Методы математической физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 879 

Кафедра математики

В.А. Треногин 
И.С. Недосекина 
 

Методы математической
физики 

 

Практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2012 

УДК 53:51 
 
Т66 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук С.И. Валянский 

Треногин, В.А. 
Т66  
Методы математической физики : практикум / В.А. Треногин, И.С. Недосекина. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2012. – 196 с. 
ISBN 978-5-87623-611-1 

Практикум описывает методы решения нескольких важных задач математической физики. Излагаемый теоретический материал дополнен большим 
количеством задач, которые могут быть использованы при проведении практических занятий. Основная задача практикума – научить читателя на сравнительно небольшом материале осмысленно применять основные методы 
решения задач математической физики. 
Предназначен для студентов физико-химических специальностей и специальности «Прикладная математика» технических вузов. 
УДК 53:51 

ISBN 978-5-87623-611-1 
© В.А. Треногин, 
И.С. Недосекина, 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................7 
1. Смешанная задача для уравнения диффузии (теплопроводности). 
Построение формального решения задачи методом Фурье 
в простейших случаях ..............................................................................9 
1.1. Постановка задачи.........................................................................9 
1.2. Физическая интерпретация задачи.............................................10 
1.3. Построение решения задачи в простейших случаях................11 
1.4. Сведение смешанной задачи к случаю однородных 
граничных условий.............................................................................17 
1.5. Задачи для самостоятельного решения .....................................19 
2. Собственные значения и собственные элементы симметрических 
неотрицательных линейных операторов. Задачи на собственные 
значения для оператора второй производной......................................22 
2.1. Симметрические неотрицательные линейные операторы.......22 
2.2. Задачи на собственные значения для оператора второй 
производной ........................................................................................23 
2.3. Задачи для самостоятельного решения .....................................34 
2.4. Таблица собственных значений и собственных функций 

дифференциального оператора 

2

2

d
d

L

x

= −
 с простейшими типами 

краевых условий .................................................................................36 
3. Смешанная задача для уравнения диффузии (теплопроводности) 
в случае краевых условий общего вида................................................37 
3.1. Возможная физическая интерпретация граничных условий.....37 
3.2. Построение формального решения смешанной задачи 
методом Фурье в случае однородных краевых условий 
общего вида.........................................................................................37 
3.3. Задачи для самостоятельного решения .....................................47 
4. Свойства решений смешанной задачи для уравнения 
диффузии (теплопроводности)..............................................................53 
4.1. Принцип максимума (минимума) ..............................................53 
4.2. Единственность классического решения смешанной задачи.... 54 
4.3. Теорема существования классического решения смешанной 
задачи для уравнения диффузии (теплопроводности) ....................54 
5. Смешанная задача для одномерного волнового уравнения ...........56 
5.1. Постановка задачи.......................................................................56 
5.2. Физический смысл смешанных задач для волнового уравнения...57 

5.3. Единственность классического решения смешанной 
задачи для волнового уравнения.......................................................58 
5.4. Решение смешанной задачи для уравнения струны 
методом Фурье....................................................................................61 
5.5. Задачи для самостоятельного решения .....................................68 
6. Смешанная задача для уравнения диффузии (теплопроводности) 
в плоской области. Построение решения в случае 
прямоугольной пластины.......................................................................74 
6.1. Постановка задачи.......................................................................74 
6.2. Собственные значения и собственные функции 
оператора L = – Δ с краевыми условиями первого рода 
в случае прямоугольной области ......................................................75 
6.3. Построение формального решения смешанной задачи 
для уравнения диффузии (теплопроводности) с однородными 
граничными условиями в прямоугольной области .........................78 
6.4. Собственные значения и собственные функции 
оператора L = – Δ в прямоугольной области в случае краевых 
условий общего вида..........................................................................80 
6.5. Задачи для самостоятельного решения .....................................81 
7. Построение решения смешанной задачи для уравнения 
диффузии (теплопроводности) в круглой пластине............................83 
7.1. Уравнение и функции Бесселя ...................................................83 
7.2. Выражение оператора Лапласа в полярных координатах .......85 
7.3. Собственные значения и собственные функции 
оператора Лапласа в круге.................................................................86 
7.4. Построение решения смешанной задачи для уравнения 
диффузии (теплопроводности) в круглой пластине........................90 
7.5. Задача для самостоятельного решения......................................92 
8. Смешанная задача для волнового уравнения в плоской 
области. Колебания прямоугольной и круглой мембраны.................93 
8.1. Постановка задачи.......................................................................93 
8.2. Построение формального решения смешанной задачи 
для уравнения колебаний прямоугольной мембраны .....................94 
8.3. Построение решения смешанной задачи для уравнения 
колебаний круглой мембраны...........................................................97 
8.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................100 
9. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в плоской 
области. Построение формального решения краевых задач 
для уравнения пуассона в прямоугольнике методом Фурье ............102 

9.1. Постановка краевых задач для уравнения 
Пуассона в плоской области............................................................102 
9.2. Гармонические функции...........................................................103 
9.3. Единственность классического решения внутренней 
задачи Дирихле.................................................................................104 
9.4. Построение формального решения краевых задач 
для уравнения Пуассона в прямоугольнике методом Фурье........105 
9.5. Задачи для самостоятельного решения ...................................112 
10. Решение задачи Дирихле для уравнений Лапласа 
и Пуассона в круге................................................................................124 
10.1. Уравнение Лапласа..................................................................124 
10.2. Уравнение Пуассона................................................................129 
10.3. Задачи для самостоятельного решения .................................133 
11. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа во внешности 
круга и в кольце. Задача Неймана в круге..........................................137 
11.1. Задача Дирихле во внешности круга .....................................137 
11.2. Задача Дирихле в кольце.........................................................140 
11.3. Задача Неймана в круге...........................................................144 
11.4. Задачи для самостоятельного решения .................................146 
12. Задача Коши для уравнения диффузии (теплопроводности) .....149 
12.1. Постановка задачи Коши для одномерного уравнения 
диффузии (теплопроводности). Теорема единственности 
решения .............................................................................................149 
12.2. Краткие сведения о преобразовании Фурье..........................150 
12.3. Построение решения задачи Коши для однородного 
уравнения диффузии теплопроводности с помощью 
преобразования Фурье .....................................................................151 
12.4. Функция ошибок......................................................................157 
12.5. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения 
с нулевой начальной функцией.......................................................158 
12.6. Задачи для самостоятельного решения .................................162 
13. Решение смешанной задачи для уравнения 
диффузии (теплопроводности) на полуоси........................................167 
13.1. Постановка задачи...................................................................167 
13.2. Метод продолжения ................................................................168 
13.3. Некоторые примеры решения задач ......................................171 
13.4. Задачи для самостоятельного решения .................................174 
14. Метод подобия для уравнения диффузии (теплопроводности) 
и его приложения..................................................................................177 

14.1. Построение решения смешанной задачи на полуоси  
методом подобия ..............................................................................177 
14.2. Двухпараметрическое семейство решений однородного 
уравнения диффузии (теплопроводности) .....................................179 
14.3. Решение смешанной задачи для уравнения 
диффузии (теплопроводности) с неоднородным 
граничным условием........................................................................181 
14.4. Задачи для самостоятельного решения .................................183 
15. Задача Коши для уравнения струны.............................................185 
15.1. Постановка задачи Коши для уравнения струны .................185 
15.2. Построение решения задачи Коши для однородного 
уравнения колебаний........................................................................186 
15.3. Физическая интерпретация формулы Даламбера–Эйлера....187 
15.4. Неоднородное уравнение колебаний.....................................191 
15.5. Существование и единственность классического 
решения задачи Коши для уравнения колебаний..........................191 
15.6. Задачи для самостоятельного решения .................................192 
Библиографический список.................................................................195 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Практикум знакомит с методами решения нескольких важных задач математической физики. Математическая физика занимается изучением математических моделей, описывающих разнообразные физические явления в основном в форме тех или иных задач для дифференциальных уравнений (ДУ) с частными производными. При этом 
обычно оказывается, что одна и та же математическая задача описывает сразу несколько, казалось бы, далеких друг от друга явлений. 
В данном практикуме рассмотрены несколько наиболее важных 
классических задач математической физики, опираясь на простейшие 
соображения математического и функционального анализа и линейной алгебры. Практикум составлен на основе семестрового курса 
лекций, которые на протяжении многих лет читаются авторами студентам МИСиС, обучающимися по ряду физико-химических специальностей и специальности «Прикладная математика». 
Первая часть начинается с изложения метода Фурье в применении 
к решению задач математической физики в пространственно ограниченных областях, который трактуется не как традиционный метод разделения переменных, а как более простой, на наш взгляд, геометрический метод разложения параметров задачи по некоторому базису – 
ортогональной системе собственных функций вспомогательного 
дифференциального оператора. Полученный в качестве решения 
функциональный ряд назван формальным решением задачи. Определенное внимание уделяется и таким важным вопросам теории, как 
классическое решение, его единственность, принцип максимума и 
энергетические соображения. При построении базиса из собственных 
функций используются такие простейшие понятия функционального 
анализа, как симметричность и неотрицательность линейных операторов в пространстве со скалярным произведением, а также свойства 
собственных значений и собственных функций таких операторов. 
Этот подход не только позволяет лучше понять структуру решения, 
но и существенно сократить вычисления. 
Вторая часть посвящена задачам в пространственно неограниченных областях, для построения решений которых использован метод 
интегрального преобразования Фурье. Здесь же рассматриваются и 
другие важные для современного инженера-исследователя методы, 
например, метод подобия. 

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством 
решенных задач. В конце соответствующих разделов приведены задачи для самостоятельной работы. Это позволяет использовать данный материал при проведении практических занятий. 

1. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 
ДИФФУЗИИ (ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ). 
ПОСТРОЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 
ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ В ПРОСТЕЙШИХ 
СЛУЧАЯХ 

1.1. Постановка задачи 

Начнем с описания следующей задачи. Рассмотрим (рис. 1.1) в 
полуполосе 

 
Q = {(x, t): 0 < x < l, 0 < t < + ∞} 

следующее дифференциальное уравнение (ДУ), называемое уравнением диффузии (теплопроводности): 

 

2
2
2
( , ), ( , )
,
u
u
a
f x t
x t
Q
t
x
∂
∂
−
=
∈
∂
∂
  
(1.1) 

где a2 > 0 – известный числовой параметр; правая часть f(x, t) – известная функция, определенная на Q; u = u(x, t) – неизвестная функция; t играет роль времени; х – пространственная переменная. 

Г

t

x
0
l

Q 
Г
Г

 

Рис. 1.1. Область определения функции u (x, t) 

Дифференциальное уравнение (1.1) является уравнением с частными производными первого порядка по переменной t и второго порядка по х. По аналогии с обыкновенными ДУ, для устранения произвола в определении u(x, t) следует задать дополнительные условия: 
одно по переменной t и два по х. 

Дополнительное условие по переменной t (функция φ(х) предполагается известной) 

 
( ,0)
( ),
[0, ]
u x
x
x
l
= ϕ
∈
 
(1.2) 

называется начальным условием (оно задано на нижнем основании 
полуполосы Q). 
Два дополнительных условия по переменной х 
 
0
(0, )
( ),
( , )
( ),
[0,
)
l
u
t
t
u l t
t
t
= α
= α
∈
+∞  
(1.3) 

называются граничными (или краевыми) условиями (они заданы на 
боковых сторонах полуполосы Q). Функции α0(t) и αl(t) также предполагаются известными. 
Задача (1.1) – (1.3) называется смешанной задачей для ДУ диффузии (теплопроводности). В ней присутствуют и начальные, и граничные (краевые) условия. Иногда ее называют начально-краевой задачей. 
Сформулируем, что мы будем понимать под решением задачи 
(1.1) – (1.3). 
Обозначим через Г границу области Q, тогда Q
Q
Г
=
∪
– соответствующая замкнутая область. Существуют различные определения 
решения задачи (1.1) – (1.3). Ограничимся простейшим и наиболее 
употребляемым определением. 
Определение 1.1. Функция u(x, t), определенная в Q , называется 
классическим решением смешанной задачи (1.1) – (1.3), если: 
1) u(x, t) непрерывна в Q  и удовлетворяет на ее границе Г условиям (1.2) – (1.3); 

2) частные производные u

t

∂
∂  и 

2

2
u
x
∂
∂
 непрерывны в Q, а u(x, t) удов
летворяет в Q уравнению (1.1). 
Замечание 1.1. Если смешанная задача (1.1) – (1.3) имеет классическое решение, то функция f(x, t) непрерывна в Q, φ(х) непрерывна 
на [0, l], а α0(t) и αl(t) непрерывны на [0, +∞) и, кроме того, выполнены условия согласования начального и граничных условий 

 
0
(0)
(0),
( )
(0)
l
l
ϕ
= α
ϕ
= α
. 
(1.4) 

1.2. Физическая интерпретация задачи 

Смешанная задача (1.1) – (1.3) имеет ряд полезных физических 
интерпретаций: 

1. Является математической моделью явления распространения 
(иначе − диффузии) вещества (раствора, газа, расплавленного металла, нейтронов в металле и т.п.). Пусть задана трубка длины l (пустая 
или пористая). Коэффициент а2 называется коэффициентом диффузии, он определяется физическими параметрами задачи. Внутри 
трубки могут существовать источники диффундирующего вещества. 
Функция f(x, t) характеризует их плотность в сечении трубки с координатой х в момент времени t. В начальный момент задано распределение φ(х) вещества в трубке (см. начальное условие (1.2)). На концах трубки вещество подается по законам α0(t) и αl(t) (см. граничные 
условия (1.3)). Требуется определить концентрацию вещества u(x, t) в 
сечении х в момент времени t. 
2. Дифференциальное уравнение (1.1) описывает также явление 
распространения тепла. Пусть задан стержень длины l. Боковая поверхность стержня предполагается теплоизолированной, т.е. тепло 
может проникать в стержень только через его концы. Коэффициент 
а2 (a > 0) называется коэффициентом температуроводности. Он определяется характеристиками материала стержня. Внутри стержня 
может возникать или поглощаться тепло (например, при прохождении тока, вследствие химических реакций и т.п.). Функция f(x, t) характеризует плотность тепловых источников внутри стержня. В начальный момент задано распределение φ(х) температуры в стержне. 
На концах стержня температура меняется по законам α0(t) и αl(t). 
Требуется определить температуру стержня u(x, t) в сечении х в момент времени t. 

1.3. Построение решения задачи 
в простейших случаях 

Отложим пока важный вопрос о том, существует ли решение задачи (1.1) – (1.3), единственно ли оно, и займемся формальным построением решения в простейших случаях. 
Пример 1.1. Рассмотрим смешанную задачу для ДУ с нулевой правой частью и нулевыми граничными значениями (задача об остывании 
стержня, на концах которого поддерживается нулевая температура): 

 

2

2
0, 0
,
0;

( ,0)
sin , 0
;
(0, )
( , )
0,
0.

u
u
x
t
t
x
u x
x
x
u
t
u
t
t

∂
∂
−
=
<
< π
>
∂
∂
=
≤
≤ π
=
π
=
≥
 

Найдем ее решение в виде 

 
( , )
( )sin ,
u x t
A t
x
=
 

где А(t) – неизвестная пока функция. 
Заметим, что граничные условия в этом случае автоматически выполняются, так как sin 0 = sin π = 0. Остается подобрать функцию А(t) 
так, чтобы искомое решение удовлетворяло ДУ и начальному условию. Сначала найдем производные 

 
( )sin ,
u
A t
x
t
∂
′
=
∂
 

2

2
( )sin .
u
A t
x

x
∂
= −
∂
 

Подставим их в ДУ и получим 

 
[
]
( )
( ) sin
0.
A t
A t
x
′
+
=
 

Так как последнее равенство должно выполняться при любых 
значениях х, то 

 
( )
( )
0.
A t
A t
′
+
=
 

Воспользуемся начальным условием 

 
( ,0)
(0)sin
sin ,
u x
A
x
x
=
=
 

откуда получим, что А(0) = 1. 
Итак, неизвестная функция А(t) может быть найдена как решение 
следующей задачи Коши для линейного ДУ первого порядка: 

 
( )
( )
0,

(0)
1.

A t
A t

A

′
+
=
⎧
⎨
=
⎩
 

Общее решение этого ДУ имеет вид 

 
( )
t
A t
ce−
=
, 

где c – произвольная постоянная.  
Используя начальные условия, получим решение задачи Коши 

 
( )
t
A t
e−
=
. 

Таким образом, искомое формальное решение задачи (1.1) – (1.3) 
дается следующей формулой: 

 
( , )
sin .
t
u x t
e
x
−
=
 

Проверить, что это решение является классическим решением 
рассматриваемой задачи! 
Рассмотрим теперь задачу (1.1) – (1.3) при дополнительном существенном предположении, что граничные условия (1.3) однородные, 
т.е. α0(t) = αl(t) = 0: 

 

2
2
2
( , ), ( , )
u
u
a
f x t
x t
Q
t
x
∂
∂
−
=
∈
∂
∂
, 

 
( ,0)
( ),
[0, ],
u x
x
x
l
= ϕ
∈
 
 
(0, )
( , )
0,
[0,
).
u
t
u l t
t
=
=
∈
+∞  

Оказывается, решение этой задачи можно формально построить в ви
де ряда Фурье по тригонометрической системе функций 

1

sin

k

k x
l

∞

=

π
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
⎭
. 

Обратим внимание, что все функции этой системы удовлетворяют 
рассматриваемым однородным краевым условиям. Важно также то 
обстоятельство, что данная система функций ортогональна на отрезке [0, l] и является базисом в пространстве непрерывных на [0, l] 
функций. Напомним, что всякая ортогональная система линейно независима. 
Геометрическая идея метода Фурье состоит в следующем. 

Разложим в ряд Фурье по ортогональной системе 

1

sin

k

k x
l

∞

=

π
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
⎭
 на
чальную функцию φ(х) и правую часть уравнения f(x, t), т.е. представим их в виде 

 

1

( )
sin
,
k
k

k x
х
l

∞

=

π
ϕ
=
ϕ
∑
 

1

( , )
( )sin
,
k
k

k x
f x t
f
t
l

∞

=

π
=∑
 

где 

0

2
( )sin
d ;

l

k
k x
x
x
l
l
π
ϕ =
ϕ∫
 

0

2
( )
( , )sin
d .

l

k

k x
f
t
f x t
x
l
l
π
= ∫
 

Решение задачи будем искать в виде аналогичного ряда Фурье 

 

1

( , )
( )sin
.
k
k

k x
u x t
T t
l

∞

=

π
=∑
 

Таким образом, здесь реализуется идея известного из курса аналитической геометрии метода разложения по базису. 

Неизвестные пока коэффициенты Tk(t) являются функциями от t и 
будут определены в процессе решения. Заметим, что функция u(x, t) 
формально удовлетворяет краевым условиям, так как этим условиям 
удовлетворяют все члены ряда (sin 0 = sin kπ = 0). 
Найдем формально входящие в уравнение производные от функции u(x, t) 

 

1

( , )
( )sin
,
k
k

u
k x
x t
T t
t
l

∞

=

∂
π
′
=
∂
∑
 

 

2
2

2
1
1

( , )
( )sin
( )sin
,
k
k
k
k
k

u
k
k x
k x
x t
T t
T t
l
l
l
x

∞
∞

=
=

∂
π
π
π
⎛
⎞
= −
= −
λ
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∑
∑
 

где 

2

,
1, 2, ... .
k
k
k
l
π
⎛
⎞
λ =
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Подставляя соответствующие ряды в ДУ, получим 

 
2

1
1

(
)sin
( )sin
.
k
k
k
k
k
k

k x
k x
T
a
T
f
t
l
l

∞
∞

=
=

π
π
′ +
λ
=
∑
∑
 

Воспользуемся начальным условием (1.2) 

 

1
1

( ,0)
(0)sin
( )
sin
.
k
k
k
k

k x
k x
u x
T
x
l
l

∞
∞

=
=

π
π
=
= ϕ
=
ϕ
∑
∑
 

Приравнивая в выписанных рядах коэффициенты при sin k x

l
π , 

получим для определения Тk(t) следующие задачи Коши для обыкновенных ДУ: 

 

2
( ),
1, 2, ... .

(0)
,

k
k
k
k

k
k

T
a
T
f
t
k
T

⎧ ′ +
λ
=
⎪
=
⎨
= ϕ
⎪⎩
 

Решение каждой из этих задач можно записать в виде (проверить!) 

 
2
2
(
)

0

( )
( )d .
k
k
t
a
t
a
t s
k
k
k
T t
e
e
f
s
s
−
λ
−
λ
−
= ϕ
+∫
 

Итак, построено формальное решение смешанной задачи 

 

2
2
(
)

1
1
0

( , )
sin
( )
sin
.
k
k
t
a
t
a
t s
k
k
k
k

k x
k x
u x t
e
e
f
s ds
l
l

∞
∞
−
λ
−
λ
−

=
=

⎛
⎞
π
π
=
ϕ
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑ ∫