Аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 219 

Кафедра математики

Е.Л. Плужникова 
Б.Г. Разумейко 
 

Аналитическая геометрия

 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2011 

УДК 514.12 
 
П40 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Л.А. Шамаро 

Плужникова, Е. Л. 
П40  
Аналитическая геометрия : учеб. пособие / Е. Л. Плужникова, Б. Г. Разумейко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 177 с. 
ISBN 978-5-87623-382-0 

В пособии приведены основные формулы и понятия аналитической геометрии, разобрано большое количество типовых задач различных уровней 
сложности. Также в пособии содержатся условия домашнего задания по курсу «Аналитическая геометриия». Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. Наличие в пособии типовых вариантов контрольных работ и тестов, предназначенных для проверки усвоения 
этого курса, позволит студенту подготовиться к экзаменационной сессии. 
Для студентов всех специальностей. 

УДК 514.12 

ISBN 978-5-87623-382-0 
© Е.Л. Плужникова, 
Б.Г. Разумейко, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Векторная алгебра ................................................................................4 
1.1. Векторы ..........................................................................................4 
1.2. Проекция вектора на вектор .........................................................7 
1.3. Базис и координаты вектора.........................................................7 
1.4. Скалярное произведение векторов.............................................11 
1.5. Определители второго и третьего порядка ...............................21 
1.6. Векторное произведение векторов.............................................26 
1.7. Смешанное произведение векторов...........................................31 
2. Прямая и плоскость............................................................................37 
2.1. Прямая на плоскости...................................................................37 
2.2. Плоскость в пространстве...........................................................54 
2.3. Прямая в пространстве................................................................63 
3. Кривые 2-го порядка ........................................................................111 
4. Поверхности 2-го порядка ...............................................................141 
5. Домашнее задание ............................................................................164 
6. Вопросы для самопроверки .............................................................169 
7. Типовые варианты контрольных работ..........................................174 
Библиографический список.................................................................176 
 

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 

1.1. Векторы 

Вектором называется множество всех направленных отрезков, 
имеющих одинаковую длину и направление (рис. 1.1). О любом отрезке AB

из этого множества говорят, что он представляет собой 
вектор aи получен приложением вектора aк точке А. 

aА 

В

 

Рис. 1.1 

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Длина вектора обозначается a. К векторам будем относить и так 
называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.  
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (сонаправленными, если их направления совпадают; 
противоположно направленными, если их направления противоположны). Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. 
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Вектор, длина которого равна единице, называется 
единичным вектором или ортом. Два (ненулевых) вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и 
имеют равные длины. 

Действия с векторами 

1. Сумма векторов 
Пусть даны два вектора aи b

, которые приложены к одной точке. Суммой векторов a
b
+

называется вектор c(рис. 1.2), идущий 
по диагонали параллелограмма из их общего начала (правило параллелограмма): 
 
AB
AD
AC
+
=

5 

 

В

aC 

cb
A 
D 
 

Рис. 1.2 

Замечания 
1. Сложить два вектора также можно по правилу треугольника. Если 
вектор b

приложен к концу вектора a, то сумма векторов a
b
+

есть 
вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго. Результат при этом не изменится, так как если b
BC
AD
=
=

, то 

 
a
b
AB
BC
AB
AD
AC
+
=
+
=
+
=

(см. рис. 1.2). 

2. Чтобы построить сумму векторов 
1
2
,
, ...,
n
a
a
a
, нужно к концу 
вектора 
1aприложить вектор 
2
a, затем к концу вектора 
2
aприложить вектор 
3aи т.д., пока не дойдем до вектора 
n
a. Тогда суммой 
векторов 
1
2
...
n
a
a
a
+
+
+
будет вектор, соединяющий начало первого 

вектора 
1aс концом последнего 
n
a(рис. 1.3): 

 
1
2
1
1
...
n
n
a
a
a
A A +
+
+
+
=

A2 

A1
An 

A3

A4 

A5 

An+1 
 

Рис. 1.3 

2. Разность векторов 
Если векторы aи b

приложены к одной точке, то разность этих 
векторов c
a
b
=
−

– это вектор, соединяющий конец второго вектора 
с концом первого (рис. 1.4): 

 
AB
AD
DB
−
=

. 

A

D

B

 

Рис. 1.4 

Замечание. Если на векторах aи b

, отложенных из общей точки A, 
построить параллелограмм АВСD (см. рис. 1.2), то вектор AC

, совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме a
b
+

, а 
вектор DB

, совпадающий с другой диагональю – разности a
b
−

. 
3. Произведение вектора на число 
Произведением вектора aна число α называется вектор b
a
= α

, 
такой что 
1) b
a
= α ⋅
; 

2) b
a
↑↑
(сонаправлены), если α > 0; 

b
a
↑↓
(противоположно направлены), если α < 0; 

0
b =
, если α = 0. 

Свойства линейных операций 

1) a
b
b
a
+
=
+
(коммутативность сложения); 

2) (
)
(
)
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
(ассоциативность сложения); 

3) 
0:
0
a
a
∃
+
=
(0

− нулевой элемент); 

4) 
(
):
(
)
0
a
a
a
a
∀
∃ −
+ −
=

( a
−− противоположный элемент); 

5) 
(
)
,
:
(
)
a
a
∀α β∈
αβ
= α β
R
 (ассоциативность умножения); 

6) 
(
)
,
:
a
a
a
∀ α β∈
α + β
= α + β
R
 (дистрибутивность умножения); 

7) 
:
(
)
a
b
a
b
∀α∈
α
+
= α + α

R
; 
8) 1 a
a
⋅
=
. 

1.2. Проекция вектора на вектор 

Пусть в пространстве даны два вектора aи b

. Опустим из конца 
и начала вектора aперпендикуляры на вектор b

. Обозначим основания этих перпендикуляров буквами A и B. 
Проекцией вектора aна вектор b

называется число, определяемое по формуле 

 
cos( , )
прba
a
a b

∧
=
⋅
. 

Замечание: 
.
прba
AB
= ±
Если вектор aобразует острый угол с вектором b

, то проекция 
вектора aна вектор b

положительна, если же этот угол тупой, то 
проекция отрицательна, если векторы aи b

перпендикулярны, то 
проекция равна 0. 

Свойства проекций 

1. Равные векторы имеют равные проекции. 
2. Проекция суммы нескольких векторов на один и тот же вектор 
равна сумме их проекций: 

 
1
2
1
2
(
...
)
...
пp
пp
пp
пр
n
n
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
+
. 

3. При умножении вектора на число его проекция на данную ось 
умножается на это число: 

 
(
)
.
пp
пp
b
b
a
a
α
= α
1.3. Базис и координаты вектора 

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. Базисом 
на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом в пространстве геометрических векторов называется 
упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базис называется 

прямоугольным, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и 
имеют единичную длину. 
Зафиксируем в пространстве точку О и приложим к ней три взаимно 
перпендикулярных вектора единичной длины. По направлению этих векторов направим оси OX, OY и OZ, которые называются координатными 
осями. Первая – ось абсцисс, вторая – ось ординат, третья – ось аппликат. 
Векторы прямоугольного базиса принято обозначать ,i
j
и k

. 

Совокупность точки и прямоугольного базиса 
{
}
,
,
B
i
j k
=

назы
вается декартовой прямоугольной системой координат. 
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система 
координат (рис. 1.5), а точка М – произвольная точка пространства. 
Вектор OM

называется радиусом-вектором точки М. Проведем через точку М плоскости, перпендикулярные координатным осям. Любой вектор можно единственным образом разложить по базису 

{
}
,
,
B
i
j k
=
. 

Y

Z

M 

O

MXY 

MX

MY 

MZ 

α

β

γ

X 

 

Рис. 1.5 

Пусть х – проекция вектора a
OM
=

на ось ОХ, y – проекция вектора aна ось OY, z – проекция вектора aна ось OZ. Тогда разложе
ние вектора aпо базису 
{
}
,
,
B
i
j k
=

: 

 
a
xi
yj
zk
=
+
+
, 

где (x, y, z) – координаты вектора a. 

Пусть α – угол между вектором aи осью OХ; β – угол между вектором aи осью OY; γ – угол между вектором aи осью OZ. Тогда 
величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами 
вектора aи могут быть вычислены по формулам  

 
cos
; cos
; cos
x
y
z

a
a
a
α =
β =
γ =
. 

Очевидно, что  

 
2
2
2
cos
cos
cos
1
α +
β +
γ = . 

Для нахождения длины вектора a

используется формула 

 
2
2
2
a
x
y
z
=
+
+
. 

Если в пространстве заданы две точки А(x1, y1, z1) и В(x2, y2, z2), то 
координаты вектора AB

находим, вычитая из координат точки В соответствующие координаты точки А: 

 
2
1
2
1
2
1
(
,
,
)
AB
x
x
y
y
z
z
=
−
−
−

. 

Линейные операции над векторами в координатах 

Пусть известны координаты векторов 
1
1
1
(
,
,
)
a
x
y
z
=
и 
2
2
2
(
,
,
)
b
x
y
z
=

, 

тогда координаты вектора c, являющегося суммой векторов aи b

, 
находим, складывая соответствующие координаты векторов aи b

: 

 
1
2
1
2
1
2
(
,
,
).
a
b
c
x
x
y
y
z
z
+
=
=
+
+
+

Аналогично, координаты вектора d

, являющегося разностью векторов aи b

, находим по формуле 

 
1
2
1
2
1
2
(
,
,
).
a
b
d
x
x
y
y z
z
−
=
=
−
−
−

Координаты вектора q, являющегося произведением вектора aна число α, находим, умножая все координаты вектора aна число α: 

 
1
1
1
(
,
,
)
a
q
x
y
z
α =
= α
α
α
. 

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны: 

1
1
1

2
2
2

||
x
y
z
a b
x
y
z
⇔
=
=

. 

Два вектора совпадают, если равны их соответствующие координаты: 

 

1
2

1
2

1
2

,

,

.

x
x

a
b
y
y

z
z

=
⎧
⎪
=
⇔
=
⎨
⎪
=
⎩

Пример 1.1 
Найти 
координаты 
вектора 
a, 
коллинеарного 
вектору 
2
2
b
i
j
k
= −
+
−
, если известно, что его длина равна 36 и он образует 
тупой угол с осью OX. 
Решение 
Так как вектор aколлинеарен вектору 
2
2
b
i
j
k
= −
+
−

, то коор
динаты вектора aпропорциональны координатам вектора b

:  

 
( 2 , 2 ,
)
a = − α
α −α
. 

Так как по условию задачи длина вектора равна 36, то  

 
2
2
2
2
2
4
4
9
36
144
12.
a =
α + α + α =
α =
⇒ α =
⇒ α = ±
Вектор aобразует тупой угол с осью OX, а значит, его первая координата должна быть отрицательной. Следовательно, α = 12. 
Итак, получили: 
(
)
24, 24,
12 .
a = −
−

Деление отрезка в данном отношении 

Пусть даны две точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), точка С лежит на 

отрезке АВ, так что |
|

|
|
AC
CB = λ ; т.е. точка С делит отрезок АВ в отно
шении λ. Требуется найти координаты точки С. 
Очевидно, что AC
CB
= λ

. 
Координаты векторов AC

и CB

: 

 
(
)
1
1
1
,
,
,
AC
x
x y
y z
z
=
−
−
−

(
)
2
2
2
,
,
.
CB
x
x y
y z
z
=
−
−
−

11 

Тогда  

 
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
,
,
(
), (
), (
) .
x
x y
y z
z
x
x
y
y
z
z
−
−
−
= λ
−
λ
−
λ
−
 

Из равенства векторов следует равенство соответствующих координат: 

 

1
2
1
2

1
2
1
2

1
2
1
2

,
,

,
,

.

x
x
x
x
x
x
x
x

y
y
y
y
y
y
y
y

z
z
z
z
z
z
z
z

−
= λ
− λ
+ λ =
+ λ
⎧
⎧
⎪
⎪
−
= λ
− λ
⇒
+ λ =
+ λ
⎨
⎨
⎪
⎪
−
= λ
− λ
+ λ =
+ λ
⎩
⎩

 

Отсюда  

 
1
2
1
2
1
2
;
;
1
1
1

x
x
y
y
z
z
x
y
z
+ λ
+ λ
+ λ
=
=
=
+ λ
+ λ
+ λ
. 

Замечание. Если точка С является серединой отрезка АВ (λ = 1), 
то ее координаты вычисляются по формулам 

 
1
2
1
2
1
2
;
;
.
2
2
2

x
x
y
y
z
z
x
y
z
+
+
+
=
=
=
 

1.4. Скалярное произведение векторов 

Скалярным произведением вектора aна вектор b

называется 
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 

 
( ,
)
|
| |
| cos( ,
).
a b
a
b
a b

∧
=
⋅
⋅

Заметив, что выражение |
| cos( , )
b
a b

∧
⋅

равно проекции вектора b

на вектор a, а выражение |
| cos( , )
a
a b

∧
⋅


 равно проекции вектора aна 

вектор b

, получим следующую формулу для вычисления скалярного 
произведения: 

 
( , )
|
|
|
|
.
пр
прa
b
a b
b
a
a
b
=
⋅
=
⋅
Рассмотрим физическую задачу, решение которой приводится к 
скалярному произведению векторов. Пусть материальная точка М 
движется по прямой от точки А до точки В. Путь, проходимый при 
этом, равен S. Допустим, что на точку М действует постоянная по 

величине и направлению сила F

под углом φ к направлению перемещения. Тогда работа 

 
|
| |
| cos
( , ).
A
F
S
F S
=
⋅
⋅
ϕ =

Таким образом, работа постоянной силы на прямолинейном участке 
равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. 

Свойства скалярного произведения 

1) 
( ,
)
0
a
b
a b
⊥
⇒
=
(условие перпендикулярности векторов); 

2) ( ,
)
( ,
)
a b
b a
=
; 

3) (
,
)
( ,
),
a b
a b
α
= α
∀α∈
R ; 

4) (
, )
( , )
( , )
a
b c
a c
b c
+
=
+
; 

5) |
|
( ,
)
a
a a
=
. 

6) Если угол между векторами aи b

острый, то ( ,
)
0
a b >

, если 

тупой, то ( ,
)
0
a b <
. 

Выражение скалярного произведения векторов 
через координаты сомножителей 

Если векторы aи b

заданы своими координатами 
1
1
1
( ,
,
)
a
x y z
=
и 
2
2
2
(
,
,
)
b
x
y
z
=
соответственно, то скалярное произведение находится по формуле 

 
1
2
1
2
1
2
( , )
.
a b
x x
y y
z z
=
+
+

Косинус угла между векторами aи b

(
)

1 2
1
2
1 2

2
2
2
2
2
2

1
1
1
2
2
2

( , )
cos
,
.
x x
y y
z z
a b
a b
a
b
x
y
z
x
y
z

∧
+
+
=
=
⋅
+
+
+
+

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, если их скалярное произведение равно нулю: 

 
( ,
)
0
a
b
a b
⊥
⇒
=
, т.е. 
1 2
1
2
1 2
0.
x x
y y
z z
+
+
=
 

Пример 1.2 

Дано: 
2; |
| 5;
,
3
a
b
a b

∧
π
=
=
=

. 

Найти: 
1) длину вектора 
4
a
b
+

; 
2) проекцию вектора 
4
a
b
+

на вектор 3
5
b
a
−

; 
3) длину диагоналей параллелограмма, построенного по векторам 
4a
b
+
и 3
5
a
b
−
. 
Решение 
1. Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой 

 
|
|
( ,
)
a
a a
=
. 

Тогда 

 
(
)
4
4 ,
4
a
b
a
b a
b
+
=
+
+
=

По  свойствам скалярного произведения:

(
)
( , )

(
)
(
)
( , )

a, b
b a

a
b, c
a, c
b c

=
=
=

+
=
+

(
) (
) (
) (
)
(
)

2
2
,
4 ,
,4
4 ,4
8
,
16
a a
b a
a
b
b
b
a
a b
b
=
+
+
+
=
+
+
=
2
2
1
2
8 2 5cos
16 5
4
80
400
4
40
400
444.
3
2
π
=
+ ⋅ ⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
=
+
+
=
 

Итак, 
4
2 111.
a
b
+
=
2. Для нахождения проекции воспользуемся формулой 

 
cos(
,
)
пр f d
d
f
d

∧
=
⋅
, 

где 
( , )
cos(
,
)
f d
f
d

f
d

∧
=
⋅

. 

Тогда 

 
( ,
)
( ,
).
пр f

f d
f d
d
d

f
d
f

=
⋅
=
⋅

14 

Следовательно, 

 

(
)
3
5

(
4 , 3
5 )
4
3
5
пр b
a

a
b
b
a
a
b
b
a
−
+
−
+
=
=
−

Воспользуемся свойствами

скалярного произведения
= 

(
)
(
)
(
)
(
)

( ,3 )
( ,5 )
(4 ,3 )
(4 ,5 )
3( , )
5( , )
12( , )
20( , )

3
5 ,3
5
9
,
30
,
25
,

a
b
a
a
b
b
b
a
a b
a a
b b
b a

b
a
b
a
b b
a b
a a

−
+
−
−
+
−
=
=
=
−
−
−
+

2
2
2
2

2
2

17
cos
,
5
12
17 2 5cos
5 2
12 5
3

9 25
30 2 5cos
25 4
9
30
cos
,
25
3

a
b
a b
a
b

b
a
b
a b
a

∧

∧

⎛
⎞
π
−
⋅
⋅
−
+
−
⋅ ⋅
− ⋅
+
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
=
π
⎛
⎞
⋅
−
⋅ ⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⎜
⎟
⎝
⎠

1
170
20
300
85
280
195
39
2
.

1
175
5 7
7
225
300
100
2

−
⋅
−
+
−
+
=
=
=
=
−
⋅
+
 

Получаем: 
(
)

39
4
.

7
3 5
пр b
a a
b
+
=
3. Найдем длины диагоналей параллелограмма, построенного по 

векторам 4a
b
+
и 3
5
a
b
−

, где 
2; |
| 5;
,
.
3
a
b
a b

∧
π
=
=
=
Пусть 
4
AB
a
b
=
+
, 
3
5
AD
a
b
=
−

(рис. 1.6). 

В
C

A
D
 

Рис. 1.6 

Тогда 

 
4
3
5
7
4 ;
AC
AB
AD
a
b
a
b
a
b
=
+
=
+
+
−
=
−
3
5
4
6 .
BD
AD
AB
a
b
a
b
a
b
=
−
=
−
−
−
= − −
15 

Найдем длину вектора AC

:  

 
(
)
7
4
7
4 ,7
4
AC
a
b
a
b
a
b
=
−
=
−
−
=
(
)
(
)
(
)
49
,
56
,
16
,
a a
a b
b b
=
−
+
=

2
2
1
49
56
cos
,
16
49 4
56 2 5
16 25
2
a
a
b
a b
b
∧
⎛
⎞
=
−
⋅
⋅
+
=
⋅
−
⋅ ⋅ ⋅
+
⋅
=
⎜
⎟
⎝
⎠

196
280
400
316.
=
−
+
=
 

Найдем длину вектора BC

: 

(
)
(
)
(
) (
)
6
6 ,
6
36
,
12
,
,
BC
a
b
a
b
a
b
b b
a b
a a
= − −
=
− −
−
−
=
+
+
=
2
2
1
36
12
cos
,
36 25
12 2 5
4
2
b
a
b
a b
a
∧
⎛
⎞
=
+
⋅
⋅
+
=
⋅
+
⋅ ⋅ ⋅
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠

900
60
4
964.
=
+
+
=
 

Следовательно, длины диагоналей параллелограмма 

 
316;
964.
AC
BC
=
=

Пример 1.3 
Дано: 
( 3,1,4);
(2,3, 5);
(1, 9, 5).
a
b
c
= −
=
−
=
−

Найти: 

1) координаты вектора 
2
3
d
a
b
=
+

; 
2) длину вектора d

, направляющие косинусы вектора d

, коорди
наты орта 
0
d
вектора d

, проекцию вектора d

на базисные орты 

(
,
,
пр
пр
пр
i
j
k
d
d
d
); 

3) скалярное произведение (
)
3
,3
5
a
c
d
b
+
−

; 

4) косинус угла между векторами 3a
c
+
и 3
5
d
b
−

; 
5) прad
– проекцию вектора d

на вектор a. 
Решение 
1. Вектор 
2
3
d
a
b
=
+
, где 
( 3,1,4);
(2,3, 5).
a
b
= −
=
−
Найдем координаты векторов 2aи3b

: