Математический анализ : интегральное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 211 

Кафедра математики

Е.Л. Плужникова 
Б.Г. Разумейко 

Математический анализ

Интегральное исчисление 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 517 
 
П40 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Л.А. Шамаро 

Плужникова, Е.Л. 
П40  
Математический анализ : интегральное исчисление : учеб. 
пособие / Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2011. – 247 с. 
ISBN 978-5-87623-394-3 

В пособии приведены основные формулы и понятия интегрального исчисления (первообразная, определенный и неопределенный интеграл, несобственные интегралы, кратные интегралы, криволинейные и поверхностные 
интегралы), разобраны типовые задачи различных уровней сложности по 
этим темам. В пособии содержатся домашние задания по данному курсу. Наличие типовых вариантов контрольных работ и тестов, предназначенных для 
проверки усвоения этого курса, позволит студенту подготовиться к экзаменационной сессии.  
Предназначено для студентов всех специальностей. 
УДК 517 

ISBN 978-5-87623-394-3 
© Плужникова Е.Л., 
Разумейко Б.Г., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Первообразная и неопределенный интеграл......................................4 
1.1. Первообразная................................................................................4 
1.2. Неопределенный интеграл............................................................4 
1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле......................8 
1.4. Интегрирование по частям .........................................................18 
1.5. Интегрирование рациональных дробей.....................................25 
1.6. Интегрирование тригонометрических функций.......................45 
1.7. Интегрирование иррациональных функций .............................57 
2. Определенный интеграл  и его свойства..........................................73 
2.1. Определенный интеграл..............................................................73 
2.2. Площадь плоской фигуры...........................................................83 
2.3. Длина дуги кривой.....................................................................107 
2.4. Объем тела и площадь поверхности вращения.......................112 
2.5. Несобственные интегралы........................................................116 
3. Кратные интегралы...........................................................................144 
3.1. Двойной интеграл......................................................................144 
3.2. Тройной интеграл ......................................................................167 
4. Криволинейные и поверхностные интегралы................................187 
4.1. Криволинейные интегралы первого рода................................187 
4.2. Криволинейный интеграл второго рода ..................................194 
5. Поверхностные интегралы...............................................................205 
5.1. Поверхностный интеграл первого рода...................................205 
5.2. Поверхностный интеграл второго рода...................................211

Домашнее задание ................................................................................229 
Вопросы для самопроверки .................................................................236 
Типовые варианты контрольных работ..............................................244 
Библиографический список.................................................................246 
 

1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ 
ИНТЕГРАЛ 

Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции 
находили ее производную. Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная ее производную.  

1.1. Первообразная 

Функция F(x) является первообразной функции f(x), заданной на 
некотором множестве Е, если F′(x) = f(x) для ∀x ∈ E. 
В качестве множества E можно рассматривать конечный или бесконечный интервал (a,b), отрезок [a,b], а также конечный или бесконечный полуинтервал. 
Например, для функции f(x) = x первообразной является функция 
F(x) = x2/2, так как (x2/2)′ = x. Нетрудно заметить, что функция 
F1(x) = x2/2 + 1 также является первообразной функции f(x) = x.  
Очевидно, что если F(x) − первообразная функции f(x), то для любой константы с функция F(x) + с также является первообразной для 
функции f(x), так как (F(x) + с)′ = F′(x) = f(x) для ∀x ∈ E. Таким образом, если функция F(x) есть первообразная для некоторой функции 
f(x), то любая первообразная для этой функции имеет вид F(x) + с, 
где с – некоторая константа. 

Свойства первообразной 

1. Если функция F(x) является первообразной для функции f (x), 
а функция G(x) первообразной для функции g(x), то функция 
F(x) + G(x) является первообразной для функции f (x) + ( )
g x . 
2. Если функция F(x) является первообразной для функции f (x), то 
функция αF(x) является первообразной для функции αf (x). 
3. Пусть определены функции f (y(t)), y′(t) и F(y(t)). Если функция 
F(x) является первообразной для функции f (x), то функция F(y(t)) 
является первообразной для функции f (y(t)) y′(t).  

1.2. Неопределенный интеграл 

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на некотором 
множестве Е называют неопределенным интегралом от функции f(x) 
на этом множестве и обозначают символом 

 
( )
f x dx
∫
. 

Таким образом, если 
( )
F x  является первообразной для функции 
f(x), то  

 
( )
( )
,
f x dx
F x
c
=
+
∫
 

где с = const. 

Знак ∫ называется знаком интеграла, функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, а переменная x − переменной интегрирования. Подынтегральное выражение можно записать в виде  

 
f(x)dx = dF(x). 

Нахождение функции по ее производной называется интегрированием функции. Интегрирование − действие обратное дифференцированию. Правильность интегрирования можно проверить, продифференцировав функцию F(x).  

Свойства неопределенного интеграла 

1. 
( )
( )
.
f
x dx
f x
c
′
=
+
∫
 

2. 
( )
( )
.
dF x
F x
c
=
+
∫
 

3. 
( )
( )
,
0.
cf x dx
c
f x dx с
=
≠
∫
∫
 

4. (
)
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
.
f x
f
x
dx
f x dx
f
x dx
±
=
±
∫
∫
∫
 

5. Если 
( )
( )
f x dx
F x
c
=
+
∫
 и функция u = ϕ(x) непрерывна и диф
ференцируема, то 
( )
( )
f u du
F u
c
=
+
∫
. 

6. 
.
dx
x
c
=
+
∫
 

1
(
)
(
)
.
f ax
b dx
F ax
b
c
a
+
=
+
+
∫
 

Таблица основных неопределенных интегралов 

1. 
(
)

1

1 .
1

a
a
x
x dx
c
a
a

+
=
+
≠ −
+
∫
 

2. 
(
)
0,
1 .
ln

x
x
a
a dx
c
a
a
a
=
+
>
≠ −
∫
 

3. 
.
x
x
e dx
e
c
=
+
∫
 

4. 
ln
.
dx
x
c
x =
+
∫
 

5. 
(
)
2
2
1 arctg
0 .
dx
x
c a
a
a
x
a
=
+
≠
+
∫
 

6. 
(
)
2
2
1 ln
0 .
2
dx
x
a
c a
a
x
a
x
a
−
=
+
≠
+
−
∫
 

7. 
(
)
2
2

2
2
ln
0 .
dx
x
x
a
c a
x
a
=
+
±
+
≠
±
∫
 

8. 
(
)
2
2
arcsin
0 .
dx
x
c a
a
a
x
=
+
≠
−
∫
 

9. sin
cos
.
xdx
x
c
= −
+
∫
 

10. cos
sin
.
xdx
x
c
=
+
∫
 

11. 
2
tg
cos
dx
x
c

x
=
+
∫
. 

12. 
2
ctg
.

sin
dx
x
c

x
= −
+
∫
 

13. 
ln tg
.
sin
2
dx
x
c
x =
+
∫
 

14. 
ln tg
.
cos
2
4
dx
x
c
x
π
⎛
⎞
=
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
 

15. sh
ch
.
xdx
x
c
=
+
∫
 

16. ch
sh
.
xdx
x
c
=
+
∫
 

17. 
2
th
.

ch
dx
x
c

x
=
+
∫
 

18. 
2
cth
.

sh
dx
x
c

x
= −
+
∫
 

Нахождение первообразной или вычисление неопределенного интеграла в основном состоит в преобразовании подынтегрального выражения так, чтобы получить интегралы из этой таблицы. 

Пример 1.2.1 
Вычислить неопределенный интеграл 
2
(3
4
5)
x
x
dx
+
+
∫
. 

Решение 
Разобьем интеграл на сумму трех интегралов, каждый из которых 
является табличным: 

 

3
2
2
2

3
2

(3
4
5)
3
4
5
3
4
5
3
2
2
5
.

x
x
x
x
dx
x dx
xdx
dx
x
c

x
x
x
c

+
+
=
+
+
=
+
+
+
=

=
+
+
+
∫
∫
∫
∫
 

Пример 1.2.2 

Вычислить неопределенный интеграл 

3
4
.
x dx
x
−
∫
 

Решение 
Разобьем интеграл на разность двух интегралов, каждый из которых является табличным: 

 

1
1
3
3
3
2
2

1
5
1
1
5
2
2
7
2

4
4
(4
)

2
4
8
8
.
1
5
7
1
1
2
2

x
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
x

x
x
x dx
x
c
x
x
c

−
−

− +
+

⎛
⎞
−
=
−
=
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠

=
−
=
−
+
=
−
+
−
+
+

∫
∫
∫

∫

 

Пример 1.2.3 

Вычислить неопределенный интеграл 
2
sin 2

x dx
∫
. 

Решение 
Понизим степень по формуле 

 
2
1
cos
sin 2
2

x
x
−
=
, 

а затем разобьем интеграл на разность двух интегралов, каждый из 
которых является табличным: 

2
1
cos
1
cos
sin 2
2
2
2
1
1
1
1
cos
sin
.
2
2
2
2

x
x
x
dx
dx
dx
dx

dx
xdx
x
x
c

−
=
=
−
=

=
−
=
−
+
∫
∫
∫
∫

∫
∫

 

Пример 1.2.4 
Вычислить неопределенный интеграл (5
4 )
x
x
dx
+
∫
. 

Решение 
Разобьем интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых 
является табличным: 

 

2
4
(5
4 )
5
4
5
.
2
ln 4

x
x
x
x
x
dx
xdx
dx
c
+
=
+
=
+
+
∫
∫
∫
 

Пример 1.2.5 

Вычислить неопределенный интеграл 
5

3
2
4
1
2
.
x
dx
x
x

⎛
⎞
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
 

Решение 
Разобьем интеграл на сумму трех интегралов, каждый из которых 
является табличным: 

 

2
5
5
3
3
2
4
1
1
2
2
4
x
dx
xdx
x
dx
dx
x
x
x

−
⎛
⎞
+
+
=
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
∫
∫

 

1
2
1
1
6
1
5
3
5
3
5
2
4
ln
12
ln
.
1
2
3
1
1
5
3

x
x
x
c
x
x
x
c

+
− +
=
+
+
+
=
+
+
+
+
−
+
  

1.3. Замена переменной в неопределенном 
интеграле 

Пусть функция t = φ(x) определена и дифференцируема на некотором множестве Е. Тогда справедливо равенство 

 
( ( )) 
( )
( )
.
f
x
x dx
f t dt
′
ϕ
ϕ
=
∫
∫
 

Пусть необходимо вычислить интеграл 
( )
f x dx
∫
. Если удалось 

найти дифференцируемые функции t = φ(x) и g(t), такие, что подын

тегральное выражение удалось записать в виде f (x) = g(φ(x))φ′(x)dx = 
= g(t)dt, и интеграл от выражения справа известен и равен 

( )
( )
g t dt
G t
c
=
+
∫
, 
то 
исходный 
интеграл 
( ( )) 
( )
g
x
x dx
′
ϕ
ϕ
=
∫
 

( ( ))
G
x
c
=
ϕ
+ .  
Функция φ(x) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более простой для интегрирования вид. Основную трудность как раз и представляет преобразование подынтегрального выражения, так как не всегда бывает заранее известно к 
чему нужно прийти и какой должна быть функция φ(x). Например, 
вычислим интеграл 
sin cos
.
x
e
x dx
∫
 

Отметим, что производная от функции φ(x) = sin x равна φ′(x) = cos x. 
Сделаем замену переменной sin x = t, тогда dt = cos x dx. Следовательно,  

 
sin
sin
sin
;
cos
.
cos

x
t
t
x
x
t
e
x dx
e dt
e
c
e
c
dt
xdx

=
=
=
=
+
=
+
=
∫
∫
 

Не всегда удается сразу подобрать такую замену, чтобы в результате получился табличный интеграл. В более сложных случаях рекомендуется сначала выбрать ту подстановку, которая представляется 
удачной, и лишь после преобразования подынтегрального выражения смотреть, добились ли мы своей цели – упрощения интеграла. 
Может оказаться так, что получившийся интеграл еще не является 
табличным, но приводится к такому проще, чем исходный. 

Например, интеграл 
4
sin 2
1
sin
x
dx

x
+
∫
 заменой sin x = t приводится к 

следующему интегралу: 

 
4
4
4

sin
;
sin 2
2sin cos
2
.
cos
1
sin
1
sin
1

x
t
x
x
x
tdt
dx
dx
xdx
dt
x
x
t

=
=
=
=
=
+
+
+
∫
∫
∫
 

Сделаем еще одну подстановку: u = t2. Тогда  

 

2

4
2

;
2
.

1
1
2

t
u
tdt
du

t
u
tdt
du

=
=
=
+
+
=
∫
∫
 

В результате получили табличный интеграл: 

 
2
2
2
arctg
arctg
arctgsin
.

1
du
u
c
t
c
x
c

u
=
+
=
+
=
+
+
∫
 

Разновидностью замены переменного является операция внесения функ
ции φ(x) под знак дифференциала. Пусть 
( )
( ( ))
( )
f x dx
g
x
x dx
′
=
ϕ
ϕ
∫
∫
. 

Так как φ′(x)dx = dφ(x), то 
( )
( ( ))
( ).
f x dx
g
x d
x
=
ϕ
ϕ
∫
∫
 

Для того чтобы внести функцию под знак дифференциала, необходимо найти первообразную этой функции. Отметим некоторые 
часто применяемые преобразования дифференциалов: 

 
1
(
);
dx
d ax
b
a
=
+
 

 

1
2
1
,    
;
1
2

n
n
dx
x dx
xdx
dx
n

+
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
 

 
sin
(cos );
xdx
d
x
= −
 

 
cos
(sin );
xdx
d
x
=
 

 
(
)
(
)
log
ln
;
log

a

a

d
x
dx
d
x
x
x
e
=
=
 

 
(
)
,
ln

x

x
x
x
da
a dx
e dx
de
a
=
=
; 

 
(
)
2
tg

cos
dx
d
x

x
=
; 

 
(
)
2
ctg

sin
dx
d
x

x
= −
. 

Например, вычислим интеграл 

5

6
9

x dx
x +
∫
 с помощью внесения 

функции φ(x) = x5 под знак дифференциала. Первообразная от функции φ(x) = x5 равна x6/6. Тогда: 

6
5
6
6
6
6
6
9
;
1
(
9);
1
1
1
ln
ln
9
.
6
6
6
6
9
9
(
9)

x
t
x dx
d x
dt
t
c
x
c
t
x
x
d x
dt

+
=
+
=
=
=
=
+ =
+
+
+
+
+
=
∫
∫
∫
 

Иногда целесообразно при вычислении интеграла 
( )
f x dx
∫
 про
извести замену, выражая не функцию t через x, а наоборот, функцию 
x через t. Пусть х = ϕ(t) – строго монотонная и дифференцируемая на 
некотором промежутке функция. Тогда она имеет обратную функцию t = g(x). Полагаем x = φ(t), тогда dx = φ′(t)dt. 
Обозначим u(t) = f(φ(t))φ′(t), тогда  

 
( )
( )
( )
f x dx
u t dt
U t
c
=
=
+
∫
∫
. 

Затем возвратимся к переменной x, выразив ее из уравнения 
x = φ(t), т.е. найдем обратную функцию к функции x = φ(t) и подставим ее вместо t в выражение найденного интеграла. Последнюю 
формулу называют формулой интегрирования подстановкой. 

Например, вычислим интеграл 
2
1
x dx
−
∫
, сделав замену x = sinu. 

Тогда dx = cosu du. Подставив в интеграл x и dx, а затем, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством sin2x + cos2x = 1, 
получим 

 
2
2
2
1
cos2
1
1
sin
cos
cos
2
u
x dx
u
u du
u du
du
+
−
=
−
⋅
=
=
=
∫
∫
∫
∫

 
1
1
1
1
cos2
(2 )
1
1
cos2
sin 2
.
2
2
2
2
2
2
4
ud
u
du
udu
u
u
u
c
=
+
=
+
=
+
+
∫
∫
∫
 

Вернемся к переменной х. Мы делали замену x = sin u. Выразим 
функцию u через переменную х с помощью обратной функции. Тогда 
u = arcsin x. Заметим, что  

 
2
2
sin 2
2sin cos
2sin
1
sin
2
1
.
u
u
u
u
u
x
x
=
=
−
=
−
 

Следовательно,  

 

2
2
1
1
1
arcsin
.
2
2
x
x
x dx
x
c
−
−
=
+
+
∫
 

Пример 1.3.1 
Вычислить неопределенный интеграл cos2
.
xdx
∫
 

Решение 

 

2
;
1
1
cos2
2
;
cos
sin
sin 2
.
2
2
2
/ 2

x
t
dt
xdx
dt
dx
t
t
c
x
c

dx
dt

=
=
=
=
=
+
=
+

=
∫
∫