Моделирование турбулентного перемешивания в газовых слойках

Федеральное государственное унитарное предприятие 
«Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
А. Н. Разин 
 
 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО 
ПЕРЕМЕШИВАНИЯ В ГАЗОВЫХ СЛОЙКАХ 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2020 

УДК 532.517.4-047.58 
ББК 22.253.3 
Р 17 
 
 
Разин А. Н. 
 
Р 17 
Моделирование 
турбулентного 
перемешивания
в газовых слойках: Монография / [А. Н. Разин]. – Саров: 
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2020. – 290 с., ил. 
ISBN 978-5-9515-0434-0 
 
В книге представлены результаты исследований по развитию 
неустойчивости и турбулентного перемешивания на контактных 
границах газовых слоек различающейся плотности. 
Такие задачи возникают в исследованиях по физике высоких 
концентраций энергии, в частности, в задачах по управляемому 
термоядерному синтезу и ряде других научно-технических 
задач. Рассмотрено современное состояние исследований 
в данной области. Дано описание методов и программ, 
которые используются при проведении исследований. Обсуждаются 
проблемы математического моделирования задач, 
приведены новые экспериментальные данные по турбулент-
ному перемешиванию на контактных границах трехслойных 
газовых систем, рассмотрены вопросы о структуре фронта 
ударной волны при ее взаимодействии с турбулентным полем 
однородного газа и смеси разноплотных газов. Предлагаются 
возможные направления дальнейших работ. 
Книга предназначена для научных работников, занимаю-
щихся разработкой и обоснованием методов расчета газоди-
намических течений с учетом турбулентного перемешивания. 
 
 
УДК 532.517.4-047.58 
ББК 22.253.3 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0434-0                           © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2020 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение …………………………………………………….……..
5
1. Современное состояние исследований в области  
турбулентного перемешивания ………………………….……..
13
1.1. Три типа неустойчивостей ………………………………
13
1.2. Экспериментальная информация ……………………….
19
1.3. Методы расчета развития неустойчивости и ТП ………
30
1.4. Проблемы численного моделирования ……………..….
38
1.5. Выводы …………………….……………………………..
47
2. Методика расчета турбулентного перемешивания  
в одномерном приближении (методика ВИХРЬ) …………….
50
2.1. Уравнения модели …………………………..…………...
50
2.2. Расщепление по физическим процессам ……………….
55
2.3. Уравнения газовой динамики …………………………...
57
2.4. Расчет термодинамических функций …………………..
66
2.5. Расчет лучистой теплопроводности ……………………
68
2.6. Разностные схемы для уравнений ТП ……….................
75
2.7. Пакет программ ВИХРЬ ………………………………...
78
2.7.1. Основы организации ………………………...........
79
2.7.2. Сервисные возможности .........................................
80
2.8. Примеры расчетов газодинамических течений ………..
84
2.8.1. Сферическая задача Ноха ……………………… 
85
2.8.2. Столкновение ударных волн разной  
интенсивности …………………………………………...
88
2.9. Технология проведения расчетов ТП в одномерных 
течениях ……………………………………………………….
92
2.9.1. Две модели для расчета развития  
неустойчивости …………………………………….…….
95
2.9.2. Инициализация ТП ……………………………….. 102
2.9.3. О сходимости разностного решения  
уравнений ТП ……………………………………………. 106

Содержание  
4
2.9.3.1. Безударные течения ………………………… 107
2.9.3.2. Течения с ударными волнами ……………... 114
2.9.4. Определение центра конечно-разностной  
ударной волны …………………………………………... 121
2.10. Примеры расчетов ТП в модельных опытах …………. 127
2.10.1. Смыкание зон ТП (опыт Е. Е. Мешкова  
в плоской геометрии) …………………………………… 127
2.10.2. Опыты Dimonte …………………………………. 130
2.10.3 Опыт Barre ……………………………………….. 144
2.10.4. Опыт Poggi ………………………………………. 152
2.11. Выводы ………………………………………………..... 162
3. Моделирование турбулентного перемешивания  
в двумерном приближении …………………………………….. 164
3.1. Исходные уравнения .…………………………………….. 165
3.2. Обоснование двумерной методики ………...…………... 172
3.2.1. Аналитические решения уравнения диффузии … 172
3.2.2. Взаимодействие ударной волны с наклонной 
контактной границей ……………………………………. 179
3.2.3. Экспериментальные результаты ………………… 199
3.2.4. Прямое численное моделирование  
экспериментов …………………………………………... 206
3.2.5. Расчеты экспериментов по модели Никифорова ... 233
3.3. Выводы ………………………………………………....... 240
4. Направления дальнейших исследований …………………. 241
4.1. Экспериментальные исследования …………………….. 242
4.2. Численное моделирование ………………....................... 255
4.3. Выводы ………………………………………………....... 267
Заключение ………………………………………………………. 269
Список литературы ……………………………………………... 270
 

Введение 
 
 
Разработку современной конкурентоспособной техники 
трудно представить без привлечения экспериментальных, теоре-
тических и численных исследований. Проектирование промыш-
ленных изделий с заданными характеристиками ставит сложные 
задачи перед исследователями. При оптимизации предлагаемых 
учеными и конструкторами технических решений важная роль 
принадлежит численным методам. С развитием компьютерной 
техники доминирующее положение по сравнению с экспери-
ментальными и аналитическими методами, по-видимому, зай-
мут методы математического моделирования.  
Большой практический интерес представляют задачи, в ко-
торых исследуется развитие турбулентного перемешивания (ТП) 
на контактных границах (КГ) движущихся слоистых систем (си-
стем, состоящих из слоев веществ с различной плотностью – 
разноплотных веществ). Такие задачи возникают в исследовани-
ях по физике высоких концентраций энергии, в частности, в за-
дачах по управляемому термоядерному синтезу [1] и ряде дру-
гих научно-технических задач [2 – 5]. Зачастую движение слои-
стых систем формируется под действием ударных волн (УВ),  
а после прохождения УВ через КГ на ней развивается неустой-
чивость Рихтмайера – Мешкова (РМ), приводящая с течением 
времени к разрушению границы и ТП контактирующих веществ.  
Работы по созданию физических моделей и методик расчета 
развития неустойчивостей и ТП на КГ слоистых систем под дей-
ствием УВ имеют давнюю историю. Интересующихся этим во-
просом специалистов отсылаем к работам [1 – 7] (см. также ссыл-
ки в них). Первые результаты теоретических и эксперименталь-
ных исследований развития неустойчивостей РМ и Рэлея – Тей-
лора приведены в [8 – 10]. В [1] рассматривается физико-матема-

Введение  
6
тическая модель, предназначенная для описания процесса сжа-
тия лазерных мишеней, и представлены результаты численного 
моделирования ряда экспериментов. Теоретические, численные, 
экспериментальные и прикладные аспекты проблемы переме-
шивания рассматриваются в монографии [2]. В работах [3 – 5] 
описаны практические подходы к численному моделированию 
ТП, возникающего на КГ слоистых систем. 
Существует ряд подходов и более десятка физических моде-
лей для расчета турбулентных течений. К широко используе-
мым подходам можно отнести прямое численное моделирование 
(методы ПЧМ) с использованием уравнений Эйлера или Навье –
Стокса; методы крупных вихрей (LES методы); моделирование  
с применением полуэмпирических моделей турбулентности 
(RANS методы) и ряд других методов и их комбинаций. Тем не 
менее, универсального подхода для расчета турбулентных тече-
ний не существует, что стимулирует разработку новых физиче-
ских моделей и совершенствование существующих. В последнее 
время ведется активная работа по решению проблем, присущих 
численным методам расчета осредненного течения, без решения 
которых сложно оценить, какая из физических моделей наибо-
лее точно описывает турбулентные течения. 
В РФЯЦ-ВНИИЭФ на протяжении многих лет для изучения 
движения слоистых систем под действием УВ развиваются ме-
тоды прямого численного моделирования [11, 12], полуэмпири-
ческая модель Никифорова [13] и K-ε модель [14]. В РФЯЦ-
ВНИИТФ для моделирования ТП широко используются l – v  
модель [15] (обобщение модели Беленького – Фрадкина [16]), K-ε 
модель [17] и прямое численное моделирование [18, 19].  
Область представленных в работе исследований включает 
класс задач, в которых возникновение и развитие ТП происхо-
дит на КГ разноплотных сжимаемых сред в результате развития 
неустойчивостей Рэлея – Тейлора (РТ), Кельвина – Гельмгольца, 
Рихтмайера – Мешкова [5, 7, 20 – 70], а учет ТП выполняется  
по модели Никифорова [13], реализованной в комплексе одно-

Введение  
7
мерных программ ВИХРЬ [20]. Начало работ по созданию мето-
дики ВИХРЬ относится к 1992 году, а в 1993 году модуль расче-
та ТП, реализованный в методике ВИХРЬ, подвергся переработ-
ке с целью его включения в состав методики СНД [71], предна-
значенной для моделирования движения трехтемпературного 
излучающего газа. В 1996 году модель Никифорова внедрена  
в методику АРКТУР [7]. Методика АРКТУР интенсивно разви-
вается и на сегодняшний день является основным инструментом 
при расчете течений в одномерном приближении с учетом ТП  
и других физических процессов. 
 
Первый двумерный вариант модели Никифорова реализован  
в 1997 году в методике ЭГАК [72, 73]. В 2002 году двумерная 
модель Никифорова внедрена в методику РАМЗЕС [74], а затем 
в методики КОРОНА [75] и МИМОЗА [76]. Вместе с тем работа 
над моделью продолжается, в результате чего в настоящее время 
для моделирования двумерных течений с учетом ТП наряду  
с моделью Никифорова используется модель В. И. Козлова [77]. 
До 2001 года в методиках ВИХРЬ и АРКТУР применялся 
метод инициализации ТП (формирование начальных данных для 
решения уравнений ТП), предложенный Никифоровым и по-
дробно проанализированный в [5]. Во многих случаях этот ме-
тод позволял получить разумный результат по эволюции зоны 
ТП, несмотря на то, что в такой стратегии расчета этап развития 
неустойчивости не моделировался. При таком подходе для по-
лучения удовлетворительного решения специалисту необходимо 
было использовать большой практический опыт расчета задач. 
Взамен модели инициализации Никифорова В. И. Козлов пред-
ложил модель, которая связала скорость роста амплитуд пузы-
рей и струй с параметрами осредненного течения, которые реа-
лизуются на КГ после прохождения УВ [78]. Предложенный 
метод обладает и достоинствами, и недостатками, но его нельзя 
признать законченным в развитии.  
Сложность решаемых практических задач такова, что при 
моделировании некоторых задач не удается достичь необходи-

Введение  
8
мой точности вычислений из-за наличия нерешенных математи-
ческих вопросов. Отметим ряд проблем численного моделиро-
вания ТП, развивающегося на контактных границах слоистых 
систем под действием УВ, которые невозможно устранить пу-
тем измельчения разностной сетки. Первая проблема обуслов-
лена отсутствием сходимости разностного решения уравнений 
Эйлера на фронте конечно-разностной УВ, что является след-
ствием неограниченного роста градиентов газодинамических 
величин на фронте скачка при измельчении разностной сетки. 
Как следствие, при движении УВ по зоне ТП величина генера-
ционных членов уравнений ТП модели Никифорова зависит  
от размера счетной ячейки сетки [26, 64, 65]. Для устранения 
проблемы сходимости решения В. И. Козлов предложил на фрон-
те УВ использовать модифицированное уравнение для скорости 
диссипации кинетической энергии турбулентности и сглажива-
ние градиентов средних газодинамических величин [79]. Этот 
подход содержит ряд параметров, заметно влияющих на конеч-
ный результат, но не решает проблему сходимости разностного 
решения уравнений Эйлера на фронте УВ.  
Не изученной остается задача взаимодействия УВ с зоной 
ТП. При прохождении УВ по турбулентному потоку однородного 
вещества или смеси разноплотных веществ внутренняя 
структура скачка может изменяться [58]. Если пульсации газодинамических 
величин и интенсивность вихрей перед фронтом 
превышают некоторый порог, фронт скачка деформируется под 
действием пульсаций давления и вихрей, становится неустойчивым, 
а газодинамические величины перестают быть разрывными. 
Использование уравнений Навье – Стокса в расчетах взамен 
уравнений Эйлера не решает проблему взаимодействия УВ 
с турбулентным потоком. Внутренняя структура фронта скачка 
при ее движении по турбулентному потоку определяется  
не только молекулярной вязкостью потока, но зависит также  
от турбулентной вязкости (интенсивности турбулентности потока 
перед фронтом).  

Введение  
9
На точность моделирования взаимодействия УВ с турбулентным 
потоком значительное влияние может оказывать точность 
расчета газодинамического поля перед фронтом УВ. Если 
для расчета поля течения используются разностные схемы, обладающие 
значительными диссипативными и дисперсионными 
погрешностями, в численном решении появляются либо ложная 
турбулентность там, где ее не должно быть по физическому 
смыслу, либо газодинамические величины выглаживаются, подавляя 
мелкомасштабную турбулентность. Ложная турбулентность 
может возникать и при использовании в расчетах неконсервативных 
разностных схем. В подобной ситуации обеспечить 
необходимую точность расчета всего поля течения в практических 
задачах и описать взаимодействие УВ с турбулентным 
потоком становится проблематичным.  
Из других проблем численного моделирования задач отметим 
формирование в поле течения энтропийных следов после 
прохождения УВ [80, 81] и нефизичных осцилляций численного 
решения в областях больших градиентов газодинамических величин, 
что снижает точность расчета генерационных членов  
в уравнениях ТП.  
Таким образом, сложность решаемых практических задач  
и нерешенные математические проблемы, присущие современным 
численным методикам, выдвигают на первый план задачи 
повышения точности расчетных методик и обоснования результатов 
математического моделирования. Полномасштабную про-
верку адекватности физических и математических моделей  
и подходов, используемых при описании развития неустойчиво-
сти и ТП на контактных границах многослойных систем, можно 
осуществить при сопоставлении результатов вычислительного 
эксперимента с экспериментальными данными.  
На сегодняшний день в литературе наиболее широко пред-
ставлены результаты экспериментальных исследований эволю-
ции зоны ТП, возникающей на КГ двухслойных газовых систем 
при 
доминирующей 
роли 
неустойчивости 
Рихтмайера –

Введение  
10
Мешкова. В большинстве опытов с двухслойными системами 
развитие ТП происходит после прохождения УВ через КГ. В ря-
де опытов прошедшая через КГ ударная волна отражается от 
жесткой стенки (торца трубы) и вновь проходит КГ, взаимодей-
ствуя с зоной ТП, сформировавшейся к этому моменту времени 
на контактной границе. Для тестирования методик, ориентиро-
ванных на расчеты развития ТП в многослойных системах, 
имеющейся экспериментальной информации недостаточно.  
Теоретический анализ регулярного и нерегулярного взаимо-
действия УВ с наклонной КГ [5, 52] и результаты вычислитель-
ного эксперимента позволили сформулировать математическую 
постановку опытов с трехслойными газовыми системами.  
В опытах с трехслойными системами (по сравнению с двух-
слойными системами) на развитие ТП оказывают влияние удар-
ные волны и (или) волны разрежения, циркулирующие в цен-
тральном слое, что обычно характерно для слоистых систем, ис-
пользуемых в устройствах по получению высоких концентраций 
энергии. При постановке опытов изменялись форма, наклон  
и расстояния между КГ. В результате выполненных в Институте 
физики взрыва (ИФВ) по заданию Института теоретической  
и математической физики (ИТМФ) экспериментов [49, 53, 56, 
61, 63, 66] с трехслойными системами получена новая чрезвы-
чайно полезная информация о структуре осредненного течения 
и развитии ТП на КГ под действием ударных волн и волн раз-
режения.  
Данная работа состоит из введения, четырех глав и заклю-
чения. 
Первая глава посвящена описанию современного состояния 
исследований в области ТП. Описываются три типа неустойчи-
востей, развивающихся на КГ разноплотных газов; приводятся 
постановки опытов, выполненных в научных лабораториях раз-
личных стран; дан краткий обзор современных методик расчета 
ТП. В последнем разделе главы обсуждаются наиболее серьез-
ные проблемы численного моделирования ТП.  

Введение  
11
 
Во второй главе дается описание методики расчета ТП  
в одномерном приближении. Выписана система исходных диф-
ференциальных уравнений; приводятся разностные схемы для 
решения уравнений газовой динамики и ТП, лучистой теплопро-
водности и расчет термодинамических функций для однокомпо-
нентных и многокомпонентных смесей. Один раздел посвящен 
описанию моделей, предназначенных для моделирования этапа 
развития неустойчивости; рассмотрен алгоритм построения схо-
дящегося разностного решения, приведены примеры расчета раз-
вития ТП в модельных опытах. Из множества опубликованных 
экспериментальных данных в главе представлены результаты 
моделирования двух опытов Е. Е. Мешкова [13], опытов Pog- 
gi [82] и ряда других опытов. Эти опыты охватывают широкий 
спектр современных экспериментальных исследований по раз-
витию ТП: эволюцию зоны ТП; слияние двух зон ТП, развива-
ющихся на КГ трехслойной газовой системы; эволюцию кине-
тической энергии турбулентности и взаимодействие турбулентного 
поля с УВ.  
 
Третья глава посвящена описанию двумерной методики 
расчета ТП. Выписана система уравнений полуэмпирической 
модели Никифорова, предназначенной для описания ТП в дву-
мерном приближении. Значительное внимание уделяется обоснованию 
методики расчета и исследованию точности результатов 
моделирования ТП. Для этих целей используются аналитические 
решения двумерного уравнения изотропной диффузии; 
точное решение задачи по взаимодействию УВ с наклонной КГ; 
информация, полученная в опытах по исследованию ТП, формирующегося 
на контактных границах газовых слоек под действием 
УВ. В главе представлены примеры расчетов течений, 
выполненных в двумерном приближении с использованием 
ПЧМ и RANS методов. 
 
В четвертой главе обсуждаются направления дальнейших 
экспериментальных и численных исследований, предназначенных 
для изучения закономерностей формирования, развития