Математический анализ : дифференциальные уравнения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2006 

Кафедра математики

Е.Л. Плужникова 
Б.Г. Разумейко 
 

Математический анализ

Дифференциальные уравнения 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 517.9 
 
П40 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, проф. В.В. Пташинский 

Плужникова, Е.Л. 
П40  
Математический анализ : дифференциальные уравнения : учеб. пособие / Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко.  – М. : 
Изд. Дом МИСиС, 2011. – 238 с. 
ISBN 978-5-87623-549-7 

В пособии приведены основные формулы и понятия по теме «Дифференциальные уравнения», разобрано большое количество типовых задач различных уровней сложности по этим темам. Представлены различные варианты 
домашних заданий по данному курсу. Наличие в пособии типовых вариантов 
контрольных работ и тестов, предназначенных для проверки усвоения этого 
курса, позволит студенту подготовиться к экзаменационной сессии. 
Предназначено для студентов всех специальностей. 

УДК 517.9 

ISBN 978-5-87623-549-7 
© Плужникова Е.Л, 
Разумейко Б.Г., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 
Основные понятия....................................................................................5 
2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.....................................6 
3. Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка ........................10 
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными..........................10 
3.2. Дифференциальные уравнения, сводящиеся 
к уравнениям с разделяющимися переменными ............................19 
3.3. Дифференциальные уравнения, однородные 
относительно x и y.............................................................................22 
3.4. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным.....30 
3.5. Линейные дифференциальные уравнения ...............................33 
3.6. Уравнения Бернулли ..................................................................46 
3.7. Уравнение в полных дифференциалах.....................................57 
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. 
Основные понятия..................................................................................61 
5. Уравнения высших порядков, допускающие 
понижение порядка ................................................................................63 
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 
n-го порядка ............................................................................................85 
7. Комплексные числа. Разложение многочлена на множители........94 
8. Линейные однородные дифференциальные уравнения 
2-го порядка с постоянными коэффициентами .................................101 
9. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 
с постоянными коэффициентами........................................................105 
10. Линейные неоднородные дифференциальные 
уравнения n-го порядка........................................................................113 
11. Линейные неоднородные дифференциальные  
уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами...............116 
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 
n-го порядка с постоянными коэффициентами .................................139 
13. Системы дифференциальных уравнений .....................................144 
14. Линейные системы дифференциальных уравнений 
с постоянными коэффициентами........................................................156 
15. Элементы теории устойчивости....................................................171 

16. Применение преобразования Лапласа к решению 
линейных дифференциальных уравнений и систем..........................181 
17. Решение уравнения диффузии (теплопроводности) 
методом Фурье......................................................................................209 
Домашнее задание ................................................................................223 
Вопросы для самопроверки .................................................................226 
Типовые варианты контрольных работ..............................................235 
Библиографический список.................................................................237 
 

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее 
производные y′, y′′, …, y(n), т.е. уравнение вида 

 
F (x, y, y′, …, y(n)) = 0. 

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция – 
функция одной переменной, то такое дифференциальное уравнение 
называется обыкновенным дифференциальным уравнением.  
Например 

 
ydx + ctg x dy = 0; 

 
y''' − y'' − 6y' = 0; 
 
y''− 2y' tgx = sin3x − 

обыкновенные дифференциальные уравнения. 

Если же неизвестная функция – функция нескольких переменных, 
то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных 
производных. 
Например 

 

2
2

2
2
25
0;
u
u
t
x
∂
∂
−
=
∂
∂
 

 

2

2
u
u
xt
t
x
∂
∂
−
=
−
∂
∂
 

уравнения в частных производных.  

Далее будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения. 
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. 
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a, b) называется функция y = ϕ(x), определенная на интервале 
(a, b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y = ϕ(x) вместо неизвестной 
функции в дифференциальное уравнение превращает его в истинное 
на интервале (a, b) тождество.  

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
1-го ПОРЯДКА 

Уравнение F(х, у, y′ ) = 0, связывающее между собой независимую 
переменную х, искомую функцию у(х) и ее производную y′ ( x ), называется дифференциальным уравнением 1-го порядка. 
Если уравнение F(х, у, y′ ) = 0 можно записать в виде y′  = f(х, у), то 
говорят, что оно разрешимо относительно производной.  

Учитывая, что 
dy
у
dx

′ =
, а 
dx
x
dy

′ =
, дифференциальное уравнение 

можно записывать с помощью дифференциалов в виде: 

 
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, 

где P(x, y) и Q(x, y) – известные функции. 
В некоторых случаях удобно рассматривать х как функцию переменной у и записывать уравнение в виде х ′  = g(х, у). 
Решением дифференциального уравнения 1-го порядка на интервале (a, b) называется непрерывно дифференцируемая функция 
y = y(x), такая, что подстановка функции y = y(x) вместо неизвестной 
функции в дифференциальное уравнение превращает его в истинное 
на интервале (a, b) тождество. График функции y = y(x) называется 
интегральной кривой. 
Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка на 
интервале (a, b) называется непрерывно дифференцируемая функция 
у = у(х, c), такая что: 
1) при любом значении произвольной постоянной c она является 
решением данного уравнения; 
2) для любого заданного начального условия у(х0) = у0, где 
х0 ∈ (a, b), существует единственное значение с = с0, при котором 
решение у = у(х, с0) удовлетворяет заданному начальному условию. 
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости XOY. 
Частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка 
называется всякое решение у = у(х, с0), получающееся из общего решения у = у(х, c) при заданном значении c = c0. 
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения 
приходится записывать в неявном виде: U(х, у, с) = 0. Тогда соотношение U(х, у, с) = 0 называется общим интегралом этого уравнения. 

Соотношение, которое получается из общего интеграла при конкретном значении постоянной с, называется частным интегралом. 
Задачей Коши называется задача нахождения решения у = у(х) для 
дифференциального уравнения f(х, у, у') = 0, удовлетворяющего начальному условию у(х0) = у0. Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную кривую уравнения 
f(х, у, у') = 0, проходящую через точку М0(x0, y0). 

Теорема существования и единственности 

Пусть дано дифференциальное уравнение y′ = f(х, у), где функция 
f(х, у) определена в некоторой области G плоскости XOY, содержащей точку (хо, уо). Если функция f(х, у) непрерывна в области G и 
имеет в этой области непрерывную частную производную f 'у, то для 
любой точки (х0, у0) ∈ G существует такой интервал (х0 − h, х0 + h,), 
на котором решение дифференциального уравнения при начальном 
условии y(x0) = y0 существует и единственно. 
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т.е. в любой окрестности каждой точки (х0, у0) особого решения существуют, по крайней 
мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку. Особые 
решения не получаются из общего решения ни при каких значениях 
произвольной постоянной с. График особого решения называется 
особой интегральной кривой уравнения. Геометрически − это огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемых его общим интегралом. 
Задача решения дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного уравнения. 
Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию. 
Уравнение y′ = f(х, у) определяет в каждой точке области G, где 
существует функция f(х, у), значение y′, т.е. угловой коэффициент 
касательной к интегральной кривой в этой точке. Поэтому каждой 
точке области G уравнение y′ = f(х, у) ставит в соответствие некоторое направление, угловой коэффициент которого равен f(х, у). Геометрически его можно изобразить черточкой, или стрелкой, проходящей через эту точку. Тем самым уравнение y′ = f(х, у) определяет 
поле направлений на плоскости XOY. Тогда интегральные кривые 
данного дифференциального уравнения – это такие кривые, для ко

торых касательная к кривой в каждой точке имеет направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. 
Задача построения интегральной кривой может быть решена методом изоклин. Множество точек (x, y) ∈G, в которых y′ = k, где k − 
некоторая константа, называется изоклиной дифференциального 
уравнения. В точках изоклины направление поля одинаково, т.е. направление касательных в точках изоклины параллельны. Придавая 
параметру k близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые заданного дифференциального уравнения.  

Пример 2.1. Составить дифференциальное уравнение по задан
ному семейству интегральных кривых 
c
y
x
=
. 

Решение 

Продифференцировав по переменной x равенство 
c
y
x
=
, получим 

2 .
c
y
x

′ = −
 Выразим из уравнения 
c
y
x
=
 константу c: 

 
c = yx. 

Подставив c = yx в равенство 
2
c
y
x

′ = −
, получим искомое диффе
ренциальное уравнение 

 
2 ;
yx
y
x

′ = −
 

 
.
y
y
x

′ = −
 

Пример 2.2. Составить дифференциальное уравнение по заданному семейству интегральных кривых 
3
2
2
(
)
x
c x
y
=
−
. 
Решение 
Продифференцировав по переменной x равенство 
3
2
2
(
)
x
c x
y
=
−
, 

получим 
2
3
(2
2
).
x
c
x
yy′
=
−
 Выразим из уравнения 
3
2
2
(
)
x
c x
y
=
−
 
константу c: 

 

3

2
2
x
c
x
y
=
−
. 

Подставив это выражение в равенство 
2
3
(2
2
)
x
c
x
yy′
=
−
, получим 
искомое дифференциальное уравнение 

 

3
2
2
2
3
(2
2
);
x
x
x
yy
x
y
′
=
−
−
 

 
2
2
2
3
3
(
)
(2
2
);
x
x
y
x
x
yy′
−
=
−
 

 
2
2
3(
)
(2
2
);
x
y
x
x
yy′
−
=
−
 

 
2
2
2
3
.
xyy
y
x
′ =
−
 

3. ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными 

Если в дифференциальном уравнении 
( , )
y
f x y
′ =
 
функцию f(х, у) можно разложить на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной 

 
( , )
( ) ( )
f x y
x g y
= ϕ
,  

то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. 
Пусть задано уравнение с разделяющимися переменными 

 
( ) ( )
y
x g y
′ = ϕ
. 

Так как 
dy
y
dx

′ =
, то  

 
( ) ( )
dy
x g y
dx = ϕ
. 

Разделим обе части уравнения на g(y): 

 
( )
( )
dy
x
g y dx = ϕ
. 

Умножим обе части уравнения на dx: 

 
( )
.
( )
dy
x dx
g y = ϕ
 

Интегрируя левую часть уравнения по y, а правую часть по x, получим общий интеграл уравнения в виде 

 
( )
.
( )
dy
x dx
с
g y − ϕ
=
∫
∫
 

Заметим, что при делении на g(y) могли потеряться решения вида 
y = a, где a – корень уравнения g(y) = 0. Поэтому случай g(y) = 0 надо 
рассмотреть отдельно. Если ни при каких значениях константы с решение y = a не получается, то y = a – особое решение. 

Если требуется найти решение дифференциального уравнения, 
удовлетворяющее данному начальному условию, то находим сначала 
общее решение у = у (х, с) и затем, подставляя начальное условие 
у (х0) = у0 в общее решение, находим значение константы с. 
Заметим, что уравнение с разделяющимися переменными также 
может быть записано в виде 

 
X1(x)Y1(y)dx + X2(x)Y2(y)dy = 0. 

Здесь коэффициенты перед dx и dy могут быть представлены в виде произведения двух множителей, каждый из которых зависит только от одной переменной. 

Пример 3.1. Решить задачу Коши: 

2
1
(
1)
tg
х
x
е
y
+
−
= е2хy′, 

(1)
6
y
π
=
. 

Решение 
В условии задано уравнение с разделяющимися переменными. 

Подставим в исходное уравнение 
dy
у
dx

′ =
: 

 

2
1
2
(
1)
tg
.
х
x dy
x
е
y
e
dx

+
−
=
 

Умножим обе части уравнения на dx: 

 

2
1
2
(
1)
.
tg
х
х
x
е
y dx
е dy
+
−
=
 

Разделим обе части уравнения на tg y (при этом можем потерять 
решение tg y = 0): 

 

2
2
1
(
1)
.
tg

x
x
e dy
x
e
dx
y

+
−
=
 

Разделим обе части уравнения на 
2x
e
: 

 

2
1

2
(
1)
.
tg

х

х
е
х
dy
dx
е
y

+
−
=
 

Интегрируем обе части полученного выражения: 

 
cos
sin
ln sin
;
sin
sin
tg
dy
y dy
d
y
y
c
y
y
y
=
=
=
+
∫
∫
∫
 

2

2
2
1
2
1
(
1)
2
(
1)
(
1)
(
1)

x
x
x
x
x
e
x
dx
e
x
dx
e
x
dx
e

+
−
+
−
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
 

2
(
1)
;

2(
1)
;
(
1)
/ 2

сделаем замену:
x
t

x
dx
dt
x
dx
dt

−
=
=
−
=
=
−
=

2
(
1)
1
1
1
.
2
2
2
2

t
t
t
x
dt
e
e dt
e
e
c
−
=
=
=
+
∫
∫
 

Получили общий интеграл исходного уравнения 

 

2
(
1)
1
ln sin
.
2

x
y
e
с
−
=
+
 

При делении на tg y могли потерять решение tg y = 0, т.е. 

,
.
2
y
k k
Z
π
=
+ π
∈
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что 

2
y
k
π
=
+ π  является решением исходного уравнения. Из общего ре
шения его получить невозможно. Следовательно, 
2
y
k
π
=
+ π − особое 

решение. 
Тогда получили решение заданного уравнения 

 

2
(
1)
1
ln sin
;
,
.
2
2

x
y
e
с y
k k
Z
−
π
=
+
=
+ π
∈
 

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию 

(1)
6
y
π
=
. Для этого найдем константу с, подставив х = 1 и 
6
y
π
=
 в 

общий интеграл: 

 

2
(1 1)
1
ln sin
;
6
2 e
с
−
π =
+
 

 
0
1
1
ln
;
2
2 е
с
=
+
 

 
1
1
1
1
ln
ln
2
2
2
2
с
с
=
+
⇒
=
−
. 

Следовательно, частный интеграл данного уравнения 

 

2
(
1)
1
1
1
ln sin
ln
2
2
2

x
y
e
−
=
+
−
.