 
1.4.7 Принципы оценки 
28 
2 Модели и численные методы оптимизации 
30 
2.1 Линейное программирование 
30 
2.1.1 Линейное программирование, постановка задачи 
30 
2.1.2 Графическое решение 
32 
2.1.3 Симплекс-метод 
32 
2.1.4 Вычислительный алгоритм 
34 
2.1.5 Двойственная задача 
37 
2.2 Нелинейные задачи математического программирования 
38 
2.2.1 Экстремумы целевой функции 
38 

2.2.2 Необходимые условие существования экстремума 
38 
2.2.3 Достаточное условие существования экстремума 
39 
2.2.4 Оптимизация с ограничениями в виде равенств 
40 
2.2.5 Оптимизация с ограничениями в виде неравенств 
42 
2.2.6 Общий случай условной оптимизации 
44 
2.3 Численные алгоритмы оптимизации 
44 
2.3.1 Методы прямого поиска 
44 
2.3.2 Градиентные методы 
48 
Список использованных источников 
51 
 

1 МОДЕЛИ И МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА 
И ПРИНЯТИЯ ЭКСПЕРТНЫХ РЕШЕНИЙ  

1.1 Введение в системный анализ  

1.1.1 Основные понятия системного анализа 

Системный анализ – сложное понятие на стыке информатики, кибернетики, теории оптимизации, теории вероятностей, теории принятия решений и прочих смежных дисциплин. 
Идеологической основой системного анализа (как научной дисциплины) является системный подход. 
Системный подход – понятие научно-философское, и подразумевает не наличие неких готовых решений, а скорее определяет точку 
зрения исследователя на поставленную проблему. В системном подходе любой объект исследования рассматривается как система – 
цельная и самостоятельная (рисунок 1.1).  

Объект
Система

Атом 
 

Рисунок 1.1 – Системный подход 

Система (греч.) – целое, составленное из частей (атомов) в некотором порядке. 
Атом (греч.) – целое, неделимое – элемент системы. 
Система – совокупность элементов, объединенных общей средой 
и общей целью. 
Системный анализ состоит в определении и формальном закреплении характеристик, структуры, внутренних движений, а также 
внешнего поведения системы в рамках заданной проблематики. 
Системный анализ – комплекс методов, приемов и средств для отыскания некоторых частных решений заданной проблемы, удовлетворяющих условиям и ограничениям предметной области (рисунок 1.2). 

Система 

Предметная область
 
 

Рисунок 1.2 – К определению системного анализа 

Системный анализ – это набор правил и методов: 
- структурного анализа; 
- функционального анализа; 
- статистического анализа; 
- математического моделирования; 
- теории оптимизации; 
- теории вероятностей; 
- теории принятия решений; 
- теории игр. 
Математический аппарат системного анализа основан на положениях теории исследования операций – комплекса методов для отыскания оптимальных решений заданной проблемы в условиях заданных ограничений. 
«Исследование операций» строже, чем «Системный анализ», как 
следует из таблицы 1.1. Системный анализ (СА) – расширение исследования операций (ИО) на поле неоднозначных проблем. 

Таблица 1.1 – Сравнение «Системного анализа» и «Исследования операций» 

«Исследование операций» (ИО) 
«Системный анализ» (СА) 

Дает оптимальные решения 
Дает частные решения 

Задан критерий оптимальности 
Критерия оптимальности нет, 
либо есть несколько противоречивых 

Ограничения представимы 
в формальном виде 
Ограничения могут быть неформальны 
и размыты 

1.1.2 Система и внешняя среда 

Среда – совокупность законов и правил, согласно которым осуществляется взаимодействие простейших элементов (атомов) любой 
системы. 
Система – сложноорганизованная часть среды, существующая 
самостоятельно и функционирующая с определенной целью. 
Модель – формальное представление системы, составленное в соответствии с условиями и ограничениями заданной проблемы. 
Сущность системного анализа состоит в выделении системы из 
среды и составлении ее адекватной математической модели. 

1.1.3 Свойства систем 

Определяют следующие свойства систем: 
- ограниченность означает, что система отделена от среды границами; 
- целостность означает, что система больше чем просто сумма 
элементов; 
- структурность означает, что поведение системы определяют 
как характеристики ее элементов, так и принципы их организации; 
- иерархичность означает, что любая система состоит из меньших 
подсистем; 
- взаимосвязь со средой означает, что характеристики системы 
формируются и проявляются лишь во взаимодействии со средой; 
- множественность описаний означает, что любую систему можно описать множеством способов и с многих точек зрения. 

1.1.4 Классификации систем 

По В.Г. Афанасьеву:  
- естественные (существующие в действительности);  
- концептуальные (характеризующие представление человека о 
действительности);  
- искусственные (существующие в действительности, но созданные усилиями человека). 

По С. Биру (простые, сложные, очень сложные): 
- детерминированные (поведение систем предопределено); 
- вероятностные (поведение систем зависит от случая). 

Прочие системы: 
- казуальные (без видимой цели) и целенаправленные; 

- активные и пассивные; 
- однородные (гомогенные) и неоднородные (гетерогенные); 
- статические и динамические. 

Принципы классификации систем по Б.А. Гладких представлены в 
таблице 1.2, например, полифункциональная вероятностная система со 
сложными развивающимися элементами и стабильными связями. 

Таблица 1.2 – Классификация систем согласно Б.А. Гладких 

Компоненты системы 
Категории 
свойства 
элементы 
отношения 

Моно- (одно) 
 
 
 

Поли- (много) 
√ 
√ 
√ 

Статические (стабильные) 
 
 
√ 

Динамические (функциональные) 
√ 
 
 

Динамические (развивающиеся) 
 
√ 
 

Детерминированные 
 
√ 
 

Вероятностные (случайные) 
√ 
 
√ 

Простые 
 
 
√ 

Сложные 
√ 
√ 
 

1.1.5 Методология системного анализа 

Основные методологические принципы, на которые опирается системный анализ, как научная дисциплина представлены в таблице 1.3. 

Таблица 1.3 – Методологические принципы системного анализа 

Принцип 
Определение 

Элементаризма  
Система состоит из элементарных составляющих  

Всеобщей связи  
Система – частное проявление среды; и она сама 
и ее элементы связаны с другими частями среды 

Развития  
Все системы развиваются (проходят этапы возникновения, 
становления, зрелости и упадка)  

Целостности  
Все элементы в границах системы – ее часть 

Оптимальности  
У любой системы есть наилучшее состояние с точки зрения 
некоторого критерия 

Иерархии  
Все элементы системы подчинены ей 

Формализации  
Любую систему можно описать формальной моделью 

Нормативности  
Понять систему можно, только если понимаешь среду 

Целеполагания  
Любая система имеет предпочтительное состояние, 
к которому она и стремится  

1.1.6 Задачи системного анализа 

К основным задачам системного анализа относят: 
- определение свойства среды (элементарный состав, законы, 
принципы и правила взаимодействия элементов); 
- определение цели и границы системы; 
- описание состава и поведения системы; 
- составление структуры системы; 
- представление поведения системы в виде функциональных отношений между ее элементами; 
- формализация этих функциональных отношений; 
- составление математической модели системы; 
- проверка математической модели на адекватность; 
- проведение идентификации математической модели (настройка 
ее под реальные условия работы системы); 
- составление функций цели и согласование их; 
- определение приемлемых решений и выбор лучшего. 
Методы системного анализа классифицированы в таблице 1.4. 

Таблица 1.4 – Методы системного анализа  

Основание 
Методы 

Тип знания 
Философские (диалектический, метафизический и т.п.). 
Общенаучные (системный, структурно-функциональный, моделирование, формализация и т. п.) 
Частнонаучные (свойственны для конкретной науки: методы моделирования социо-, биосистем и т.п.) 
Дисциплинарные (применяются в той или иной дисциплине, входящей в какую-нибудь отрасль науки, семиотические, лингвистические и т.п.) 

Выполняемые
функции  
Получения информации (системное наблюдение и описание, экспертные и игровые методы и т.п.) 
Представления информации (группировка, классификация и т.п.) 
Анализа информации (классификация, обобщение, методы анализа 
информационных систем и т.п.) 

Способ 
реализации  
Интуитивные («мозговая атака», «сценарии», экспертные методы и т.п.) 
Научные (анализ, классификация, системное моделирование, логика и теория множеств и т.п.) 

Уровень 
знания  
Теоретические (анализ, синтез, теоретизация и т.п.) 
Эмпирические (игровые, морфологические, экспертные оценки и т.п.) 

Форма 
представления
знания  

Качественные, опирающиеся на качественный подход 
к объекту («сценариев», морфологические) 
Количественные, использующие аппарат математики (статистические, теории графов, комбинаторики, кибернетики, логики, множеств, лингвистики, исследования операций, семиотики, топологии и т.п.) 

1.2 Исследование свойств среды и структуризация 
систем (получение экспертной информации) 

1.2.1 Экспертные методы и задачи оценивания 

Экспертные методы (неформальный синтез) – это набор методов, 
соответствующих предпроектной стадии исследования систем, направленных на определение границ системы, ее элементарного состава и общих закономерностей взаимодействия между элементами. 
Основные задачи – оценить структуру и принципы функционирования системы через взаимодействие со специалистами, хорошо знакомыми с работой системы (экспертами), и обработку знаний, полученных от них. 
Данный этап представляет собой наиболее ответственную 
часть технологии СА. Происходит переход от неформального представления бесконечно сложного объекта, проблемы, не имеющей 
границ, от нечетких представлений к формализованной постановке 
задачи, четкому описанию системы. 

1.2.2 Алгоритм экспертизы и принципы опроса экспертов 

Алгоритм экспертизы включает в себя следующие шаги: 
- опрос экспертов (раздел соответствует накоплению информации 
о проблеме, объекте); 
- генерация решений (раздел соответствует генерации вариантов 
будущих решений на основе отобранной информации, сгущению информации до нескольких вариантов, формированию веера вариантов);  
- экспертиза решений (раздел соответствует определению области 
принимаемых решений, принципов выбора между многими вариантами самых перспективных, первоочередных);  
- процедура формализации (раздел соответствует осмыслению, 
оформлению, приведению к каноническому виду для дальнейшего 
синтеза модели системы формальными методами). 
Опрос эксперта – основная методика получения экспертной информации о системе. Задачи – определить представления эксперта о структуре, границах, функционировании системы и ее взаимодействии со 
средой, а также сведения о топологии области принятия решений. 
Каждый эксперт видит проблему и систему в целом по-разному. 
Поэтому важно в ходе опроса также определять качества самих экспертов, чтобы в дальнейшем их легче было оценивать. 

В ходе опроса необходимо определить: на что эксперт обращает внимание при принятии решении; каковы его предпочтения при оценивании 
характеристик системы; как в целом эксперт относится к работе системы. 
Существует два основных типа опроса экспертов – анкетирование 
и интервью. Способы их организации схожи, разница в средствах. 
Перед организацией опроса(ов) аналитику необходимо не только 
вникнуть в проблематику, но и ознакомиться с убеждениями экспертов, отношениями между ними, их личными качествами. Исходя из 
этого составляется план и определяются средства опроса. 

1.2.3 Экспертные измерения и шкалы 

Принципиальным (если не ключевым) вопросом при организации 
опроса является определение используемого экспертом принципа 
оценивания состояния системы (какие характеристики, какие приоритеты, форма области состояний), т.е. выяснить принцип экспертных измерений. 
Измерение – алгоритмическая операция, при которой наблюдаемому состоянию системы (среды) ставится в соответствие некоторый 
знак, что позволяет зафиксировать информацию о данном состоянии 
и после обрабатывать ее. Этот «знак» – чаще всего набор чисел или 
код – должен быть уникален для каждого состояния. Отсюда выражение – обозначить состояние. Структура «знака» зависит от того, 
сколько состояний определяют поведение системы, какие характеристики системы наблюдаемы и какова их природа, с какой аккуратностью (и точностью) их необходимо фиксировать. 
Качество предлагаемой знаковой системы оценивается с применением методов теорий информации и обработки сигналов. Необходимое условие введения обозначений: в ходе наблюдений существует 
возможность отличить одно состояние от другого. 
Существуют три аксиомы тождества: 
1) либо А = В, либо А ≠ В; 
2) если А = В, то и В = А; 
3) если А = В и В = С, то А = С, 
где А, В и С – некоторые знаки, соответствующие состояниям. 
Если аксиомы соблюдены, для организации измерений вводится 
понятие «шкала» – последовательность всех возможных знаковсостояний. Тогда измерение – есть определение (по результатам наблюдений) местоположения текущего состояния на заданной шкале. 

Шкала НАИМЕНОВАНИЙ также называется номинальной, или 
классификационной. 
При составлении данной шалы необходимо соблюсти 3 аксиомы 
тождества и: 
1) определить число всех возможных состояний; 
2) поставить каждому состоянию в соответствие уникальный знак. 
Полученное множество знаков и есть шкала. 
Единственная операция, допустимая для такой шкалы, – это сравнение двух состояний.  Единственный вывод, возможный для такой 
шкалы, – совпадает ли одно состояние с другим. 
С использованием предложенной шкалы могут быть определены 
число и частота наблюдений каждого состояния. 

Шкала ПОРЯДКА также называется порядковой, или ранговой. 
Принцип составления: 
1. Для номинальной шкалы все состояния ранжировать по предпочтениям. При этом используютcя следующие аксиомы порядка: 
1) если А > В, то В < А; 
2) если А > В и В > С, то и А > С. 
Такая шкала называется шкалой простого порядка. 
Если в некоторых парах состояний нельзя определиться с предпочтениями, то аксиомы меняют вид. 
Если аксиомы строго не соблюдаются, например, 
1) либо А ≥ В, либо В ≥ А; 
2) если А ≥ В и В ≥ С, то А ≥ С, 
то такая шкала называется шкалой слабого порядка. 
Если некоторые состояния вообще невозможно сравнить друг с 
другом, то аксиома 1 принимает вид 
ни А ≥ В, ни В ≥ А. 
Такая шкала называется шкалой частичного порядка. 
Единственная операция, допустимая для такой шкалы, – только 
сравнение. Вывод, возможный для такой шкалы, – это определить, 
какое состояние предпочтительнее. 
С использованием предложенной шкалы может быть определен 
ранг каждого состояния Аi: 

 

1

(
,
);
(
,
)
{1:
; 0:
}.

n

i
i
j
i
j
i
j
i
j
j

R
C A A
C A A
A
A
A
A

=
=
=
≥
<
∑