Дифференциальное исчисление функций одной переменной


№ 537

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ Технологический университет МИСиС

Кафедра математики


Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко








ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ




Учебно-методическое пособие
для студентов всех специальностей

Под редакцией Б.Г. Разумейко
Рекомендовано редакционно-издательским советом института в качестве учебного пособия








МОСКВА 2001

УДК 517.2
     П40


П40    Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Дифференциальное исчисле       ние функций одной переменной: Учеб.-метод. пособие. /Под ред. Б.Г. Разумейко. - М.: МИСиС, 2001. - 133 с.
       Пособие содержит справочный материал по курсу "Дифференциальное исчисление функций одной переменной", варианты домашнего задания, типовые варианты контрольных работ и варианты тестов, предназначенных для проверки усвоения пройденного материала. Также в пособии подробно разобраны методы решения типовых задач домашнего задания.
       Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту.
       Пособие предназначено для студентов всех специальностей.


                             © Московский государственный институт стали и сплавов (Технологический университет) (МИСиС), 2001

            СОДЕРЖАНИЕ



1. Справочный материал.......................................4
   1.1. Формулы сокращенного умножения.......................4
   1.2. Сложение дробей......................................4
   1.3. Решение простейших уравнений.........................4
   1.4. Графики основных элементарных функций................6
   1.5. Преобразование графиков.............................17
   1.6. Разложение многочленов на множители.................19
   1.7. Деление многочленов.................................19
   1.8. Уравнение окружности................................21
   1.9. Действия со степенями...............................22
   1.10. Логарифмы..........................................22
   1.11. Решение рациональных неравенств методом интервалов.23
   1.12. Предел функции.....................................25
   1.13. Асимптоты графиков функций.........................37
   1.14. Непрерывность функций..............................41
   1.15. Дифференцирование функций..........................43
2. Домашнее задание.........................................63
   2.1. Условие домашнего задания...........................65
   2.2. Пример выполнения домашнего задания.................70
3. Примерные варианты контрольных работ....................123
   Контрольная работа 1....................................123
   Контрольная работа 2....................................123
4. Тесты...................................................125
Рекомендуемая литература...................................132

3

            1. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


            1.1. Формулы сокращенного умножения


               a² - b² = (a - b) (a + b);
               (a + b )² = a² + 2 ab + b \
               (a - b)² = a² - 2ab + b²;
               a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²);
               a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²);
               (a + b )³ = a³ + 3 a² b + 3 ab² + b³;
               (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.


            1.2. Сложение дробей


      При сложении дробей каждую из них следует привести к общему знаменателю:
a c ad + bc --I--=-------. b d bd



            1.3. Решение простейших уравнений


      1. Линейное.
      Линейным уравнением называют уравнение вида:
ax + b = 0 (a ^ 0),

тогда x = -— - корень этого уравнения. a
      2. Квадратное.
      Квадратным уравнением называют уравнение вида:
ax² + bx + c = 0 (a Ф 0).


4

Для его решения находим дискриминант D по формуле: D = b² - 4ac,


тогда

       а) если D > 0, то x 1 =

- ь+Dd      - ь - Dd
--------, x ₂ = ----, уравнение
   2 a          2 a

         имеет два корня - x 1 и x ₂;


       б)  если D = 0, то x 1 = - —
                             2 a

уравнение имеет один корень - x 1;

        в)  если D < 0, то корней нет. _ b
        a ax + b fax ⁺ b = 0, X a ’
        3.  = 0 ^ •!                 ^ •!
           cx + d I cx + b * 0,                 d
¹         , x *----------.
                                          I c


          4.


™ = 0, Q (x)

где P(x); Q(x) - некоторые функции переменной x.

        P⁽x⁾ = ₀ ^ fP(x) = 0, Q (x)        IQ ⁽x⁾ * ⁰.


       5. |x| = b, тогда
       -  если b > 0, то x 1 = -b; x₂ = b;
       -  если b = 0, то x 1 = 0;
       -  если b < 0, то корней нет.


         6.  x²ⁿ = b, где n e N.


       - если b > 0, то x 1 =

²qb ;

;



       - если b = 0, то x = 0;
       - если b < 0, то корней нет.


       7. x²n+1 = b, где n e N x = ²ⁿ ⁺1b - корень уравнения.


5

       8. ²nix = b где n e N, тогда ,
       -  если b > 0, то x = b²ⁿ;
       -  если b = 0, то x = 0;
       -  если b < 0, то нет корней.
       9. ²ⁿ ⁺1x = b где n e N x = b²ⁿ⁺¹ - корень уравнения.
       10. ax = b (a > 0; a ^ 1), тогда
       -  если b > 0, то x = logₐb;
       -  если b < 0, то корней нет.
       11. log,_x = b (a > 0; a ^ 1),
тогда x = ab - корень уравнения.


            1.4  . Графики основных элементарных функций


       1. Линейная функция - это функция вида:
y = ax + b,
графиком которой является прямая (рис. 1.1).


6

       График этой функции строят по двум точкам, как правило, точкам пересечения с осями:

x 0 - b/a
y b   0  

       Если x = b, то график имеет вид (рис. 1.2).



Рис. 1.2

        Если y = b, то график имеет вид (рис. 1.3).


Рис. 1.3

      2. Квадратичная функция - это функция вида:

y = ax² + bx + c (а Ф 0),

графиком которой является парабола (см. таблицу).
       Координаты вершины параболы (xb, yb) определяют по формулам:

b      Z ч ( b ) 2 . Л b ) 2 .
xb = -—;уь = y⁽xb⁾ = a I-— I + b I-— I + c.
2 a         ( 2 a J  ( 2 a J

7

Варианты графика квадратичной функции

        3. Функция у = |x|.
        Для построения графика раскрывают модуль: x, если x > 0, - x, если x < 0.

У = | x | = |

8

       4. Степенная функция - это функция вида:
       1) у = x²ⁿ, где n е N,
область допустимых значений (О.Д.З.) этой функции: х е R, график этой функции имеет вид (рис. 1.5);

Рис. 1.5

        2)   у = x²ⁿ ⁺ ¹, где n е N,
        О.Д.З.: х е R, график функции имеет вид (рис. 1.6);

Рис. 1.6

        3)  у = ²nx , где n е N,
        О.Д.З.: x > 0, график функции имеет вид (рис. 1.7);

9

Рис. 1.7

        4)  y = ²ⁿ ⁺1x , где n e N,
        О.Д.З.: x e R, график функции имеет вид (рис. 1.8).

Рис. 1.8

       5. Обратная пропорциональность:

1) У =    , где n e N,

      x¹ ²

²⁾ y = рптт, где ⁿ e N

О.Д.З.: x ^ 0, график функции показан на рис. 1.9;

О.Д.З.: x ^ 0, график функции показан на рис. 1.10.

Рис. 1.10

Рис. 1.9

10

6. Показательная функция - это функция вида

                    y = ах (а > 0, а Ф 0).


О.Д.З.: x е R.
График показательной функции имеет вид:
1)  при а > 1 - (рис. 1.11);  2) при 0 < а < 1 - (рис. 1.12).

Рис. 1.11

Рис. 1.12

7. Логарифмическая функция - это функция вида

              y = log а X (а > 0, а Ф 1).

О.Д.З.: x > 0.
График логарифмической функции имеет вид:
а) при а > 1 - (рис. 1.13);  б) при 0 < а < 1 - (рис. 1.14).

Рис. 1.13                                    Рис. 1.14

11