Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление

 

 
Кафедра математики 

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко 

 

 

 

 

Под редакцией проф. Б.Г. Разумейко 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института в качестве учебного пособия 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

Учебно-методическое пособие 
для студентов всех специальностей 

МОСКВА 2001 

№1665 

 

УДК 517.2/3 
П40 

П40 Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление: 
Учеб.-метод. пособие /Под ред. Б.Г. Разумейко. – М.: МИСиС, 
2001 – 151 с. 

Пособие содержит справочный материал по теме «Дифференциальное исчисление функций многих переменных и интегральное исчисление», 
варианты домашних заданий, типовые варианты контрольных работ и варианты тестов предназначенных для проверки усвоения пройденного материала. также в пособии подробно разобраны методы решения типовых задач 
домашнего задания. Количество вариантов обеспечивает индивидуальное 
задания каждому студенту. 
Предназначено для студентов всех специальностей. 

 Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2001 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Справочный материал .......................................................................... 4 
1.1. Неопределенный интеграл ............................................................. 4 
1.1.1. Свойства неопределенного интеграла .................................. 4 
1.1.2. Таблица основных неопределенных интегралов ................. 4 
1.1.3. Основные методы нахождения неопределенного интеграла ..... 5 
1.2. Определенный интеграл. Его геометрические приложения ..... 11 
1.2.1. Площадь фигуры ................................................................... 11 
1.2.2. Длина дуги кривой ................................................................ 13 
1.2.3. Объем тела вращения ........................................................... 14 
1.3. Несобственные интегралы ........................................................... 14 
1.4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных .. 15 
1.4.1. Частные производные и дифференциал .............................. 15 
1.4.2. Дифференцирование функции, заданной неявно............... 16 
1.4.3. Дифференцирование функции, заданной параметрически ...... 17 
1.4.4. Производная функции в данном направлении и градиент 
функции .................................................................................. 17 
1.4.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ............. 18 
1.4.6. Экстремум  функции двух переменных z = f(x, y) ............. 18 
1.4.7. Условный экстремум функции двух переменных ............. 19 
1.4.8. Наибольшее и наименьшее значение функции в  
замкнутой ограниченной области ........................................ 20 
1.5. Кратные и криволинейные интегралы ........................................ 20 
1.5.1. Двойной интеграл ................................................................. 20 
1.5.2. Тройной интеграл ................................................................. 23 
1.5.3. Криволинейные интегралы .................................................. 26 
1.5.4. Поверхностные интегралы ................................................... 29 
2. Домашнее задание .............................................................................. 32 
2.1. Варианты заданий ......................................................................... 32 
2.2. Условия домашних заданий ......................................................... 35 
2.3. Пример выполнения домашнего задания ................................... 43 
3. Типовые варианты контрольных работ .......................................... 142 
Контрольная работа 1 ....................................................................... 142 
Контрольная работа 2 ....................................................................... 143 
4. Тесты .................................................................................................. 144 
Рекомендуемая литература .................................................................. 150 

1. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 

1.1. Неопределенный интеграл 

F(x) является первообразной функции f(x), заданной на 
некотором множестве Е, если F/(x) = f(x) для x  E. 
Множество всех первообразных функции f(x) называется 
неопределенным интегралом. 

 
 f(x) dx = F(x) + c, где с = const. 

1.1.1. Свойства неопределенного интеграла 

1. 

dx
x
f
)
(
= f(x) + c. 

2. 


dx
x
f
c
dx
x
cf
)
(
)
(
. 

3. 








dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
. 

4. 


c
x
dx
. 

5.  




c
b
ax
F
a
dx
b
ax
f
)
(
1
)
(
. 

1.1.2. Таблица основных неопределенных 
интегралов 

1. 





c
a
x
dx
x

a
a
1

1
  (а  –1). 

2. 


c
a
a
dx
a

x
x
ln
  (а > 0, а  1). 

3.
c
e
dx
e
x
x



. 

4. 
c
x
x
dx



ln
. 

5. 



c
a
x
a
a
x
dx
arctg
1

2
2
 (a  0). 

6. 





c
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2
1

2
2
  (a  0). 

7. 
c
a
x
x
a
x

d






2
2

2
2
ln
 (a  0). 

8. 



c
a
x

x
a

dx
arcsin
2
2
  (a  0). 

9. 



c
x
xdx
cos
sin
. 

10. 


c
x
xdx
sin
cos
. 

11. 


c
x
x
dx
tg
cos2
. 

12. 



c
x
x
dx
ctg
sin 2
. 

13. 


c
x
x
dx
2
tg
ln
sin
. 

14. 
c
x
x
dx











4
2
tg
ln
cos
. 

15. 


c
x
xdx
ch
sh
. 

16. 


c
x
xdx
sh
ch
. 

17. 
c
x
x
dx



th
ch 2
. 

18. 



c
x
x
dx
cth
sh 2
. 

1.1.3. Основные методы нахождения 
неопределенного интеграла 

1. Интегрирование 
путем 
подведения 
под 
знак 
дифференциала 

 





,
)
(
)
(
 
))
(
(
du
u
f
dx
x
x
f
 

где 
(x)
u


. 

Отметим некоторые часто применяемые преобразования 
дифференциалов: 

)
(
1
b
ax
d
a
dx


, 












2
1

2
1
    
1
dx
xdx
n
dx
dx
x

n
n
, 

sinx dx= –d cosx, 
cosx dx = d sinx, 

e
x
x
d
x
d
x
dx

a

a
log
log
ln


, 

a
da
dx
a

x
x
ln

 (ex dx = d ex), 

x
d
x
dx
 tg
cos2

, 

x
d
x
dx
ctg
 
sin 2


. 

2. Интегрирование по частям 

 






dx
x
u
x
v
x
 v
x
u
dx
x
v
x
u
)
(
 )
(
 
)
(
)
(
 )
(
 )
(
, 

 




vdu
uv
udv
. 

3. Интегрирование тригонометрических функций 
1) 
Z
n
m
xdx
x
n
m


 ,
 
где
 ,
cos
sin
. 

Если m = 2k + 1 – нечетное положительное число (k  N), то 
делаем замену cos x = t. 
Тогда 

 
.
)
1(
cos
 
)
cos
1(
cos

cos
 
sin
 
cos
sin
 
cos

2

2
1
2


















dt
t
t
d
х
x

x
d 
x
x
xdx
x

k
n
k
n

k
n
k
n
 

Если n = 2k + 1(k  N), – то возможна аналогичная замена 
sinx = t. 
Если m и n – четные положительные, то применяем формулы 
понижения степени: 

2
2
cos
1
cos
    
2
2
cos
1
sin
2
2
x
x
x
x




. 

Если m + n = –2k (k  N) – целое четное отрицательное число, 
то делаем замену tgx = t и пользуемся формулами 

2
2
2
1
1
tg
1
1
cos
t
x
x




; 

2

2

2
2
2
1
1
1

1
ctg
1
1
sin
t
t

t

x
x














; 

dt
x
d
x
dx


 
 tg
cos2
. 

В общем случае интегралы такого вида вычисляются 
интегрированием по частям. 
2) 


 
 
где
 ,
 
ctg
 ,
 
tg
m
m
dx
x
dx
x
m
– четное число. 

Для вычисления этих интегралов применяем следующие 
формулы: 

1
sin
1
ctg
 ,1
cos
1
tg
2
2
2
2




x
x
x
x
. 

3) 


 ,
 )
sin(
 )
cos(
  ,
)
cos(
 )
cos(
dx
bx
ax
dx
bx
ax

dx
bx
ax
 )
sin(
 )
sin(
. 

Для вычисления этих интегралов пользуемся формулами: 

)).
sin(
)
(sin(
2
1
cos
sin

)),
cos(
)
(cos(
2
1
sin
sin

)),
cos(
)
(cos(
2
1
cos
cos


































 

4) 
 
)
cos
,
(sin
dx
x
x
R
, где R – рациональная функция от 
x
x
cos
 
и
  
sin
. 
Для вычисления интегралов такого вида делаем замену 

t
x 
2
tg
. 

Тогда 

. 
arctg
2

,
1
2

,
1
1
cos

,
1
2
sin

2

2

2

2

t
x
t
dt
dx

t
t
x

t
t
x












 

Если cos x и sin x содержатся в интеграле только в четных 
степенях, то можно сделать замену tg x = t. 
Тогда 

. 
arctg

;
1

;
1
1
cos

;
1
sin

2

2
2

2

2
2

t
x
t
dt
dx

t
x

t
t
x











 

4. Интегрирование рациональных дробей 

 

dx
x
Q
x
P

n

m
)
(
)
(
, 

где 
)
(x
Pm
 – многочлен степени m от x,  
Qn – многочлен степени n от x. 
Если m  n, то приведем дробь к правильному виду. Для этого 
поделим многочлен Рm(x) на многочлен 
)
(x
Qn
столбиком с остатком. 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
R
x
M
x
Q
x
P

n

r
n
m
n

m



. 

где Mm–n – целая часть, многочлен степени m – n; 
Rr(x) – многочлен степени r < n. 

Для нахождения интеграла 
)
(
)
(
x
Q
dx
x
R

n

r
разложим дробь 
)
(
)
(
x
Q
x
R

n

r
 

на сумму простейших дробей. 

В результате нахождение 
)
(
)
(
x
Q
dx
x
R

n

r
 сведется к нахождению 

интегралов следующего вида: 

 







c
x
A
dx
x
A
ln
, 

 
c
x
k
dx
x
A

k
k









1
)
)(
1(
1
)
(
, 

 
0
4
 
где
 ,
)
(

2
2






q
p
dx
q
px
x
B
Ax

k
. 

Сделаем замену 
x
p
t

 2
. В результате получим интеграл 

вида 


dt
a
t
D
Ct

k)
(
2
2
. 

В числителе выделим производную знаменателя 

t
a
t
2
2



: 

 

.
)
(
)
)(
1(
1
2
)
(

)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
2
)
(

2
2
1
2
2
2
2

2
2

2
2

2
2
2
2
2
2





























k
k
k

k
k
k
k

a
t
dt
D
a
t
k
C
a
t
dt
D

a
t
a
t
d
C
a
t
dt
D
a
t
tdt
C
dt
a
t
D
Ct

 

Если k = 1, то 



C
a
t
a
a
t
dt
arctg
1

2
2
. 

Если k > 1, то, применяя интегрирование по частям, 
понижаем степень k: 
















dt
a
t
t
a
a
t
dt
a
dt
a
t
t
a
t
a
a
t
dt

k
k
k
k
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
2
2

2

2
1
2
2
2
2
2

2
2
2

2
2
2
 

 

















1
2
2
2
2

2
2

2
2

2
2

)
)(
(1
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
,

)
(
 ,

k
k
k

k

a
t
k
a
t
a
t
d
a
t
tdt
v
dt
du

a
t
tdt
dv
t
u

 


















1
2
2
1
2
2
)
)(
(1
)
)(
2(1
k
k
k
a
t
k
dt
a
t
k
t
a
a
t
dt
a
2
1
1
)
(
1

2
1
2
2
2
. 

Если k – 1 = 1, то получим табличный интеграл, если k – 1 > 1, 
то снова интегрируем по частям. 

5. Интегрирование иррациональных функций 

1) 
dx
d
cx
b
ax
d
cx
b
ax
x
R
n
m
n
m































...
,
 ,
 ,
2

2

1

1
, где R – рациональная 

функция. 

Делаем замену 
d
cx
b
ax
t S



, где S – общий знаменатель 

дробей 

2

2

1

1  , n
m
n
m
 … 

2) 






dx
c
bx
ax
x
R
2
 ,
, где R – рациональная функция. 

Заменой 
a
b
x
t
2


 сводим интеграл к одному из трех видов и 

делаем соответствующую замену: 







dt
t
l
t
R
2
2
 ,
, замена t = l  sin u, 

dt
t
l
t
R






2
2
 ,
 замена t = l  tg u, 







dt
l
t
t
R
2
2
 ,
 замена на t = 
u
l
cos
. 

3) 




dx
c
bx
ax

n
mx

2
. 

Для нахождения такого интеграла предварительно выделим в 
числителе производную знаменателя. 

4) 



c
bx
ax
n
mx

dx

r
2
)
(
. 

Для нахождения такого интеграла делаем замену: 

 
t
n
mx


1
. 

1.2. Определенный интеграл. Его 
геометрические приложения 

 
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f

a

b
b

a




 – 

формула Ньютона – Лейбница 

1.2.1. Площадь фигуры 

Пусть
)
(x
f
y 
 – непрерывная неотрицательная на 
]
,
[
b
a
 
функция (рис. 1.1). Тогда площадь криволинейной трапеции, 
ограниченной графиком функции 
)
(x
f
y 
 и прямыми у = 0, х = а, 
х = b, вычисляется по формуле: 

 



b

a
dx
x
f
S
)
(
. 

 

Рис. 1.1 

Пусть
)
(
),
(
2
1
x
f
y
x
f
y


 – непрерывные на 
]
,
[
b
a
 функции. 
Причем 
]
,
[ 
на
 )
(
)
(
2
1
b
a
x
f
x
f

 
(рис. 
1.2). 
Тогда 
площадь 
криволинейной трапеции, ограниченной кривыми 
)
(
 и )
(
2
1
x
f
x
f
 и 
прямыми х = а, х = b, вычисляется по формуле 

 




b

a
dx
x
f
x
f
S
))
(
)
(
(
1
2
.