Пособие по физике лазеров

 
 
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский  
научно-исследовательский институт экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Г. А. Кириллов, Н. Г. Захаров 
 
 
 
 
Пособие по физике лазеров 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2016 

 
УДК 535:621.373.826 
ББК 32.86 
        К43 
 
 
К43 
Кириллов, Г. А., Захаров, Н. Г.  
Пособие по физике лазеров / Г. А. Кириллов, Н. Г. Захаров. – Саров: 
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2016. – 236 с.; ил. 
 
 
ISBN 978-5-9515-0315-2 
 
 
В пособии изложены основные фундаментальные понятия лазерной физики, 
описаны принципы работы лазеров и некоторых оптических устройств, 
приведена классификация и характеристики некоторых лазерных 
систем. Некоторые разделы дополнены историческими справками и сведениями 
о достижениях ведущих институтов мира, в том числе РФЯЦ-
ВНИИЭФ. Описание современного состояния и направления развития лазерных 
систем с указанием ссылок на оригинальные публикации призвано 
восполнить пробел в учебной литературе и облегчить доступ к информации 
по сложным вопросам конструирования перспективных лазеров. 
Пособие может быть полезно при подготовке студентов, обучающихся 
по специальности «физика лазеров». Издание также рассчитано на инжене-
ров, молодых научных сотрудников и аспирантов, занимающихся разработ-
кой и эксплуатацией лазерных систем. Простота и доступность изложения 
делают пособие удобной настольной книгой. В то же время приведенные  
в пособии соотношения позволяют проводить оценочные расчеты реальных 
лазерных систем. 
 
 
 
УДК 535:621.373.826 
ББК 32.86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0315-2                                     ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2016 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Предисловие ………………………………………………………………… 
7 
Введение …………………………………………………….………………. 
8 
1. Внутриатомные и молекулярные энергетические уровни ..….….… 
10 
2. Энергетические уровни в твердотельных материалах …………….. 
22 
2.1. Энергетические уровни примесных атомов в диэлектриках ……... 
22 
2.2. Энергетические зоны в полупроводниках …………………………. 
23 
3. Тепловое излучение ……………………………………………...……… 
30 
4. Поглощение света. Усиление излучения за счет индуцированных 
переходов. Сечение перехода ………………………………...…………… 
 
38 
5. Спектральное уширение линий поглощения и излучения ………... 
40 
5.1. Виды уширения ……………………………………………………… 
40 
5.2. Радиационное уширение ……………………………………………. 
41 
5.3. Столкновительное (ударное) уширение …………………………… 
41 
5.4. Доплеровское уширение ……………………………………………. 
42 
5.5. Уширение, связанное с неоднородностью кристаллической  
решетки ………………………………………………………………….... 
 
44 
5.6. Спектральное сечение индуцированных переходов ………………. 
44 
5.7. Насыщение усиления ………………………………………………... 
45 
5.8. Провал Лэмба ………………………………………………………... 
46 
6. Создание термодинамически неравновесной среды ………………... 
48 
6.1. Понятие инверсии населенности …………………………………… 
48 
6.2. Механизмы релаксации ……………………………………………... 
49 
6.3. Схемы создания термодинамически неравновесной среды ………. 
50 
6.3.1. Двухуровневая схема получения генерации ………………….. 
51 
6.3.2. Трехуровневая схема получения генерации ……………….…. 
51 
6.3.3. Четырехуровневая схема получения генерации ….…………... 
54 
6.3.4. Квазитрехуровневая и квазичетырехуровневая схемы  
генерации ……………………………….…………………………….. 
 
55 
7. Устройство оптического квантового генератора …………………… 
56 
8. Методы накачки …………………………………………………....…… 
57 
8.1. Оптическая накачка …………………………………………………. 
57 
8.1.1. Некогерентная оптическая накачка …………………………… 
57 
8.1.2. Когерентная оптическая накачка ……………………………… 
60 
8.2. Накачка электронным пучком ………………………………………. 
61 
8.3. Химическая накачка …………………………………………………. 
62 
8.3.1. HF (DF) лазеры .………………………………………………… 
62 
8.3.2. Йодно-кислородные лазеры ……….………...………………… 
63 
8.3.3. Фотодиссоционные лазеры ……………………………………. 
63 
8.4. Накачка полупроводниковых лазеров …..………………………….. 
64 

9. Оптические резонаторы ………………………………...………………. 
69 
9.1. Открытый резонатор ………………………………………………… 
69 
9.2. Плоский резонатор Фабри – Перо ………………………………….. 
70 
9.3. Потери в резонаторе. Добротность резонатора ……………………. 
73 
9.4. Оптимальный коэффициент полезных потерь …………………….. 
74 
9.5. Типы резонаторов. Параметр устойчивости ……………………….. 
76 
9.6. Пучки Эрмита – Гаусса ……………………………………………… 
79 
9.7. Кольцевой резонатор ………………………………………………… 
84 
9.8. Методы селекции поперечных мод ………………………………… 
85 
9.9. Методы селекции продольных мод ………………………………… 
88 
9.9.1. Селекция продольных мод с помощью эталона  
Фабри – Перо ………………………………………………………….. 
 
89 
9.9.2. Селекция продольных мод с помощью призмы ……………… 
90 
9.9.3. Селекция продольных мод с помощью дифракционной  
решетки ………………………………………………………………… 
 
91 
9.9.4. Селекция продольных мод с помощью интерференционно-
поляризационного фильтра …………………………………………... 
 
92 
9.10. Неустойчивые резонаторы ………………………………………… 
94 
9.11. Активные резонаторы ……………………………………………… 
96 
10. Оптический квантовый генератор …………………………………... 
100 
10.1. Режим свободной генерации ……………………………………… 
100 
10.1.1. Кинетические уравнения ……………………………………. 
100 
10.1.1.1. Четырехуровневый лазер ……………………………. 
101 
10.1.1.2. Трехуровневый лазер ………………………………… 
103 
10.1.1.3. Одномерный случай ………………………………….. 
104 
10.1.2. Стационарный режим работы ………………………………. 
105 
10.1.2.1. Четырехуровневый лазер ……………………………. 
105 
10.1.2.2. Трехуровневый лазер ………………………………… 
107 
10.1.2.3. Насыщение усиления в ОКГ ………………………… 
108 
10.2. Нестационарный режим генерации ОКГ …………………………. 
110 
10.2.1. Релаксационные колебания в одномодовых лазерах ……... 
110 
10.2.2. Режим модуляции добротности …………………………..... 
113 
10.2.3. Режим синхронизации мод …………………………………. 
117 
10.2.3.1. Методы синхронизации мод ………………………… 
121 
10.2.4. Режим разгрузки резонатора ……………………………….. 
124 
11. Квантовые усилители …………………………………………………. 
126 
11.1. Непрерывный режим усиления ……………………………………. 
126 
11.2. Импульсный режим усиления ……………………………………... 
128 
12. Методы модуляции добротности резонатора ………………………. 
131 
12.1. Механические устройства …………………………………………. 
131 
12.2. Электрооптические модуляторы ………………………………….. 
132 
12.3. Акустооптические модуляторы ………………………………….... 
135 
 
 

12.4. Пассивные модуляторы на основе насыщающихся  
поглотителей………………………………………………………………. 
 
138 
13. Типы лазеров …………………………………………………………… 
139 
13.1. Твердотельные лазеры ……………………………………………... 
139 
13.1.1. Лазеры на основе активных сред, легированных  
ионами Nd3+ ………………………………………………………….. 
 
142 
13.1.2. Лазеры на основе активных сред, легированных  
ионами Er3+ …………………………………………………………... 
 
146 
13.1.3. Лазеры на основе кристаллов, легированных  
ионами Tm3+ …………………………………………………………. 
 
148 
13.1.4. Лазеры на основе кристаллов, легированных  
ионами Ho3+ ……………..…………………………………………… 
 
151 
13.1.5. Лазеры на основе TiSa ……………………………………… 
154 
13.1.6. Лазеры на кристаллах соединений A2B6, легированных  
ионами переходных металлов ……………………………………… 
 
154 
13.2. Волоконные лазеры ………………………………………………… 
155 
13.3. Полупроводниковые лазеры ………………………………………. 
159 
13.3.1. Активная среда полупроводниковых лазеров …………….. 
160 
13.3.2. Продольная конфигурация резонаторов  
полупроводниковых полосковых лазеров…………………………. 
 
161 
13.3.3. Поперечная структура мод полупроводниковых  
полосковых лазеров …………………………………………………. 
 
163 
13.3.4. Поверхностно-излучающие полупроводниковые  
лазеры………………………………………………………………… 
 
164 
13.3.5. Полупроводниковые квантово-каскадные лазеры .……… 
166 
13.4. Газовые лазеры ……………………………………………………... 
167 
13.4.1. Фотодиссоционные лазеры …………………………………. 
167 
13.4.2. Химические HF и DF лазеры ………………………….……. 
175 
13.4.3. Газодинамические лазеры ………………………………….. 
177 
13.4.4. Йодно-кислородные лазеры ………………………………… 
179 
13.4.5. Молекулярные газовые лазеры …………………………….. 
181 
14. Свойства лазерного излучения ………………………………………. 
184 
14.1. Затягивание частоты и предел монохроматичности ……………... 
184 
14.2. Когерентность лазерного излучения ……………………………… 
185 
14.3. Расходимость лазерного излучения ……………………………….. 
186 
14.4. Качество пучка лазерного излучения ……………………………... 
188 
15. Анизотропные среды …..………………………………………………. 
191 
16. Рассеяние света …………………………………………………………. 
195 
16.1. Рассеяние Рэлея …………………………………………………….. 
195 
16.2. Рассеяние Мандельштама – Бриллюэна ………………………….. 
197 
16.3. Комбинационное рассеяние света ………………………………… 
198 
17. Нелинейное преобразование частоты ……………………………….. 
201 
17.1. Генерация второй гармоники …………………………………….... 
201 

17.2. Параметрическая генерация ……………………………………….. 
204 
18. Мощные лазерные установки ………………………………………… 
208 
18.1. Лазерные установки кило- и мегаджоульного уровня …………… 
208 
18.1.1. Основы инерциального термоядерного синтеза ……………. 
209 
18.1.2. Лазерные установки для исследований по ЛТС …………….. 
211 
18.2. Сверхмощные лазерные системы с ультракороткой  
длительностью импульса излучения ..…………………………………... 
 
215 
18.2.1. Применение сверхмощных лазерных систем  
с ультракороткой длительностью импульса излучения ...………….. 
 
216 
18.2.1.1. «Быстрый поджиг» термоядерной реакции .…………. 
216 
18.2.1.2. Получение высокоэнергетичных пучков  
заряженных частиц ..…………………………………………….. 
 
216 
18.2.1.3. Получение γ-излучения ………………………………... 
218 
18.2.1.4. Нелинейная квантовая электродинамика …………….. 
218 
18.2.1.5. Генерация высших гармоник ………………………….. 
219 
18.2.2. Принцип построения сверхмощных лазерных систем  
с ультракороткой длительностью импульса излучения ……………. 
 
220 
18.2.3. Современное состояние и тенденции развития  
сверхмощных лазерных установок …………………………………... 
 
224 
Список литературы …………………………...…………………………… 
227 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Идея создания данного учебного пособия по основам квантовой электроники, 
физики и техники лазеров принадлежит Геннадию Алексеевичу Кириллову. 
Им же подготовлена рукопись книги, которая была отредактирована и до-
полнена кандидатом физико-математических наук Захаровым Никитой Геннадьевичем. 

Геннадий Алексеевич Кириллов – крупный специалист в области лазерной 
физики и инерциального термоядерного синтеза, доктор физико-математических 
наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, лауреат Государственной премии 
СССР, лауреат Международной премии «Медаль им. Э. Теллера», с 1982 по 
2003 гг. – начальник лазерного подразделения ВНИИЭФ (ныне – Институт  
лазерно-физических исследований РФЯЦ-ВНИИЭФ). 
Геннадий Алексеевич Кириллов и Самуил Борисович Кормер – одни из основателей 
лазерного направления в широкомасштабной научной деятельности 
ВНИИЭФ. Под их руководством и с участием ведущих отраслевых и академических 
НИИ проведены исследования по созданию взрывных фотодиссоционных 
лазеров с рекордными параметрами излучения, разработан ряд лазерных устройств, 
применяемых в комплексах специальной техники. Г. А. Кириллов активно 
участвовал в разработках лазеров для исследований в области лазерного термоядерного 
синтеза. Под его руководством были созданы лазерные установки УФЛ-3, 
«Искра-4», «Искра-5» мощностью 0,5; 10 и 100 ТВт соответственно, на которых 
проведены важные эксперименты по физике горячей плотной плазмы.  
Г. А. Кириллов воспитал десятки учеников, среди которых много кандида-
тов и докторов наук, лауреатов Государственной премии СССР и РФ; он руко-
водил кафедрой «Квантовая электроника» в Саровском физико-техническом ин-
ституте.  
Г. А. Кириллов ушел из жизни 22 сентября 2013 года. Над этой книгой он 
активно работал вплоть до последних дней.  
Издание будет незаменимым помощником для студентов старших курсов, 
инженеров, аспирантов, молодых научных сотрудников, решивших связать свою 
работу с квантовой электроникой – одним из интереснейших и бурно развиваю-
щихся направлений современной науки, которому Г. А. Кириллов посвятил 
свою яркую научную карьеру.  
 
Генеральный конструктор по лазерным системам, 
заместитель директора РФЯЦ-ВНИИЭФ  
по лазерно-физическому направлению, 
директор ИЛФИ РФЯЦ-ВНИИЭФ, 
член-корреспондент РАН, 
доктор физико-математических наук 
 
 
 
 
 
С. Г. Гаранин 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Одним из удивительных открытий XX века по своему изяществу и значи-
мости для будущего является изобретение и создание лазеров – оптических 
квантовых генераторов (ОКГ). ОКГ – это принципиально новые источники оп-
тического излучения, работающие на основе явления вынужденных или инду-
цированных переходов. Существование индуцированного излучения было по-
стулировано Эйнштейном в 1917 г., задолго до появления квантовой электрони-
ки. Первые теоретические соображения о возможности использования вынуж-
денного излучения высказал В. А. Фабрикант в 1940 г. в СССР. В принципе, 
создание ОКГ было возможно уже в те годы. Практически же осуществить уси-
лительное устройство, использующее индуцированное излучение, удалось  
в 1954 г. Н. Г. Басову и А. М. Прохорову в СССР и Дж. Веберу, Дж. Гордону, 
Х. Цайгеру и Ч. Таунсу в США. Усиление и генерация происходили на частоте 
2400 МГц (радиодиапазон), а рабочим веществом служил аммиак. Первый опти-
ческий квантовый генератор был создан в 1960 г. Т. Мейманом. Он получил ге-
нерацию на рубине с длиной волны излучения ~694 нм. К настоящему времени 
генерация получена на самых различных веществах (газ, жидкость, твердое те-
ло) в диапазоне от близкого ультрафиолета до дальней области инфракрасной 
(ИК) части спектра. Существенную роль играют лазеры, перестраиваемые в ши-
роком диапазоне длин волн.  
В основе работы лазеров (мазеров) как квантовых генераторов лежат сле-
дующие фундаментальные идеи: 
– понятие вынужденного (индуцированного) излучения и его обоснование 
на примере закона Планка: распределение излучения по спектру для теплового 
излучателя при определенной температуре (А. Эйнштейн, 1910 г.); 
– усиление света (электромагнитных волн) и создание термодинамически 
неравновесной среды (В. А. Фабрикант, 1941 г., патент 1951 г.); 
– применение для создания положительной обратной связи объемного ре-
зонатора для мазеров и открытого резонатора типа Фабри – Перо для лазеров 
(Н. Г. Басов, А. М. Прохоров, 1954 г.). 
Значение лазеров в настоящее время трудно переоценить. Они использу-
ются в области оптической связи, включая Интернет, военном деле, медицине, 
научных исследованиях, в технологических приложениях (для резки и сварки 
металлов, обработки твердых материалов, таких как алмаз), для измерения уг-
лов, расстояний, скоростей и т. д. Достаточно быстро идет усовершенствование 
основных параметров излучения лазеров, а также их массогабаритных характе-
ристик. Изобретаются и разрабатываются новые типы лазеров. Перспективы 
применения лазеров настолько широки, что трудно назвать область науки или 
техники, где лазеры не будут использоваться. По словам одного из создателей 
первых ОКГ Т. Меймана, после окончательного решения некоторых техниче-

ских вопросов их применение будет ограничено, в сущности, лишь воображени-
ем и изобретательностью инженеров.  
В данном пособии изложены основные понятия лазерной физики, описаны 
принципы работы лазеров и некоторых оптических устройств, приведена класси-
фикация и даны характеристики некоторых лазерных систем.  
Пособие предназначено для подготовки студентов по специальности «фи-
зика лазеров». Также оно рассчитано на инженеров, молодых научных сотруд-
ников и аспирантов, занимающихся разработкой и эксплуатацией лазерных сис-
тем. Простота и доступность изложения делают пособие удобной настольной 
книгой. В то же время приведенные в пособии соотношения позволяют прово-
дить оценочные расчеты реальных лазерных систем. Описание современного 
состояния и направления развития лазерных систем с указанием ссылок на оригинальные 
публикации (см. разд. 13 и 18) призвано восполнить пробел в учебной 
литературе и облегчить доступ к информации по сложным вопросам конструирования 
перспективных лазеров. 
Авторы выражают благодарность директору ИЛФИ ФГУП «РФЯЦ-
ВНИИЭФ» С. Г. Гаранину за помощь на всех стадиях выпуска учебного пособия, 
а также признательны коллегам Н. Н. Рукавишникову, Д. В. Святошенко, 
Г. Г. Кочемасову и С. В. Бондаренко за их замечания, предложения и уточнения. 

1. ВНУТРИАТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ 
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ 
 
Лазеры по существу являются генераторами светового излучения. Диапазон 
длин волн, на которых в лазерах осуществляется генерация светового излучения, 
простирается от ∼100 нм (лазеры ультрафиолетового диапазона) до 
∼104 нм (лазеры инфракрасного диапазона). Разрабатываются лазеры рентгеновского 
диапазона с длинами волн ~20 нм. В отличие от тепловых источников света (
лампа накаливания, раскаленный кусок металла, электрическая дуга), имеющих 
сплошной спектр излучения, лазеры имеют узкий спектр излучения с относительной 
шириной 
5
10−
∆ν ν ≈
. При выполнении определенных требований 
к активной среде и устойчивости параметров резонатора можно достичь значения 

15
10−
∆ν ν ≈
. Такие лазеры применяются в качестве стандартов частоты.  
Спектр излучения лазера и энергия излучаемого кванта определяются,  
в первую очередь, внутриатомными и молекулярными энергетическими уровнями 
и переходами между ними. Впервые обобщить имеющиеся экспериментальные 
данные по спектрам излучения атома водорода и получить эмпирические 
закономерности удалось Бальмеру в 1885 г. Вид соотношения Бальмера [1]: 
 
2
2
1
1
1
λ
2
R
m


=
−




,                                           (1.1) 
 
где m = 3, 4, 5, 6. 
Далее были установлены серия Лаймана 
 
2
1
1
1
R
m


=
−


λ


                                             (1.2) 
 
для m > 1 и Пашена 
2
2
1
1
1
3
R
m


=
−


λ


                                             (1.3) 
для m > 3. 
Все линии спектра атома водорода можно разделить на ряд серий, объединенных 
общей формулой 
 
2
2
1
1
1
R
n
m


=
−


λ


,                                            (1.4) 
 
где n = 1, 2, 3, 4 при m > n, R = 1,09768⋅105 см –1 – универсальная постоянная Рид-
берга (установлена в 1890 г.). Таким образом, экспериментальные данные свидетельствуют 
о том, что спектр излучения атома водорода дискретный. Излучение 

других атомов также имеет дискретный характер, а линии излучения объединя-
ются в ряд серий, соотношения между которыми по своей форме близки к соот-
ношениям, описывающим серии излучения атома водорода, но имеющим попра-
вочные коэффициенты α и β: 
 
2
2
1
1
1
(
)
(
)
R
n
m


=
−


λ
+ α
+ β


.                                      (1.5) 
 
Для атомов различных веществ поправочные коэффициенты α и β различны. 
Первоначально поправочные коэффициенты подбирались эмпирически для опи-
сания экспериментальных закономерностей. В дальнейшем они рассчитывались 
на основе квантово-механических представлений. Установление сериальных за-
кономерностей и универсальность постоянной Ридберга свидетельствовали  
о глубоком физическом смысле открытых законов.  
Объяснение дискретности излучения атомов основывается на определен-
ной модели их строения. Первая модель строения атома была предложена Том-
соном в 1903 г. и представляла собой сферу, равномерно заполненную положи-
тельным электрическим зарядом, внутри которой находятся отрицательно заря-
женные электроны. Атом в этом случае является нейтральным, а характер дви-
жения электрона будет колебательным, т. е. допускается процесс излучения. Но 
такая модель не объясняла многообразия и закономерностей спектра излучения 
атомов. Более совершенную модель предложил в 1913 г. Э. Резерфорд на основе 
изучения воздействия α-частиц на атомы. В соответствии с этой моделью атом 
представляет собой систему из Z электронов, в центре которой находится поло-
жительно заряженное ядро с Zе зарядом. Такая система неподвижных зарядов не 
может находиться в устойчивом равновесии, поэтому необходимо предполо-
жить, что электроны движутся вокруг ядра наподобие планет Солнечной систе-
мы, т. е. по орбитам. Но модель атома Резерфорда не объясняла существующую 
картину спектрального излучения, если пользоваться классическими законами 
движения электрона. Движение электрона по окружностям или иным криволи-
нейным орбитам есть движение ускоренное, сопровождающееся излучением 
определенной частоты, равной частоте обращения. Таким образом, излучение 
должно представлять набор монохроматических компонент. Однако при таком 
движении будет уменьшаться энергия электрона за счет излучения, следовательно, 
будет уменьшаться расстояние от электрона до центра ядра, т. е. увеличиваться 
частота излучения. В результате атом будет излучать непрерывный 
спектр, в то же время электрон будет приближаться к ядру и через короткое 
время упадет на него, при этом атом перестанет существовать, что находится  
в резком противоречии с реальной картиной. 
Попытки установить внутриатомный механизм излучения на основе классических 
колебательных систем (колебаний струны, колебаний электрона и т. п.) 
оказались неудачными. Решение задачи было найдено в 1913 г. Н. Бором путем 
отказа от применения к атому законов классической электродинамики и привле-

чения теории квантов. Н. Бор подошел к трактовке модели Резерфорда с точки 
зрения квантовой теории Планка и сформулировал два постулата: 
– атом (электрон) характеризуется стационарными состояниями, в которых 
излучения энергии не происходит; 
– всякое испускание или поглощение излучения происходит при переходе 
системы (электрона) из одного стационарного состояния в другое.  
При таких переходах испускается монохроматическое излучение с часто-
той ν, которое определяется соотношением 
= 
–
,
m
n
h
E
E
ν
 где h – постоянная 
Планка, Em и En – энергия системы в первом и втором стационарных состояниях, 
между которыми осуществляется переход. 
Постулаты Н. Бора имели огромное значение, поскольку на их основе удалось 
систематизировать обширный экспериментальный материал по спектроскопии 
излучения атомов. Согласно законам классической механики энергия 
электрона с зарядом е, движущегося по круговой орбите радиуса r, равна 
2
= –
,
2
e
E
r  а частота обращения электрона по орбите определяется как [1] 
3
2
2
4
e
2 E
m e
ω =
π
.                                                 (1.6) 
 
Спектр излучения атома водорода по формуле Бальмера – Ридберга описывается 
как 
2
2
1
1
сR
n
m


ν =
−




,                                            (1.7) 
 
где R – постоянная Ридберга. Сопоставляя это выражение с постулатом Бора 
m
n
E
E
h
h


ν =
−




, можно записать: 
2
m
сhR
E
m
= −
, 
2
n
сhR
E
n
= −
,                                     (1.8) 
 
где Em и En – энергия электрона на стационарных орбитах. 
С учетом выражения (1.6) частоты обращения электронов в стационарных 
состояниях определяются как 
3
3 3
2
2
4 6
e
2
n
h R с
m e n
ω =
π
,                                                 (1.9) 
 
3
3 3
2
2
4
6
e
2
m
h R с
m e m
ω
=
π
.                                             (1.10) 
 
Отметим, что в общем случае, частота излучения при переходе между стационарными 
состояниями m и n не совпадает с частотами обращения электронов  

в этих состояниях, найденных исходя из постулатов Бора согласно выражениям 
(1.9) и (1.10). Планк нашел соответствие частот излучения при n >> 1 (длинноволновое 
излучение), вычисленных в рамках классической и квантовой теорий. 
При квантовом подходе при переходе из (n + 1)-го стационарного состояния 
в n-е излучается фотон с частотой 
 
1,
2
2
1
1
(
1)
n
n
сR
n
n
+


ν
=
−




+


.                                      (1.11) 
 
При условии n >> 1 выражение (1.11) можно записать как 
1,
3
2
n
n
R
n
+
ν
≈
.                                              (1.12) 
 
В классическом случае согласно (1.9) при n >> 1 частоты обращения электрона  
в обоих состояниях определяются как 
3
3 3
2
2
1
2
4 6
e
2
n
n
h R с
m e n
+
ω ≈ ω
=
π
.                                        (1.13) 
 
Приравнивая квантовое и классическое выражения для частоты, получим, что 
постоянная Ридберга равна 
4
e
3
2 m e
R
h
π
=
.                                                (1.14) 
 
При этом численное значение постоянной Ридберга, найденное согласно (1.14),  
составляет R = 1,097⋅105 см –1, что превосходно согласуется с опытным значением.  
Совпадение частот, вычисленных методами классической и квантовой фи-
зики, обусловлено тем, что при n >> 1 спектр излучения атома в квантовом слу-
чае становится практически непрерывным, поскольку разница в энергии уровней 
незначительна по сравнению с энергией самого уровня. Такой подход позволяет 
определить постоянную Ридберга как универсальную для классического и кван-
тового подходов. Таким образом, была установлена спектральная формула, по-
зволяющая рассчитывать частоты излучения атома, в первую очередь, атома во-
дорода, которые прекрасно согласуются с результатами экспериментов: 
2
4
e
3
2
2
2
1
1
m e
ch
n
m
π


ν =
−




.                                      (1.15) 
 
Исходя из квантовой теории, состояние электрона в атоме определяется 
четырьмя квантовыми числами: n,  , m  и ms. 
n – главное квантовое число, определяющее уровни энергии 
2
n
E
hR n
=
  
и принимающее целые положительные значения (1, 2, 3…). 
 
 

  – орбитальное квантовое число, определяющее орбитальный момент 
импульса электрона; изменяется от 0 до n – 1. Например: при n = 1  = 0, при 
n = 2  = 1 и  = 0.  
m  – магнитное орбитальное квантовое число, проекция орбитального 
момента импульса на выбранное направление магнитного поля, определяющее 
ориентацию орбиты в магнитном поле. Изменяется от –  до +  . Например: при 
n = 2  = 0…1, тогда m  может быть равным –1, 0 или 1. 
ms – квантовое число, характеризующее проекцию собственного момента 
количества движения (спина) электрона на выбранное направление магнитного 
поля. Может принимать значения ±1/2.  
Таким образом, электрон обладает собственным моментом количества 
движения, а m  и ms характеризуют тонкую и сверхтонкую структуру излучения 
линий, расщепление линий в магнитном поле. Так, в случае появления магнит-
ного поля устраняется вырождение в отношении магнитного ( m ) квантового 
числа: различным образом ориентированные орбиты приобретают различную 
энергию. Это дает объяснение эффекту Зеемана. В сложных атомах, где имеется 
несколько электронов, возмущение движения периферических электронов  
остальными приводит к тому, что в выражении энергии атома наряду с главным 
квантовым числом появляется и магнитное квантовое число. Вследствие этого 
уровни энергии с одним и тем же главным квантовым числом и различными 
магнитными квантовыми числами, совпадающие в случае одноэлектронных 
атомов, разделяются. Это дает возможность объяснить особенности спектров 
сложных атомов [1]. 
Таким образом, электроны могут находиться в различных состояниях, 
описываемых наборами квантовых чисел. Если рассмотреть невозбужденный 
сложный атом, то возникает вопрос: в каких состояниях находятся его электро-
ны? С точки зрения обычных представлений следовало бы ожидать, что все 
электроны атома, находящегося в невозбужденном (основном) состоянии, долж-
ны занимать уровень с наименьшей возможной энергией, т. е. наиболее глубо-
кий уровень атома. Но опыт показывает, что это не так. По мере увеличения Z 
происходит последовательное заполнение электронных уровней атомов. Чтобы 
объяснить такое заполнение уровней, В. Паули выдвинул гипотезу о том, что  
в любом квантовом состоянии может находиться только один электрон. Поэтому 
каждый следующий электрон невозбужденного атома должен занимать самый 
глубокий из еще незаполненных уровней. Всесторонняя проверка подтвердила 
справедливость гипотезы Паули. 
Утверждение, что в одном и том же квантовом состоянии не может нахо-
диться более одного электрона, имеет всеобщую применимость и обычно назы-
вается принципом исключения или принципом запрета Паули. При данном зна-
чении главного квантового числа n всего существует 2n2 различных состояний. 
Для удобства понимания, о каких состояниях идет речь, создана следующая 
классификация.