Алгебра и геометрия. Раздел : общая алгебра

АННОТАЦИЯ 

Данное пособие есть второе издание, в авторской редакции, 
учебного пособия с тем же названием, выпущенного в 1996 году. 
Перед вами пособие по курсу Алгебра и Геометрия, предназначенное 
для студентов факультета Информатики и Экономики (ИиЭ) 
специальностей: 
0102.00 
(Прикладная 
математика), 
2202.00 
(Автоматизированные 
системы 
управления 
и 
обработки 
информации), 
1209.00 
(Проектирование 
металлургических 
предприятий) и 0719.00 (Информационные системы) для области 
применения в экономике. 

Годовой курс Алгебра и Геометрия читается в первом и втором 
семестрах. Материал данного пособия охватывает раздел Общая 
алгебра – основную часть программы второго семестра. Пособие 
может служить основой для самостоятельной работы студентов при 
подготовке к практическим занятиям, зачетам, экзаменам и при 
выполнении 
контрольных 
заданий. 
Одновременно 
с 
данным 
пособием и в дополнение к нему рекомендуется использовать 
сборник задач по курсу Алгебра и Геометрия, охватывающий те же 
темы (Учебное пособие МИСиС № 1239, авторы: И.А. Кашапов, 
Ф.Р. Кашапова, Т.Н. Фоменко, 1996). 

Материал данного пособия разделен на части по основным темам 
данного 
раздела, 
в 
конце 
помещен 
список 
дополнительной 
литературы, рекомендуемой для более детального изучения данного 
раздела курса Алгебра и Геометрия”. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС) 2000 

ФОМЕНКО Татьяна Николаевна 

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ 

Раздел: Общая алгебра 

Учебное пособие 
для студентов специальностей 
01012.00, 2202.00, 1209.00, 0719.00 

Объем  112  стр.  
Тираж 195  экз. 

Заказ 
Цена “С” 
Регистрационный   № 305 

Московский государственный институт стали и сплавов, 
117936 Москва, Ленинский пр-т, 4 
Типография МИСиС, ул. Орджоникидзе, 8/9 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Отношения и отображения на множествах ............................ 4 
2. Нечеткие подмножества и нечеткие отношения .................... 12 
3. Эквивалентности и порядки ................................................... 16 
4. Мощность множества ............................................................. 22 
5. Порядковые типы и ординалы ............................................... 28 
6. Алгебраические системы ........................................................ 36 
7. Полугруппы и группы ............................................................ 50 
8. Произведения групп ............................................................... 64 
9. Центр. Коммутант. Простые и разрешимые группы .............. 67 
10. Структура конечных абелевых групп .................................... 72 
11. Представления групп.............................................................. 
75 

12. Кольца .................................................................................... 
79 

13. Поля ........................................................................................ 
84 

14. Кольца многочленов ............................................................... 88 
15. Решетки (алгебраические структуры) .................................... 95 
16. Гомоморфизмы решеток. Идеалы. Конгруенции.  
Факторизация ....................................................................... 
106

3 

1. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ НА 
МНОЖЕСТВАХ 

Пусть A – некоторое непустое множество. Прямым произведением множества A на себя называют множество A × A всевозможных 
упорядоченных пар элементов из множества A. Аналогично, прямым 
произведением n экземпляров (n ∈ N = {1, 2, ...} – множество целых 
положительных чисел) множества A (или n-ой степенью множе
ства A) называют множество 
 всевозможных 

упорядоченных наборов по n элементов из множества A.  

A
A
A
A
n

n
×
×
×
=
L
1
2
44
3
44

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 

n-арным отношением на множестве А называется любое под
множество 
 n-ой степени множества A (n-натуральное 

число). В частности, подмножества множества A называют унарными отношениями (n = 1), подмножества прямого произведения 
Α × Α 
– 
бинарными 
отношениями 
(n = 2) 
подмножества 
Α × Α × Α – тернарными  отношениями (n = 3) и так далее. 

γ ∈ An

ПРИМЕРЫ 
1. Отношение λ = {x ∈ Ζ⏐x = 2k, k ∈ Ζ} четности на множестве Ζ целых чисел – унарное отношение. 

2. Отношение естественного порядка α=″≤″= {(x, y)⏐x ≤ y; 
x, y ∈ R} – бинарное отношение на множестве вещественных чисел. 

3. Отношение β = {( x, y, z)|z= x + y; x, y, z ∈ R} – тернарное 
отношение на множестве вещественных чисел R. 

Рассмотрим подробнее бинарные отношения и операции над ними. 

1.1. АЛГЕБРЫ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ 

C бинарными отношениями как подмножествами прямого произведения можно производить обычные операции: объединение(∪), 

4 

1. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ 

пересечение(∩), дополнение(\) (дополнение данного подмножества 
Α до некоторого заданного универсального непустого множества Ω 
обозначают Ω\Α, а также просто − Α, если ясно, о каком Ω идет 
речь.) Существует несколько способов задания бинарных отношений. 
Остановимся кратко на некоторых из них. Для этого нам будут нужны следующие понятия (с которыми более подробно можно ознакомиться по [2]). 

Высказыванием называют всякое предложение (фразу) естественного или искусственного языка, для которого имеет смысл вопрос о 
его истинности или ложности. Высказывательной формой называют 
выражение (т. е. осмысленное сочетание букв и знаков данного языка), в состав которого входят символы, означающие произвольные 
элементы их некоторого заданного множества (такие символы носят 
название переменных), и которое при каждом конкретном наборе 
значений своих переменных является высказыванием. 

Бинарные отношения часто задают с помощью логических высказываний, и принадлежность пары (x, y) к данному бинарному отношению сводится к проверке истинности заданной высказывательной 
формы при подстановке в нее имен элементов x, y вместо переменных. При этом высказывательная форма, задающая объединение двух 
отношений, есть дизъюнкция высказывательных форм, задающих два 
данных отношения; аналогично, пересечению бинарных отношений 
соответствует конъюнкция их высказывательных форм, а дополнению данного бинарного отношения – операция отрицания соответствующей высказывательной формы. Вследствие этого операции объединения, пересечения и дополнения над бинарными отношениями 
называют также соответственно дизъюнкцией, конъюнкцией и отрицанием. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 

(
Совокупность 
)
P
2
A
 бинарных отношений на данном множе
стве вместе с операциями их объединения (дизъюнкции), пересечения 
(конъюнкции), а также операции дополнения (отрицания) – называется булевой алгеброй бинарных отношений на множестве Α. 

Операции булевой алгебры бинарных отношений обладают следующими основными свойствами (для любых бинарных отношений 

5 

Фоменко Т.Н. 

α, β, γ ∈ 
): 
(
)
P
2
A

B1. α ∪ α = α 
B2. α ∩ (β ∪ γ) = (α ∩ β) ∪ (α ∩ γ) 
B3. α ∪ β = β ∪ α 
B4. α ∪ (β ∪ γ) = (α ∪ β) ∪ γ 
B5. –(–α) = α 
B6. –(α ∪ β) = (–α) ∩ (–β) 
B7. –(α ∩ β) = (–α) ∪ (–β) 
Свойства B6, B7 называются законами двойственности (или 
формулами де Моргана), с их помощью можно вывести также свойства, двойственные B1 ...B4, например: α ∪ (β ∩ γ) = (α ∪ β) ∩ 
(α ∪ γ) – свойство, двойственное B2. 

Отметим, что всякое (непустое) множество с тремя внутренними 
операциями (т. е. результаты которых принадлежат тому же множеству, на элементы которого эти операции действуют), обладающими 
свойствами B1 ...B7, называют(абстрактной) булевой алгеброй, поэтому указанные свойства B1 ...B7 называют также аксиомами булевой алгебры.  

Рассмотрим еще две операции над бинарными отношениями: произведение и обращение. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 
Произведением (или композицией) двух бинарных отношений 

α, β ⊆ Α × Α называется бинарное отношение α ⋅ β, определяемое 
равенством: 

α ⋅ β = {(x, y) ∈ Α × Α⏐(∃z ∈ Α)((x, z) ∈ α ∧ ((z, y) ∈ β)}.
 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 
Обращением (или инверсией) данного бинарного отношения 
α ⊆ Α × Α называется бинарное отношение 

α
α
α
−
−
=
⊆
×
∈
1
1
,
{( , )
|( , )
}.
x y
A
A y x

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5 
Полной алгеброй бинарных отношений на множестве A назы
6 
 

1. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ 

вается совокупность всех бинарных отношений на вместе с пятью 
операциями: дизъюнкцией, конъюнкцией, отрицанием, произведением 
(композицией) и обращением.  

Перечислим основные свойства полной алгебры бинарных отношений на A, дополняющие свойства B1 ...B7 булевой алгебры: 

P1.
 
α
α
o
o
i
i
=

(
)
{
}
(
,
,
;
i
i
i
x y x y
A x
y
A
−
=
=
∈
=
отношение равенства, 
. 

P2. 
 
(
)
α
β
α
β
∩
=
∩
−
−
−
1
1
1.

P3. 
 
(
)
α
β
α
β
∪
=
∪
−
−
−
1
1
1.

P4. 
. 
(
)
α β
β
α
o
o
−
−
−
=
1
1
1
.

P5. 
(
)
(
)
(
)
α
β
γ
α γ
β γ
∪
=
∪
o
o
o
. 

P6. 
(
)
(
)
(
)
γ
α
β
γ
α
γ
β
o
o
o
∪
=
∪
. 

P7. 
. 
(
)
(
)
−
= −
−
−
α
α
1
1

P8. 
(
)
(
)
α
β γ
α β
γ
o
o
o
o
=
. 

Несложная проверка свойств P1 ...P8 (а также свойств B1 ...B7 булевой алгебры бинарных отношений) предоставляется читателю. 

Кроме бинарных отношений как подмножеств квадрата Α × Α более общим образом, можно аналогично рассматривать так называемые отношения на паре множеств, то есть подмножества прямого 
произведения двух различных множеств A и B. Однако для таких отношений имеет смысл лишь понятие булевой алгебры, но не полной 
алгебры, поскольку совокупность отношений на паре различных 
множеств незамкнута, вообще говоря, относительно операций произведения и обращения. В самом деле, произведение отношений 
α ⊆
×
A
B  и β ⊆
×
B
C  естественно определяется как отношение 

, а обращение отношения α ⊆
α β
o
⊆
×
A
C
×
A
B  – как отноше
ние 
. Выделим важный тип отношений на паре множеств, называемых отображениями. 

α− ⊆
×
1
B
A

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6 
Отображением множества A в множество B называется отношение λ ⊆ A × B на паре множеств, удовлетворяющее усло
7 

Фоменко Т.Н. 

вию:(∀x ∈ A)(∃!y ∈ B)((x, y) ∈ λ). 

При этом элемент y называется образом элемента x и обозначается: y = λ(x), а элемент x называется прообразом элемента y. 

Полным прообразом элемента y ∈ B называется подмножество 

(возможно пустое) 
 Отображение называется инъективным, если образы разных элементов различны, то 
есть если неравенство: x ≠ y для элементов x, y ∈ A влечет за собой 
неравенство образов: λ(x) ≠ λ(y). 

λ
λ
−
=
∈
=
1( )
{
|
( )}
y
x
A y
x

Отображение называется сюръективным, если прообраз любого 

элемента непуст, то есть 
. И наконец, отображение называется взаимно-однозначным или биективным, если 
оно одновременно инъективно и сюръективно. Совокупность образов 
всех элементов при отображении λ называется образом отображения λ и обозначается λ(A), λ(A) ⊆ B.  

(
)(
( )
)
∀ ∈
≠ ∅
−
y
B
y
λ
1

Приведем две теоремы об отображениях. 

ТЕОРЕМА 1.1 
Отображение λ ⊆ A × B взаимнооднозначно тогда и только то
гда, когда выполнены равенства:⋅
 
λ λ
λ
λ
o
o
−
−
=
=
1
1
i
i
A
B
;
.

ТЕОРЕМА 1.2 
Для того чтобы дизъюнкция λ ∪ γ (или конъюнкция λ ∩ γ ) двух 
отображений была отображением, необходимо и достаточно, чтобы эти отображения совпадали, то есть λ = γ. 

Доказательство этих несложных теорем предоставляется читателю 
в качестве полезного упражнения.Аналогично рассмотренному выше понятию отображения множества Α в множество Β можно рассмотреть следующее понятие nарного отображения одного множества в другое для всякого положительного натурального числа n (то есть для n ∈ Ν = {1, 2, ...}). 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7 
n-арным отображением множества A в множество B называ
ется (обычное) отображение из An  в B.  

8 
 

1. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8 
n-арной операцией на множестве A называется n-арное отображение из A в A. 

Например, сложение и умножение натуральных чисел – это бинарные операции на множестве Ζ натуральных чисел. Определения nарного отображения и n-арной операции даны для любого натурального числа n. Этим понятиям можно придать естественный смысл и 
для n равного нулю: нуль-арным отображением из A в B будем называть просто фиксацию некоторого элемента в множестве B. Аналогично, нуль-арной операцией на множестве A будем называть выбор 
(фиксацию) некоторого элемента в множестве A (или сам некоторый 
фиксированный элемент множества A ). 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9 
n-арным предикатом на множестве A называется n-арное отображение из множества A в так называемое множество модальностей (или степеней истинности) Μ, которое всюду ниже будет полагаться двухэлементным: Μ = {И, Л} – множество модальностей классической логики (И-истина, Л-ложь). Здесь, как и выше, 
n ∈ Ν = {0, 1, 2, ..., n, ...}. 

Предикат обычно задают с помощью какой-либо логической формы или с помощью задания подмножества его истинности. Например, 
предикат P(x) = 〈x – целое число〉 на множестве всех вещественных 
чисел – унарный предикат. Его множество истинности – множество 
всех целых чисел. Предикат "≥ " на множестве всех вещественных 
чисел, или Q(x, y) = 〈x ≥ y〉 – бинарный предикат. Естественным 
образом всякий n-арный предикат P определяет n-арное отношение 

на A: 
=
λ P
λ P
P−1(И). Понятно, что и всякое данное n-арное отношение определяет предикат той же -арности. 

1.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЙ 

Пусть α – некоторое n-арное отношение на множестве A, 
α∈ An .Отметим три основных способа задания такого отношения. 

1. Перечисление элементов прямого произведения, то есть упо
9 

Фоменко Т.Н. 

рядоченных наборов элементов из A, принадлежащих α. Чаще всего 
этот простейший способ задания отношения используется в случае 

конечного множества A. Например, α = 1 2 3 2  – так записывает
ся бинарное отношение на множестве {1, 2, 3, 4, 5}, состоящее из 
упорядоченных пар: (1, 3), (2, 5), (3, 1), (2, 4).  

3 51 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

2. Задание отношения как подмножества истинности некоторого набора логических форм, иными словами, вместо прямого 
перечисления элементов отношения они выделяются с помощью некоторого набора свойств, например, подмножество всех четных целых чисел – унарное отношение на множестве целых чисел – есть 
множество истинности логической формы: 〈x – четное целое число〉.  

3. Задание характеристической функции.  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8 
Характеристической функцией данного отношения α называ
ется отображение 
, определяемое по правилу:  
χα:
{ ; }
An → 0 1

(
)
(
)
(
)
χ
α
α
α x
x
x
x
x
x
n
n
n
1
1
1
1
0
,...,
,
,...,
,
,
,...,
.
=
∈
∉
⎧⎨⎩

Таким образом, со всяким отношением можно связать его характеристическую 
функцию, 
и 
обратно, 
всякая 
функция 
вида: 

 задает отношение 
 где 
( )   
ψ:
{ ; }
An → 0 1
αψ ⊆ An ,
α
ψ
ψ =
−1 1 ,

Отметим, что существует естественная связь между отношениями, отображениями, операциями и предикатами: 

а) Всякое n-арное отношение на множестве A определяет n-арный 
предикат на A, и обратно, всякий n-арный предикат на A определяет 
n-арное отношение на этом множестве. В самом деле, если  
γ – n-арный предикат на множестве A, то естественно (и однозначно) 
определяется подмножество его истинности:  

(
) (
)
{
α
γ
γ =
=
a
a
a
a
n
n
1
1
,...,
,...,
И, 
}
a
A i
n
i ∈
=
;
, ,...,
1 2
, 

10 
 

1. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ 

являющееся n-арным отношением на множестве A. Обратно, всякое 
n-арное отношение на A очевидно задает предикат, для которого оно 
является подмножеством истинности. 

б) Всякая n-арная операция f на множестве A задает (n + 1)арный предикат γ f  по следующему правилу:  

(
)
(γ f
n
a
a
y
1, ...,
,
= И ⇔ 

(
)
(
)
⇔
=
∈
∈
=
y
f a
a
a
A y
A i
n
n
i
1
1
, ...,
,
,
;
.
, ..,

Однако не всякий (n + 1)-арный предикат определяет какую-либо 
n-арную операцию (см. определение операции как отображения). 

11