Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Высшая математика : элементы тензорной алгебры

Покупка
Артикул: 752899.01.99
Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину
Пособие содержит в краткой, но доступной форме практически весь необходимый теоретический материал по разделу «Тензорная алгебра» дисциплины «Алгебра и геометрия». Для успешного освоения основных понятий этой темы и развития необходимых навыков обращения с тензорами студенты, согласно учебному плану, должны выполнить контрольную работу по тензорной алгебре и сдать преподавателю отчет. Требования к оформлению отчета содержатся в конце данного пособия. Пособие может быть полезно как студентам, так и преподавателям. Предназначено для студентов факультета ИиЭ, а также может быть использовано для студентов факультетов ФХ, ПМП и других, в чьи учебные планы входит изучение тензорной алгебры.
Фоменко, Т. Н. Высшая математика : элементы тензорной алгебры : учебно-методическое пособие / Т. Н. Фоменко. - Москва : ИД МИСиС, 2002. - 45 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1231376 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
УДК 514.743 

Ф 76 

Ф 76 Фоменко Т.Н. Высшая математика: Элементы тензорной 
алгебры: Учеб.-метод. пособие – М.: МИСиС, 2001.– 45 с. 

Пособие содержит в краткой, но доступной форме практически 
весь необходимый теоретический материал по разделу «Тензорная алгебра» 
дисциплины «Алгебра и геометрия».  

Для успешного освоения основных понятий этой темы и развития 
необходимых навыков обращения с тензорами студенты, согласно 
учебному плану, должны выполнить контрольную работу по тензорной 
алгебре и сдать преподавателю отчет. Требования к оформлению отчета 
содержатся в конце данного пособия.  

Пособие может быть полезно как студентам, так и преподавателям. 
Предназначено для студентов факультета ИиЭ, а также может быть 
использовано для студентов факультетов ФХ, ПМП и других, в чьи учебные 
планы входит изучение тензорной алгебры. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ФОМЕНКО Татьяна Николаевна 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Элементы тензорной алгебры 

Учебно-методическое пособие 
для студентов специальности 0730, 2202, 3514 

Рецензент доц., канд. физ.-мат. наук В.В. Шихеева 

Редактор С.В. Фролова 

Компьютерная верстка Т.Д. Насущновой 

ЛР № 020777 от 13.05.98 

Подписано в печать 24.01.02 
Бумага офсетная 

Формат 60 × 90 1/16 
Печать офсетная 
Уч.-изд. л. 1,76 

Рег.  № 531 
Тираж 400 экз. 
Заказ 1063 

Московский государственный институт стали и сплавов, 
119991, Москва, Ленинский пр-т, 4 

Издательство «Учеба» МИСиС 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 
Тел.: 954-73-94, 954-19-22 

Отпечатано в типографии Издательства «Учеба» МИСиС, 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 
ЛР №01151 от 11.07.01 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ ..................................................................................................4 
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ....................................................................5 

1.1. Сопряженное линейное пространство V*, ковекторы,  
двойственный базис .........................................................................................5 
1.2. Функциональное определение тензора типа (p; q),  
его компоненты ................................................................................................6 
1.3. Правила записи индексированных выражений, принятые  
в тензорной алгебре..........................................................................................7 
1.4. Векторы и линейные операторы как тензоры.........................................7 

1.5.Линейное пространство 
, его стандартный базис.............9 
)
(V
T
T
q
p
q
p =

1.6. Линейные операции над тензорами в координатной форме ...............11 
1.7. Произведение тензоров (тензорное умножение), элементы 

стандартного базиса 
 как тензорные произведения........................11 
)
(V
T
q
p

1.8. Тензорное произведение линейных пространств.................................12 
1.9. Изменение базиса в основном пространстве V  
и соответствующее изменение двойственного базиса в пространстве V*.........13 
1.10. Преобразование координат тензора при изменении базиса ..............14 
1.11. Классическое координатное определение тензора типа (p; q) ..........16 
1.12. Правила записи координат тензоров в матричной форме .................16 
1.13. Свертки тензоров. Типы сверток .........................................................18 
1.14. Симметрирование и альтернирование тензоров.................................20 
1.15. Симметрическое и внешнее произведения тензоров .........................24 

1.16. Пространства 
 и 
 симметрических тензоров, их базисы........26 
p
S
p
S

1.17. Пространство 
p
Λ
 p-форм и пространство 
q
Λ  q-векторов, их 

базисы..............................................................................................................31 
1.18. Метрический тензор. Тензоры над евклидовым  
пространством. Поднятие и опускание индексов у координат 
тензора.............................................................................................................36 

2. Контрольная работа «АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД 
ТЕНЗОРАМИ»....................................................................................................40 

2.1. Образец распечатки с условиями заданий ............................................40 
2.2. Список заданий........................................................................................41 
2.3. Указания к выполнению заданий и оформлению работы ...................42 

ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................43 

 
3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данное пособие содержит практически весь необходимый 
материал для освоения темы «Тензорная алгебра» курса «Алгебра и 
геометрия», читаемого автором студентам групп ММ, МА, МИ, МП, 
ПМ факультета Информатики и Экономики (ИиЭ) в течение многих 
лет.  

В разделе 1 изложены необходимые теоретические сведения 
в объеме утвержденной программы курса «Алгебра и геометрия». 
Все основные утверждения приведены с доказательствами. Новые 
понятия и операции разъяснены на примерах. Некоторые простые 
утверждения предложены читателям в виде самостоятельных упражнений для лучшего усвоения того или иного понятия. 

В разделе 2 приведена контрольная работа по теме «Алгебраические операции над тензорами» указания по ее выполнению. 

В разделе 3 представлен список литературы – отдельно учебники и задачники. 

Автор надеется, что пособие окажется полезным как студентам, так и преподавателям. Кроме факультета ИиЭ, пособие может 
быть использовано также на  факультетах ФХ, ПМП и других, в чьи 
планы входит изучение в том или ином объёме темы «Тензорная алгебра». 

Автор благодарит старшего преподавателя кафедры математики Елену Леонидовну Плужникову за совместное обсуждение содержания контрольной работы. Программное обеспечение для контрольной работы «Алгебраические операции над тензорами» выполнил студент факультета ИиЭ Денис Масленников, которому автор 
также выражает свою благодарность. Автор искренне благодарит рецензента пособия доцента кафедры кибернетики Валерию Владимировну Шихееву и редактора Светлану Вивкторону Фролову. Их ценные замечания и пожелания позволили улучшить изложение материала. 

Т.Н.ФОМЕНКО  

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

1.1. Сопряженное линейное пространство V *, 
ковекторы, двойственный базис 

Пусть V – n-мерное вещественное линейное пространство. 
Его элементы мы будем иногда называть векторами, как это принято 
в литературе по тензорной алгебре. Функция 
R
V →
ϕ:
 называется 
линейной (или линейным функционалом), если для всех x, y из V и 
любого вещественного  числа λ выполнены следующие условия: 

).
(
)
(
),
(
)
(
)
(
x
x
y
x
y
x
λϕ
=
λ
ϕ

ϕ
+
ϕ
=
+
ϕ
 
(1) 

Такие линейные функции называют линейными формами или 
ковекторами (над пространством V).  

Множество V* всех линейных форм на V с естественными 
операциями сложения и умножения на вещественные числа является 
линейным пространством той же размерности n и называется пространством, сопряженным к V. 

Пусть 
)
...,
,
( 1
ne
e
=
B
 – произвольный базис в V. Поставим 

ему в соответствие семейство ковекторов 
)
...,
,
( 1
*
n
e
e
=
B
, определяемых (однозначно!) условиями: 

 
 
(2) 

⎩
⎨
⎧
=
≠
=
δ
≤
≤
δ
=
.
,1
,
,0
где
,
,
1
,
)
(
k
i
k
i
n
k
i
e
e
k
i
k
i
i
k

УПРАЖНЕНИЕ 1. Проверьте самостоятельно, что построенное семейство B* является базисом сопряженного пространства V*. Этот базис на
зывается двойственным базисом к базису B основного линейного пространства V.  

Заметим, что если 
, то 
 Таким 
образом, элементы двойственного базиса – это просто координатные 
функции.  

k
ke
x
x =
m
k
k
m
m
x
e
x
e
x
e
=
=
)
(
)
(
.

 
5 

ПРИМЕР 1. Пусть основное линейное пространство V – это пространство всех геометрических векторов, и в нем фиксирован стандартный 

евклидов базис 
}
,
,
{
k
j
i

r
r
r

=
B
. Тогда двойственным к нему базисом будет 

набор из трех функционалов 
}
,
,
{
ϕ
ϕ
ϕ
=
3
2
1
*
B
 таких, что для всякого 

вектора 
k
x
j
x
i
x
x

r
r
r
r
3
2
1
i
i
+
+
=
 их значения равны: 
.3
,2
,1
;
)
(
=
=
ϕ
i
x
xr

1.2. Функциональное определение тензора 
типа (p; q), его компоненты 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть заданы два целых числа p ≥ 0, 
q ≥ 0. Вещественнозначная функция  

 
 
(3) 
,
...
...
:
*
*
R
V
V
V
V

q
p
→
×
×
×
×
×
τ
43
42
1
43
42
1

действующая из прямого произведения p экземпляров пространства 
V и q экземпляров сопряженного пространства V* в множество вещественных чисел, называется тензором типа (p; q) над V, если она 
полилинейна, т.е. линейна по каждому из своих p + q аргументов. 

Число p + q называется валентностью (или рангом) тензо-
ра τ. 

При p = q = 0 тензором ранга нуль называют любое вещественное число.  

Стоит отметить, что при p = 0, q > 0 или при p > 0, q = 0 в (3) 
отсутствуют множители V или, соответственно, V*. Тензор типа (1; 0) 
– это, очевидно, ковектор.  

Если задан базис  
)
...,
,
( 1
ne
e
=
B
 в пространстве V, то всякий 

тензор τ порождает 
 следующих чисел (равных значениям 
функции τ на базисных элементах):  

q
p
n
+

 
 
(4) 
,
,...,
,
,...,
1
),
,...,
,
,...,
(
1
1

def.
...
...
1
1

1

1
n
j
j
i
i
e
e
e
e
p
q
i
i
j
j
i
i
j
j
q

p

q

p
≤
≤
τ
=
τ

которые называются компонентами тензора τ в базисе B. Тензор 
ранга нуль имеет, конечно, только одну компоненту, совпадающую с 
ним самим. 

Примечание. В некоторых книгах тензор (3) называют тензором типа (q; p). 

 
6 

1.3. Правила записи индексированных 
выражений, принятые в тензорной алгебре 

В тензорной алгебре при записи индексированных выражений для удобства приняты некоторые правила, которые используются в литературе. Перечислим основные из них. 

1. Если в формуле с одной стороны от знака равенства имеются индексы, которые с другой стороны от знака равенства отсутствуют, то предполагается, что по каждому из этих индексов производится суммирование от 1 до n (n = dimV). 

2. Если один и тот же индекс присутствует в формуле по обе 
стороны от знака равенства, то он записывается на одном и том же 
уровне, т.е. либо в обоих случаях сверху, либо в обоих случаях снизу. 

3. Если один и тот же индекс дважды повторяется с одной и 
той же стороны от знака равенства в формуле, то он обычно записывается на разных уровнях, то есть один раз сверху, один раз снизу. В 
этом случае данный индекс с другой стороны равенства отсутствует. 

Ниже мы будем пользоваться перечисленными правилами. 
Некоторые дополнительные правила записи и специальные обозначения будут приведены по мере необходимости. 

1.4. Векторы и линейные операторы 
как тензоры 

Рассмотрим несколько примеров тензоров. Элементы линейного пространства V ниже будем называть векторами. Итак, пусть 
x∈V – произвольный вектор. Легко видеть, что его можно интерпретировать как линейный функционал над пространством V*, т.е. как 
элемент пространства (V*)*. А именно, для любого y∈V* зададим дей
ствие x на y по правилу: 
, т.е. действие ковектора y на 
вектор x будем рассматривать как действие вектора x на ковектор y. 

В частности, если 
, то 
 

 т.е. действие вектора x на элемент 
 двойственно
)
(
)
(
x
y
y
x

def
=

i
n

k
k
k
e
y
e
x
x
=
= ∑
=
,
1

=
=
=
∑
=

n

k
k
k
i
i
def
i
e
x
e
x
e
e
x
1

.
)
(
)
(
)
(

,
)
(
1

i
n

k
k
i
k
x
e
e
x
=
= ∑
=

ie

 
7 

го базиса равно i-й координате этого вектора x. Это означает, что 
разные векторы будут действовать по-разному хотя бы на один базисный элемент, а, следовательно, это будут разные линейные функционалы над V*.  

Таким образом, мы задали отображение 
, сопоставив каждому вектору x его же самого, но уже как линейный функционал над V

*
*)
(
:
V
V →
γ

*. В силу сказанного выше это отображение инъективно, 
т.е. два различных вектора всегда будут задавать различные линейные функционалы.  

Пусть 
 – произвольный линейный функционал над 

V

*
*)
(V
u ∈

*, и пусть 
 – его компоненты.  
R
u
e
u
j
j
∈
=
)
(

 
8 

*
*
∈

УПРАЖНЕНИЕ 2. Проверьте, что вектор 
, является 

прообразом линейного функционала 
 по отношению к отображению γ. 

V
e
u
n

j
j
j
∈
∑
=1

)
(V
u

Таким образом, построенное выше отображение γ является также и 
сюрьективным. А следовательно, в силу иньюктивности и сюрьективности 
оно является взаимнооднозначным. 

УПРАЖНЕНИЕ 3. Проверьте, что γ сохраняет линейные операции, 
т.е. для любых x, z ∈ V и любого λ ∈ R верны равенства: γ(x + y) = γ(x) + γ(y), 
γ(λx) = λγ (x).  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Взаимнооднозначное отображение двух 
линейных пространств, сохраняющее линейные операции, называют 
изоморфизмом и обозначают значком “ ≅ ”, а такие пространства – 
изоморфными.  

Если изоморфизм двух линейных пространств фиксирован, 
то их элементы, соответствующие друг другу при этом изоморфизме, 
в алгебре обычно отождествляют, т.е. просто говорят, что эти пространства равны. Итак, выше было доказано, что линейные пространства V и (V*)* – изоморфны, V ≅ (V*)*. Поэтому ниже мы можем 
их отождествлять. Рассмотрим теперь некоторые примеры тензоров. 

ПРИМЕР 2. Вспомним, что по определению всякий линейный 
функционал над V* – это тензор типа (0; 1). Следовательно, из наших пре
1

i
i

0
*
j
j
j

n

дыдущих рассуждений получается, что всякий вектор – это тензор типа 
(0; 1). Отметим в частности, что базисный вектор 
 – это тен
зор 
с 
компонентами 
 
1 ≤ i ≤ n, 
а 
базисный 
ковектор 

 – тензор с компонентами 
. 

)
(
0 V
T
V
ek
≅
∈

,
)
(
k
k e
e
δ
=

)
(
1 V
T
V
e
≅
∈
m
m
e
e
δ
=
)
(

Другие тензоры можно получить, рассматривая линейные 
операторы. 

ПРИМЕР 3. 
Пусть 
 
– 
линейный 
оператор, 
и 

. Тогда, как легко проверить, 

*
:
V
V
F
→

*

1
)
(
V
e
f
e
F

j

j
kj
k
∈
= ∑
=

ki
i
k
f
e
e
F
=
)
)(
(
. Левую 

часть последнего равенства можно рассматривать как действие билинейной 
функции f на пару базисных векторов (ek, ei) из прямого произведения 
. Теперь понятно, что оператор F порождает тензор типа (2; 0), а 
именно: 
 – с компонентами 

V
V ×
R
V
V
f
→
×
:
f
e
e
f
ki
i
k
=
)
,
(
. И обратно, аналогичным образом, всякий тензор типа (2; 0) задает линейный оператор, действующий из V в V*.  

ПРИМЕР 4. 
Линейные 
операторы: 
 
 

– аналогично примеру 3 определяют двухвалентные тензоры 
типов (1; 1), (0; 2) и (1; 1), соответственно. 

,
:
V
V
A
→
,
:
*
V
V
B
→

*
*
:
V
V
D
→

УПРАЖНЕНИЕ 4. Самостоятельно убедитесь в справедливости утверждения ПРИМЕРА 4 и опишите компоненты полученных в нем тензоров 
в терминах элементов матриц соответствующих линейных операторов. 

1.5. Линейное пространство 
, 

его стандартный базис 

)
(V
T
T
q
p
q
p =

Рассмотрим множество 
 всех тензоров одного и 

того же типа (p; q) над линейным пространством V. 

)
(V
T
T
q
p
q
p =

УПРАЖНЕНИЕ 5. Проверьте, что множество 
с естественными 

операциями сложения и умножения тензоров на вещественные числа (как 
функций) само является линейным пространством. 

q
p
T

Выясним вопрос о базисе и размерности этого пространства. 
Зададим в нем набор специальных тензоров:  

 
. 
(5) 
n
j
j
i
i
E
p
q
j
j
i
i
p

q
≤
≤
,...,
,
,...,
1
},
{
1
1
...
...
1

1

Эти тензоры определяются следующими своими компонентами: 

 
 
(6) 
,
...
...
)
,...,
,
,...,
(
1
1
1
1
1
1

1

1

.
...
...
p

p

p

p

q

p

p

q

m
i
m
i
j
k
j
k

def
m
m
k
k
j
j
i
i
e
e
e
e
E
δ
⋅
⋅
δ
⋅
δ
⋅
⋅
δ
=

где 
. 
n
m
m
k
k
j
j
i
i
q
p
p
q
≤
≤
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
1
1
1
1
1

ЛЕММА 1. Набор (5) является базисом в линейном пространстве 
, и следовательно, его размерность 
. 
)
(V
T q
p

q
p
q
p
n
V
T
+
=
)
(
dim

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого утверждения проведем для случая 
p = q = 1. В других случаях оно проводится аналогично. Итак, покажем сначала, что набор специальных тензоров: 
 ли
нейно независим. Если линейная комбинация 

n
i
k
Ei
k
≤
≤ ,
1
},
{
 –

θ
=
α
=
μ Σ
i
k
k
i
k
i
E
,
 – три
виальна, то 
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
=
θ
=
α
=
α
=
μ
Σ
j
m
j
m
j
m
i
k
k
i
k
i

j
m
e
e
e
e
E
e
e
. Таким об
разом, все коэффициенты 
 равны нулю. Линейная независимость 
доказана. 

k
i
α

Покажем теперь, что любой тензор типа (1; 1) можно представить в виде линейной комбинации данного набора. Действительно, пусть 
 – тензор с компонентами 
 Тогда 

, поскольку легко убедиться, что компоненты этих двух 

тензоров одинаковы, а тензор как полилинейная функция однозначно 
определяется набором своих компонент (при фиксированном базисе). 
Заметим, что заодно мы здесь продемонстрировали, что компоненты 
тензора совпадают с его координатами в стандартном базисе пространства 
. 

1
1T
∈
τ
k
i
k
i e
e
τ
=
τ
)
,
(
.

i
k
k
i

k
i E
∑τ
=
τ
,

)
(V
T q
p

 
10

1.6. Линейные операции над тензорами в 
координатной форме 

Для любых линейных пространств справедливо следующее 
утверждение. Если в линейном пространстве 
 зафиксирован 

базис, то линейные операции над его элементами, т.е. тензорами типа 
(p; q), можно очевидно производить в координатной форме, а именно:  

)
(V
T q
p

– при сложении тензоров все их соответствующие (или, как 
иногда говорят, одноименные) координаты, т.е. координаты с одинаковыми наборами индексов – складываются; 

– при умножении тензора на вещественное число – все его 
координаты умножаются на это число. 

 
11

q

)

1.7. Произведение тензоров (тензорное 
умножение), элементы стандартного базиса 
 как тензорные произведения 
)
(V
Tp

Пусть 
 – заданные тензоры. Тензорным 

произведением тензора τ на тензор ξ называется тензор w = τ⊗ξ типа (p + r; q + s), координаты которого определяются из следующих 
равенств:  

)
(
),
(
V
T
V
T
s
r
q
p
∈
ξ
∈
τ

 
. 
(7) 
s
r

q

p

s
q

r
p
k
k
m
m
j
j
i
i

def
k
k
j
j
m
m
i
i
w
...
...
...
...

.
...
...
...
...
1
1

1

1

1
1

1
1
ξ
⋅
τ
=

Из определения тензорного умножения следует, что эта операция линейна по каждому аргументу, т.е. для любых вещественных 
чисел α, β и любых тензоров 
 имеют место 

равенства:  

)
(
,
),
(
,
V
T
V
T
s
r
q
p
∈
μ
ξ
∈
η
τ

(
)
(
)
(
ξ
⊗
η
⋅
β
+
ξ
⊗
τ
⋅
α
=
ξ
⊗
η
⋅
β
+
τ
⋅
α
, 

)
(
)
(
)
(
μ
⊗
τ
⋅
β
+
ξ
⊗
τ
α
=
μ
⋅
β
+
ξ
⋅
α
⊗
τ
. 

Согласно формулам (7) и (6), а также интерпретации базисных векторов и ковекторов как тензоров (см. разд. 1.4), можно пред
Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину