Теория вероятностей : вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2009 

Кафедра математики

Т.Н. Сабурова 
Е.В. Шишкова 
 

Теория вероятностей

Вероятностное пространство. 
Условная вероятность. Независимость событий 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 519.2 
 
С12 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. В.П. Григорьев 

Сабурова, Т.Н. 
С12  
Теория вероятностей : Вероятностное пространство. Условная 
вероятность. Независимость событий : Учеб. пособие / Т.Н. Сабурова, Е.В. Шишкова. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 68 с. 
ISBN 978-5-87623-475-9 

В данном учебном пособии приводится краткое изложение теоретического материала по первой части курса «Теория вероятностей», разобраны решения большого количества типовых задач, приведены контрольные вопросы по данному курсу, дано более 100 упражнений для самостоятельного решения с ответами, типовые варианты контрольной работы, предназначенные 
для проверки усвоения пройденного материала, приведены таблицы значений вероятности для распределения Пуассона, плотности вероятности и 
функции распределения стандартного нормального распределения.  
Соответствует программе курса «Теория вероятностей». 
Предназначено для студентов всех специальностей МИСиС. 

УДК 519.2 

ISBN 978-5-87623-475-9 
© Сабурова Т.Н., 
Шишкова Е.В., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ........................................................................................................................ 4 
Введение .............................................................................................................................. 5 
1. Вероятностное пространство......................................................................................... 6 
1.1. Основные определения................................................................................................ 6 
1.2. Элементы комбинаторики........................................................................................... 8 
1.2.1. Перестановки........................................................................................................ 9 
1.2.2. Размещения......................................................................................................... 12 
1.2.3. Сочетания............................................................................................................ 14 
1.3. Конечное вероятностное пространство. Классическая модель............................. 17 
1.4. Геометрическая модель............................................................................................. 21 
Упражнения для самостоятельной работы..................................................................... 22 
2. Условные вероятности и независимые события........................................................ 26 
2.1. Условные вероятности .............................................................................................. 26 
2.2. Независимость событий ............................................................................................ 26 
2.3. Теорема умножения................................................................................................... 30 
2.4. Формула полной вероятности................................................................................... 31 
2.5. Формула байеса.......................................................................................................... 34 
Упражнения для самостоятельной работы..................................................................... 35 
3. Повторные независимые испытания........................................................................... 44 
3.1. Понятие независимых испытаний............................................................................ 44 
3.2. Формула Бернулли..................................................................................................... 44 
3.3. Наиболее вероятное число успехов.......................................................................... 47 
3.4. Формула Пуассона..................................................................................................... 48 
3.5. Локальная предельная теорема муавра – Лапласа.................................................. 49 
3.6. Интегральная предельная теорема муавра – Лапласа ............................................ 50 
Упражнения для самостоятельной работы..................................................................... 52 
Контрольные вопросы ...................................................................................................... 56 
Варианты контрольной работы ....................................................................................... 57 
Ответы к вариантам контрольной работы...................................................................... 61 
Ответы к упражнениям для самостоятельной работы................................................... 62 
Библиографический список ............................................................................................. 64 
Приложения....................................................................................................................... 65 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Образовательные стандарты бакалавров всех специальностей содержат курс теории вероятностей и математической статистики, поэтому данное пособие можно использовать студентам всех специальностей нашего университета.  
В настоящем пособии дается краткое изложение основополагающих понятий теории вероятностей, таких как вероятность, случайное 
событие и т.д. При этом авторы, опираясь на интуитивные представления этих понятий, старались давать математически точные формулировки определений и теорем. Для лучшего восприятия материала 
приводится большое количество задач с решениями.  
Трудность изучения теории вероятностей связана со спецификой 
этой математической дисциплины. Решение задач по теории вероятностей требует определенного навыка, так как они формулируются 
не в математических терминах, а в бытовых. Таким образом, приходится каждый раз выбирать соответствующую вероятностную модель, которую следует применить для решения. Поэтому пособие 
наряду с примерами решенных задач содержит более ста задач для 
самостоятельного решения, а также типовые варианты контрольной 
работы. Все задачи снабжены ответами. 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности в случайных явлениях. Ее возникновение относится к середине XVII века. Если случайное явление рассматривать отдельно, 
само по себе, то предсказать его исход невозможно (потому оно и 
случайное, например, количество очков, выпавших при бросании игрального кубика). Однако если рассматривать серию однотипных случайных явлений, то начинают просматриваться определенные закономерности. В то время уровень развития естествознания и техники не 
давал возможности наблюдать такие ситуации. Единственным источником массовых случайных явлений были азартные игры. Именно 
анализ задач, связанных с азартными играми, привел к формированию 
понятия вероятности. Так, французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз (при этом герб выпал 2048) и подсчитал относительную частоту выпадения герба: 2048/4040 = 0,507. 
Через полтора века английский статистик Пирсон повторил его опыт, 
бросив монету сначала 12 000 раз, а затем 24 000, при этом соответствующие относительные частоты выпадения герба были равны 
0,5016 и 0,5005, т.е. с увеличением количества бросаний монеты частота выпадения герба приближалась к 0,5. 
Эти опыты наряду с другими привели к выводу, что если количество испытаний n достаточно большое, то относительная частота 
случайного события А обладает свойством устойчивости: с увеличением числа опытов n она принимает значения, близкие к некоторому 
неслучайному числу Р(А). Устойчивость частот – это объективное 
свойство массовых случайных явлений реального мира. Отсутствие 
устойчивости частот в сериях испытаний свидетельствует о том, что 
условия, при которых проводятся испытания, претерпевают значительные изменения. Теория вероятностей – это математическая наука, в которой рассматриваются математические модели случайных 
явлений. При этом обнаруживаются такие связи между вероятностями случайных событий, которые дают возможность вычислить вероятности более сложных событий, если известны вероятности соответствующих более простых событий. 
Наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей было сделано лишь в XX веке в работах выдающегося русского математика А.Н. Колмогорова. Его модель позволяет описывать не только случайные явления, но и случайные процессы, происходящие в самых различных сферах науки и техники. Поэтому именно эта математическая модель положена в основу настоящего курса. 

1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО 

1.1. Основные определения 

Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом. 
Возможные исходы ω опыта называются элементарными событиями (или элементарными исходами), если они являются взаимно 
исключающими (два разных элементарных события не могут произойти одновременно) и в результате опыта одно из них обязательно 
происходит.  
Множество Ω всех элементарных событий ω в опыте называется 
пространством элементарных событий.  
Например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков на верхней грани. Тогда пространство элементарных событий Ω = {ω1, ω2, …, ω6}, где элементарные события: ωi = {количество очков, выпавших на верхней грани, равно i} 
(i = 1, 2, …, 6). 

Зададим множество ℜ, элементами которого являются некоторые 
подмножества пространства элементарных событий. Множество ℜ 
называется полем событий, а его элементы – событиями. Иными 
словами, событие – это некоторая совокупность элементарных событий, т.е. если А – событие: А∈ℜ, то A ⊆ Ω . При этом элементарные 
события ωi∈Ω, входящие в событие А, называются благоприятными. 
Так, в предыдущем примере, если событие A состоит в том, что 
выпало четное число очков, то благоприятными являются события 
ω2, ω4, ω6. 
При построении поля событий ℜ требуется выполнение следующих условий: 
1) само множество Ω является элементом поля событий ℜ и называется достоверным событием; 
2) пустое множество элементарных исходов тоже является элементом поля событий ℜ и называется невозможным событием, обозначается ∅; 
3) если A – событие, то множество всех элементарных событий, не 
входящих в A, (т.е. Ω\A – дополнение А) тоже событие; его обозначают A  и называют противоположным событию A (рис. 1.1, a); 
4) если А1, А2, .., Аn, ... – события, то их объединение и пересечение тоже являются событиями. 

Ω
A 
Ω
A 

B 

Ω
A 

B 

Ω
A 

B 

 

а 
б 
в 
г 

Рис. 1.1. Операции над событиями: 
а – 
\
A
A
= Ω
; б – A
B
∪
; в – A∩B ; г – A∩B = ∅ 

При этом объединение событий A и B (обозначается A
B
∪
) – 
множество элементарных исходов, входящих хотя бы в одно из двух 
событий A или B (рис. 1.1, б); пересечение событий A и B (обозначается A∩B) – множество элементарных исходов, входящих одновременно и в A, и в B (рис. 1.1, в). 
События A и B называются несовместными, если A∩B = ∅ (рис. 1.1, г). 
Если множество элементарных исходов Ω конечно или счетно, т.е. 
его элементы можно занумеровать, то обычно все элементарные исходы считаются событиями и в качестве поля событий ℜ берутся 
всевозможные подмножества Ω, при этом выполняются все перечисленные выше условия. 

На поле событий ℜ зададим числовую функцию P – вероятность, 
для которой справедливы следующие так называемые аксиомы вероятности: 
1) для любого события A вероятность 
( )
0
P A ≥
 (неотрицательность Р(А)); 
2) для достоверного события Ω вероятность P(Ω) = 1 (нормированность Р(А)); 
3) для любой последовательности попарно несовместных событий 
А1, А2, ..., Аn, ... (т.е. 
i
j
i
j
A
A
≠
= ∅
∩
) справедливо равенство 

 
1
1

(
)
i
i
i
i

P
A
P A

∞
∞

=
=
⎛
⎞ =
⎜
⎟
⎝
⎠ ∑
∪
 

(счетная аддитивность вероятности Р(А)). 
Из аксиом вероятности вытекает ряд свойств вероятности: 
1) 0
( )
1;
P A
≤
≤
 
2) 
(
)
0;
P ∅ =
 

3) 
( )
1
( );
P A
P A
= −
 
(1.1) 
4) если A
B
⊆
, то 
( )
( )
P A
P B
≤
; 
5) 
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
=
+
−
∪
∩
; 
(1.2) 

6) 
1
2
1
2
(
...
)
1
(
...
).
n
n
P A
A
A
P A
A
A
= −
∪
∪
∪
∩
∩
∩
 
(1.3) 

Пространством вероятностей или вероятностным пространством называется совокупность трех объектов: пространства элементарных событий Ω, поля событий ℜ и заданной на поле событий 
вероятности Р(А), т.е. тройка (Ω, ℜ, P(A)). 
Изложенная выше общая математическая модель реализуется поразному в зависимости от класса рассматриваемых задач. 
Например, задачи, приводящие к вероятностной модели, в которой вероятностное пространство Ω конечно и все элементарные исходы – равновероятные события, называются задачами на непосредственный подсчет вероятностей. В этом случае вероятность события А равна отношению количества благоприятных элементарных 
исходов к количеству всех элементарных исходов:  

 
( )
.
количество благоприятных исходов
P A
общее количество элементарных исходов
=
 

Так, в нашем примере при бросании игральной кости вероятность 
выпадения четного числа очков Р(А) = 3/6 = 0,5. Решение таких задач 
часто требует применения комбинаторных формул, в чем легко убедиться при рассмотрении дальнейших примеров, поэтому напомним 
некоторые из них. 

1.2. Элементы комбинаторики 

Комбинаторика – это часть математики, в которой изучается вопрос: сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или 
иным условиям, можно составить из элементов данного конечного 
множества. Она возникла в XVI веке. Толчок к ее развитию, как и 
для теории вероятностей, дал анализ азартных игр. Типична комбинаторная задача, например, такая: сколькими способами можно получить данное число при бросании двух игральных костей? Впоследствии комбинаторными задачами занимались известные ученые: 
Паскаль, Ферма, Якоб Бернулли, Лейбниц, Эйлер. В наши дни комбинаторика получила дальнейшее развитие в работах современных 
математиков и нашла широкое применение при решении серьезных 

хозяйственных проблем. Например, при организации транспортных 
перевозок, составлении планов производства и реализации продукции, декодировании шифров, прочтении древних рукописей на неизвестных языках и т.д. Мы рассмотрим очень небольшой раздел комбинаторики, который нам понадобится в дальнейшем при изучении 
теории вероятностей. 
Пусть Wn – множество, состоящее из n различных элементов. Заметим, что элементы конечного множества всегда можно занумеровать, и оно станет упорядоченным (естественным образом).  
Упорядоченные множества считаются разными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком, либо тем и другим. 
Далее мы будем рассматривать подмножества Wn (упорядоченные 
и неупорядоченные), удовлетворяющие определенным условиям. 

1.2.1. Перестановки 

Любое расположение в определенном порядке элементов множества Wn называется перестановкой из n элементов этого множества, 
т.е. перестановки – это упорядоченные множества, состоящие из 
всех элементов данного множества Wn и отличающиеся друг от друга 
только порядком их расположения. 
Например, для W3 = {2, 8, 17} (n = 3) имеют место перестановки: 
{2, 8, 17}, {8, 17, 2}, {17, 2, 8}, {8, 2, 17}, {17, 8, 2}, {2, 17, 8}. 
Из определения следует, что всевозможные перестановки элементов 
данного множества Wn состоят из одних и тех же n элементов, т.е. имеют одинаковый «качественный» состав и, следовательно, равны как 
множества, а отличаются друг от друга только порядком элементов. 
Посчитаем, сколько различных перестановок можно составить из n 
различных элементов (обозначают это число обычно Pn). Первый элемент мы можем выбрать n способами, после чего у нас останется только 
n – 1 элемент, поэтому второй элементы мы можем выбрать n – 1 способом. Причем для каждого первого элемента у нас n − 1 вариант выбора 
второго элемента. Таким образом, первые два элемента перестановки 
можно выбрать n(n − 1) способами. На каждую такую комбинацию 
первых двух элементов приходится n − 2 вариантов выбора третьего 
элемента, т.е. первые три элемента можно выбрать n(n − 1)(n − 2) 
способами. Таким образом, мы получим, что все n элементов можно 
выбрать n(n − 1)(n − 2) … ⋅1 способами. Итак, из n элементов можно 
составить n! перестановок, т.е.  

 
Pn = n! 

Задача 1.1. Сколькими способами можно расставить на полке 5 
различных книг? 
Решение. Очевидно, что существует столько способов расставить 
5 книг, сколько существует перестановок из 5 элементов, т.е. количество способов равно 5! = 1ּ2ּ3ּ4ּ5 = 120. 
Ответ. 120. 

Задача 1.2. Сколькими способами можно расставить на полке 5 
различных книг так, чтобы 2 данные книги стояли рядом? 
Решение. «Склеим» эти две книги. Тогда у нас получится 4 книги и 
их можно переставить 4! способами. Но склеить две книги можно 
двумя способами, поэтому существует 2ּ 4! = 2ּ1ּ2ּ 3ּ4 = 48 способов 
расстановки книг. 
Ответ. 48. 

Задача 1.3. Сколькими способами можно занумеровать числа 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы все нечетные числа имели четные номера? 
Решение. Среди данных чисел нечетных – 4. Их можно нумеровать только четными номерами (2, 4, 6, 8). А это можно сделать 
столькими способами, сколько можно составить перестановок из 4 
элементов, т.е. 4! способами. Аналогично остальные 4 числа мы 
должны нумеровать числами 1, 3, 5, 7. Здесь тоже будет 4! вариантов. А чтобы получить общее количество вариантов, надо взять произведение 4!ּ4! = 24ּ24 = 576. 
Ответ. 576. 

Задача 1.4. Пусть дана квадратная таблица чисел из n строк и n 
столбцов (в доме n этажей и n подъездов). Требуется из этой таблицы 
выбрать n чисел так, чтобы все они были из разных строк и разных 
столбцов (требуется выбрать n делегатов от дома так, чтобы они 
представляли каждый подъезд и каждый этаж). Сколькими способами это можно сделать? 
Решение. Чтобы ответить на этот вопрос, припишем каждому числу 
из таблицы два номера: i – номер строки, в которой стоит данное число (номер этажа), и j – номер столбца (номер подъезда), которые определяют положение числа в таблице, т.е. являются как бы его «табличными координатами». Если теперь выстроить выбранные числа так, 
чтобы номера строк шли в естественном порядке: 1, 2, ..., n (у нас ведь 
присутствуют номера всех строк), то номера столбцов окажутся пере

ставленными (согласно условию будут присутствовать номера всех 
столбцов). Отсюда следует, что существует столько способов выбора n 
чисел из нашей таблицы по данному правилу, сколько существует перестановок из номеров столбцов, т.е. перестановок из чисел 1, 2, ..., n. 
А как мы установили, это количество будет равно n! 
Ответ. n! 

Задача 1.5. Сколько существует способов расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга? 
Решение. Очевидно, ладьи должны стоять по одной в каждой 
«строке» и по одной в каждом «столбце», т.е. эта задача такая же, как 
предыдущая. Следовательно, их можно расставить 8! способами: 8! = 
= 1ּ 2ּ 3ּ 4ּ 5ּ 6ּ 7ּ 8 = 40320. 
Ответ. 40320. 

Если во множестве, состоящем из п элементов, есть только k различных элементов: первый элемент входит n1 раз, второй элемент − 
n2 раза, …, k-й элемент − пk раз (n1 + n2 +…+ пk = n), тогда число перестановок с повторениями из п элементов равно 

 
1
2
1
2

!
(
,
,...,
)
!
!...
!

n
k

k

n
P n
n
n
n n
n
=
. 

Например, для множества {2, 8, 8} (n = 3, k = 2, n1 = 1, n2 = 2) имеют 
место перестановки c повторениями {2, 8, 8}, {8, 8, 2}, {8, 2,8}. 

Задача 1.6. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы в слове МАМА?  
Решение. Число различных слов равно числу перестановок с повторениями из n = 4 элементов, среди которых k = 2 различных. Один 
элемент («м») входит n1 = 2 раза, другой элемент (буква «а») − n2 = 2 
раза (n1 + n2 = n = 4). Следовательно, различных слов будет 

 
4
4!
(2, 2)
6
2! 2!
P
=
=
⋅
. 

Это слова: ММАА, МАМА, МААМ, АММА, АМАМ», «ААММ. 
Ответ. 6. 

Задача 1.7. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 7, 7?