Математическое моделирование турбулентного перемешивания в сжимаемых средах. Том 2

 
 

 

 

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр   
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
Ю. В. Янилкин, В. П. Стаценко, В. И. Козлов 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ 
В СЖИМАЕМЫХ СРЕДАХ 
 
Том 2 
 
 
Курс лекций 
 
2-е издание,  
исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2020 

 
 

 

 

УДК 001.891.573 (075.8) 
ББК  22.19я73 
         Я 62 
 
Рецензенты: 
 
С. Ф. Гаранин, доктор физ.-мат. наук; 
 
В. А. Жмайло, доктор физ.-мат. наук, профессор. 
 
 
Янилкин Ю. В., Стаценко В. П., Козлов В. И. Математическое моделирование турбулентного перемешивания в сжимаемых средах: Курс лекций. В 2 томах. Том 2. 2-е изд., испр. 
и доп. Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2020.  
 
ISBN  978-5-9515-0420-3 
Т. 2. – 407 с. : ил. 
ISBN 978-5-9515-0458-6 
 
Описаны различные подходы к численному моделированию свободной (без пристеночных слоев) гидродинамической турбулентности, в том 
числе прямое моделирование, а также моделирование с помощью феноменологических теорий. Рассмотрены основные алгоритмы методики 
ЭГАК для моделирования двумерных и трехмерных гидродинамических 
течений с турбулентным перемешиванием. Приводятся результаты расчетов ряда одномерных, двумерных и трехмерных турбулентных течений, 
полученные с помощью указанной методики. 
Книга предназначена как для научных сотрудников, занимающихся 
исследованиями в области турбулентного перемешивания газов и жидкостей, так и для студентов кафедр прикладной математики и механики. 
 
 
УДК 001.891.573 (075.8) 
ББК  22.19я73 
 
 
 
 
ISBN  978-5-9515-0458-6  (т. 2)               ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2020 
ISBN  978-5-9515-0420-3 

Я 62 

Содержание 
 
Список основных сокращений и обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  10 
 
Глава 3. Численное моделирование турбулентного  
                перемешивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . .  12 
 
§ 10. Анализ ЭВМ для расчета задач турбулентности. . . . . . . . . . . . . . 12 
 
§ 11. О возможностях численных исследований турбулентного  
         перемешивания  . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
     11.1. Условие несжимаемости течения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  18 
     11.2. Обработка результатов расчетов по k–ε модели . . . . . . . . . . . . .  20 
     11.3. Обработка результатов прямого 2D и 3D численного  
              моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21 
              11.3.1. Средние гидродинамические величины и их  
                          корреляционные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  23 
              11.3.2. Спектральный анализ пульсаций гидродинамических 
                          величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  24 
              11.3.3. Фурье-разложение по времени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
     11.4. Степень гомогенного смешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31 
              11.4.1. Определение степени гомогенного смешения при ПЧМ . . . 31 
              11.4.2. Определение степени гомогенного смешения при  
                          использовании моделей турбулентности . . . . . . . . . . . . .  35 
     11.5. Одноточечная функция плотности распределения вероятности  
              массовой концентрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 
     11.6. О возможности 2D моделирования перемешивания . . . . . . . . . .  37 
     11.7. Задание начальных возмущений при проведении ПЧМ . . . . . . .  37 
 
§ 12. Численное моделирование турбулентного перемешивания  
         в экспериментах Бенджамена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 
     12.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  41 
     12.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  44 
              12.2.1. Растровые картины плотности в 2D расчетах . . . . . . .  44 
              12.2.2. Растровые картины плотности в 3D расчетах . . . . . . .  45 
              12.2.3. Геометрические размеры области, содержащей 
6
SF  . . . 48 
              12.2.4. Степень гомогенного смешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 
     Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  49 
 

§ 13. Гравитационное перемешивание на плоской границе раздела 
двух жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 
     13.1. Перемешивание при постоянном ускорении . . . . . . . . . . . . . . . .  51 
              13.1.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 
              13.1.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 
              13.1.3. Сравнение профилей турбулентных величин  
                          с полуэмпирической теорией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  61 
              13.1.4. Спектр пульсаций скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 
     13.2. Влияние разноплотности смешивающихся газов . . . . . . . . . . . . . 65 
              13.2.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 
              13.2.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 
                         13.2.2.1. Интегральные характеристики . . . . . . . . . . . . . . . 65 
                         13.2.2.2. Спектры пульсаций скорости и плотности . . . . .  72 
     13.3. Учет молекулярной вязкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  74 
              13.3.1. Постановка расчетов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  74 
              13.3.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
              13.3.3. Анализ влияния числа Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 
              13.3.4. Спектр пульсаций скорости и плотности . . . . . . . . . . . .  85 
     13.4. Степень гомогенного смешения и ФПВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  87 
              13.4.1. Степень гомогенного смешения в расчетах . . . . . . . . . . . 88 
              13.4.2. ФПВ объемной концентрации в расчетах . . . . . . . . . . . .  91 
              13.4.3. Решение автомодельной задачи на основе алгебраи- 
                          ческой модели анизотропной турбулентности . . . . . . . . 95 
              13.4.4. Сравнение результатов расчетов с моделью  
                          Стаценко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  98 
              13.4.5. Обсуждение результатов расчетов и измерений 
                          в опытах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  102 
              13.4.6. Локальная степень гомогенного смешения в расчетах . . . 103 
 
§ 14. Перемешивание при знакопеременном ускорении . . . . . . . . . .  106 
     14.1. Постановка 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  107 
     14.2. Результаты 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  108 
              14.2.1. Координаты зоны перемешивания . . . . . . . . . . . . . . . . .  108 
              14.2.2. Пульсационные характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 
              14.2.3. Профили величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  114 
              14.2.4. Спектры пульсаций скорости и плотности . . . . . . . . . . 116 
     14.3. Сравнение с результатами расчетов по k–ε модели  
              турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
     14.4. Анализ задачи с помощью модели Стаценко . . . . . . . . . . . . . . .  119 
 
 

§ 15. Влияние начальных возмущений границы раздела на  
         развитие гравитационного турбулентного перемешивания . . . 121 
     15.1. Численное моделирование влияния начального спектра  
              возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 
              15.1.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  123 
              15.1.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  125 
                         15.1.2.1. Общая картина течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 
                         15.1.2.2. Выход на автомодельный режим. Интегральные 
                                        величины зоны перемешивания . . . . . . . . . . . . . 127 
                         15.1.2.3. Фурье-анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 
              15.1.3. Влияние постановки 3D расчетов на результаты  
                          моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  138 
              15.1.4. Сравнение 2D и 3D расчетов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 
     15.2. Начальная стадия развития локального возмущения . . . . . . . . . 143 
              15.2.1. Постановка и результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . 145 
                         15.2.1.1. Развитие плоского ЛВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  146 
                         15.2.1.2. Развитие полусферического ЛВ . . . . . . . . . . . . .  149 
     15.3. Развитие локального возмущения на поздней стадии  
              процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  153 
              15.3.1. Постановка задачи и расчетов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 
              15.3.2. Результаты 2D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 
              15.3.3. Результаты 3D расчетов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  160 
              15.3.4. Обсуждение результатов и выводы . . . . . . . . . . . . . . . .  165 
     15.4. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  168 
 
§ 16. Сдвиговое турбулентное перемешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . .  170 
     16.1. 3D расчеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 
              16.1.1. Постановка 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 
              16.1.2. Результаты 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 
                      16.1.2.1. Интегральные характеристики . . . . . . . . . . . . . . .  171 
                      16.1.2.2. Профили величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  175 
                      16.1.2.3. Спектры пульсаций скорости . . . . . . . . . . . . . . . .  178 
                      16.1.2.4. Функция плотности вероятности  
                                     концентрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 
     16.2. Автомодельные решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  182 
              16.2.1. Уравнения k–ε модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  182 
              16.2.2. Решение уравнений автомодельного режима . . . . . . . . . 183 
     16.3. 2D расчеты с k–ε моделью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 
              16.3.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 
              16.3.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 
     16.4. Обзор экспериментальных данных для сдвигового  
              перемешивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  192 

16.5. Сравнение автомодельных решений с результатами 2D и 3D  
              расчетов и с измерениями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  195 
     16.6. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  196 
 
§ 17. Численное моделирование турбулентного перемешивания  
         при однородном сжатии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 
     17.1. Общая постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  200 
     17.2. Аналитическое решение для сжатия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  201 
     17.3. Аналитическое решение для k–ε модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 
     17.4. Расчет с k–ε моделью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 
     17.5. Прямое численное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 
     Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  214 
 
§ 18. Развитие турбулентного перемешивания за фронтом ударной  
         волны с большими числами Маха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 
     18.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  215 
     18.2. Результаты 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 
              18.2.1. Число Маха Ма = 7,8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 
              18.2.2. Число Маха Ма = 10,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 
     18.3. Спектральный анализ пульсаций скорости и давления  
              в 3D расчетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  230 
              18.3.1. Число Маха Ма = 7,8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 
              18.3.2. Число Маха Ма = 10,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  233 
     Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 
 
§ 19. Исследование взаимодействия ударной волны с зоной  
        турбулентного перемешивания на плоской границе  
        воздух–аргон в опыте на ударной трубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  235 
     19.1. Моделирование без погранслоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  236 
              19.1.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 
              19.1.2. Постановка 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  237 
              19.1.3. Постановка расчетов с k–ε моделью . . . . . . . . . . . . . . . . 239 
              19.1.4. Результаты расчетов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  240 
     19.2. Моделирование с учетом пограничного слоя . . . . . . . . . . . . . . .  244 
              19.2.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 
              19.2.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 
    Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 
 
§ 20. Турбулентное перемешивание при взаимодействии ЗТП с ударной волной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 
     20.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  251 

20.2. Результаты 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 
     20.3. Результаты расчетов по модели НИК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  257 
    Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  260 
 
§ 21. Численное моделирование развития регулярных локальных  
         возмущений и турбулентного перемешивания за ударной  
         волной различной интенсивности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 
     21.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  261 
     21.2. Результаты расчетов опытов с ЛВ «канавка» . . . . . . . . . . . . . . . 264 
     21.3. Результаты 2D расчетов с ЛВ «полуцилиндр» . . . . . . . . . . . . . .  268 
     21.4. Теоретическое рассмотрение задачи с ЛВ «канавка»  
              и «полуцилиндр» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  272 
              21.4.1. Качественная картина течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 
              21.4.2. Оценки ширины ЗТП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 
     21.5. Оценка схемных эффектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  274 
     Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 
 
§ 22. Численное моделирование турбулентного перемешивания  
         в трехслойных газовых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 
     22.1. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  278 
     22.2. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  280 
 
§ 23. Моделирование образования вихревого кольца при  
         всплывании термика в атмосфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 
     23.1. Постановка задачи и 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  286 
     23.2. Теоретическая модель движения плавучих вихревых  
              колец в поле тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 
     23.3. Результаты расчетов – общая картина образования вихревого 
              кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  291 
     23.4. Анализ турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 
 
§ 24. Моделирование роста горячих точек в детонации с учетом  
         турбулентного механизма переноса энергии . . . . . . . . . . . . . . . . 299 
     24.1. 2D моделирование с k–ε моделью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  301 
     24.2. 3D моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  305 
              24.2.1. Моделирование формирования горячего очага вокруг  
                          разогретого газового включения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  306 
              24.2.2. Моделирование формирования горячего очага вокруг  
                          газового включения за фронтом волны . . . . . . . . . . . . . .  312 
     24.3. Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 
     Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  316 

§ 25. Численное исследование перехода к детонации горения  
         водородовоздушной смеси в опытах на установке HTCF . . . . . 316 
     25.1. Численная методика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 
     25.2. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 
              25.2.1. Постановка эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 
              25.2.2. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 
     25.3. Некоторые теоретические соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  320 
     25.4. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 
              25.4.1. Сравнение максимальных значений давления  
                          и скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 
              25.4.2. Сравнение зависимостей от времени и продольной  
                          координаты значений давления и скорости фронта  
                          пламени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  327 
              25.4.3. Сравнение профилей давления и продольной  
                          компоненты скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  331 
              25.4.4. Размеры детонационной ячейки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  333 
     Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 
 
§ 26. Численное моделирование турбулентного перемешивания  
         в опыте с плоской мишенью на лазерной установке NOVA . . . 335 
     26.1. Постановка эксперимента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  336 
     26.2. Постановка расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  337 
     26.3. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  339 
              26.3.1. Общая картина развития турбулентности . . . . . . . . .  339 
              26.3.2. Сравнение расчетов между собой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 
     26.4. Аналитические оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  345 
     Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  352 
 
§ 27. Численное моделирование процессов теплопередачи в ЗТП  
         с использованием k–ε модели перемешивания . . . . . . . . . . . . . .  352 
     27.1. Постановка экспериментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  352 
     27.2. Постановка расчетов. Модели фрагментации  
              и теплопередачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  354 
     27.3. Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  356 
     Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  360 
 
§ 28. Плавучая струя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  360 
     28.1. Постановка эксперимента и расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  360 
     28.2. Результаты 3D расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  362 
              28.2.1. Растровые картины плотности и скорости . . . . . . . . . 362 
              28.2.2. Профили средних величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 

28.2.3. Спектральный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  374 
     28.3. Результаты 2D  расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  378 
     Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 
Вопросы для самопроверки к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 
 
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  382 

Список основных сокращений и обозначений 

ТП 
– турбулентное перемешивание 

ЗТП 
– зона турбулентного перемешивания 

УВ 
– ударная волна 

КГ 
– контактная граница (граница раздела) 

НРТ 
– неустойчивость Рэлея–Тейлора 

НКГ 
– неустойчивость Кельвина–Гельмгольца 

НРМ 
– неустойчивость Рихтмайера–Мешкова 

ПЧМ (ILES) 
– прямое численное моделирование 

ППЧМ (DNS) – полное прямое численное моделирование 

1D 
– одномерный 

2D 
– двумерный 

3D 
– трехмерный 

ФПВ 
– функция распределения плотности вероятности 

УРС 
– уравнение состояния 

А, At 
– число Атвуда 

Sc, Pr, Re, Ri, 
Ма 
– числа Шмидта, Прандтля, Рейнольдса, Ричард- 
сона, Маха соответственно 
ρ, ρξ 
– плотность среды и компонента 

e, еξ 
– удельная внутренняя энергия среды и компонента 

P, Рξ 
– давление среды и компонента 

αξ, βξ 
– массовая и объемная концентрации (доли) компонента соответственно 
u (ui) 
– скорость 

u  
– дивергенция скорости 

R (Rij) 
– тензор Рейнольдса 

W (Wi) 
– корреляция скорости и плотности 

w (wi) 
– относительная корреляция скорости и плотности 
B 
– квадратичная корреляция плотности 

b 
– относительная квадратичная корреляция плотности 

k 
– турбулентная энергия 

ε 
– скорость диссипации турбулентной энергии 

K (Kx, Ky, Kz), K – волновой вектор и волновое число соответственно 
L 
– масштаб системы 
LT 
– ширина зоны турбулентного перемешивания 

ЛВ 
– локальное возмущение 
 

Глава 3. Численное моделирование турбулентного  
перемешивания 

В главе 3 приводятся результаты численных исследований задач, характерной особенностью которых является наличие неустойчивых контактных границ и вызванного этим турбулентного 
перемешивания. Исследования выполнены по методикам ЭГАК-2D 
и ЭГАК-3D. При этом упор делается на результаты прямого численного моделирования, как наиболее богатые с точки зрения полноты информации о характеристиках турбулентности. Результаты 
расчетов с использованием полуэмпирических моделей турбулентности приводятся лишь в ограниченном объеме и лишь для того, 
чтобы дать представление о точности таких методов. 
Отметим также, что в некоторых задачах моделирование производится с использованием различных численных методов, изложенных в первом томе книги и проводится сравнение между ними 
с точки зрения точности моделирования турбулентности. 
В этой главе для некоторых величин используются обозначения, отличающиеся от принятых в первом томе книги (вводятся 
они по мере появления в тексте). 
 
 
 
§ 10. Анализ ЭВМ для расчета задач турбулентности 

Проведем анализ ЭВМ, необходимой для моделирования задач 
c учетом турбулентного перемешивания. Будем иметь в виду лишь 
задачи со свободной турбулентностью, т. е. вдали от стенок. В §1 
приведена приближенная формула для оценки количества ячеек, 
необходимых при прямом численном моделировании турбулент
                                                           
 При этом ПЧМ предполагает использование лишь газодинамических программ без каких-либо моделей турбулентности и методов сглаживания профилей величин. Сглаживание может использоваться лишь 
при моделировании с моделями турбулентности. 

ных течений. Ниже даны более полные оценки числа счетных ячеек 
для DNS и ILES, а также для моделирования с использованием полуэмпирических моделей турбулентности. 
Рассмотрим DNS моделирование по 3D кодам. Как указано в §1, 
есть два масштаба турбулентности. 
Первый масштаб (внешний) Λ – масштаб энергосодержащих 
турбулентных вихрей. Он естественно связан с шириной ЗТП 
и меньше размеров всей системы L, т. е. 

1 ,
L     

где 
1
2
1
10
10
 

 в зависимости от конкретной задачи.  
Второй масштаб 0 – внутренний масштаб турбулентности, где 
происходит диссипация турбулентной энергии. Для того чтобы 
можно было описывать процессы, происходящие в масштабе 0, 
размер ячейки h должен быть в несколько раз меньше 0, т. е. 

0
2 ,h
  
  где  
2 ~ 2
10.


 

Как показано в §1, в 3D случае 

3 4

0
~
,
Re








 

т. е. имеем 

3 4
1
2
1 2
.

L
L
Re
h
h











 







 

Таким образом, можно записать 

3 4
1 2
.
L
N
Re
h 
  
 

В газодинамических течениях числа Рейнольдса могут достигать 
больших значений (для атмосферных течений 
7
8
~10
10 ).
Re

 Возьмем минимальную цифру 1000. Тогда имеем 

2
1
10 ;
 
   
2
10;
 
 

3
3 4
21 4
5
6
10
1000
10
10
10 .
N 




 

Таким образом, при DNS минимально необходимое число ячеек 
в одном направлении для рассматриваемой задачи составляет ~ 105, 

и общее число ячеек 
3
15
10 .
N 
 

Число временных шагов в этих расчетах 
5
6
~10
10 .

 
В расчетах по методике ЭГАК-3D число операций, необходи
мое на одну счетную ячейку, составляет ≈
4
5
10
10 ,

 а количество 
величин, определенных в одной счетной ячейке, – порядка 100 или 
3
10  байт. Отсюда получаем количество операций, необходимое для 
счета подобной задачи: 




5
6
15
4
5
24
26
опер
10
10
10
10
10
10
10 .
N





 

Для счета такой задачи необходима оперативная память 
3
9
12
10
10
10


 байт = 1 Тбайт. Если предположить, что вычислительная система содержит 1000 процессоров, то на 1 процессор 
должен приходиться 1 Гбайт оперативной памяти. 
Для хранения результатов счета одной задачи (10–100 разрезов) необходимо 10–100 Тбайт. 
Еще раз подчеркнем, здесь приведены минимально необходимые 
параметры параллельной машины при полном прямом моделиро
вании ТП в сложных конструкциях. При числах Рейнольдса 
3
10 ,

 
что вполне реально для многих задач, требования к производительности вычислительных систем значительно увеличиваются. Полученные параметры ЭВМ говорят о том, что подобный расчет в реальные сроки может быть проведен только на сверхмощных машинах и представляет собой задачу будущего. 
Например, время счета задачи на машине с производительностью 10 Петафлопс (в настоящее время это одна из самых мощных 

машин из существующих) составит ~
8
10
10
10

 с, т. е. от 3104 
до 3106 ч, или от 3,3 до 340 лет. 
Однако имеются обстоятельства, значительно снижающие требования к ресурсам машины. Дело в том, что совершенно незачем 
воспроизводить весь спектр пульсаций от 0 до Λ. Для правильного 
воспроизведения структуры течения на больших масштабах достаточно рассчитывать лишь часть спектра от 1 до Λ, где 1 >> 0, но 
1 << Λ, где величина λ1 сопоставима с размером счетной ячейки h. 

Указанное условие обеспечивает воспроизведение части колмогоровского спектра в его крупномасштабной области. Как уже 
отмечалось, подобный метод (метод LES) обычно употребляется 
с использованием моделей для описания подсеточной вязкости, 
т. е. турбулентных эффектов на масштабах 1 

1
1

1/3
1
1
1
.
u
u







 
 





 

В то же время, как показано в работе Ghosal, 1996, конечноразностная погрешность для схемы второго порядка точности остается значительно больше эффектов подсеточной вязкости в большей части интервала волновых чисел. Это тем более справедливо 
для схемы первого порядка. Поэтому никаких подсеточных моделей мы не используем – такой подход, как уже отмечалось, принято 
называть ILES. 
Рассмотрим разностную схему первого порядка аппроксимации для уравнения движения, которая может быть использована 
в методике ЭГАК. Оценка схемной вязкости в случае квазистационарных течений получена в разделе 7.4 

cx
1
;
k
h u

 

  
cx
1
,
k
hu

 
                      (10.1) 

где 
1
 < 1. Из выражения (10.1) видно, что коэффициент схемной 
вязкости зависит от скорости потока и размера счетной ячейки h. 
В формуле (10.1) 
~
,
k
u
u  тогда 

1

1/3
cx
1
1
1
.
h







 







 

Взяв, к примеру, 

1

1 ,
5
h 

 а 

1
100
 

 (100 вихрей достаточно пред
ставительны), получим  

1

cx
1
0,92
,






 

т. е. при θ1 < 1 схемные эффекты все еще малы. Выбранные параметры соответствуют количеству ячеек в заданном направле

нии
500,
c
N
h
 

 это характерная величина, используемая в наших расчетах. Как видим, величина 
c
N  почти на 3 порядка меньше 
полученной выше минимальной оценки для DNS. Поэтому для 
ILES расчетов требуются гораздо более скромные вычислительные 
ресурсы, нежели для DNS. 
Рассмотрим далее схему второго порядка. Для нее оценка коэффициента схемной вязкости (который также не является скаляром)  

1
2
2
cx
1
~
~
,
i

k

u
u
h
h
x






 

а отношение                
1

1

2
1/3
cx

1
1

u
h
u












 










, 

что составляет 

1/3

1

1

1
25

u

u













 при использованных выше парамет
рах – схемная вязкость оказывается еще меньше. Можно, однако, 
убедиться, в том числе путем численных экспериментов, что повышение порядка аппроксимации схемы не приводит к существенному уменьшению схемных эффектов на масштабах λ1. Дело в том, 
что в методике ЭГАК схема второго порядка аппроксимации используется лишь на гладких решениях (см. §8), а в турбулентных 
течениях профили величин носят немонотонный характер. 
Полученные результаты дают возможность рассчитать все необходимые величины и для интервала от 0 до 1, поскольку во 
всей области колмогоровского спектра имеется подобие. 
Рассмотрим теперь параметры машины, которая требуется для 
моделирования турбулентности при помощи полуэмпирических 
моделей. При использовании полуэмпирических моделей необходимое число ячеек, приходящихся на размер Λ в одном направлении, составит ~ 101÷102, что еще более (по сравнению с ILES) 
улучшает ситуацию с количеством используемых счетных ячеек. 
Однако необходимо иметь в виду, что при этом в общем случае 
требуется применение неявных разностных схем для диффузионных процессов, что значительно увеличивает количество операций, 
приходящихся на расчет одной счетной точки (~ 5–10 раз). Количе

ство временных шагов составит ~ 103÷104. На основании вышеприведенных выкладок получим, что такие расчеты вполне реально 
проводить на машине с производительностью 10 Tерафаопс. Время, 
необходимое для достаточно представительного расчета, составит 
1,5–15 ч, а время, потребное для уникального расчета – 24–240 ч. 
 
 
 
 
§ 11. О возможностях численных исследований  
турбулентного перемешивания 

В данной главе многие рассмотренные задачи представляют 
собой несжимаемую жидкость, в то же время разработанные методики предназначены для моделирования сжимаемых сред. Поэтому 
необходимо иметь критерии и приближения, позволяющие корректно моделировать несжимаемые течения по таким методикам. 
Такие критерии получены в разделе 11.1. 
Для турбулентных течений важное значение имеют параметры, 
характеризующие степень развития турбулентности и структуре 
ЗТП, которые можно получить с помощью специальных обработок 
результатов расчетов. В разделах 11.2–11.5 приводятся алгоритмы 
обработки результатов расчетов, полученных с помощью рассмотренных в настоящей книге методов моделирования турбулентности. 
Используя простые феноменологические модели, можно получить лишь ограниченную информацию о турбулентности. Удовлетворительное теоретическое описание некоторых задач ТП в одномерном приближении может быть выполнено с помощью моделей 
типа Никифорова–Козлова, содержащих уравнения для квадратичных 
пульсаций компонент скорости, для скорости диссипации турбулентной энергии, турбулентного потока массы, квадратичной пульсации плотности и двух корреляционных моментов (плотность–концентрация и плотность–энергия). В этом случае информация 
о структуре ЗТП представляет собой профили средних гидродинамических величин, а также указанных турбулентных величин. 
В рассмотренной выше k–ε модели содержатся уравнения для 
турбулентной энергии k и скорости ее диссипации ε. Таким образом, в этой модели информация о структуре ЗТП помимо профилей