Математическое моделирование турбулентного перемешивания. Том 1

 
 
 
 
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр −  
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
Ю. В. Янилкин, В. П. Стаценко, В. И. Козлов 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ 
В СЖИМАЕМЫХ СРЕДАХ 
 
Том 1 
 
 
Курс лекций 
 
2-е издание,  
исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2019 

 
 
 
 
УДК 001.891.573 (075.8) 
ББК  22.19я73 
         Я 62 
 
Рецензенты: 
 
С. Ф. Гаранин, доктор физ.-мат. наук; 
 
В. А. Жмайло, доктор физ.-мат. наук, профессор. 
 
 
Янилкин Ю. В., Стаценко В. П., Козлов В. И. Мате-
матическое моделирование турбулентного перемешивания в 
сжимаемых средах: Курс лекций. В 2 томах. Том 1. 2-е изд. 
испр. и доп. Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019.  
 
ISBN  978-5-9515-0420-3 
Т. 1. – 358 с. : ил. 
ISBN 978-5-9515-0421-0 
 
Описаны различные подходы к численному моделированию свобод-
ной (без пристеночных слоев) гидродинамической турбулентности, в том 
числе прямое моделирование, а также моделирование с помощью фено-
менологических теорий. Рассмотрены основные алгоритмы методики 
ЭГАК для моделирования двумерных и трехмерных гидродинамических 
течений с турбулентным перемешиванием. Приводятся результаты расче-
тов ряда одномерных, двумерных и трехмерных турбулентных течений, 
полученные с помощью указанной методики. 
Книга предназначена как для научных сотрудников, занимающихся 
исследованиями в области турбулентного перемешивания газов и жидко-
стей, так и для студентов кафедр прикладной математики и механики. 
 
 
УДК 001.891.573 (075.8) 
ББК  22.19я73 
 
 
 
 
ISBN  978-5-9515-0421-0 (т. 1)              ©   ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019 
ISBN  978-5-9515-0420-3 
Я 62

Содержание 
 
Список основных сокращений и обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  9 
 
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  11 
 
Глава 1. Методы моделирования турбулентного движения . . . 16 
 
§ 1. Начальная стадия турбулентного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
     1.1. Гидродинамические неустойчивости и переход 
            к турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  17 
            1.1.1. Гидродинамические неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . .  17 
            1.1.2. Переход в турбулентное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  19 
                      1.1.2.1. Неустойчивость Рэлея–Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
                      1.1.2.2. Неустойчивость Рихтмайера–Мешкова.  . . . . . . . . . .22 
                      1.1.2.3. Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца. . . . . . . . . . 25 
     1.2. Условия неустойчивости произвольного адиабатического  
           движения … ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . .  25 
            1.2.1. Вывод дисперсионного соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . .  25 
            1.2.2.  Условие неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   32 
            1.2.3.  Свойства дисперсионного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .  33 
            1.2.4. Совместное действие гравитационной  
                      и сдвиговой неустойчивостей . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . .  35 
 
§ 2. Развитая турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  36 
     2.1. Средняя и пульсационная компоненты 
            турбулентного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 
     2.2. Пульсационное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . .  38 
     2.3. Каскадный перенос турбулентной энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 
     2.4. Диссипация энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 
     2.5. Турбулентная вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  43 
     2.6. Мелкомасштабная турбулентность . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . 44 
            2.6.1. Трехмерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  44 
            2.6.2. Двумерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  48 
     2.7. Пространственные спектры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50 
            2.7.1. Трехмерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50 
            2.7.2. Двумерная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  53 
     2.8. Гипотеза Буссинеска для тензора Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . .  56 
     2.9. Определение коэффициента турбулентной вязкости . . . . . . . . . .  57 

2.9.1. Заданный коэффициент вязкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  57 
            2.9.2. Формула Прандтля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  58 
            2.9.3. Формула Кармана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  59 
            2.9.4. Формула Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  60 
 
§ 3. Методы моделирования турбулентных движений 
       и правила осреднения величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  61 
     3.1. Методы моделирования турбулентных движений . . . . . . . . . . . . .  61 
     3.2. Осреднение величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  64 
            3.2.1. Осреднениe по Рейнольдсу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  64 
            3.2.2. Осреднениe по Фавру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  67 
 
§ 4. Одномерная модель турбулентности Беленького, 
       Фрадкина, Неуважаева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  68 
     4.1. Осреднение уравнений газовой динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  68 
     4.2. Уравнение баланса для плотности кинетической энергии 
             турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  69 
     4.3. Замыкание системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  70 
 
§ 5. Описание многомерных турбулентных движений 
       сжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  74 
     5.1. Уравнения движения многокомпонентной 
            сжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  74 
     5.2. Осреднение уравнений Навье–Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  76 
     5.3. Турбулентные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  78 
            5.3.1. Энергия и скорость диссипации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  78 
            5.3.2. Другие турбулентные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 
     5.4. Уравнения для турбулентных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  81 
            5.4.1. Вводная часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  81 
            5.4.2. Уравнения для обобщенного тензора  
                      напряжений Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  82 
            5.4.3. Уравнение для корреляции плотности и скорости . . . . . . .  84 
            5.4.4. Уравнение для относительной 
                      квадратичной корреляции плотности . . . . . . . . . . . . . . . . .  85 
            5.4.5. Уравнение для турбулентного потока тепла . . . . . . . . . . .  86 
            5.4.6. Уравнения для турбулентной энергии и скорости 
                      ее диссипации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  87 
            5.4.7. Уравнение для концентраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  87 
            5.4.8. Уравнение состояния смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  88 
            5.4.9. Общее описание модельных уравнений  
                      турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  89 
     5.5. Градиентное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  90 

5.6. Условие реализуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
 
§ 6. Модели турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  94 
     6.1. Модель CAVEAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 
     6.2. K–ε модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  97 
     6.3. Модель анизотропной турбулентности Стаценко . . . . . . . . . . . . .  98 
            6.3.1. Общие уравнения модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  99 
            6.3.2. Уравнения равновесной модели турбулентности 
                      для плоских несжимаемых течений . . . . . . . . . . . . . . . . . .   102 
     6.4. Модель турбулентности Никифорова–Козлова . . . . . . . . . . . . . .  106 
            6.4.1. Вывод уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  107 
            6.4.2. Замыкание уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   109 
                      6.4.2.1. Инерционные члены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   109 
                      6.4.2.2. Диссипативные и обменные члены . . . . . . . . . . . .   111 
                      6.4.2.3. Переносные члены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113 
            6.4.3. Взаимодействие турбулентности и ударных волн . . . . . .  115 
            6.4.4. Система уравнений модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   117 
            6.4.5. Ограничения на турбулентные величины из условия  
                      реализуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  119 
            6.4.6. Инициализация счета турбулентности в модели . . . . . . .  120 
Вопросы для самопроверки к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   121 
 
Глава 2. Методика ЭГАК для моделирования 
               многомерных газодинамических течений 
               с турбулентным перемешиванием . . . . . . . . . . . . . . . . 126 
 
§ 7. Методика ЭГАК-2D для моделирования 
       двумерных газодинамических течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  126 
     7.1. Исходные уравнения многокомпонентной газодинамики . . . . .   126 
     7.2. Лагранжев этап . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   136 
            7.2.1. Основные уравнения и предположения . . . . . . . . . . . . . . . .  136 
            7.2.2. Конечно-разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   138 
            7.2.3. Основные методы замыкания уравнений газовой 
                      динамики на лагранжевом этапе вычислений . . . . . . . . . .  144 
                      7.2.3.1. Метод 1 на основе равенства давлений 
                                   компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  148 
                       7.2.3.2. Метод 2 на основе распада разрыва . . . . . . . . . . .   151 
                       7.2.3.3. Метод 3 на основе одинаковой 
                                   сжимаемости компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  154 
                     7.2.3.4. Метод 4 на основе равенства приращений 
                                   давлений компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   156 

7.2.3.5. Метод 5 на основе равенства массовых скоростей  
                                     компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 
                     7.2.3.6. Метод PR релаксации давлений компонентов . . . .  158 
                     7.2.3.7. Анизотропные модели замыкания . . . . . . . . . . . . . .  163 
          7.2.4. Искусственная вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 
                      7.2.4.1. Вводная часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  166 
                      7.2.4.2. Искусственная вязкость в чистых ячейках . . . . . .   169 
                      7.2.4.3. Искусственная вязкость компонентов 
                                   в смешанных ячейках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   176 
            7.2.5. Определение скорости звука среды . . . . . . . . . . . . . . . . . .   183 
            7.2.6. Устойчивость разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   185 
     7.3. Эйлеров этап . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   186 
            7.3.1. Построение новой счетной сетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   187 
            7.3.2. Аппроксимация уравнений неразрывности и энергии . . . .  189 
            7.3.3. Метод концентраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193 
                      7.3.3.1. Основной алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193 
                      7.3.3.2. Уточненный алгоритм определения 
                                   контактных границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  196 
                      7.3.3.3. Алгоритм расчета движения 
                                   «изолированных» фрагментов . . . . . . . . . . . . . . . . .  199 
                      7.3.3.4. Программная реализация метода концентраций . .  201 
            7.3.4. Использование метода PPM для решения уравнения 
                      адвекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  202 
                      7.3.4.1. Описание метода PPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  202 
                      7.3.4.2. Обобщение метода PPM для аппроксимации 
                                   двумерного уравнения неразрывности 
                                   на эйлеровом этапе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  207 
            7.3.5. Аппроксимация уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . .  211 
            7.3.6. Выравнивание давлений компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . .  213 
     7.4. Аппроксимационная вязкость разностной схемы . . . . . . . . . .. . .  215 
     7.5. Устойчивость  разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  217 
     7.6. Монотонизация величин. Метод локальной монотонизации 
            конвективного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  218 
            7.6.1. Описание метода ЛМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  219 
            7.6.2. Применение метода ЛМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 
                      7.6.2.1. Разностные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  222 
                      7.6.2.2. Аппроксимация и устойчивость метода ЛМ . . . . .  225 
     7.7. Валидация моделей и верификация методов . . . . . . . . . . . . . . . .  227 
            7.7.1. Модели замыкания уравнений газодинамики 
                      в смешанных ячейках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  227 
                      7.7.1.1. Распад разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 

7.7.1.2. Задача Сода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 
                      7.7.1.3. Прохождение ударной волны границу  
                                вода-воздух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  232 
                      7.7.1.4. Прохождение ударной волны по смеси 
                                      двух газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  235 
                      7.7.1.5. Прохождение слабой волны 
                                   по гетерогенной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  241 
            7.7.2. Методы решения уравнения адвекции . . . . . . . . . . . . . . . .   247 
                      7.7.2.1. Задача «Blast Waves» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  247 
                      7.7.2.2. Движение крестообразной фигуры . . . . . . . . . . . .   250 
            7.7.3. Методы определения  искусственной вязкости . . . . . . . .   251 
                      7.7.3.1. Выход УВ из тяжелого вещества в легкое . . . . . . .  252 
                      7.7.3.2. Цилиндрическая задача Ноха . . . . . . . . . . . . . . . . .  253 
                      7.7.3.3. Сферически-цилиндрическое 
                                   однородное сжатие вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . .  255 
                      7.7.3.4. Задача Зальцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  257 
                      7.7.3.5. Прохождение УВ по смеси двух газов . . . . . . . . . .  260 
                      7.7.3.6. Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  264 
            7.7.4. Метод локальной монотонизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  265 
                      7.7.4.1. Сильная ударная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  265 
                      7.7.4.2. Слабая ударная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  266 
            7.7.5. Аппроксимационная вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 
 
§ 8. Методика ЭГАК-3D для моделирования трехмерных 
       газодинамических течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  271 
     8.1. Исходные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  271 
     8.2. Метод расщепления на этапы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   274 
     8.3. Определение объема счетной ячейки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  276 
     8.4. Разностная аппроксимация уравнений лагранжева этапа . . . . . . 281 
            8.4.1. Аппроксимация уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . .  281 
            8.4.2. Аппроксимация уравнения неразрывности и энергии . . . .  284 
     8.5. Разностная аппроксимация уравнений второго этапа . . . . . . . . .  286 
     8.6. Постановка граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  288 
 
§ 9. Методика моделирования двумерных 
       турбулентных течений с помощью k–ε модели . . . . . . . . . . . . . . . 289 
     9.1. Уравнения для осредненного течения 
            и модели турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  290 
            9.1.1. Уравнения для осредненного течения . . . . . . . . . . . . . . . . .  290 
            9.1.2. Уравнения для турбулентных величин . . . . . . . . . . . . . . . .   293 
            9.1.3. Исследование балансности модели турбулентности . . .   297 

9.2. Аппроксимация уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   298 
     9.3. Определение констант k–ε модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   303 
            9.3.1. Затухание однородной изотропной турбулентности . . .  305 
            9.3.2. Нейтрально стратифицированный турбулентный  
                      пограничный слой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  309 
            9.3.3. Гравитационное перемешивание на плоской границе  
                      раздела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  313 
                      9.3.3.1. Постановка задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  314 
                      9.3.3.2. Автомодельное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  314 
                      9.3.3.3. Численное моделирование задачи  . . . . . . . . . . . . . .  317 
            9.3.4. Гравитационное перемешивание легкого плоского слоя . . . 322 
                      9.3.4.1. Постановка задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  322 
                      9.3.4.2. Автомодельное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  323 
                      9.3.4.3. Численное моделирование задачи  . . . . . . . . . . . . . .  325 
            9.3.5. Сдвиговое перемешивание на плоской границе раздела . . .  327 
            9.3.6. Эволюция турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  331 
     9.4. Вариант k–ε модели с ограничением некоторых членов . . . . . . .  334 
            9.4.1. Ограничение скорости диссипации 
                      (турбулентной энергии) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  334 
            9.4.2. Ограничение на генерацию турбулентности . . . . . . . . . . .  335 
            9.4.3. Поправка Саркара на сжимаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 
     9.5. Выбор начальных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  340 
Вопросы для самопроверки к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   341 
 
Список литературы к тому 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  345 

Список основных сокращений и обозначений 
ТП 
– турбулентное перемешивание 
ЗТП 
– зона турбулентного перемешивания 
УВ 
– ударная волна 
КГ 
– контактная граница (граница раздела) 
НРТ 
– неустойчивость Рэлея–Тейлора 
НКГ 
– неустойчивость Кельвина–Гельмгольца 
НРМ 
– неустойчивость Рихтмайера–Мешкова 
ПЧМ (ILES) 
– прямое численное моделирование 
ППЧМ (DNS) – полное прямое численное моделирование 
1D 
– одномерный 
2D 
– двумерный 
3D 
– трехмерный 
ФПВ 
– функция распределения плотности вероятности 
УРС 
– уравнение состояния 
А, At 
– число Атвуда 
Sc, Pr, Re, Ri, 
Ма 
– числа Шмидта, Прандтля, Рейнольдса, Ричард- 
сона, Маха    соответственно 
ρ, ρξ 
– плотность среды и компонента 
e, еξ 
– удельная внутренняя энергия среды и компонента 
P, Рξ 
– давление среды и компонента 
αξ, βξ 
– массовая и объемная концентрации (доли) компонента 
соответственно 
u (ui) 
– скорость 
∇u  
– дивергенция скорости 
R (Rij) 
– тензор Рейнольдса 
W (Wi) 
– корреляция скорости и плотности 

w (wi) 
– относительная корреляция скорости и плотности 
B 
– квадратичная корреляция плотности 
b 
– относительная квадратичная корреляция плотности 
k 
– турбулентная энергия 
ε 
– скорость диссипации турбулентной энергии 
K (Kx, Ky, Kz), K – волновой вектор и волновое число соответственно 
 

Введение 
Каждый человек в своей жизни видел простейшие проявления 
такого явления природы, как турбулентность. Известно, что запах 
одеколона, разлитого в соседней комнате, мы почувствовали бы 
лишь через несколько недель, если бы не было турбулентности. 
Тот, кто летал в самолетах и попадал в зону тряски самолета; видел 
вихреобразные движения дыма, идущего из труб и яркий след за 
реактивным самолетом или судном, имел дело с турбулентностью. 
Кроме таких видимых проявлений, турбулентность присутствует 
во многих областях науки и техники, в которых о ее существовании 
знают только специалисты. Роль турбулентности чрезвычайно 
важна во многих приложениях. С ней человечество сталкивается 
при решении ряда фундаментальных задач, от которых зависит его 
будущее. 
Одна из таких областей – производство энергии. Уровень ци-
вилизации зависит от многих параметров, но едва ли не в решаю-
щей степени он зависит от количества энергии, приходящейся на 
душу населения. Естественные источники: уголь, нефть, газ – огра-
ничены, и уже в ближайшие десятилетия человечество столкнется с 
их недостатком. Поэтому проблема получения новых источников 
энергии – одна из главных проблем, стоящих перед человечеством. 
Один из путей получения новых источников энергии – лазерный 
термоядерный синтез, в котором сферическую мишень с DT-топ-
ливом в центре необходимо сжать до высоких плотностей и темпе-
ратур, чтобы возникла термоядерная реакция с выделением энер-
гии. Если на этом принципе удастся построить электростанцию, то 
источником DT-топлива может послужить вода, запасы которой 
практически неисчерпаемы. Поэтому человечество занято этой 
проблемой несколько последних десятилетий. Однако на пути по-
лучения высоких сжатий мишени (в 1000 и более раз) возникает 
много трудностей. Одна из них – неустойчивость на границах раз-
дела веществ, которая приводит к разрушению этих границ и их 
турбулентному перемешиванию. Отсюда вытекает острая необхо-
димость изучения его закономерностей для корректного учета это-
го процесса при конструировании разного рода устройств. 

Подобного рода задачи возникают и в других технических уст-
ройствах, в которых присутствуют границы раздела, ускоряющиеся 
или замедляющиеся. Окружающая нас среда (атмосфера и океан) 
также порождает неустойчивые течения. Подавляющее большинст-
во реально встречающихся в природе и технике течений являются 
турбулентными. Ламинарные течения представляют собой довольно 
редкое исключение. Турбулентные течения в отличие от ламинарных, 
обладают гораздо большей способностью к передаче количества 
движения, турбулизованная среда имеет большую эффективную 
вязкость. Турбулентные потоки обладают повышенной 
способностью к передаче тепла и пассивных примесей, к распространению 
химических реакций. 
Турбулентность была и остается одним из наиболее сложных 
предметов механики жидкости и газа. Ее изучение началось сравнительно 
недавно, история ее исследования едва ли насчитывает 
сто лет. Однако за это время было предложено и разработано множество 
подходов для ее исследования, таких как статистические 
методы, теория размерностей, фурье-анализ, теория динамических 
систем, теория фракталов, вейвлет-анализ, прямые численные методы 
и множество экспериментальных методов. В наши задачи не входит 
описание всех указанных методов, однако отметим, что для вали-
дации (проверки моделей) и верификации (проверки численной реализации) 
численных моделей и методов большое значение имеют 
экспериментальные данные. Достаточно полный обзор эксперимен-
тальных методов и результатов исследований турбулентных тече-
ний содержится в работах (Мешков, 2006; Невмержицкий, 2018). 
В настоящей книге речь пойдет в основном о математическом 
(численном) исследовании проблемы. Отметим, численное моде-
лирование представляет собой один из важнейших и бурно разви-
вающихся методов исследования турбулентности в настоящее вре-
мя. Появились сборники и монографии, посвященные моделирова-
нию турбулентных течений (см., например, сборник работ под 
редакцией Фроста и Моулдена, 1980; книги Белоцерковского, 1987; 
Липанова и др., 2001; Лебо и Тишкина, 2006; Юна, 2010; Волкова  
и др., 2013). Однако турбулентность представляет собой такое мно-
гоплановое и сложное явление, что в нескольких книгах практически 
невозможно описать весь спектр проблем и методов их решения. В 
частности, в указанных работах в основном рассматриваются тече-

ния однородной по плотности среды и практически отсутствуют ис-
следования, посвященные численному моделированию многомер-
ных ударно-волновых течений многокомпонентной среды. Данная 
работа призвана в какой-то степени восполнить этот пробел. 
В курсе рассматриваются одномерные, двумерные и трехмер-
ные свободные (без пристеночных областей) турбулентные течения 
газа и жидкости, характеризующиеся следующими свойствами:  
во-первых, рассматривается перемешивание на контактных грани-
цах разных газов и жидкостей, каждый из которых характеризуется 
своими термодинамическими параметрами и уравнениями состоя-
ния; во-вторых, рассматриваемые течения включают большой диа-
пазон чисел Маха, в том числе и ударные волны. Среди нескольких 
подходов к численному моделированию таких течений авторы 
остановились на двух – моделирование с использованием полуэм-
пирических моделей турбулентности и прямое моделирование по 
3D гидрокодам, решающим уравнения Эйлера или Навье–Стокса 
без применения каких-либо моделей турбулентности. 
Решение уравнений Эйлера без применения моделей турбу-
лентности (в том числе без подсеточной модели турбулентности)  
в книге называется ПЧМ (прямое численное моделирование).  
В зарубежной литературе для описания этого случая употребляется 
термин ILES (implicit large eddy simulation). Для случая с подсеточ-
ной моделью используется термин LES (large eddy simulation). 
В зарубежной литературе также часто употребляется термин 
DNS (direct numerical simulation). Мы будем использовать термины 
DNS и ПЧМ независимо от того, какие уравнения решаются в гид-
рокоде, хотя многие авторы термин DNS используют лишь для 
уравнений Навье–Стокса. При необходимости для выделения слу-
чая решения уравнений Навье–Стокса будем использовать термин 
ППЧМ (полное прямое численное моделирование).  
Выбор этих подходов полностью определяется многолетними 
научными интересами авторов данной работы. Отметим, что ло-
гичней было бы назвать прямое моделирование термином LES 
(large eddy simulation – метод больших вихрей), так как в этом слу-
чае размеры мелкомасштабных вихрей ограничиваются размерами 
ячеек. Однако этот термин «занят» для моделирования, в котором 
для вихрей подсеточного масштаба (т. е. меньше размеров ячейки) 
используются некоторые модели. 

Настоящий курс лекций предназначен для студентов специаль-
ности «Прикладная математика», предполагающих заняться разра-
боткой численных методов для решения задач механики жидкости 
и газа и проведением численных исследований таких задач, а также 
для аспирантов и научных работников. Основная цель настоящего 
курса лекций – первоначальные представления о турбулентности, 
получение уравнений турбулентного движения, исследование 
свойств этих уравнений и получение их решений при упрощающих 
предположениях, описание методики расчета двумерных и трехмер-
ных турбулентных течений и на ее основе – количественное опре-
деление характеристик зоны турбулентного перемешивания (ЗТП): 
ширины ЗТП, распределения плотности каждого вещества в про-
странстве и др. Кроме того, в книге много внимания уделяется во-
просам, связанным с проведением расчетов турбулентных течений. 
Отметим, что в силу недолгой истории развития данной науч-
ной дисциплины, и в особенности численного моделирования этого 
явления, подобные курсы для студентов практически отсутствуют. 
Среди книг русских авторов можно отметить следующие: Фрик, 
1998; Иногамов и др. 1999; Неуважаев, 2004;  Разин, 2010. Первая 
из этих книг содержит описание моделей и методов применительно 
к описанию турбулентности для несжимаемой среды и почти не 
содержит сведений о численных методах и результатах численного 
моделирования таких течений. Вторая книга касается сложных фи-
зических аспектов процесса перемешивания и не затрагивает во-
просов создания кодов, моделей турбулентности и проведения 
прикладных расчетов. Третья книга в основном представляет моде-
ли, методы и результаты численного моделирования течений сжи-
маемой среды и в целом по тематике близка к предлагаемому кур-
су, однако в ней рассматриваются лишь одномерные в среднем те-
чения. Книга Разина представляет интерес, прежде всего, с точки 
зрения описания начальной стадии развития неустойчивостей. Ста-
дия развитой турбулентности представлена практически лишь в 1D 
приближении. При написании данного курса лекций кроме ука-
занных книг авторы пользовались также известными моногра-
фиями и учебниками по курсу гидродинамики, в которых содер-
жатся необходимые теоретические сведения о турбулентности 
(Ландау и Лифшиц, 1968; Лойцянский, 1978; Монин и Яглом, 

1965; 1967), и оригинальными статьями из журналов, ссылки на 
которые даются непосредственно в тексте курса. 
Первый том данной книги написан на основе лекций первого 
из авторов, прочитанных им в течение ряда лет на кафедре при-
кладной математики Саровского физико-технического института. 
Мелким шрифтом в работе описан материал, который представляет 
определенную сложность для студентов указанной специальности 
и который можно опустить без потери общего представления об 
изучаемом предмете.  
Второй том книги содержит численные исследования задач 
разной степени сложности с учетом турбулентного перемешива-
ния, в основном, на основе прямого численного моделирования. По 
сравнению с первым изданием уточнены аналитические решения 
некоторых задач, а сами исследования дополнены новыми расчета-
ми. Кроме того, значительно увеличилось количество задач, что и 
вызвало выпуск отдельного тома. При этом новые задачи представ-
ляют собой более сложные течения, включающие в себя дополни-
тельные физические процессы, такие как погранслой, теплообмен, 
горение взрывчатых веществ и газовых смесей и др. 
Между авторами работа распределилась следующим образом: 
§1 – В. П. Стаценко и Ю. В. Янилкин; введение, §2–4, 7, 8, 10 – 
Ю. В. Янилкин; §5 – В. П. Стаценко, Ю. В. Янилкин и В. И. Коз-
лов; §6 – В. И. Козлов и В. П. Стаценко; §9, 11 и далее – В. П. Ста-
ценко и Ю. В. Янилкин. Общая редакция книги осуществлена 
Ю. В. Янилкиным. 
Авторы выражают благодарность коллегам, которые принима-
ли участие в разработке методики ЭГАК, предназначенной для мо-
делирования 2D и 3D течений (3D версия в первом издании книги 
упоминалась под названием ТРЭК, в настоящее время данный код 
не существует), и совместно с которыми выполнены многие иссле-
дования турбулентного перемешивания: С. Ф. Гаранину, А. Р. Гужо-
вой, Л. И. Дегтяренко, В. А. Жмайло, В. Ю. Колобянину, О. Г. Синь-
ковой, О. О. Топоровой, Ю. В. Третьяченко, А. Л. Стадник. 

Глава 1.  Методы моделирования  
турбулентного движения 
§ 1. Начальная стадия турбулентного движения 
Что такое турбулентность? Турбулентность есть форма движе-
ния жидкости или газа в виде системы вихрей, образовавшихся  
в результате гидродинамической неустойчивости. Прежде всего, 
необходимо отметить, что развитие турбулентности проходит не-
сколько стадий и обычно термином «турбулентность» обозначается 
стадия развитого турбулентного движения, в котором имеется ши-
рокий спектр масштабов вихрей. В книге мы также будем придерживаться 
этого термина.  
Основное свойство турбулентного движения – это то, что оно 
является хаотическим. Турбулентное движение жидкости характерно 
нерегулярным, беспорядочным изменением скорости со временем 
в каждой точке пространства и в каждой точке потока. Такое 
же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке 
потока, рассматриваемого в заданный момент времени. Скорость  
в турбулентном движении величина всегда переменная, в этом его 
коренное отличие от ламинарных движений, в которых скорость может 
меняться по определенному закону, в том числе быть постоянной. 
Долгое время хаотичность турбулентного движения являлась 
существенным препятствием в его понимании. Однако со второй 
половины ХХ века наметился определенный сдвиг в понимании природы 
и структуры хаоса и соответственно природы турбулентности. 
Во-первых, было установлено, что хаотическое поведение не 
обязательно связано с большим числом степеней свободы. Lorenz, 
1963 показал хаотическое поведение диссипативной системы из 
трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 
После этого в работе (Ruelle & Takens, 1971) было сформулировано 
понятие странного аттрактора и указана его роль в формировании 
нерегулярного поведения системы.