Аналитическая геометрия и линейная алгебра

№1666 

Кафедра математики 

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И  
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 

Учебно-методическое пособие 
для студентов всех специальностей 

Под редакцией Б.Г. Разумейко 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института в качестве учебного пособия 

МОСКВА 2001 

УДК 514.12+516.64 

П40 

Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Аналитическая геометрия и 
линейная алгебра: Учеб.-метод. пособие. /Под ред. Б.Г. Разумейко. – М.: 
МИСиС, 2001. – 226 с. 

Содержит справочный материал по курсу «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», решение типовых задач по этому курсу, варианты 
домашнего задания, типовые варианты контрольных работ и варианты тестов, предназначенных для проверки усвоения пройденного материала. 

Подробно разобраны методы решения типовых задач домашнего 
задания. 

Предназначено для студентов всех специальностей. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2001 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Справочный материал..........................................................................5 
1.1. Аналитическая геометрия.............................................................5 
1.1.1. Векторы............................................................................................5 
1.1.2. Прямая на плоскости ....................................................................18 
1.1.3. Плоскость в пространстве............................................................29 
1.1.4. Прямая в пространстве.................................................................37 
1.1.5. Кривые 2-го порядка.....................................................................52 
1.1.6. Поверхности 2-го порядка ...........................................................70 
1.2. Линейная алгебра.........................................................................76 
1.2.1. Матрицы, операции над матрицами............................................76 
1.2.2. Решение систем линейных уравнений........................................83 
1.2.3. Линейное (векторное) пространство...........................................93 
1.2.4. Евклидово пространство ..............................................................99 
1.2.5. Линейные операторы..................................................................102 
1.2.6. Собственные числа и собственные векторы линейного 
оператора....................................................................................104 
1.2.7. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду 
методом собственных значений...............................................113 
2. Домашнее задание ............................................................................121 
2.1. Условие домашнего задания.....................................................123 
2.1.1. Векторы........................................................................................123 
2.1.2. Прямая на плоскости ..................................................................124 
2.1.3. Прямая и плоскость в пространстве..........................................124 
2.1.4. Кривые 2-го порядка...................................................................125 
2.1.5. Поверхности 2-го порядка .........................................................126 
2.1.6. Линейная алгебра........................................................................126 
2.2. Пример выполнения домашнего задания................................129 
2.2.1. Векторы........................................................................................129 
2.2.2. Прямая на плоскости ..................................................................136 
2.2.3. Прямая и плоскость в пространстве..........................................141 
2.2.4. Кривые 2-го порядка...................................................................167 
2.2.5. Поверхности 2-го порядка .........................................................175 
2.2.6. Линейная алгебра........................................................................184 
3. Типовые варианты контрольных работ..........................................217 
Контрольная работа 1..................................................................................217 
Контрольная работа 2..................................................................................218 
4. Тесты..................................................................................................219 
Рекомендуемая литература..................................................................225 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В первой части пособия приведены основные формулы и понятия аналитической геометрии и линейной алгебры, а также разобрано большое количество типовых задач по этим темам. 
Вторая часть пособия содержит условия домашнего задания 
по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Также во 
второй части подробно рассмотрен образец решений домашнего задания. Большинство расчетов домашнего задания требует применения микрокалькуляторов. 
Третья часть содержит типовые варианты контрольных работ и тестов, предназначенных для проверки усвоения этого курса. 
Отчет о выполнении домашнего задания должен содержать 
1. Стандартный титульный лист. 
2. Формулировку решаемой задачи. 
3. Подробное решение со всеми промежуточными выкладками. 
Некоторые стандартные обозначения, которые встречаются в 
работе: 
⇒ – следует 
⇔ – тогда и только тогда 
∀ – любой 
∃ – существует 
=|   |= комментарии к проводимым действиям. 

1. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 

1.1. Аналитическая геометрия 

1.1.1. Векторы 

Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление (рис. 1.1). О любом 
отрезке АВ  из этого множества говорят, что он представляет собой 
вектор а , и получен приложением вектора а  к точке А. 

 

Рис. 1.1 

О  – нулевой вектор, т. е. вектор, длина которого равна 0. 
Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (сонаправленными, если их направления совпадают; противоположнонаправленными, если их направления противоположны). 
Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. 

a  – длина вектора a . 

Действия с векторами 

1. Сумма векторов. 
Пусть даны два вектора  a  и b , которые приложены к одной 
точке. Суммой этих векторов 
b 
 a +
 называется вектор (рис. 1.2), 
идущий по диагонали параллелограмма из их общего начала (используем правило параллелограмма): 

 
AC
AD
AB
=
+
. 

Рис. 1.2 

Замечания 
1. Сложить 
два 
вектора 
также 
можно 
по 
правилу 
треугольника 

(см. рис. 1.2). Если начало вектора b 
 приложено к концу вектора  a , то сумма 

векторов 
b 
 a +
 – есть вектор, соединяющий начало первого вектора с концом 

второго. Результат при этом не изменится, так как 
AD
BC =
): 

 
AC
AD
AB
BC
AB
=
+
=
+
. 

2. Чтобы построить сумму векторов 
n
a
a
a
...
,
,
2
1
, нужно к концу вектора 

1
a  приложить вектор 
2
a
, затем к концу вектора 
2
a  приложить вектор 
3
a , и т.д., 

пока не дойдем до вектора 
n
a
. Тогда суммой векторов 
n
a
a
a
+
+
+
...
2
1
 будет 

вектор, соединяющий начало первого вектора 
1a  с концом последнего 
n
a
 
(рис. 1.3): 

 
1
1
2
1
...
+
=
+
+
+
n
n
А
А
a
a
a
. 

 

Рис. 1.3 

2. Разность векторов. 
Если векторы  a  и  b  приложены к одной точке, то разность 
этих векторов 
b
a
c
−
=
 – это вектор, соединяющий конец второго 
вектора с началом первого (рис. 1.4): 

 
DB
AD
AB
=
−
. 

 

Рис. 1.4 

3. Произведение вектора на число. 
Произведением вектора a  на число α называется вектор 

a
b
α
=
, такой что: 

1) 
a
b
⋅
α
=
; 

2) 
a
b ↑↑
 (сонаправлены), если α > 0; 

a
b ↑↓
 (противоположнонаправлены), если α < 0; 

0
=
b
, если α=0. 

Проекция вектора a на вектор b  

Проекцией вектора a  на вектор b  называется число, определяемое по формуле: 

 
)
,
cos(

∧
=
b
a
a
a
b
пр
. 

Проекция вектора a  на вектор b  может быть отрицательной, 
если угол между векторами a  и b  тупой. 

Координаты вектора 

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат (рис. 1.5). {
}
k
j
i
,
,
 – ортонормированный базис в про
странстве R3; 
k
j
i
,
,
 – взаимоперпендикулярные векторы единичной 
длины. 

 

Рис. 1.5 

Пусть  х – проекция вектора a =ОМ  на ось ОХ, т. е. 
x
OM
x =
; 

y – проекция вектора a  на ось OY, т. е. 
y
OM
y =
; 

z – проекция вектора a  на ось OZ, т. е. 
z
OM
z =
. 

Тогда разложение вектора a  по базису {
}
k
j
i
,
,
: 

 
k
z
j
y
ix
a
+
+
=
, 

где (x, y, z) – координаты вектора a , равные 

α
=
cos
a
x
; 
β
=
cos
a
b
; 
γ
=
cos
a
c
, 

здесь α – угол между вектором a  и осью OХ; 
β – угол между вектором a  и осью OY; 
γ – угол между вектором a  и осью OZ. 
Направляющие косинусы вектора a  cosα, cosβ, cosγ можно 
вычислить по формулам: 

a

z

a

y

a

x
=
γ
=
β
=
α
cos
,
cos
,
cos
, 

где 
1
cos
cos
cos
2
2
2
=
γ
+
β
+
α
. 
Для нахождения длины вектора a  используется формула: 

 
2
2
2
z
y
x
a
+
+
=
. 

Если в пространстве заданы 2 точки: А(x1, y1, z1) и В(x2, y2, z2), 
тогда 

 
)
,
,
(
1
2
1
2
1
2
z
z
y
y
x
x
AB
−
−
−
 – 

координаты вектора АВ. 
Пусть a  = (x1, y1, z1), b  = (x2, y2, z2), тогда координаты вектора c , являющегося суммой a  и b , находят по формуле: 

 
a  + b  = c  = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2); 

координаты вектора d , являющегося разностью a  и b , – 

 
a  – b  = d  = (x1 – x2, y1 – y2, z1 – z2); 

координаты вектора q , являющегося произведением вектора a  на 
число α – 

 
)
,
,
(
1
1
1
z
y
x
q
a
α
α
α
=
=
α
. 

Условие коллинеарности векторов: 

 

2

1

2

1

2

1
||
z
z
y
y
x
x
b
a
=
=
⇔
. 

Два вектора совпадают, т. е. 

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇔
=

.

,

,

2
1

2
1

2
1

z
z

y
y

x
x

b
a
 

Скалярное произведение векторов 

Скалярным произведением вектора a  на вектор b  называется 
число, равное 

 
)
,
cos(
)
,
(

∧
=
b
a
b
a
b
a
. 

Свойства скалярного произведения: 
1) 
0
)
,
(
=
⇔
⊥
b
a
b
a
; 

2) 
)
,
(
)
,
(
a
b
b
a
=
; 

3) 
R
b
a
b
a
∈
α
∀
α
=
α
),
,
(
)
,
(
; 

4) 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
c
b
c
a
c
b
a
+
=
+
. 

Если векторы 
a  и 
b  заданы своими координатами  

a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2), то скалярное произведение находится по 
формуле: 

 
( a ,b ) = x1x2 + y1y2 + z1z2, 

а угол (
)

∧
b
a,
 между этими векторами – 

 
(
)

2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
)
,
(
,
cos
z
y
x
z
y
x

z
z
y
y
x
x

b
a

b
a
b
a
+
+
+
+

+
+
=
=

∧
. 

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, если выполняется условие: 

 
⇔
⊥ b
a
x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0. 

Пример 1.1.1. Даны три вектора a (1, 0, –1) b (–1, 2, 1) с (0, 3, 4). 
Найти: а) ( a – с ,b ); 
б) 
)
3
2
(
пр
c
a
b
+
. 

Решение 
а) Найдем координаты вектора 
c
a −
: 

c
a −
 = (1 – 0, 0 – 3, –1 – 4) = (1, –3, –5). 
Координаты вектораb : b (–1, 2, 1). 
Тогда (
c
a −
,b ) = 1(–1) + (–3)2 + (–5)1 = –1 – 6 – 5 = –12. 

б) Найдем координаты вектора 
c
a
3
2 +
: 
2 a  = (2, 0, –2); 
3 с  = (0, 9, 12); 

c
a
3
2 +
 = (2 + 0, 0 + 9, –2 + 12) = (2, 9, 10). 
Вычислим проекцию: 

;
)
,
3
2
(

3
2

)
,
3
2
(
3
2

)
,
3
2
cos(
3
2
)
3
2
(
пр

b

b
c
a

b
c
a

b
c
a
c
a

b
c
a
c
a
c
a
b

+
=
+

+
+
=

=
+
+
=
+

 

26
10
18
2
1
10
2
9
)1
(
2
)
,
3
2
(
=
+
+
−
=
⋅
+
⋅
+
−
=
+
b
c
a
; 

6
1
4
1
1
2
)1
(
2
2
2
=
+
+
=
+
+
−
=
b
; 

3
6
13
=
=
+
6

26
)
3
2
(
пр
c
a
b
. 

Пример 1.1.2. Дано: a =1 b =2; 
b
a,
∠
= 4
π . 

Найти: а) 
)
2
,
(
b
a
b
a
+
−
; 

б) 
b
a −
; 

в) 
)
(
пр
b
a
b
−
. 

Решение 
а) Воспользуемся свойствами скалярного произведения: 

.
2
2
2
2
4
4
cos
2
2

)
2
(
)
,
cos(
1
2
)
,
(
2

)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
2

)
2,
(
)
2,
(
)
2,
(

2
2
2

2
2 −
−
=
⋅
−
−
=
−
π
−
=

=
−
−
⋅
=
−
−
=

=
−
−
+
=

=
+
−
+
=
+
−

∧
b
a
b
a
b
b
a
a

b
b
a
b
b
a
a
a

b
a
b
b
a
a
b
a
b
a

 

б) 
=
+
−
=
−
−
=
−
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
 

=
+
−
=

∧
2
2
)
,
cos(
2
b
b
a
b
a
a